Tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình monge ampere

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––––––––– ĐẶNG HIỀN THƢƠNG TÍNH CHÍNH QUI CỦA NGHIỆM TỔNG QT CỦA PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà 1.2 Hàm đa điều hoà cực đại 1.3 Toán tử Monge-Ampère phức…………………………………… …9 1.4 Bài toán Dirichlet toán tử Monge-Ampere 18 Chƣơng 2: TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE 34 2.1 Giới thiệu 35 2.2 Sự tồn nghiệm tổng quát 37 2.3 Đánh giá đạo hàm cấp hai 39 2.4 Tính C 1,1 - qui nghiệm tổng quát 43 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Với hàm lồi tùy ý u xét độ đo Borel không âm M (u ) cho M (u ) = det D 2udl 2,n Đối với hàm trơn hàm W loc Bài toán Dirichlet M giải trường hợp tổng quát: Cho W miền lồi tùy ý ¡ n j Ỵ C (¶ W) cho lồi cung tùy ý ¶ W (Ta gọi hàm j chấp nhận được) Khi với độ đo Borel khơng âm tùy ý m mà m(W) < ¥ bi toỏn Dirichlet ớù u ẻ CV X (W) ầ C (W) ïï ïì M (u ) = m t rong W ùù ùù u = j ùợ ả W (*) Có nghiệm ( Điều J Rauch B.A Taylor chứng minh năm 1977 miền W lồi chặt, hàm liên tục j chấp nhận được) Chúng ta xét độ đo m với y liên tục không âm, trù mật W Ở u ký hiệu nghiệm (*) (với m = y d l ), v nghiệm toán tương ứng: ớù v ẻ CV X (W) ầ C (W) ùù ï M (v ) = t rong W ì ùù ùù v = j ùợ ả W Cỏc kt qui nghiệm (*) số tác giả nghiên cứu, cụ thể sau: Cheng, Yau (năm 1977, 1982), Trudinger, Urbas (năm 1983), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Krylov (năm 1984), Caffarelli, Nirenberg Spruck (năm 1984), Guan, Trudinger and Wang năm 1999 Theo hướng nghiên cứu trên, chúng tơi chọn đề tài ”Tính qui nghiệm tổng quát phương trình Monge-Ampere” Cụ thể, chúng tơi nghiên cứu tính C1,1-chính qui nghiệm tổng quát phương trình MongeAmpere det D 2u = y , y ³ , miền lồi bị chặn W ¡ n với u = j ¶ W Trong trường hợp riêng, chứng minh u Ỵ C 1,1(W) i ) j = y 1/ (n - 1) Ỵ C 1,1(W) ii ) W C1,1 lồi mạnh, j Ỵ C 1,1(W), y 1/ (n - 1) Ỵ C 1,1(W) y > U Ç W, U lân cận ¶ W Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết việc nghiên cứu tính quy nghiệm tổng quát phương trình MongeAmpère 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, toán tử Monge-Ampère toán Dirichlet cổ điển tốn tử Monge-Ampere - Trình bày số kết Z.Blocki năm 2003 tính quy nghiệm tổng quát phương trình Monge-Ampère Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phƣơng pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp lý thuyết vị phức - Sử dụng phương pháp kết Zbigniew Blocki Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 50 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, toán tử Monge-Ampère toán Dirichlet cổ điển toán tử Monge-Ampere Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày kết nghiên