Hàm green đa phức và xấp xỉ các hàm chỉnh hình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––– NGUYỄN KIM HOA HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ XẤP XỈ CÁC HÀM CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––– NGUYỄN KIM HOA HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ XẤP XỈ CÁC HÀM CHỈNH HÌNH Chun ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - ĐHTN, Trường THPT Chuyên Tuyên Quang đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009 Tác giả Nguyễn Kim Hoa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƢƠNG HÀM GREEN ĐA PHỨC 1.1 Hàm Green đa phức với cực vô không gian parabolic 1.2 Hàm Green đa phức với cực vô đa tạp đại số 1.3 Các số Lelong hàm đa điều hoà 10 1.4 Hàm Green đa phức với cực logarit đa tạp siêu lồi 11 CHƢƠNG XẤP XỈ CÁC HÀM CHỈNH HÌNH 16 2.1 Bất đẳng thức đa thức đa tạp đại số 16 2.2 Định lí Bernstein - Walsh đa tạp đại số 20 2.3 Tiêu chuẩn đại số đa tạp giải tích 22 2.4 Đa thức trực chuấn đa tạp đại số 29 2.5 Hệ trực chuẩn Bergman miền siêu lồi 33 2.6 Hệ Bergman sở Schauder không gian hàm chỉnh hình 40 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết đa vị phức phát triển từ năm 80 kỷ trước dựa cơng trình Bedford-Taylor, Siciak, Zahaziuta nhiều tác giả khác Đóng vai trò quan trọng lý thuyết hàm Green đa phức hay hàm cực trị toàn cục Hàm Green đa phức với điểm kỳ dị hữu hạn nghiên cứu nhiều tác M.Klimek, J.P Demailly , E.A Poletsky, A Zeriahi, ) Theo hướng quan tâm đến hàm Green đa phức với cực vô không gian parabolic, hàm Green đa phức với cực logarit vô đa tạp đại số đa tạp siêu lồi, đồng thời sử dụng kết đạt cho việc xấp xỉ hàm chỉnh hình Vì chọn đề tài nghiên cứu: “Hàm Green đa phức xấp xỉ hàm chỉnh hình ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Trình bày kết Zeriahi hàm Green đa phức xấp xỉ hàm chỉnh hình 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu về: - Hàm Green đa phức với cực vô không gian parabolic - Hàm Green đa phức với cực vô đa tạp đại số - Hàm Green đa phức với cực logarit đa tạp siêu lồi - Áp dụng kết đạt để xấp xỉ hàm chỉnh hình Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương pháp nghiên cứu Để giải nhiệm vụ đặt ra, đọc tham khảo tài liệu nước, tham khảo học tập chuyên gia lĩnh vực nghiên cứu Đồng thời kế thừa kết phương pháp M.Klimek, J.P Demailly , E.A Poletsky, A Zeriahi, để giải vấn đề nêu Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 52 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số kết quả, tính chất quan trọng Hàm Green đa phức với cực vơ khơng gian parabolic Đó khái quát hoá tự nhiên định nghĩa hàm cực trị Siciak - Zahariuta £ N Tiếp theo, chúng tơi trình bày nghiên cứu hàm Green đa phức với cực logarit vô đa tạp đại số đa tạp siêu lồi Trong