Tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge - Ampere

I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM NG HIN THNG TNH CHNH QUI CA NGHIM TNG QUT CA PHNG TRèNH MONGE-AMPERE Chuyờn ngnh: Gii tớch Mó s: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS Phm Hin Bng THI NGUYấN - 2012 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn MC LC M U 1 Lý chn ti Mc ớch v nhim v nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu B cc ca lun Chng 1: CC KIN THC CHUN B 1.1 Hm a iu ho di 1.2 Hm a iu ho di cc i 1.3 Toỏn t Monge-Ampốre phc 1.4 Bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampere 18 Chng 2: TNH CHNH QUY CA NGHIM TNG QUT CA PHNG TRèNH MONGE-AMPẩRE 34 2.1 Gii thiu 35 2.2 S tn ti ca nghim tng quỏt 37 2.3 ỏnh giỏ i vi o hm cp hai 39 2.4 Tớnh C 1,1 - chớnh qui ca nghim tng quỏt 43 KT LUN 49 TI LIU THAM KHO 50 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn M U Lý chn ti Vi hm li tựy ý u xột o Borel khụng õm M (u ) cho M (u ) = det D 2udl 2,n i vi hm trn v c hm W loc Bi toỏn Dirichlet i vi M l gii c trng hp khỏ tng quỏt: Cho W l li tựy ý Ă n v j ẻ C (ả W) cho nú l li trờn mt cung tựy ý ả W (Ta gi hm j nh th l chp nhn c) Khi ú vi o Borel khụng õm tựy ý m m m(W) < Ơ bi toỏn Dirichlet ớù u ẻ CV X (W) ầ C (W) ùù ùỡ M (u ) = m t rong W ùù ùù u = j ùợ ả W (*) Cú nghim nht ( iu ny ó c J Rauch v B.A Taylor chng minh nm 1977 i vi W li cht, ú hm liờn tc j l chp nhn c) Chỳng ta s xột o m vi y liờn tc khụng õm, trự mt W õy u s luụn ký hiu l nghim ca (*) (vi m = y d l ), v l nghim ca bi toỏn thun nht tng ng: ớù v ẻ CV X (W) ầ C (W) ùù ù M (v ) = t rong W ỡ ùù ùù v = j ùợ ả W Cỏc kt qu chớnh qui ca nghim ca (*) ó c mt s tỏc gi nghiờn cu, c th nh sau: Cheng, Yau (nm 1977, 1982), Trudinger, Urbas (nm 1983), S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Krylov (nm 1984), Caffarelli, Nirenberg v Spruck (nm 1984), Guan, Trudinger and Wang nm 1999 Theo hng nghiờn cu trờn, chỳng tụi chn ti Tớnh chớnh qui ca nghim tng quỏt ca phng trỡnh Monge-Ampere C th, chỳng tụi s nghiờn cu tớnh C1,1-chớnh qui ca nghim tng quỏt ca phng trỡnh MongeAmpere det D 2u = y , y , trờn li b chn W Ă n vi u = j trờn ả W Trong trng hp riờng, s chng minh rng u ẻ C 1,1(W) nu i ) j = v y 1/ (n - 1) ẻ C 1,1(W) hoc ii ) W l C1,1 li mnh, j ẻ C 1,1(W), y 1/ (n - 1) ẻ C 1,1(W) v y > trờn U ầ W, ú U l lõn cn ca ả W Mc ớch v nhim v nghiờn cu 2.1 Mc ớch nghiờn cu Mc ớch chớnh ca lun l trỡnh by mt s kt qu vic nghiờn cu tớnh chớnh quy ca nghim tng quỏt ca phng trỡnh MongeAmpốre 2.2 Nhim v nghiờn cu Lun trung vo cỏc nhim v chớnh sau õy: - Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, hm a iu ho di cc i, toỏn t Monge-Ampốre v bi toỏn Dirichlet c in i vi toỏn t Monge-Ampere - Trỡnh by mt s kt qu ca Z.Blocki nm 2003 v tớnh chớnh quy ca nghim tng quỏt ca phng trỡnh Monge-Ampốre S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Phng phỏp nghiờn cu - S dng cỏc phng phỏp ca gii tớch phc kt hp vi cỏc phng phỏp ca lý thuyt th v phc - S dng phng phỏp v kt qu ca Zbigniew Blocki B cc ca lun Ni dung lun gm 