cứu tính quy nghiệm tổng quát phương trình Monge-Ampère Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phm Hin Bng, nhõn dp ny xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy h-ớng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin cm n Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường THPT Dương Tự Minh Thái Nguyên đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Tác giả Đặng Hiền Thương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dƣới 1.1.1 Định nghĩa Cho W tập mở £ n v u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l hàm nửa liên tục không trùng với - ¥ thành phần liên thơng W Hàm u gọi đa điều hoà với a Ỵ W b Ỵ £ n , hàm l a u(a + l b) điều hồ trùng - ¥ thành phần tập hợp {l Ỵ £ : a + l b Ỵ W} Trong trường hợp này, ta viết u Ỵ P SH (W) (ở P SH (W) lớp hàm đa điều hoà W) Tính đa điều hồ đặc trưng dạng đạo hàm suy rộng Nhắc lại, u Ỵ C2(W), a Ỵ W, b Ỵ £ n L u(a )b, b = D l (u(a + l b) l =0 Ta có định lý sau: 1.1.2 Định lý Nếu WÐ £ n mở u Ỵ P SH (W)  với ¶ 2u bj bk ³ W, theo nghĩa đạo hàm b = (b1, , bn ) Î £ , å j ,k = ¶ z j ¶ z k n n suy rộng, tức ò u(z )áL j (z )b, bðdl (z ) ³ 0, vi hm khụng õm j ẻ C 0Ơ (W) W tùy ý Ngược lại, v Ỵ L1loc (W) cho ¶ 2v bj bk ³ W b = (b1, , bn ) Ỵ £ , å ¶ z ¶ z k j ,k = j với z Ỵ W, n n (1.1) theo nghĩa suy rộng, hàm u = lim(v * c e ) xác định tốt, đa điều hồ e® W, v hầu khắp nơi W Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Cho u Î P SH (W) u e = u * c e với e > Lấy hàm khụng õm j ẻ C 0Ơ (W) v mt vộc tơ b = (b1, , bn ) Ỵ £ n Định lý hội tụ trội Lebesgue kết hợp với tích phân phần suy ị u (z )  L j (z )b, b  dl (z ) = lim e® ị u (z )  L j (z )b, b  dl (z ) e W W = lim e® ị L u (z )b, bðj (z ) dl (z )  e W Phần định lý chứng minh Giả sử v Ỵ L1loc (W) (1.1) thoả mãn Đặt v e = v * c e với e > Khi D v ³ W, theo nghĩa suy rộng Do [11], Định lý 2.5.8, tồn hàm điều hoà u W trùng với v hầu khắp nơi u = lim v e Định lý Fubini (1.1) suy e® ị L v e (z )b, b j (z ) dl (z )  0, W với b Ỵ £ n , j Ỵ C 0¥ (We ) , j ³ Bởi L v e (z )b, b ³ , với z Ỵ We , b Ỵ £ n , v e Ỵ P SH (We ) Khi v e1 < v e2 e1 < e2 , hàm giới hạn u đa điều hoà 1.1.3 Định lý Cho W tập mở £ n Khi (i ) Họ P SH (W) nón lồi, tức a , b số không âm u, v Ỵ P SH (W) , a u + b v Ỵ P SH (W) (ii ) Nếu W l liờn thụng v {u } j jẻ Ơ Ð P SH (W) dãy giảm, u = lim u j Ỵ P SH (W) u º - Ơ jđ Ơ S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (iii ) Nếu u : W® ¡ , {u j } Ð P SH (W) hội tụ tới u trờn cỏc jẻ Ơ compact ca W, u Ỵ P SH (W) (iv ) Giả sử {u a } A Ð P SH (W) cho bao u = sup u a bị A chặn địa phương Khi hàm qui nửa liên tục u * đa điều hoà W 1.1.4 Hệ Cho W tập mở £ n w tập mở thực khác rỗng W Nếu u Ỵ P SH (W) , v Î P SH (w) , lim v (x ) Ê