chương 2, chúng tơi trình bày việc mở rộng vài dạng cổ điển lý thuyết đa vị £ N cho trường hợp đa tạp đại số X £ N Chứng minh vài bất đẳng thức đa thức biết giống bất đẳng thức Bernstein –Markov sử dụng chúng để trình bày phép chứng minh tiêu chuẩn địa phương Sadullaev tính đại số đa tạp giải tích Tiếp theo chúng tơi trình bày định lý Berstein- Walsh xấp xỉ đa thức tốt hàm chỉnh hình tập compact không đa cực K đa tạp X sử dụng nó, với bất đẳng thức Bernstein-Markov để nghiên cứu đa thức trực chuẩn Đặc biệt, chứng minh K tập compact L - qui, đa thức trực chuẩn làm thành sở Schauder Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn khơng gian hàm chỉnh hình miền mức hàm Green tương ứng Phần cuối chương này, chúng tơi trình bày việc sử dụng hàm đa phức Green với cực logarit đa trọng đa tạp siêu lồi D để xây dựng hệ trực chuẩn Bergman khơng gian trọng Bergman Sau chúng tơi hệ Bergman sở Schauder thường không gian O (D ) tất không gian hàm chỉnh hình miền mức hàm Green tương ứng Hơn nữa, hệ trực chuẩn cho kết xác phép xấp xỉ nội suy hàm chỉnh hình D Đặc biệt, nhận mở rộng cho trường hợp đa phức kết cổ điển Kadampata Zahariuta Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng HÀM GREEN ĐA PHỨC Trong chương định nghĩa hai dạng hàm Green đa phức trình bày tính chất quan trọng chúng Cụ thể trình bày vài kết hàm Green đa phức không gian Stein hàm Green đa phức đa tạp siêu lồi 1.1 Hàm Green đa phức với cực vô không gian parabolic 1.1.1 Định nghĩa Giả sử K tập compact £ N Hàm L - cực trị liên kết với K định nghĩa công thức sau: (1.1) lK (z ) = log LK (z ) = sup {v (z );v Ỵ L , v / K £ 0}, z Ỵ £ n , L (£ N ) lớp hàm đa điều hoà u £ N , cho sup {v (x ) - log x : x ẻ Ê Ơ } < + ¥ Hàm gọi hàm L - cực trị Siciak-Zahariuta Bây giả sử X đa tạp giải tích bất khả qui £ N có số chiều n K tập compact không đa cực X Theo Định lí Sadulaev, nghiên cứu chi tiết phần 2.3, có LK Î L¥loc (X ) X tập đại số Tất không gian Stein xét giả thiết bất khả qui Những hàm đa điều hồ khơng gian phức nghiên cứu định nghĩa J.P.Demailly ([Dm1]) Về định nghĩa tốn tử Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Monge-Ampère phức không gian phức chúng tơi đề cập tới ([Dm1]) Ngun lí cực đại đưa E Bedford ([Bd] ) Chúng ta đề cập hai dạng hàm đa điều hoà xác định khơng gian giải tích phức 1.1.2 Định nghĩa Hàm u : X đ [- Ơ , + Ơ ] gọi đa điều hồ khơng gian phức X u giới hạn địa phương hàm đa điều hoà phép nhúng địa phương X 1.1.3 Định nghĩa Hàm u gọi đa điều hồ yếu X đa điều hoà đa tạp phức điểm qui X bị chặn lân cận điểm đơn 1.1.4 Định nghĩa Không gian Stein X gọi parabolic có dãy vét cạn hàm đa điều ho di liờn tc g : X đ [- Ơ , + ¥ ] thoả mãn phương trình Monge-Ampère phức nhất, trừ vài tập compact X theo nghĩa dòng, nghĩa tồn R ³ - ¥ cho: (1.2) n (dd cg) = {x Ỵ X ; g (x ) > R } Một hàm gọi vị parabolic X Giả sử E Ð X , kết hợp với E hàm cực trị sau: (1.3) gE (X ) := sup {v (x ); v Ỵ L (X , g ), v / E £ 0}, xỴ X Trong L (X , g) ký hiệu lớp hàm đa điều hoà v X , cho sup {v (x ) - g + (x ); x Ỵ X } < + ¥ Với tập mở khác rỗng cố định U Ð X , ta kết hợp tập E Ð X , dung lượng U , xác định công thức : (1.4) cap (E ;U ) = capg (E ;U ) = exp (- sup {gE (x ); x Ỵ U }) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khẳng định thứ hai bổ đề hệ trực tiếp định lý phép chiếu tập lồi, đóng Hk,a,a không gian Hilbert HW Để chứng minh khẳng định thứ ba, trước tiên ý f Ỵ HW thỏa mãn điều kiện Bổ đề với l Ỵ C ta có g - l f Ỵ Hk ,a,a , g = gk ,a , a Do ta có : g- l f £ "l Ỵ C g , Vì g- l f 2 = g + l f - 2Re (g l f ), ( .) ký hiệu tích vơ hướng HW , nên với l = (1/ f ) (g f ) ( ) ta có g f = Nói riêng, ta có g Ỵ Hl^ k Để chứng minh khẳng định thứ tư, giả sử ta cho họ số phức {l a,a } ; (a, a ) Ỵ M k thỏa mãn (2.18) å l a , a gk ,a , a = (a , a )Ỵ M k Cho (a, a ) Ỵ M k cố định ý theo định nghĩa (2.17), ta có tính chất sau: D a gk ,a , a (a ) = D b gk ,aa (b) = 0, " (b, b ) ẻ M k , (b, b ) (a, a ) Do theo (2.18), ta có l a ,a = , điều chứng tỏ hệ xét độc lập tuyến tính Vì theo định nghĩa, số chiều không gian Hl nhiều k Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 http://www.lrc-tnu.edu.vn ænlk (a ) + n ữ ỗ ữ m k = ỗỗ ữ n ữ ố ứ a ẻ Alk ỗ nờn suy hệ {gk ,a , a ; (a, a ) Ỵ M k } sở khơng gian Hl^ , mà k khơng gian có số chiều m k Bởi số chiều khơng gian Hl Ç Hl^ m k + - m k hệ {gk + 1,a , a ; (a, a ) Î M k + \ M k } k k+1 sở khơng gian Hl Ç Hl^ k k+1 Từ Bổ đề 2.5.3, suy vi mi k ẻ Ơ , h {gk + 1,a ,a ; (a, a ) Ỵ Mk + \ Mk } sở không gian H lk Ç H l^k + Vì hệ thứ tự thành dãy áp dụng vào q trình trực chuẩn hố Hilbert - Schmidt tiêu chuẩn ta nhận { } sở trực chuẩn h j ; m k < j £ m k + khơng gian Hl Ç Hl^ Bằng cách ta nhận hệ trực chuẩn k {h } j j³ k+1 không gian Hilbert HW mà ta gọi hệ trực chuẩn Bergman không gian Hilbert HW kết hợp với hàm chấp nhận j Bây đặt: p j = lk , qj = lk + m k £ j Ê m k + v k ẻ Ơ T cách xây dựng trên, ta có tính chất quan trng sau: h j ẻ Hp j ầ Hq^j , " j ẻ Ơ * Hn na, theo (2.16), bất đẳng thức sau thoả mãn: p j £ qj £ p j + k, " j ³ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.6 Hệ Bergman sở Schauder không gian hàm chỉnh hình Ta chứng minh hệ trực chuẩn Bergman {h j } xây dựng j³ phần sở Schauder không gian Frechet O (D ) vài không gian trung gian khác Xét miền mức hàm Green : { } Dr := z Ỵ D ; G D (z ; j ) < log r , < r £ ý D1 = D Trước tiên, ta cần biết dáng điệu tiệm cận hệ trực chuẩn Bergman 2.6.1 Bổ đề Hệ trực chuẩn Bergman {h ; j ³ 1} sở trực chuẩn j không gian Hilbert HW thỏa mãn ước lượng sau: (2.19) ỉ1 ÷ lim sup ỗỗỗ log h j (z )ữ ữ Ê G D (z ; j ), " z Ỵ D ỗố p j jđ + Ơ ứữ Chng minh: Theo cách xây dựng, hệ {h j } hệ trực chuẩn HW j³ Ta chứng minh tồn phần Thật vậy, giả sử f Ỵ HW thỏa mãn f ^ h j H , với j ³ Vì h j Ỵ H g^ với j ³ , nên ta có f Ỵ Hl với k j k ³ f triệt tiêu điểm Al với k ³ , bậc k nlk (a ) = [lk n (j ;a ) - n ]³ Theo giả thiết j , điều kéo theo f triệt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 http://www.lrc-tnu.edu.vn tiêu bậc vô điểm thành phần D Khi f º D Điều chứng minh khẳng định Bổ đề Để chứng minh ước lượng (2.19), ta cố định a Ỵ D r > cho B (a, r ) Ð D Khi theo bất đẳng thức giá trị trung bình h j = 1, " j ³ , ta có: hj (2.20) B (a , r ) £ w2n r 2n ò B (a ,2r ) h j d l 2n £ W% z sup e = C (r )2 2n w2n r z Î B (a ,2r ) ( ) Với số nguyờn j ẻ Ơ * , t u j (z ) = Khi n z- a log h j (z ) - logC (r )) + log , z Ỵ D ( pj pj r u j đa điều hòa D , u j £ B (a, r ) n(log h j ;a ) ³ p j n(j ;a ) - n nên ta có: (2.21) n(u j ;a ) = n n(log h j ;a ) + ³ n(j ; a ) pj pj Vì u j £ B (a, r ) nên Bổ đề Schwarz cổ điển bất đẳng thức (2.21) suy ra: (2.21)’ u j (z ) £ n (j ;a )log Bây t u (z ) := lim sup jđ + Ơ Theo (2.20), dãy log h j (z ) với z Ỵ D pj {(1 / p )log h j z- a , " z Ỵ B (a, r ), " j ẻ Ơ * r j } : j ³ dãy hàm đa điều hòa bị chặn địa phương D Khi kết cổ điển Lelong ([LI 1]) hàm qui hố nửa liên tục u * u đa điều hòa D Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 http://www.lrc-tnu.edu.vn Vì u (z ) = lim sup u j (z ), với z Ỵ B (a, r ) , nên theo (2.21) ta cú bt ng jđ + Ơ thc: u * (z ) £ n (j ;a )log (2.21)’’ z- a , " z Ỵ B (a, r ) r Các bất đẳng thức (2.21)’ (2.21)’’ kéo theo n (u *;a ) ³ n (j ;a ) u * £ B (a, r ) với B (a, r ) Ð D Bởi u * £ GD (.; j ) D W Bước bao gồm ước lượng nhận hệ Bergman ước lượng hệ đối ngẫu Giả sử {h j' } j ³ hệ đối ngẫu HW¢ liên kết với hệ {h j } định nghĩa j³ công thức sau: h j¢(f ) := ị D % f h je - W dl 2n , f Ỵ H 2.6.2 Bổ đề Với j ³ dạng tuyến tớnh liờn tc h jÂ: HW đ C cú mt thác triển thành dạng tuyến tính liên tục h j¢ khơng gian O (Dr )(0 < r £ 1), thỏa mãn ước lượng sau: Với < t < s < r £ , tồn số C (t , s ) > cho: h (f ) £ C (t ; s )t * j - pj (ò Ds 1/ 2 f dl 2n ) , " j ³ 1, " f Ỵ O (Dr ) Chứng minh: Giả sử f Ỵ HW , ta viết f = f j + g j , f j , gj Ỵ H , với gj Ỵ Hqj , f j nhỏ tùy ý Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 http://www.lrc-tnu.edu.vn Cố định hàm c lớpC ¥ với giá compact D cho X º Dr , với giá D s £ c £ Ta xây dựng hàm: theo cách sau: f j = c f - u j , g j = f - f j , u j cần tìm thỏa mãn điều kiện thích hợp Để làm điều đó, ta áp dụng tiêu chuẩn L2 - ước lượng Hormander ([Hor ]) với trọng số y j = W + (2q j + 2)G D (.; j ) Vi mi j ẻ Ơ * , tồn hàm u j lớp C ¥ D cho: - ¶ u j = ¶ (c f ) = f ¶ c D thỏa mãn