Điều kiện tồn tại của quy hoạch lồi tổng quát đa mục tiêu

Header Page of 126 B GIO DC V O TO I HC NNG MAI XUN KIấN IU KIN TN TI NGHIM CA QUY HOCH LI TNG QUT A MC TIấU Chuyờn ngnh : Mó s : PHNG PHP TON S CP 60.46.40 TểM TT LUN VN THC S KHOA HC Nng - Nm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Cụng trỡnh c hon thnh ti I HC NNG Ngi hng dn khoa hc: TS HONG QUANG TUYN Phn bin 1: PGS.TSKH Trn Quc Chin Phn bin 2: PGS.TS Trn o Dừng Lun s c bo v ti Hi ng chm Lun tt nghip thc s Khoa hc hp ti Nng vo ngy 17 thỏng 08 nm 2011 * Cú th tỡm hiu lun ti: - Trung tõm Thụng tin - Hc liu, i hc Nng - Th vin trng i hc S phm, i hc Nng Footer Page of 126 Header Page of 126 M U Lí DO CHN TI T nhu cu thc t ca khoa hc, ti, cụng ngh, kinh t, xó hi, qun lý , bi toỏn ti u a mc tiờu ngy cng c quan tõm khụng ch v mt lý thuyt m cũn vỡ tớnh thc t ca nú Bi toỏn ti u a mc tiờu vi cỏc hm mc tiờu v hm rng buc l li ó c nghiờn cu nhiu v tớnh li l gi thuyt c dựng thng xuyờn nht mụ hỡnh lý thuyt ti u v ó em li nhiu kt qu quan trng v ht sc cú ý ngha Tuy nhiờn cng t nhu cu kinh t, k thut, ti, qun lý, v cỏc khỏc thc t, cỏc hm mc tiờu v hm rng buc l khụng li gii quyt c mt phn no ú Mt lp cỏc bi toỏn khụng li c cp n lun l s m rng ca bi toỏn a Mc Tiờu Li, gi l "a mc tiờu li tng quỏt" Khi nghiờn cu cỏc bi toỏn a mc tiờu li tng quỏt thỡ "iu kin ti u "úng mt vai trũ ht sc quan trng lý thuyt cng nh tớnh thc t Vỡ vy õy l lý tụi ó chn ti "iu kin tn ti nghim ca Quy Hoch Li Tng Quỏt a Mc Tiờu " Ni dung chớnh ca ti l thit lp cỏc nh lý v iu kin cn v bi toỏn a mc tiờu li tng quỏt cú nghim hu hiu MC TIấU V NI DUNG NGHIấN CU Mc tiờu v ni dung nghiờn cu ca lun v iu kin tn ti nghim ca bi toỏn phi tuyn vi cỏc hm mc tiờu v hm rng buc l gi-li (pseudoconvex), ta-li (quasiconvex), invex (li bt bin), Univex (n li bt bin), V-invex (V- li bt bin), Lun l bn kho cu cỏc kt qu ó cụng b vũng 10 nm tr li õy v cỏc iu kin cn v bi toỏn ti u a mc tiờu li tng quỏt cú nghim PHNG PHP NGHIấN CU H thng cỏc kin thc c bn v tớnh li, hm li, hm tuyn tớnh, tớnh kh vi phc v cho nhu cu nghiờn cu ti Footer Page of 126 Header Page of 126 Tham kho ti liu, tỡm hiu chi tit cỏc nh ngha, b , nh lý, h qu v iu kin cú nghim ca cỏc hm tng quỏt Bờn cch ú tỏc gi c gng chng minh mt s b v vớ d ó nờu nhiu bi bỏo m khụng cú phn chng minh Nghiờn cu t cỏc ti liu v ngoi nc, giỏo trỡnh, bi bỏo, í NGHA KHOA HC V THC TIN CA TI ti h thng cỏch khỏ chi tit mt s dng bi toỏn ti u phi tuyn m rng Trỡnh by rừ rng cỏc nh lý v iu kin tn ti nghim ca cỏc dng bi toỏn ti u phi tuyn m rng ti cú ý ngha quan trng lý thuyt cng nh ng dng thc t ( Khoa hoc, võn ti, Kinh t, Qun lý ) CU TRC CA LUN VN Ngoi phn mc lc, m u v kt lun, lun gm chng: Chng Hm li tng quỏt Chng Hm dng I tng quỏt v cỏc hm liờn quan Chng Cỏc iu kin tn ti nghim ca bi toỏn ti u a mc tiờu li tng quỏt Footer Page of 126 