u (y ) xđ y vi mi y ẻ ¶ w Ç W, cơng thức íï max {u, v } w w = ïì ïï u W\ w ïỵ xác định hàm đa điều hồ W 1.1.5 Định lý Cho W tập mở £ n (i ) Cho u, v hàm đa điều hoà W v > Nếu f : ¡ ® ¡ lồi, vf (u / v ) đa điều hoà W (ii ) Cho u Î P SH (W) , v Î P SH (W) , v > W Nếu f : ¡ ® ¡ lồi tăng dần, vf (u / v ) đa điều hoà W (iii ) Cho u, - v Ỵ P SH (W) , u ³ W, v > W Nu f : [0, Ơ ) đ [0, ¥ ) lồi f (0) = , vf (u / v ) Ỵ P SH (W) 1.1.6 Định lý Cho W tập mở £ n F = {z Ỵ W: v(z ) = - ¥ } Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tập đóng W v Ỵ P SH (W) Nếu u Ỵ P SH (W\ F ) bị chặn trên, hàm u xác định íï u (z ) (z Ỵ W\ F ) ïï u (z ) = ì lim sup u (y ) (z Ỵ F ) ïï y ® z ïỵ y Ï F đa điều hồ W Nếu u đa điều hoà bị chặn W\ F , u đa điều hồ W Nếu W liên thơng, W\ F liên thơng 1.2 Hàm đa điều hồ dƣới cực đại 1.2.1 Định nghĩa Cho W tập mở £ n u : W® ¡ hàm đa điều hồ Ta nói u cực đại với tập mở compact tương đối G W, với hàm nửa liên tục v G cho v Î P SH (G ) v £ u ¶ G , có v £ u G Ký hiệu M P SH (W) họ tất hàm đa điều hoà cực đại W Sau ta xem xét số tính chất tương đương tính cực đại 1.2.2 Mệnh đề Cho WÐ £ n mở u : W® ¡ hàm đa điều hồ Khi điều kiện sau tương đương: (i ) Với tập mở compact tương đối G W v Ỵ P SH (W) , lim sup(u (z ) - v(z )) ³ , với x Ỵ ¶ G , u ³ v G ; zđ x (ii ) Nu v ẻ P SH (W) với e > tồn tập compact K Ð W cho u - v ³ - e W\ K , u ³ v W; (iii ) Nếu v Ỵ P SH (W) , G tập mở compact tương đối W, u ³ v ¶ G u ³ v G; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn b) Giả sử W miền C 1,1 lồi mạnh, y Ỵ C 1,1(W) y 1/ (n - 1) Ỵ C 1,1(W) Hơn nữa, giả sử thành phần liên thơng tập hợp {y = 0}Ç W compac Khi u Ỵ C 1,1(W) (Định lý 2.4.2, mục 2.4) Chú ý Định lý 2.4.1 W miền lồi bị chặn tùy ý ¡ n Theo (7), Định lý 2.4.1 tổng quát hóa (1) Chúng ta nhận trực tiếp kết sau tính quy địa phương mà tổng quát hóa (6): c) Nếu u lồi ngặt y 1/ (n - 1) Ỵ C 1,1(W) u Ỵ C 1,1 2.2 Sự tồn nghiệm tổng quát Trong phần này, việc tổng quát hóa nghiệm tốn Dirichlet [13, (1.1)] từ miền lồi chặt đến miền lồi tùy ý 2.2.1 Định nghĩa Một miền lồi W(tương ứng hàm lồi u ) gọi lồi chặt ¶ W (tương ứng, đồ thị u ) không chứa đoạn thẳng 2.2.2 Định nghĩa Một hàm lồi v W gọi cực đại với D Ð W tùy ý u liên tục D , lồi D , ta có u £ v ¶ D kéo theo u £ v D (Điều kiện tương đương với M (v ) = (xem [13])) 2.2.3 Định nghĩa Một hàm u gọi lồi mạnh tồn địa phương l > cho u - l x lồi Miền bị chặn W gọi lồi mạnh tồn w hàm lồi mạnh lân cận W cho W= {w < 0} Dw ¹ gần ¶ W (tức tồn e > cho với siêu phẳng tựa H = graphL tùy ý w điểm gần ¶ W, ta có Đ L ³ e ) 2.2.4 Định nghĩa Một miền gọi C k ,a lồi mạnh tìm thấy C k ,a hàm xác định w 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nếu viết f Ỵ C k ,1(W) có nghĩa f Î