ước lượng sau: uj e ò (1 + (2.22) D - ( ) Vì supp ¶ c Ð Ds / Dt e (2.23) ò D uj yj - yj 2 d l 2n £ z ) ³ t ị f ¶c e - yj d l 2n D 2qj + W e D \ Dt , từ (2.22) suy ta có: - y e j - 2q j - (t , s )) t £ C f e - W d l 2n , ( ị Ds (1 + z ) C 1( t , s ) số phụ thuộc vào t s - Hơn nữa, từ ¶ u j = ¶ (c f ) = f ¶ c D suy a j chỉnh hình Dt Giả sử a Ỵ Dt r > cho B (a, 2r ) Ð Dt Khi theo bất đẳng thức giá trị trung bình, với z - a = r ta có: (2.24) u j (z ) £ w2n r 2n ò B (z ,r ) u j d l 2n £ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 sup B (a ,2r ) e w2n r 2n yj ò Ds uj e - yj d l 2n http://www.lrc-tnu.edu.vn Theo (2.22) (2.24) ta có: sup log u j (z ) £ - 2n log r + sup y j (B (a, 2r )) + O (1) (2.25) z- a = r O (1) ký hiệu số độc lập với r Nhờ có tính chất hàm Green thiết lập phần 2, từ (2.25) ta có ước lượng sau: (2.26) n (log u j ;a ) ³ (q j + 1)n (j ;a ) - n > q j n (j ;a ) - n , " a Ỵ Aqj , " j ẻ Ơ * Bõy gi xột hàm sau: fj = c f - u j g j = f - f j = (1 - c ) f + u j - Khi ¶ u j = ¶ (c f ) = f ¶ c D , f j , g j hàm chỉnh hình D theo (2.23), f j , g j Ỵ HW Hơn nữa, g j = u j Dr nên từ (2.26) suy gj Ỵ H q j Như h j Ỵ Hg^ , ta có đồng sau đây: j h j¢(f ) = (2.27) ịD (f - % g j )h j e - W d l 2n = ò D % f j h j e - W d l 2n Ta ước lượng f j = c f - u j Áp dụng bất đẳng thức Minkowski's ước lượng (2.23), ta được: (2.28) (ò D fj e - W% 1/ dl 2n ) £ (ò f e dl 2n ) Ds £ (1 + C )t 1/ - W% - qj (ò Ds - qj + C 1t f e Ds f e - W% dl 2n 1/ ) 1/ ) - W% (ị d l 2n , C = C (t , s ) số phụ thuộc vào (t , s ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho (2.27) theo (2.28), cuối ta ước lượng: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun 45 http://www.lrc-tnu.edu.vn 1/ (2.29) ỉ %÷ -q ỗ h jÂ(f ) Ê C 2t j ỗỗũ f e - W ữ , " f ẻ O (Dr ), " j ẻ Ơ * , ữ ữ ỗỗốD ữ ứ s ú C = C (t , s ) số phụ thuộc vào (t , s ) Ước lượng (2.29) chứng minh h j¢ dạng tuyến tính liên tục HW với tơ pơ sinh tơ pơ O (Dr ) Vì HW không gian trù mật O (Dr ) , nên suy h j¢ thác triển thành dạng tuyến tính liên tục O (Dr ) cho < r < r £ , thác triển tốn tử lên O (Dr ) cảm sinh O (Dr ) toán tử giống thác triển lên O (Dr ) Giả sử ký hiệu h j* mở rộng nêu Khi từ (2.29) dễ thấy h j* thỏa mãn ước lượng giống h j¢ Bổ đề chứng minh W Bây chứng minh kết phần 2.6.3 Định lý Hệ Bergman {h j ; j ³ 1} sở trực chuẩn không gian Hilbert HW cho hệ song trực giao {h j ; h j* }j ³ sở Schauder thông thường không gian Frechet O (D r ) (0 < r £ 1) thỏa mãn tính chất sau: Tính chất nội suy : * fGiả sử r Ỵ (0,1ù ú û f Ỵ O (Dr ) , với j Ỵ N hiệu å j i= hi* ( f )hi bị triệt tiêu điểm x Ỵ Ar bậc n r j (x ) j Tính chất xấp xỉ Giả sử r Î (0,1ù ú û f Î O (Dr ) , tính chất xấp xỉ tiệm cận sau xảy ra: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 