Tính chính quy của hàm green đa phức với nhiều cực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––––––––– ĐỖ THỊ LAN HƢƠNG TÍNH CHÍNH QUI CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI NHIỀU CỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN – 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––––––––– ĐỖ THỊ LAN HƢƠNG TÍNH CHÍNH QUI CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI NHIỀU CỰC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN – 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu tham khảo luận văn trung thực Luận văn chưa công bố cơng trình Tác giả Đỗ Thị Lan Hương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin bày tỏ lịng biết ơn Thầy hướng dẫn tận tình, hiệu với kinh nghiệm trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn Xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường THPT Kháng Nhật - Tuyên Quang đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2013 Tác giả Đỗ Thị Lan Hương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii MỤC LỤC Lời cam đoan………………………………………………………………… i Lời cảm ơn………………………………………………………………… ii Mục lục…………………………………………………………………… iii MỞ ĐẦU Chƣơng 1: TÍNH C 1,1 - CHÍNH QUY CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI MỘT CỰC 1.1 Hàm đa điều hoà 1.2 Hàm đa điều hoà cực đại 1.3 Hàm cực trị tương đối 1.4 Tính C 1,1 - qui hàm Green đa phức với cực 11 Chƣơng 2: TÍNH CHÍNH QUY CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI NHIỀU CỰC 16 2.1 Các ước lượng 17 2.2 Các ước lượng Gradient 22 2.3 Các ước lượng đạo hàm cấp hai 25 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hàm Green đa phức đóng vai trị quan trọng lý thuyết vị phức, nhiều nhà tốn học nước quan tâm nghiên cứu như: Siciak, Zaharjuta, Lelong, Klimek, Zeriahi, Dan Coman, đạt nhiều kết sâu sắc hàm Green đa phức xấp xỉ hàm chỉnh hình Đó tổng quát hoá kết Siciak - Zaharjuta £ n trường hợp đại số Một số kết hàm Green đa phức với cực logarit đa tạp siêu lồi, tổng quát hoá hàm Green đa phức với cực hữu hạn, nghiên cứu Lelong, Klimek, Demailly, Zaharjuta, E Amar, P.J Thomas, Dan Coman, Tuy nhiên cấu trúc hàm Green đa phức với nhiều cực cịn biết Ở chúng tơi chọn đề tài ” Tính qui hàm Green đa phức với nhiều cực” Cụ thể, nghiên cứu tính C 1,1 - qui hàm Green đa phức với cực, từ nghiên cứu tính qui hàm Green đa phức với nhiều cực Đề tài có tính thời sự, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết việc nghiên cứu tính qui hàm Green đa phức với cực nhiều cực 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, hàm cực trị tương đối, tính C 1,1 - qui hàm Green đa phức với