C k ,1(W) D k + f hồn tồn bị chặn W Khi k+1 f C k ,1 (W) = å sup D i f i= W giá trị f ¶ W xác định Ký hiệu B (x , r ) hình cầu đóng tâm x với bán kính r éêëx , y ùûú đoạn thẳng nối x y 2.2.5 Mệnh đề Giả sử W miền lồi bị chặn tùy ý ¡ n Giả sử j Ỵ C (¶ W) chấp nhận (có nghĩa j lồi đoạn thẳng ¶ W ) m độ đo Borel khơng âm W với m(W) < ¥ Khi đó, tốn (2.1) có nghiệm Chứng minh Tính suy từ nguyên lý so sánh (xem [13]) Nếu W lồi chặt chứng minh tìm [13] Chúng ta sử dụng điều kết khác [13] vào việc chứng minh Trước hết, giải toán (2.2) cách sử dụng phương pháp Perron Định nghĩa: v = sup { w lồi liên tục W, w £ j ¶ W} Khi v lồi W ta phải v thác triển liên tục tới ¶ W j Cố định x ẻ ả W v e > Vỡ j lồi đoạn thẳng chứa ¶ W qua x , nên ta tìm hàm affine L cho L (x ) ³ j (x ) - e L £ j ¶ W Giả sử h nghiệm toán Dirichlet cổ điển h liên tục W h điều hòa W 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn h = j ¶ W Khi ta có L £ v £ h W j (x ) - e £ lim inf v(x ) £ lim sup v(x ) £ j (x ) x ® x0 x ® x0 Từ suy v liên tục W v = j ¶ W Định nghĩa v kéo theo v cực đại M (v ) = Điều giải toán (2.2) Tiếp theo, giải (2.1) với j = Giả sử Wj miền lồi cht cho Wj - W j đ Ơ Giả sử u j lồi liên tục Wj cho M (u j ) = m t rong Wj u j = t rên ¶ Wj Theo nguyên lý so sánh, dãy u j giảm Hơn nữa, theo [13, Bổ đề 3.5] ta có ( n ) n- - u j (x ) £ cn (diam W) dist (x , ¶ W)m(W), x Ỵ Wj , (2.3) cn số phụ thuộc vào n Điều kéo theo u j hội tụ địa phương W tới hàm lồi u% Bất dẳng thức (2.3) kéo theo lim u%(x ) = xđ ảW Theo Định lý liên tục M ([13, Mệnh đề 3.1]) ta có M (u%) = m W Điều giải toán (2.1) với j = Bây giờ, giả sử m j tùy ý Một lần nữa, xấp xỉ W miền lồi chặt Wj từ bên Ở tìm u j¢ lồi liên tục Wj cho M (u j¢) = m Wj v u jjÂ' = v trờn ả Wj T [13, Mệnh đề 3.3] cho ta M (u%+ v ) ³ m theo nguyên lý so sánh ta có: u%+ v £ u j¢+ £ u j¢ £ v t rong Wj Từ suy u j¢ giảm tới hàm u , lời giải (2.1) 2.3 Đánh giá đạo hàm cấp hai 2.3.1 Định lý Giả sử u Ỵ C (W) Ç C 1,1 (W) nghiệm lồi mạnh 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn det D 2u = y (2.4) miền bị chặn WÐ ¡ n Giả sử w C - hàm lồi W cho u £ w W lim (w(x ) - u(x )) = Khi ú, vi a tha xđ ảW íï = n - a ïì ïï > î n ³ 3, n = 2, ta có a (w - u ) D 2u £ C W, C phụ thuộc vào n (vào a n = ) cận diamW, y 1/ (n - 1) C 1,1(W) w - u C 0,1 (W) Chứng minh Ta giả sử WÐ B (0, R ), R £ diamW Ta sử dụng ký hiệu tiêu u i = ¶ u / ¶ x i , (u ij ) = D 2u chuẩn: - (u ij ) = (D 2u ) Trước hết, lấy đạo hàm logarit hai vế (2.4) hai lần theo x p Ta có: u ij u pij = (log y ) (2.5) p u ij u ppij = (log y ) + u ik u jlu pij u pkl pp (2.6) Xét hàm a h = (w - u ) e bx / D 2u , b > rõ sau Theo giả thiết u w , h đạt cực đại y Ỵ W Vì D 2u giá trị riêng cực đại D 2u sau biến đổi trực