Header Page of 126 Chng HM LI TNG QUT Bi toỏn ti u tng quỏt cho di dng Min f (x) v..k gi (x) 0, i = 1, 2, , m hj (x) = 0, j = 1, 2, , k, x X Hm f : X R, g : X Rm v h : X Rk l cỏc hm kh vi liờn tc v X Rn l m Kớ hiu K = {x : x X, g(x) 0, h(x) = 0} l nghim chp nhn c (hay nghim kh thi) ca bi toỏn (P) 1.1 Tp li v hm li tng quỏt nh ngha 1.1.1 Tp X R c gi l li nu mi x1 , x2 X v < < Khi ú x1 + (1 )x2 X nh ngha 1.1.2 Hm f : X R xỏc nh trờn li X Rn c gi l hm li nu mi x1 , x2 X v < < Khi ú f (x1 + (1 x2 )) f (x1 ) + (1 )f (x2 ) nh ngha 1.1.3 Hm f : X R c gi l ta-li trờn X nu f (x) f (y) f (x + (1 )y) f (y), x, y X, [0; 1] hoc cho di dng: f (x + (1 )y) max{f (x), f (y)}, x, y X, [0; 1] Footer Page of 126 Header Page of 126 Nu f l hm kh vi thỡ ta cú nh ngha sau: nh ngha 1.1.4 Hm f : X R c gi l ta-li (quasi convex) trờn X nu f (x) f (y) (x y)f (y) 0, x, y X nh ngha 1.1.5 Cho f : X R l kh vi trờn m X Rn thỡ f c gi l gi-li (psuedo convex ) trờn X nu: f (x) < f (y) (x y)f (y) < 0, x, y X, hoc nu (x y)f (y) f (x) f (y), x, y X nh ngha 1.1.6 Mt hm f : X R kh vi trờn m X Rn c gi l gi li cht trờn X nu f (x) f (y) (x y)f (y) < 0, x, y X, x = y, hoc (x y)f (y) f (x) > f (y), x, y X, x = y 1.2 Hm Invex v Invex tng quỏt nh ngha 1.2.1 Tp ỉ = T Rn c gi l -invex ng vi nu tn ti : Rn ì Rn Rn cho bt kỡ x, y T v [0; 1] thỡ y + (x, y) T nh ngha 1.2.2 Mt hm kh vi f : X Rn , X l m ca Rn gi l invex trờn X ng vi nu tn ti hm giỏ tr vector : X ì X Rn cho f (x) f (y) T (x, y)f (y), x, y X nh ngha 1.2.3 Hm f c gi l gi-invex (pseudo invex) trờn X ng vi nu tn ti hm giỏ tr vector : X ì X Rn cho T (x, y)f (y) f (x) f (y), x, y X nh ngha 1.2.4 Hm f c gi l ta-invex (quasi invex) trờn X ng vi nu tn ti hm giỏ tr vector : X ì X Rn cho f (x) f (y) T (x, y)f (y) 0, x, y X nh ngha 1.2.5 Mt hm f : X R c gi l Pre-invex trờn X nu tn ti mt hm vector : X ì X Rn cho (y + (x, y)) X, [0; 1], x, y X, v f (y + (x, y)) f (x) + (1 )f (y), [0; 1], x, y X Footer Page of 126 Header Page of 126 1.3 Hm dng I v cỏc hm liờn quan Cho P = {x : x X, g(x) 0} v D = {x : (x, y) Y }, vi Y = {(x, y) : x X, y Rm , x f (x) + y T x g(x) = 0; y 0} nh ngha 1.3.1 f (x) v g(x) th t l hm mc tiờu v hm rng buc gi l hm dng I (type I) ng vi (x) ti x nu tn ti hm vector (x) : X ì X Rn cho [x f ( x)]T (x, x), x P f (x) f ( x) v g( x) [x g( x)]T (x, x), x P nh ngha 1.3.2 Hm f (x) v g(x) th t l hm mc tiờu v hm rng buc gi l hm gi dng I (pseudo type I ) tng ng vi (x) ti x nu tn ti hm vector (x) : X ì X Rn cho [x f (x)]T (x, x) f ( x) f (x) 0, x P v [x g(x)]T (x, x) g(x) 0, x P nh ngha 1.3.3 Hm f (x) v g(x) th t l hm mc tiờu v hm rng buc gi l hm ta dng I (quasi type I) tng ng vi (x) ti x nu tn ti hm vector (x) : X ì X Rn cho f (x) f ( x) [x f ( x)]T (x, x) 0, x P v g(x) [x g(x)]T (x, x) 0, x P nh ngha 1.3.4 Hm f (x) v g(x) th t l hm mc tiờu v hm rng buc