http://www.lrc-tnu.edu.vn 1/ r j æ ỗ lim sup ỗỗ f ỗỗ jđ +Ơ ố ÷ * ÷ åi = hi ( f )hi ÷÷÷ ÷ Ds ø j £ s , " s Î (0,1) r Dáng điệu tiệm cận : lim ( h j jđ +Ơ 1/ r j = s , " s Ỵ (0,1) ) Ds Tính chất đẳng cấu: Nếu r Ỵ (0,1ù ú û {c j }j ³ dãy số phức, ta có: +¥ å c j h j hội tụ O (Dr ) Û lim sup c j 1/ r j jđ + Ơ j=1 Ê r Chứng minh : Trước tiên ý f Ỵ HW , ta có khai triển sau: +Ơ f = (2.30) h jÂ( f ) h j O (D ) j=1 Thật vậy, theo Bổ đề 2.6.1, đồng (2.30) thỏa mãn không gian HW Do f E £ w2ar 2a ò Er f dl 2n £ C (r )2 f nên bao hàm tắc H W ® O (D ) tuyến tính liên tục, (2.30) xảy O (D ) Bây giờ, cố định r Ỵ (0,1) Giả sử E Ð Dr chọn < d < t < s < r cho E Ð Dd Khi theo (2.19) Bổ đề Hartogs cổ điển, tồn số M = M (E , d) > cho: hj r E = sup h j (z ) £ M d j , " j ³ zỴ E Ước lượng kết hợp với ước lượng p j £ qj £ p j + k, " j ³ (2.23) kéo theo: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 http://www.lrc-tnu.edu.vn r (2.31) * j h ( f ) hj E dj £ MC ( t , s ) r j ( ị f dl 2n ) , " f Ỵ O (Dr ), " j ³ Ds t Ước lượng (2.31) với f Ỵ O (Dr ) , chuỗi å h j*( f )h j hội tụ tập compact Dr tới hàm chỉnh hình Dr , mà ta ký hiệu T ( f ) Theo Bổ đề 2.6.2 Định lý Banach - Steinhauss, toán tử tuyến tính T : O (Dr ) ® O (Dr ) liên tục không gian O (Dr ) Theo (2.30) ta có T ( f ) = f f Ỵ HW Vì theo Bổ đề 2.5.1, HW trù mật O (Dr ) , nên ta có: +¥ f = (2.32) å h j* ( f )h j O (Dr ) j=1 Điều chứng minh hệ song trực giao {(h , h )} j * j j³ sở Schauder không gian O (Dr )(0 < r £ 1) Khi tính chất nội suy suy từ (2.32) h j ẻ Hp j ầ Hq^j , " j ẻ Ơ * Chứng minh tính chất Giả sử r Î (0,1) cố định, q Î (0, r ) f Ỵ O (Dr ) Theo chứng minh phần trước ta có (2.32) xảy Chọn d, t , s cho < q < d < t < s < r Khi áp dụng (2.31) với E = Dq , ta được: +¥ k (2.33) f- å h ( f )h j j=1 £ C¢f å £ * j j= k+1 Dq +¥ Ds h j*( f ) h j å Dq r (d / t ) j , " k ẻ Ơ j= k+1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun 48 http://www.lrc-tnu.edu.vn C ¢ số khơng phụ thuộc k Khi từ (2.33) với < q < d < t < r , suy ta có ước lượng sau: 1/ r k ổ ỗ lim sup ỗỗ f kđ + Ơ ỗỗ ố k h j*( f )h j j=1 Dq ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø £ d t Cho d tiến tới q t tiến tới r bất đẳng thức trên, ta ước lượng tính chất định lý Chứng minh tính chất 3: Ước lượng (2.19) Bổ đề 2.6.1 Bổ đề Hartogs kéo theo bất đẳng thức sau: (2.34) lim sup( h j jđ + Ơ Dr ) 1r j £ r , " r Ỵ [0,1] Mặt khác h j*(h j ) = với j ³ , nên từ ước lượng (2.23) Bổ đề 2.6.1 suy < t < r < , ta có : £ C ¢( t , r )t - pj hj Dr , " j ³ 1, điều kéo theo bất đẳng thức sau xảy ra: (2.35) lim inf( h j jđ + Ơ Dr ) 1r j ³ t , " t Ỵ [0, r ] Ước lượng (2.34) (2.35) kéo theo ước lượng tính chất Định lý Chứng minh tính chất 4: Cho {c j }j ³ dãy £ r Ỵ (0,1ù ú û Giả sử chuỗi å c j h j hội tụ O (Dr ) tới