giao biến nên ta giả sử y ma trận D 2u ma trận đường chéo D 2u = u 11 Khi hàm 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a bx / h%= (w - u ) e u 11 đạt cực đại y h%(y ) = h(y ) Theo giả thiết định lý ta thấy Định lý chứng minh ta u 11(y ) £ C , (2.7), C 1,C ,… số phụ thuộc vào số lượng đòi hỏi Thật vậy, từ tất công thức giả sử xảy y Giả sử u < w Ta có D (log h%) = D (log h%) £ Do wi - u i u + bx i + 11i w- u u 11 = (log h%) = a i (2.8) với i = 1, , n u ii (log h%) £ ii Bây giờ, ta phân tích số hạng đạo hàm cấp ba cấp bốn u xuất Sử dụng (2.5), (2.6), (2.8) kí hiệu g = y 1/ ( n - 1) ta có u ii (log u 11 ) ii = u 11 = ³ u 11ii u ii (u11 ) å i (log y ) 11 u 11 (log y ) 11 u 11 (u ) å 11i u ii i (u ) + u 11 å + u 11 (u ) å (u ) i,j 1ij u iiu jj - (u ) å i 11 1ii i³ (u ) 11i u ii + ii (u ) 11 å i³ (u ) 11i u ii 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ỉ u 111 1 ữ ỗ ữ + + ỗỗ(log y )1 ữ ữ u 11 ứ (n - 1)u11 ỗố (u11 ) ³ 11 u 11 11 gu 11 (n - 1)g 11 = gu 11 å i³ (u ) 11i u ii (n - 1)g ³ 2 (log y ) 2g1u 111 - g (u 11 ) + (u ) å i³ 11 (u ) 11i u ii 2g1 ỉ w1 - u ỗ ữ + + bx ữ + ỗỗa ữ ữ gu 11 ỗố w - u ứ 1ổ ỗỗa wi - u i + bx ữ ữ iữ ữ u ii ốỗỗ w - u ứ å i³ Như ta ³ u ii (log h%) ii = a w- u å i wii an a u ii w - u (w - u )2 an ³ w- u a (w1 - u ) (w å i u ii i (n - 1)g + 11 gu (w - u ) u ổ ỗỗa (a - 1)(w - u ) ỗ + u ỗỗỗ (w - u ) è 11 11 + bå i u ii i i³ ii ³ - an w- u i a (w1 - u ) (w - u ) u 11 + - ui ) (n - 1)g 11 gu 11 + bå i + u ii (log u 11 ) ii u ii ö 2g1 ổ w1 - u ỗ ữ + + bx ữ ỗỗa ữ ữ gu 11 ỗố w - u ø ÷ 2a b (wi - u i )x i 2÷ + + b xi ÷ ÷ ÷ w- u ÷ ÷ ø + ö 2g11 ổ ỗỗa w1 - u + bx ữ ữ 1ữ ữ gu 11 ỗỗố w - u ứ ổ b2R ữ ữ + ỗỗb çè ÷ a - 1÷ ø i ³ u ii Vì lựa chọn tối ưu cho b b = a- Nhân hai vế 2R bất đẳng thức thu với n 4R (w - u ) gu 11 (a - 1)(n - 1) 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ý bất đẳng thức trung bình số trung bình hình học cho ta 1/ ( n - 1) å i³ (n - 1)(u ) ³ u ii 11 g , ta nhận n / ( n - 1) ((w - u ) u ) n- 11 n- - C (w - u ) u 11 - C £ Từ dễ dàng suy (2.7) Chú ý rằng, Định lý 2.3.1 thay y 1/ ( n - 1) y 1/ ( n - 1) C 0,1 (W) C 1,1 (W) với giá trị riêng cực đại - D (y 1/ ( n - 1) ) W 2.4 Tính C 1,1 - qui nghiệm tổng quát Trước tiên ta chứng minh: 2.4.1 Định lý Nếu j = y 1/ ( n - 1) Ỵ C 1,1 (W) u Ỵ C 1,1 (W) Chứng minh Ta giả sử y Ỵ C 1,1 (W)- khơng thu nhỏ W chút Cố định e > Giả sử Wj dãy miền C ¥ - lồi mnh cho Wj - W j đ Ơ Ta cú th tỡm y j ẻ C Ơ (Wj ) cho y j > 0, y j hội tụ đến y W y 1/j ( n - 1) ( ) C 1,1 Wj £ C1 (ký hiệu C 1,C ,…là số khơng phụ thuộc vào j ) Theo (4) tỡm u j ẻ C Ơ (Wj ), li Wj cho det D 2u j = y j Wj u j = ¶ Wj 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lấy A đủ lớn để h (x ) = x - A £ với x Ỵ W Theo ngun