50 trang, ú cú phn m u, hai chng ni dung, phn kt lun v danh mc ti liu tham kho Chng 1: Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, hm a iu ho di cc i, toỏn t Monge-Ampốre v bi toỏn Dirichlet c in i vi toỏn t Monge-Ampere Chng 2: L ni dung chớnh ca lun vn, trỡnh by cỏc kt qu nghiờn cu v tớnh chớnh quy ca nghim tng quỏt ca phng trỡnh Monge-Ampốre Cui cựng l phn kt lun trỡnh by túm tt kt qu t c Bn lun c hon thnh ti Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn di s hng dn ca PGS.TS Phm Hin Bng, nhõn dp ny xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy h-ớng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin cm n Ban ch nhim Khoa Sau i hc, Ban ch nhim Khoa Toỏn, cỏc thy cụ giỏo Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, Vin Toỏn hc v Trng i hc S phm H Ni ó ging dy v to iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v nghiờn cu khoa hc S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Xin chõn thnh cm n Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, Trng THPT Dng T Minh Thỏi Nguyờn cựng cỏc ng nghip ó to iu kin giỳp tụi v mi mt quỏ trỡnh hc v hon thnh bn lun ny Bn lun chc chn s khụng trỏnh nhng khim khuyt vỡ vy rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn hc viờn lun ny c hon chnh hn Cui cựng xin cm n gia ỡnh v bn bố ó ng viờn, khớch l tụi thi gian hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Thỏi Nguyờn, thỏng 08 nm 2012 Tỏc gi ng Hin Thng S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chng CC KIN THC CHUN B 1.1 Hm a iu ho di 1.1.1 nh ngha Cho W l mt m ca Ê n v u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l mt hm na liờn tc trờn v khụng trựng vi - Ơ trờn bt k thnh phn liờn thụng no ca W Hm u c gi l a iu ho di nu vi mi a ẻ W v b ẻ Ê n , hm l a u(a + l b) l iu ho di hoc trựng - Ơ trờn mi thnh phn ca hp {l ẻ Ê : a + l b ẻ W} Trong trng hp ny, ta vit u ẻ P SH (W) ( õy P SH (W) l lp cỏc hm a iu ho di W) Tớnh a iu ho di cú th c c trng di dng o hm suy rng Nhc li, nu u ẻ C2(W), a ẻ W, b ẻ Ê n thỡ L u(a )b, b = D l (u(a + l b) l =0 Ta cú nh lý sau: 1.1.2 nh lý Nu Wé Ê n l m v u ẻ P SH (W) thỡ vi mi ả 2u bj bk W, theo ngha ca o hm b = (b1, , bn ) ẻ Ê , j ,k = ả z j ả z k n n suy rng, tc l ũ u(z )ỏL j (z )b, bdl (z ) 0, vi hm khụng õm j ẻ C 0Ơ (W) W tựy ý Ngc li, nu v ẻ L1loc (W) cho ả 2v bj bk W b = (b1, , bn ) ẻ Ê , ả z ả z k j ,k = j vi mi z ẻ W, mi n n (1.1) theo ngha suy rng, thỡ hm u = lim(v * c e ) c xỏc nh tt, a iu ho eđ di W, v bng v hu khp ni W S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chng minh Cho u ẻ P SH (W) v u e = u * c e vi e > Ly mt hm khụng õm j ẻ C 0Ơ (W) v mt vộc t b = (b1, , bn ) ẻ Ê n nh lý hi t tri Lebesgue kt hp vi tớch phõn tng phn suy ũ u (z ) L j (z )b, b dl (z ) = lim eđ ũ u (z ) L j (z )b, b dl (z ) e W W = lim eđ ũ ỏ L u (z )b, bj (z ) dl (z ) e W Phn u tiờn ca nh lý c chng minh Gi s v ẻ L1loc (W) v (1.1) c tho t v e = v * c e vi e > Khi ú D v W, theo ngha suy rng Do [11], nh lý 2.5.8, tn ti nht hm iu ho di u trờn W trựng vi v hu khp ni v u = lim v e nh lý Fubini v (1.1) suy eđ ũ L v e (z )b, b j (z ) dl (z ) 0, W vi mi b ẻ Ê n , j ẻ C 0Ơ (We ) , j Bi vy L v e (z )b, b , vi mi z ẻ We , b ẻ Ê n , v ú v e ẻ P SH (We ) Khi v e1 < v e2 nu e1 < e2 , thỡ hm gii hn u l a iu ho di 1.1.3 nh lý Cho W l mt m Ê n Khi ú (i ) H P SH (W) l nún li, tc l nu a , b l cỏc s khụng õm v u, v ẻ P SH (W) , thỡ a u + b v ẻ P SH (W) (ii ) Nu W l liờn thụng v {u } j jẻ Ơ é P SH (W) l dóy gim, thỡ u = lim u j ẻ P SH (W) hoc u - Ơ jđ Ơ S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn (iii ) Nu u : Wđ Ă , v nu {u j } é P SH (W) hi t u ti u trờn cỏc jẻ Ơ compact ca W, thỡ u ẻ P SH (W) (iv ) Gi s {u a } aẻ A é P SH (W) cho bao trờn ca nú u = sup u a l b aẻ A chn trờn a phng Khi ú hm chớnh qui na liờn tc trờn u * l a iu ho di W 1.1.4 H qu Cho W l mt m Ê n v w l mt m thc s khỏc rng ca W Nu u ẻ P SH (W) , v ẻ P SH (w) , v lim v (x ) Ê u (y ) xđ y vi mi y ẻ ả w ầ W, thỡ cụng thc ớù max {u, v } w w = ùỡ ùù u W\ w ùợ xỏc nh mt hm a iu ho di W 1.1.5 nh lý Cho W l mt m ca Ê n (i ) Cho u, v l cỏc hm a iu ho W v v > Nu f : Ă đ Ă l li, thỡ vf (u / v ) l a iu ho di W (ii ) Cho u ẻ P SH (W) , v ẻ P SH (W) , v v > W Nu f : Ă đ Ă l li v tng dn, thỡ vf (u / v ) l a iu ho di W (iii ) Cho u, - v ẻ P SH (W) , u W, v v > W Nu f : [0, Ơ ) đ [0, Ơ ) l li v f (0) = , thỡ vf (u / v ) ẻ P SH (W) 1.1.6 nh lý Cho W l mt m ca Ê n v F = {z ẻ W: v(z ) = - Ơ } S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn l mt úng ca W õy v ẻ P SH (W) Nu u ẻ P SH (W\ F ) l b chn trờn, thỡ hm u xỏc nh bi ớù u (z ) (z ẻ W\ F ) ùù u (z ) = ỡ lim sup u (y ) (z ẻ F ) ùù y đ z ùợ y ẽ F l a iu ho di W Nu u l a iu ho v b chn W\ F , thỡ u l a iu ho W Nu W l liờn thụng, thỡ W\ F cng liờn thụng 1.2 Hm a iu ho di cc i 1.2.1 nh ngha Cho W l mt m ca Ê n v u : Wđ Ă l hm a iu ho di Ta núi rng u l cc i nu vi mi m compact tng i G ca W, v vi mi hm na liờn tc trờn v trờn G cho v ẻ P SH (G ) v v Ê u trờn ả G , u cú v Ê u G Ký hiu M P SH (W) l h tt c cỏc hm a iu ho di cc i trờn W Sau õy ta s xem xột mt s tớnh cht tng ng ca tớnh cc i 1.2.2 Mnh Cho Wé Ê n l m v u : Wđ Ă l hm a iu ho di Khi ú cỏc iu kin sau l tng ng: (i ) Vi mi m compact tng i G ca W v mi v ẻ P SH (W) , nu lim sup(u (z ) - v(z )) , vi mi x ẻ ả G , thỡ u v G ; zđ x (ii ) Nu v ẻ P SH (W) v vi mi e > tn ti mt compact K é W cho u - v - e W\ K , thỡ u v W; (iii ) Nu v ẻ P SH (W) , G l mt m compact tng i ca W, v u v trờn ả G thỡ u v G; S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... di cc i, toỏn t Monge- Ampốre v bi toỏn Dirichlet c in i vi toỏn t Monge- Ampere - Trỡnh by mt s kt qu ca Z.Blocki nm 2003 v tớnh chớnh quy ca nghim tng quỏt ca phng trỡnh Monge- Ampốre S húa bi... iu ho di cc i 1.3 Toỏn t Monge- Ampốre phc 1.4 Bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge- Ampere 18 Chng 2: TNH CHNH QUY CA NGHIM TNG QUT CA PHNG TRèNH MONGE- AMPẩRE 34 2.1 Gii thiu ... toỏn t Monge- Ampốre v bi toỏn Dirichlet c in i vi toỏn t Monge- Ampere Chng 2: L ni dung chớnh ca lun vn, trỡnh by cỏc kt qu nghiờn cu v tớnh chớnh quy ca nghim tng quỏt ca phng trỡnh Monge- Ampốre