f Ỵ O (Dr ) , ta có c j = h j*( f ) với j ³ Như ước lượng cần tìm suy từ (2.11) Phần đảo suy trực tiếp từ ước lượng tính chất Định lý chứng minh W 2.6.4 Hệ Hệ trực chuẩn Bergman {h j } j ³ thỏa mãn ước lượng tiệm cận sau : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 http://www.lrc-tnu.edu.vn G D (z ; j ) = ( lim sup j® + ¥ log h j )*(z ), " z Î D pj Chứng minh: Bất đẳng thức G D (z ; j ) (lim sup jđ + Ơ log h j )*(z ), " z Ỵ D suy pj từ Bổ đề 2.6.1 Ta chứng minh bất đẳng thức ngược lại: G D (z ; j ) Ê (lim sup jđ + Ơ log h j )*(z ), " z Ỵ D pj Giả sử với điểm a Ỵ D bất đẳng thức sau khơng thoả mãn Khi theo tính nửa liên tục trên, tồn hình cầu B (a,2r ) Ð D cho: lim sup( j® + ¥ log h j (z ) ) < log r = G D (a; j ), " z Î B (a, 2r ) pj Theo Bổ đề Hartogs, ta có ước lượng sau : ( lim sup h j (2.36) jđ + Ơ pj B ( a ,r ) ) < r Giả sử f Ỵ O (Dr ) Theo Định lý 2.6.3, khai triển hàm thành chuỗi sau : +¥ (2.37) f = å h j*( f ).h j O (Dr ) j=1 Theo ước lượng (2.23) (2.36), chuỗi tập compact å h j*( f )h j hội tụ Dr È B (a, r ) xác định hàm chỉnh hình thác triển f theo (2.37) Vì B (a, r ) Ë Dr , nên điều mâu thuẫn với Dr miền W chỉnh hình ([Hor]) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Những tính chất quan trọng hàm Green đa phức với cực vô không gian parabolic - Các kết nghiên cứu hàm Green đa phức với cực vô đa tạp đại số hàm Green đa phức với cực logarit đa tạp siêu lồi - Mở rộng vài dạng cổ điển lý thuyết đa vị £ N cho trường hợp đa tạp đại số X £ N Chứng minh vài bất đẳng thức đa thức biết giống bất đẳng thức Bernstein – Markov sử dụng chúng để trình bày phép chứng minh tiêu chuẩn địa phương Sadullaev tính đại số đa tạp giải tích - Áp dụng kết đạt để xấp xỉ hàm chỉnh hình: + Chứng minh định lý Berstein- Walsh xấp xỉ đa thức tốt hàm chỉnh hình tập compact khơng đa cực K đa tạp X sử dụng để nghiên cứu đa thức trực chuẩn + Sử dụng hàm đa phức Green với cực logarit đa trọng đa tạp siêu lồi D để xây dựng hệ trực chuẩn Bergman không gian trọng Bergman Chỉ hệ trực chuẩn cho kết xác phép xấp xỉ nội suy hàm chỉnh hình D Đặc biệt, nhận mở rộng cho trường hợp đa phức kết cổ điển Kadampata Zahariuta Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [Bd] E Bedford ,The (ddc)non complex spaces with singularities, Lecture Notes in Math, Seminaire P.Lelong-H.Skoda 919(1980-81),293-324 [Dm1] J.P Demailly, Mesures de Monge-Ampère et Caractérisation des Varíetés Algébriques Affines, Mémoires de la Sociéte Mathématique de France 19 (1985).1-125 [Dm2] J.P Demailly, Mesures de Monge-Ampère et Mesures Pluriharmomques, Math Zeit 194 (1987), 519-664 [Dm3 ] J.P Demaily, Potential Theory in Several Complex Variables, "JCPAM Summer School on Complex Analysis," Nice France, 1989 [Hor ] L Hormander, Introduction