lý so sánh tính siêu cộng tính tốn tử M suy Wj ta có u + y - yj 1/ n L¥ Wj ( ) h £ uj £ u - y - y j 1/ n L¥ Wj ( ) h+ u LƠ ả Wj ( ) Vỡ thế, nói riêng, u j hội tụ địa phương tới u W sup u j £ C Wj Vì u j lồi nên Du j (x ) £ - u j (x ) , x ẻ Wj dist (x , ả Wj ) (2.9) Do Du j £ C {u j < - e} Bây với số a đó, theo Định lý 2.3.1 ta có a (- e - u ) j D 2u j £ C {u j < - e} Từ D 2u j £ C {u j < - 2e} u Ỵ C 1,1 ({u < - 2e}) Vì e chọn nhỏ tùy ý, nên suy u Ỵ C 1,1 (W) 2.4.2 Định lý Giả sử W miền C 1,1 lồi mạnh, y Ỵ C 1,1 (W) y 1/ ( n - 1) Î C 1,1 (W) Hơn nữa, giả sử tất thành phần liên thông tập hợp {y = 0}ầ W l compact Khi ú u ẻ C 1,1 (W) Định lý 2.4.2 hệ trực tiếp (2) hai kết sau: 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.4.3 Mệnh đề Giả sử y hàm liên tục j chấp nhận cho v Ỵ C 1,1 (W) Khi đó, u < v miền bao gồm {y > 0}Ç W thành phần liên thơng {y = 0}Ç W mà tập compact Chứng minh Kí hiệu K thành phần compact {y = 0}Ç W Trước hết, ta cần tìm tập mở U cho K Ð U Ð W y > ¶ U Giả sử W¢ mở thỏa mãn K Ð W¢Ð W t F = {y = 0}ầ W v kớ hiệu F họ tập mở, đóng (trong F ) F chứa K Ta có K thành phần liên thông tập compact F K = I F Khi họ {F \ E } F phủ mở (trong F ) ca hp compact F ầ ả W nờn theo Định lý Heine-Borel tìm E 1, , E k Ỵ F cho k k U(F \ E i ) ẫ F ầ ả W ị F \ I i= i= ị F \ ả WÂé F v F \ ả WÂậ k I E i ẫ F \ ả W E i Do ú E = i= k E i Ỵ F khơng giao vi I i= ả W Khi ú E F \ E compact ta tìm tập mở U ,V W thỏa U ầV = ặ, F é U ẩ V , K é U é W v F ầ ả W¢Ð V Điều suy U có tính chất đòi hỏi Theo nguyên lý so sánh (áp dụng U ) v hàm lồi cực đại, nên cần chứng minh u < v {y > 0} Bây tốn địa y ³ a > D 2v £ M < ¥ phương, nên ta giả sử B (x 0, r ) Chúng ta tiến hành tương tự [15, tr 329] Với e > , ta định nghĩa ( ) w (x ) = e x - x - r 45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi n det D (v + w ) £ cn å eiM n - i £ a , e đủ bé i= Theo nguyên lý so sánh ta nhận u £ v + w B (x 0, r ) Nhận xét Nếu n = giả thiết v Ỵ C 1,1 W (W) Mệnh đề 2.4.3 không cần thiết Đối với kết cũ Aleksandrov u lồi chặt {y > 0}ầ W Nu x0 ẻ {y > 0} Ç Wvà H = graphL siêu phẳng tựa đồ thị v x theo [15, Bổ đề 2.1] x thuộc bao lồi hp {v = L }ầ ả W Do ú, ta tìm y 1, y Ỵ ¶ W cho v affine éy , y ù x Ỵ éy , y ù Bây từ tính lồi chặt u gần x suy êë ú êë ú 0 û û u (x ) < v(x ) điều cần chứng minh Tuy nhiên, ví dụ sau Pogorelov giả thiết giảm xuống n ³ Đặt 1- 1/ n u (x ) = (1 + x 12 )(x 22 + + x n2 ) Khi đó, lân cận gốc tọa độ u lồi (nếu n ³ ), M (u ) ẻ C Ơ , M (u ) > Nhưng W hình cầu nhỏ tâm gốc tọa độ, ta ln có u = v = {x = = x n = 0}Ç W Bây để có u Ỵ C 1,1 ({u < v }) cần giả thiết đơn giản W j 2.4.4 Định lý Giả sử W lồi mạnh j Î C (¶ W) cho ( ) v Î C 0,1 (W) Khi đó, y 1/ ( n - 1) Ỵ C 1,1 (W), ta có u Î C 1,1 {u < v } 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Chính quy hóa hàm xác định W ta nhận miền C ¥ -lồi mạnh Wj = {w j < 0} cho I Wj C1 D 2w j ³ (2.9) hàm lồi Lipschitz địa phương nên Dw j £ C ¶ Wj (2.10), đây, C 1,C , … số dương không phụ thuộc vào j I ma trận đơn vị Chính quy hóa v ta nhận v j ẻ C Ơ (Wj ) li, hi t địa phương tới v , cho u - vj LƠ ả Wj ( đ Ơ ) j ® ¥ Dv j £ C Wj (2.11) Ta tìm y j Ỵ C ¥ (Wj ), y j > , y j hội tụ đến y W thỏa mãn y 1/j ( n - 1) ( ) C 1,1 Wj £ C4 Giả sử u j Ỵ C ¥ (Wj ) lồi Wj cho det D 2u j = y j Wj , u j = v j ¶ Wj Ta chọn y j cho u j < v j Wj Tương tự chứng minh Định lý 2.4.1, Wj ta nhận u + y - yj 1/ n L¥ Wj ( ) Vì thế, từ u - v j h - u - uj LƠ ả Wj ( ) đ Ơ LƠ ả Wj ( ) £ uj £ u - y - y j 1/ n L¥ Wj ( ) h + u - uj LƠ ả Wj ( ) j ® ¥ suy u j hội tụ địa phương tới u Theo (2.9) nguyên lý so sánh ta có v j + C 5w j £ u j £ v j Wj 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Theo (2.10), (2.11) w j = ¶ Wj , ta nhận Du j £ C ¶ Wj u j lồi nên Du j £ C Wj Bây ta dùng Định lý 2.3.1 để nhận (v a j - u j ) D 2u j £ C Wj Kết địi hỏi suy ta cho j ® ¥ Cuối cùng, bỏ giả thiết tất thành phần liên thông tập hợp {y = 0}ầ W l {u = v }ầ Wạ compact Định lý 2.4.2 xảy Æ Lấy W hình cầu đơn vị B đặt j (x ) = x 12 với x Ỵ ¶ B cho v(x ) = x 12 với x Ỵ B Lấy y cho y 1/ ( n - 1) trơn supp y Ð {x > 0}Ç B Với e > , ký hiệu u e nghiệm (2.1) với m= ey d l Khi u e tụ đến v e ® Với e đủ nhỏ, ta có u e ³ supp y u e ³ B Do đó, theo nguyên lý so sánh ta có u e = {x = 0}Ç B u e = u {x £ 0}Ç B 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, toán tử Monge-Ampère toán Dirichlet cổ điển toán tử Monge-Ampere - Một số kết gần Z.Blocki tính quy nghiệm tổng quát phương trình Monge-Ampère Cụ thể là: trình bày chi tiết chứng minh hai kết quy sau đây: a) Nếu j = y 1/ (n - 1) Ỵ C 1,1(W) u Ỵ C 1,1(W) (Định lý 2.4.1) b) Nếu W miền C 1,1 lồi mạnh, y Ỵ C 1,1(W) y 1/ (n - 1) Ỵ C 1,1(W) Hơn nữa, giả sử thành phần liên thông tập hợp {y = 0}ầ W l compac Thỡ u ẻ C 1,1(W) (Định lý 2.4.2) Định lý 2.4.2 suy trực tiếp từ (2) chứng minh chi tiết hai kết sau: + Nếu y liên tục j chấp nhận cho v Ỵ C 1,1 (W) u < v miền bao gồm {y > 0}Ç W {y = 0}Ç W mà tập compact thành phần liên thông (Mệnh đề 2.4.3) + Nếu W lồi mạnh j Î C (¶ W) cho v Î C 0,1 (W), đồng thời ( ) y 1/ ( n - 1) Ỵ C 1,1 (W), ta có u Î C 1,1 {u < v } (Định lý 2.4.4) 49 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải, Cơ sở lí thuyết đa vị, NXB Đại học sư phạm Hà Nội, (2009) Tiếng Anh: [2] E Bedford and B A Taylor, The Dirichlet problem for a complex MongeAmpère equation, Invent Math 37 (1976), 1- 44 [3] Z Blocki, “Interior regularity of the complex Monge-Ampe’re equation in convex domains”, Duke Math J 105 (2000), 167-181 [4] Z Blocki, “Interior regularity of the degenerate Monge-Ampe’re equation”, Bull Austral Math Soc Vol 68 (2003), 81-92 [5] L Caffarelli, L Nirenberg and J Spruck, “The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic equations I: Monge-Ampe’re equation”, Comm Pure Appl Math 37 (1984), 369-402 [6] S.