cực Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - Trình bày số kết Z Blocki năm 2001 tính quy hàm Green đa phức với nhiều cực Phƣơng pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp lý thuyết đa vị phức - Sử dụng phương pháp kết Zbigniew Blocki Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 37 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm đa điều hoà cực đại, hàm cực trị tương đối, tính C 1,1 - qui hàm Green đa phức với cực Chương phần 1.4 chương nội dung luận văn, trình bày kết nghiên cứu tính quy hàm Green đa phức với nhiều cực Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng TÍNH C 1,1 - CHÍNH QUY CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI MỘT CỰC 1.1 Hàm đa điều hoà dƣới 1.1.1 Định nghĩa Cho W tập m ca Ê n v u : Wđ [- Ơ , ¥ ) hàm nửa liên tục khơng trùng với - ¥ thành phần liên thông W Hàm u gọi đa điều hồ với a Ỵ W b Ỵ £ n , hàm l a u(a + l b) điều hoà trùng - ¥ thành phần liên thơng tập hợp {l Ỵ £ : a + l b Ỵ W} Trong trường hợp đó, ta viết u Ỵ P SH (W) (ở P SH (W) lớp hàm đa điều hồ W) Tính đa điều hồ đặc trưng dạng đạo hàm suy rộng (hay theo nghĩa phân bố) Nhắc lại, u Ỵ C2(W), a Ỵ W, b Ỵ £ n L u(a )b, b = D l (u(a + l b) l =0 Ta có định lý sau: 1.1.2 Định lý Giả sử WÐ £ n tập mở u Ỵ P SH (W) Khi với b = (b1, , bn ) Ỵ £ n ta có ¶ 2u bj bk ³ å j ,k = ¶ z j ¶ z k n z Ỵ W theo nghĩa suy rộng, tức với hàm không âm j Ỵ C 0¥ (W) ị u(z )áL j (z )b, bðdl (z ) ³ W Ngược lại, v Î L1loc (W) cho với z Î W, b = (b1, , bn ) Ỵ £ n ¶ 2v åj ,k = ¶ z ¶ z k bj bk ³ j n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.1) http://www.lrc-tnu.edu.vn theo nghĩa suy rộng hàm u = lim(v * c e ) hàm đa điều hoà e® W v hầu khắp nơi W Chứng minh Cho u Ỵ P SH (W) u e = u * c e với e > Lấy hàm không âm j Î C 0¥ (W) véctơ b = (b1, , bn ) Ỵ £ n Định lý hội tụ chặn Lebesgue kết hợp với tích phân phần suy ò u (z )  L j (z )b, b  dl (z ) = lim e® ò u (z )  L j (z )b, b  dl (z ) e W W = lim e® ò L u (z )b, bðj (z ) dl (z )  e W Phần định lý chứng minh Giả sử v Ỵ L1loc (W) (1.1) thoả mãn Đặt v e = v * c e với e > Khi D v ³ W, theo nghĩa suy rộng Theo Định lý 2.5.8 [13], tồn hàm điều hoà u W trùng với v hầu khắp nơi u = lim v e e® Định lý Fubini (1.1) suy ò L v e (z )b, b j (z ) dl (z )  0, W với b Ỵ Ê n , j ẻ C 0Ơ (We ) , j ³ Bởi L v e (z )b, b ³ , với z Ỵ We , b Ỵ £ n , v e Ỵ P SH (We ) Khi v e1 < v e2 e1 < e2 , hàm giới hạn u đa điều hoà 1.1.3 Định lý Cho W tập mở £ n Khi (i ) Họ P SH (W) nón lồi, tức a , b số khơng âm u, v Ỵ P SH (W) , a u + b v Ỵ P SH (W) (ii ) Nếu W liên thông v {u j } jẻ Ơ é P SH (W) dãy giảm, u = lim u j Ỵ P SH (W) hoc u - Ơ jđ ¥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (iii ) Nếu u : Wđ Ă , v nu {u j } jẻ Ơ Ð P SH (W) hội tụ tới u tập compact W, u Ỵ P SH (W) (iv ) Giả sử {u a } A Ð P SH (W) cho bao u = sup u a bị A chặn địa phương Khi hàm qui nửa liên tục u * đa điều hoà W 1.1.4 Hệ Cho W tập mở £ n w tập mở thực sự, khác rỗng W Nếu u Î P SH (W) , v Î P SH (w) , lim sup v( x) £ u( y) với xđ y mi y ẻ ả w ầ W, thỡ hàm ìï max {u, v } w w = ïí ïï u W\ w ïỵ hàm đa điều hoà W 1.1.5 Định lý Cho W tập mở £ n (i ) Cho u, v hàm đa điều hoà W v > Nếu f : ¡ ® ¡ lồi, vf (u / v ) đa điều hoà W (ii ) Cho u Ỵ P SH (W) , v Ỵ P SH (W) , v > W Nếu f : ¡ ® ¡ lồi tăng dần, vf (u / v ) đa điều hồ W (iii ) Cho u, - v Ỵ P SH (W) , u ³ W, v > W Nếu f : [0, ¥ ) đ [0, Ơ ) l li v f (0) = , vf (u / v ) Ỵ P SH (W) 1.1.6 Định lý Cho W tập mở £ n F = {z ẻ W: v(z ) = - Ơ } l tập đóng W v Ỵ P SH (W) Nếu u Ỵ P SH (W\ F ) bị chặn trên, hàm u xác định ìï u (z ) (z Ỵ W\ F ) ïï u (z ) = í lim sup u (y ) (z ẻ F ) ùù y đ z ïïỵ y Ï F Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 tức là, a - pi , b ³ C% a - pi Đặt C%:= , S k f f (z 1, , z k ) := max z i , b bỴ S i hàm liên tục S k Phần lại ta chứng minh f > S k { } Cố định z 1, , z k Ỵ S đặt K i := b Ỵ S b, z i = , i = 1, , k Khi UK i ¹ S , với b Ỵ S \ i UK i ta có i f (z 1, , z k ) ³ z i , b > W i 2.2.3 Định lý Cố định £ d Ê Gi s lim sup zđ ảW g 0,d(z ) dist (z , ¶ W) £ B < ¥ Khi với e thoả mãn Mệnh đề 2.1.1 ta có Đ g e,d(z ) £ C , i z - p i z Ỵ We , C số phụ thuộc vào n , k, R , r , m , M , B Chứng minh Giả sử r > cho - g e,d(z ) £ - g 0,d(z ) £ 2Bdist (z , ¶ W) dist (z , ¶ W) £ r với h đủ nhỏ ta có g e,d(z + h ) - g e,d(z ) £ 2B h dist (z , ¶ W) = h , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 Mệnh đề 2.1.1 z - pi e e, d e £ z - p i £ r , mi log £ g (z ) £ mi log r r ta có e,d e,d g (z + h ) - g (z ) Ê mi log nu z ẻ ả B ( p i , e + h ), z - pi + h e £ mi h, e i = 1, , k Theo nguyên lý so sánh ta nhận M h h £ {r , dist (z , ¶ We )}, e { } g e,d(z + h ) - g e,d(z ) £ max B , Ñ g e,d £ C1 We e (2.7) e Bây cố định a Ỵ W chọn biến Bổ đề 2.2.2 Đặt P (l ) := (l - p11) (l - p1k ) , cho max z - pi P (z ) C3 £ C2 i £ , P (a1) a - p i a - p i i z Ỵ W i Với h đủ bé giả sử ìï ü ï P (z ) WÂÂ:= ùớ z ẻ W z + h ẻ Wùý ùù ùù P (a1 ) ợ ỵ v W¢:= W¢¢\ UB ( pi , e + e¢) , i e ¢ = {e, r - e, dist (a, ¶ We ), r } Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 Đặt ỉ P (z ) C4 12 ữ v(z ) := g e,d ỗỗz + hữ + z p - R2 h , ÷ i ÷ a - p ỗố P (a1) ứ ( ) i cho C đủ lớn P ¢(z 1) C4 Mv ³ + h1 d + h ³ d P (a1) a - p i i Vi z ẻ ả W ta cú v(z ) - g e,d(z ) £ 2Bdist (z , ¶ W) £ 2B C3 h, a - p i i i vi z ẻ ả B ( p , e + e¢) ta có v (z ) - g e ( z ) £ C P (z ) e + e¢ C5 h £ C 1C £ h i e P (a1 ) e a - p a - p i i i Do đó, theo nguyên lý so sánh ta g e (a + h ) - g e (a ) £ C6 h a - p i i a - pi h £ e¢ i , C3 định lý chứng minh W 2.3 Các ƣớc lƣợng đạo hàm cấp hai Mục đích ước lượng Ñ 2g e,d e, d nhỏ Trước hết, ta cần ước lượng ¶ We Sử dụng phương pháp [8] (xem thêm [12]), ta chứng minh hai định lý sau áp dụng chúng để chứng minh tính qui hàm Green đa phức với nhiều cực (Định lý 2.3.3) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 2.3.1 Định lý Cho W miền giả lồi chặt, bị chặn £ n y C ¥ - hàm xác định đa điều hoà W Giả sử dd c y ³ dd c z tồn số dương A , a cho y , Ñ y , Ñ 2y , Ñ 3y £ A W, Đ y ³ a ¶ W { } Với r > ký hiệu U = z ẻ Ê n dist (z , ả W) < r Gi s u ẻ P SH (WầU ) Ç C ¥ (WÇU ) cho u = ¶ W u < , Mu = d WÇ U , < d £ d0 Giả thiết có số dương b, B cho Ñ u ³ b trờn ả W ẹ u Ê B trờn Wầ U Khi tồn số C = C (n , r , a, A, b, B , d0 ) cho Đ 2u £ C ¶ W Chng minh Nu z ẻ ả W thỡ ta ký hiệu chuẩn ngồi ¶ W z N z Với z Ỵ W ta có ¶ N y (z ) = z0 Đ y (z ), Ñ y (z ) Ñ y (z ) ³ Ñ y (z ) - A z - z , r cho Từ đó, tồn số dương a%% ¶ N y (z ) a%, z ẻ ả W, z ẻ Wầ B (z 0, r%) z0 C nh z ẻ ả W Ta cú th gi thiết N z = (0, , 0,1) cho ¶ N z = ¶ / ¶ x n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 ¥ ¥ Vì y u C - hàm xác định W, nên tồn C - hàm v xác định lân cận ¶ W, cho u = vy v > WÇ U Do đó, t , s Ỵ {x1, y1, , x n - 1, yn - 1, yn }, uts (z ) = u x n (z )y ts (z ) (2.8) y x n (z ) uts (z ) £ C (2.9) utx n (z ) £ C (2.10) Bây giả sử Ta ước lượng u x n x n (z ) Ta có u x n x n = 4unn - uyn yn Theo (2.8), (2.9), (2.10) dd c y ³ dd c z , nên ta có n- ỉa ÷ d0 ³ d = det (uij (z )) ³ unn (z ) ỗỗ ữ - C ốA ứ Phn cịn lại ta chứng minh (2.10) Với z Ỵ W ta có y x n (z ) = Re Đ y (z ), Ñ y (z ) Ñ y (z ) ³ Ñ y (z ) - A z - z ³ a - A z - z Trên WÇ B (z 0, r%) xác định T := ut - yt ux y xn n cho T = trờn ả Wầ B (z 0, r%) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.11) http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Ta có T xn (z ) = utxn (z ) - y txn (z ) y x n (z ) u x n (z ) cần chứng minh T x n (z ) £ C Đặt f := y t / y xn , Đ f , Đ f £ C WÇB (z 0, r%) (2.12) Vì det (u i j ) số, nên ij ij u ui j t = u ui j x = n ij (trong ký hiệu (u ) ma trận nghịch đảo ma trận chuyển vị (ui j ) ) Từ đó, ta có ij ij ij ij ij u T i j = - u x n u fi j - Re u u ix n f j = - u x n u fij - 2fx n - Im u u iyn f j Vì ij ij u (uy2n )i j = 2u u iyn u j y n nên từ bất đẳng thức Schwarz (2.12) suy ổ ij ij ii ỗ ÷ u (± T + u yn )i j ³ mu x n u fi j m fx n - u fi f j - C ỗỗồ u + 1ữ ữ ữ ỗố i ứ ij Trên ¶ W ta có uyn = uxn y yn / y xn , theo (2.11) ta có ±T + 2 uyn £ C z - z , z ẻ ả WÇ B (z 0, r%) Hơn nữa, ±T + uy £ C WÇ B (z 0, r%) n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Từ w = ± T + 2 uyn - C z - z , C đủ lớn, w £ trờn ả (Wầ B (z 0, r%)) v ổ ij ii ÷ u wi j ³ - C 10 çççå u + 1÷ ÷ ÷ çè i ø Do đó, C 11 C 12 đủ lớn, w + C 11y + C 12u £ trờn ả (Wầ B (z 0, r%)) v u ij (w + C 11y + C 12u )ij ³ WÇ B (z 0, r%) Theo nguyên lý cực đại ta có w + C 11y + C 12u £ WÇ B (z 0, r%) Suy T x n (z ) £ C 11A + C 12B W { } 2.3.2 Định lý Cố định a > giả sử W= z Ỵ £ n < z < a Gi s u ẻ P SH (W) ầ C Ơ (W) cho u = ¶ B1 ( B a = B (0, a ) ), u > , Mu = d > W Hơn nữa, giả sử có số dương b , b, B cho u ³ b ¶ B a , Đ u ³ b ¶ B1 Đ u £ B W Khi tồn số dương d0 = d0(n , a , b ) C = C (n , a , b , b, B ) cho < d £ d0 , ta có Đ 2u £ C ¶ B1 Chứng minh Đặt y (z ) = l ( z - 1) , l = b / (a - 1), cho y £ u W với d đủ nhỏ Bây c nh z ẻ ả B1 , ta cú thể giả sử z = (0, , 0,1) tốn quy ước lượng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 utx n (z ) £ C Tương tự ta nhận w = ± T + 2 uyn - C z - z , C đủ lớn, ỉ ij ii ÷ u wi j - C ỗỗỗồ u + 1ữ Wầ B (z 0,1), ữ ữ ỗố i ứ v w Ê trờn ả (Wầ B (z 0,1)) Theo bt đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ta có ij u (y - u )i j ³ l å u ii - n³ i ỉ l l l ổ ii ỗỗ u i i + 1ữ ữ ỗ ữ u + n , ữ ồ ữ ỗố 1/ n ữ ữ ứ i ỗỗố i 2d ứ vi d nhỏ Như ij u (w + C 4(y - u ))i j ³ WÇ B (z 0,1) C đủ lớn Theo nguyên lý cực đại ta có T x n (z ) £ C 4B W 2.3.3 Định lý Giả sử W C 2,1 trơn giả lồi chặt Khi g Î C 1,1(W\ {p1, , pk }), Ñ 2g(z ) £ C i z - p i , z Ỵ W\ {p1, , p k } C số phụ thuộc vào W, p1, , pk , m1, , mk Chứng minh Giả sử y C 2,1 - hàm xác định W dd c y ³ dd c z W, y , Ñ y , Ñ 2y , Đ 3y £ A W, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Đ y > a ¶ W, với số dương a A Ta tìm r%> cho với z Ỵ ¶ W tồn hình cầu B (z1, 2r%) , chứa W tiếp xúc với ¶ W z Khi z - z1 g log r%£ z - z1 £ 2r%, log 2r% g(z ) £ - g= max g(z ) dist ( z , ¶ W)³ r% Bởi ta tìm b với lim inf z® ¶W Giả sử y j = y * r 1/ j g(z ) > b > dist (z , ¶ W) quy hóa tiêu chuẩn y giả sử Wj = {y j < 0} Nếu j đủ lớn, số A , a b y j Wj Vì vậy, ta giả thiết y C ¥ - hàm, suy số Định lý 2.3.3 phụ thuộc vào n , k , r , R , m , M , A , a b Theo Mệnh đề 2.1.3, g e,d ẻ C Ơ (We ) nu < e < r0, < d £ Với số dương e d đủ bé ta có C1 Ñ 2g e,d(z ) £ z - p i , z Ỵ We i Vì Đ g e,d ³ b ¶ W, nên theo Định lý 2.2.3 Định lý 2.3.1 ta có Đ 2g e,d £ C ¶ W (2.13) Với w ³ cố định i = 1, , k , đặt e u (w ) := g e,d( pi + ew) - mi log r Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Theo (2.2) (2.4) ta có u (w ) ³ mi log w - C Như vậy, a đủ lớn mà b := m log a - C > , với e đủ bé ta có u ³ b ¶ B a Hơn nữa, g e,d ³ - C ¶ B ( pi , r ) Vì theo nguyên lý so sánh, với e đủ bé ta có z - pi mi m e log + i log + z - pi - e2 £ g e,d(z ) r r e £ z - p i £ r Do Đ g e,d ³ Đ u ³ mi 2e ¶ B ( pi , e) , mi ¶ B1 Từ Định lý 2.3.2 suy với d đủ bé Đ 2u £ C ¶ B1 , suy Ñ 2g e,d £ C5 i ¶ B ( p , e) e (2.14) Phần lại chứng minh thực theo phương pháp Blocki [6] k e,d chứng minh Định lý 2.2.3 Cố định a Ỵ W\ {p , , p } Vì g đa điều hồ nên suy Ñ 2g e,d(a ) = lim sup h® Giả sử P g e,d(a + h ) + g e,d(a - h ) - 2g e,d(a ) h2 (2.15) chứng minh Định lý 2.2.3 giả sử W¢¢Ð W¢Ð W, e¢> Với z ẻ WÂ\ UB ( pi , e + e ¢) h đủ bé, ta đặt i æ P (z ) ÷ D(z , h ) := g e,d ỗỗz + hữ ữ ỗố P (a1) ữ ø Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 v(z , h ) = D(z , h ) + D (z , - h ) + C6 P (a1) ( ) z - p1 - R h , cho D(z , 0) = g e,d(z ) , D(a, h ) = g e,d(a + h ) , v đa điều hoà z e,d e,d v(a, h ) ³ g (a + h ) + g (a - h ) - C 6R P (a1) h2 (2.16) Nếu C đủ lớn h đủ bé, 1/ n (Mv(×, h )) 2/ n 2/ n ổ ữ ỗỗ P Â(z 1) P Â(z 1) ữ ỗ1 + h1 + 1h1 d1/ n ữ ữ ỗỗ ữ P (a1) P (a1) è ø + C6 P (a1) h ³ (2d)1/ n Khai triển Taylor D(z, ×) quanh gốc ta v(z , h ) £ D (z , h ) + D (z , - h ) £ 2g e,d(z ) + Đ 2(D(z , ×)) B (0, h ) h Vì Đ 2(D (z , ×))(h%) = ỉ P (z ) % ữ ẹ 2g e,d ỗỗỗz + hữ , ữ ữ ỗ P ( a ) ố ứ P (a1) P (z ) nên ta nhận v(z , h ) £ 2g e,d(z ) + C Âh , z ẻ ả W v(z , h ) £ 2g e,d(z ) + C i ¢ h , z ẻ ả B ( p i , e + e ¢) , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 C ¢= C Ci¢= C Đ 2g e,d W\ W¢¢ , P (a1) (e + e¢) ẹ 2g e,d B ( pi ,e+ 2e Â)ầWe P (a1) với h đủ bé Bây áp dụng nguyên lý so sánh cho v 2g e,d , ta nhận { } v(a, h ) £ 2g e,d(a ) + max C ¢,C 1¢, ,C k ¢ h Theo (2.15) (2.16) ta có C 6R ¢ ¢ Đ g (a ) £ max C ¢,C , , C k + P (a1 ) e, d { } Nếu cho W¢¢- W, e ¢¯ , sử dụng (2.13), (2.14), ta nhận ước lượng cần chứng minh W Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm đa điều hoà cực đại, hàm cực trị tương đối, tính C 1,1 - qui hàm Green đa phức với cực - Một số kết Z Blocki năm 2001 tính quy hàm Green đa phức với nhiều cực Cụ thể chứng minh kết sau đây: Giả sử W miền C ¥ giả lồi chặt £ n giả sử g hàm Green đa phức W với cực z Ỵ W Khi g C 1,1 W\ {z } (tức là, g C 1,1 W\ {z } đạo hàm cấp hai g bị chặn gần ¶ W) Giả sử W miền siêu lồi bị chặn £ n giả sử g hàm Green W với cực z Î W Khi g Î C 0,1(W\ {z }) tồn y Ỵ PSH (W) cho - Cdist (z , ¶ W) £ y (z ) < 0, z Ỵ W với C > Giả thiết W C 2,1 trơn giả lồi chặt Khi g Ỵ C 1,1(W\ {p1, , pk }), Ñ 2g(z ) £ C i z - p i , z Ỵ W\ {p1, , p k } C số phụ thuộc vào W, p1, , pk , m1, , mk Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO I Tiếng Việt: [1] Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải, Cơ sở lí thuyết đa vị, NXB Đại học sư phạm Hà Nội, (2009) II Tiếng Anh: [2] E Bedford, B.A Taylor, The Dirichlet problem for a complex MongeAmpere equation, Invent Math 37 (1976), 1-44 [3] E Bedford, B.A Taylor, A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta Math 149 (1982),1-41 [4] Z Blocki, The complex Monge-Ampere operator in hyperconvex domains, Ann Scuola Norm Sup Pisa 23 (1996), 721-747 [5] Z Blocki, Equlibrium measure of a product subset of £ n , Proc Amer Math Soc (to appear) [6] Z Blocki, The C 1,1 regularity of the pluricomplex Green function, Michigan Math J 47(2000), 211-215 [7] Z Blocki, Regularity of the pluricomplex Green function with several poles, Indiana Univ Math Jou Vol.50, No.1(2001), 336-351 [8] L Caffarelli, J.J Kohn, L Nirenberg, J Spruck, The Dirichlet problem for non-linear second order elliptic equations II: Complex Monge-Ampere, and uniformly elliptic equations, Comm.Pure Appl.Math 38 (1985), 209-252 [9] D Coman, The pluricomplex Green function with two poles of the unit ball of £ n , Pacific Jour of Math 194, No (2000), 257-283 [10] J.P Demailly, Mesures de Monge-Ampere et mesures plurisousharmoniques, Math Z.194 (1987), 519-564 [11] A Edigarian and W Zwonek, Invariance of the pluricomplex Green function under proper mappings with applications, Complex Variables Theory Appl 35 (1998), 367-380 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 [12] B Guan, The Dirichlet problem for complex Monge-Ampere equations and regularity of the pluri-complex Green function, Comm Anal Geom (1998), 687-703 [13] M Klimek, Pluripotential theory, Clarendon Press, Oxford, 1991 [14] P Lelong, Fonction de Green pluricomplexe et lemmes de Schwarz dans les espaces de Banach, J Math Pures Appl 68 (1989), 319-347 [15] W Rudin, Function theory in the unit ball of £ n , Grundlehren Math Wiss., 241, Springer-Verlag, New York, 1980 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... trúc hàm Green đa phức với nhiều cực cịn biết Ở chúng tơi chọn đề tài ” Tính qui hàm Green đa phức với nhiều cực? ?? Cụ thể, nghiên cứu tính C 1,1 - qui hàm Green đa phức với cực, từ nghiên cứu tính. .. kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, hàm cực trị tương đối, tính C 1,1 - qui hàm Green đa phức với cực - Một số kết Z Blocki năm 2001 tính quy hàm Green đa phức với nhiều. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Chƣơng TÍNH CHÍNH QUY CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI NHIỀU CỰC Trong chương ta chứng minh W miền C 2,1 trơn, giả lồi chặt £ n , hàm Green đa phức W với nhiều cực cố định trọng số dương