to Complex Analysis in Several Variables North Holland Amsterdam, 1973 [Kl1] M Klimek, Extremal Plurisubharmonic Functions and Invariant Pseudodistances, Bull Soc Math de Fance 113 (1985), 231-240 [Kl2] M Klimek, Pluripotential Theory, Oxford University Press, Londre, 1991 [Ks] C.O Kiselman, Densité des Fonctions Plurisousharmoniques, Bull Soc Math de Fance 107 (1979), 295-304 [Ll] P Lelong, fonction de Green Pluricomplexe et Lemmes de Schwarz daus les Espaces de Banach, J Math Pures et Appl 68 (1989).319-347 [Lv] N.Levenberg, Monge-Ampère Measures Associated to Extrernal Plurisubharnonic Func-tions in Cn, Trans Amer Math Soc 289 (1985),333343 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 http://www.lrc-tnu.edu.vn [Ng] T.V Nguyen, Bases Polynomiales Scmi- simples àe Espace H(K), Lecture Notes in Math 789 (1980), 370-383 [Ng-Zr] T.V Nguyen and A Zeriahi, Familles de Polynomes Presque Partout Bornées, Bull Sci Math em e série vol 179 (1983) 81-91 [Rd] W Rudin, A Gcometric Criteram for Algbraic Varieties, Jour Math Meca 17, (1968).671-683 [Sc1] J Siciak, Extremal Plurisubharmonic Functions and Capacities in £ N Sophia Kokyurokn in Math 14 (1982), 1-97 [Sc2] J Siciak, Families of Polynomials and Determining Measures, Ann Fac Sc de Toulouse IX, (1988), 193-211 [Sd] A Sadullaev, A criterium for the Algebraicity of Analytic Sets, On Holomorphic Functions of Several Complex Variables, Inst Fiz Sibirsk Odtel Akad Nauk SSSR(1976) 107-122 (Russian) [Ste] J.L Stehle, Fonctions Plurisousharmoniques et Convexité Holomorphe de ceriavns Fibrés tques, Lecture Notes in Math Séminaire P Lelong 474(1973/74), 155-179 [Su] Y.T Siu, Analyticily of Sets Associated to Lelong Numbers and the Extension of Closed Positve Currenis, Invent Math 27(1974), 53-156 [Zh] V.P Zahariuta, Spaces of Anakylic Functions and Complex Potential Theory, Linear Topological Spaces and Complex Analysis, Metu-Tubitak (Ankara,Turkey)1 (1994), 1-13 [Zr] A Zeriahi, Functions de Green Pluricomplexc Póle I’ Infini sur un Espace de Stein Parabolique, Math Scand 69 (1991), 89-126 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 http://www.lrc-tnu.edu.vn ... ĐẦU CHƢƠNG HÀM GREEN ĐA PHỨC 1.1 Hàm Green đa phức với cực vô không gian parabolic 1.2 Hàm Green đa phức với cực vô đa tạp đại số 1.3 Các số Lelong hàm đa điều hoà 10 1.4 Hàm Green đa phức với... Zeriahi hàm Green đa phức xấp xỉ hàm chỉnh hình 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu về: - Hàm Green đa phức với cực vô không gian parabolic - Hàm Green đa phức với cực vô đa tạp... Chƣơng HÀM GREEN ĐA PHỨC Trong chương định nghĩa hai dạng hàm Green đa phức trình bày tính chất quan trọng chúng Cụ thể trình bày vài kết hàm Green đa phức không gian Stein hàm Green đa phức đa tạp