-Y Cheng and S.-T.Yau, “On the regularity of the Monge-Ampe’re equation det   2u / xi x j   F  x, u  ”, Comm Pure Appl Math 30 (1977), 41-68 [7] S.-Y Cheng and S.-T.Yau, “The real Monge-Ampe’re equation and affine flat structures”, in Proc Symp Diff Geom.Diff Eq (Beijing, 1980) 1, (S.S Chern and W.T Wu, Editors) (Science Press, Beijing, 1982), pp 339-370 [8] B Guan, “The Dirichlet problem for complex Monge-Ampe’re equation and regularity of the pluri-complex Green function”, Comm Anal Geom (1998), 687-703; Correction: Comm Anal Geom (2000), 213-218 [9] P.Guan, “C2 priori estimates for degenerate Monge-Ampe’re equation”, Duke Math J 86 (1997), 323-346 50 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [10] P Guan, N.S Trudinger and X.-J.Wang, “On the Dirichlet problem for degenerate Monge-Ampe’re equation”, Acta Math 182 (1999), 87-104 [11] M Klimek, Pluripotential Theory, Oxford University Press, New York, 1991 [12] N.V Krylov, “Boundedly inhomogeneous elliptic and parabolic equations in a domain”, (in Russian), Izv Acad Nauk SSSR Ser Mat 47 (1983), 75-108; English translation: Math USSR-Izv 22 (1984), 67-98 [13] J Rauch and B.A Taylor, “The Dirichlet problem for the multidimensional Monge-Ampe’re equation”, Rocky Mountain Math.J (1977), 345-364 [14] F Schulz, “A C2 –estimate for solution of complex Monge-Ampe’re equation”, J Reine Angew Math 348 (1984), 88-93 [15] N.S Trudinger and J Urbas, “On second derivative estimates for equations of Monge-Ampe’re type”, Bull Austral Math Soc 28 (1983), 321-334 [16] J Urbas, “Regularity of generalized solution of the Monge-Ampe’re equation”, Math Z 197 (1988), 365-393 [17] X –J Wang, “Some counterexamples to the regularity of Monge- Ampe’re equation”, Proc Amer Math Soc 123 (1995), 841-845 51 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... nghiên cứu trên, chọn đề tài ? ?Tính qui nghiệm tổng quát phương trình Monge- Ampere? ?? Cụ thể, chúng tơi nghiên cứu tính C1,1 -chính qui nghiệm tổng quát phương trình MongeAmpere det D 2u = y , y ³ ,... Dirichlet toán tử Monge- Ampere 18 Chƣơng 2: TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA PHƢƠNG TRÌNH MONGE- AMPÈRE 34 2.1 Giới thiệu 35 2.2 Sự tồn nghiệm tổng quát 37 2.3... văn trình bày số kết việc nghiên cứu tính quy nghiệm tổng quát phương trình MongeAmpère 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Trình bày tổng quan hệ thống kết tính