gi l cỏc hm ta-gi-dng I tng ng vi (x) ti x nu tn ti hm vector (x) : X ì X Rn cho f (x) f ( x) [x f ( x)]T (x, x) 0, x P v [x g(x)]T (x, x) g(x) 0, x P nh ngha 1.3.5 Hm f (x) v g(x) th t l hm mc tiờu v hm rng buc gi l cỏc hm gi-ta- dng I tng ng vi (x) ti x nu tn ti hm vector (x) : X ì X Rn cho [x f ( x)]T (x, x) f (x) f ( x) 0, x P v g(x) Footer Page of 126 [x g(x)]T (x, x) 0, x P Header Page of 126 1.4 Hm Univex v cỏc hm liờn quan Cho f l hm kh vi xỏc nh trờn ỉ = X Rn v cho : R R v k : X ì X R+ , vi x, x X Kớ hiu k(x, x) = lim b(x, x, ) 0 nh ngha 1.4.2 Hm f c gi l Univex ng vi , v k ti x nu x X, ta cú k(x, x)[f (x) f ( x)] [x f ( x)]T (x, x) nh ngha 1.4.3 Hm f c gi l ta-Univex ng vi , v k ti x nu x X, ta cú [f (x) f ( x)] k(x, x)(x, x)T x f ( x) nh ngha 1.4.4 Hm f c gi l gi-Univex ng vi , v k ti x nu x X, ta cú (x, x)T x f ( x) k(x, x)[f (x) f ( x)] nh ngha 1.4.5 Cỏc hm kh vi f (x) v g(x) th t l hm mc tiờu v hm rng buc c gi l dng I-Univex ng vi ,0 , , b0 , b1 tai x nu x X ta cú b0 (x, x)0 [f (x) f ( x)] (x, x)T x f ( x) v b1 (x, x)1 [g( x)] 1.5 (x, x)T x g(x, x) Hm V-invex v cỏc hm liờn quan nh ngha 1.5.1 Mt hm a mc tiờu f : X Rp c gi l V-Invex nu tn ti hm : X ì X Rn v i : X ì X R+ \ {0} cho mi x, x X v i = 1, 2, , p, ta cú fi (x) fi ( x) i (x, x)fi ( x)(x, x) nh ngha 1.5.2 Mt hm a mc tiờu f : X Rp c gi l V-gi invex nu tn ti hm : X ì X Rn v i : X ì X R+ \ {0} vi x, x X v i = 1, 2, , p, ta cú p p fi ( x)(x, x) i=1 p i (x, x)fi (x) i=1 i (x, x)f ( x) i=1 nh ngha 1.5.3.Mt hm a mc tiờu f : X Rp c gi l V-ta invex nu tn ti hm : X ì X Rn v i : X ì X R+ \ {0} cho mi x, x X v i = 1, 2, , p, ta cú p p i (x, x)f ( x) i (x, x)fi (x) i=1 Footer Page of 126 p i=1 fi ( x)(x, x) i=1 Header Page of 126 nh ngha 1.5.4 Bi toỏn ti u a mc tiờu: V-min (f1 , f2 , , fp ) (VP) v..k g(x) Vi fi : X Rp , i = 1, 2, , p v g : X Rm l hm kh vi trờn X Rn m c gi l bi toỏn ti u a mc tiờu V-invex nu mi f1 , f2 , , fp v g1 , g2 , , gm l hm V invex nh ngha 1.5.5 Bi toỏn (VP) c gi l V-dng-I (V-Type I) ti x X nu tn ti cỏc hm giỏ tr thc dng i v i xỏc nh trờn X ì X v hm vector : X ì X Rn cho fi (x) fi ( x) i (x, x)fi ( x)(x, x) v gi ( x) j (x, x)gj ( x)(x, x), vi mi x X nh ngha 1.5.6 Bi toỏn a mc tiờu (VP) c gi l ta-V-dng-I ( quasi V type I) ti x X nu tn ti cỏc hm giỏ tr thc dng i v i xỏc nh trờn X ì X v hm vector : X ì X Rn cho p p i i (x, x) [fi (x) fi ( x)] i (x, x)fi ( x) i=1 i=1 v m m j i (x, x)gi ( x) j=1 j (x, x)gi ( x) 0, j=1 vi mi x X nh ngha 1.5.7 Bi toỏn a mc tiờu (VP) c gi l gi-V-dng-I (pseudo V-type I) ti x X nu tn ti cỏc hm giỏ tr thc dng i v i xỏc nh trờn X ì X v hm vector : X ì X Rn cho p p i (x, x)fi ( x) i=1 v m m j (x, x)gj ( x) j=1 vi mi x X Footer Page of 126 i i (x, x) [fi (x) fi ( x)] i=1 j j (x, x)gj ( x) j=1 0, Header Page 10 of 126 nh ngha 1.5.8 Bi toỏn a mc tiờu (VP) c gi l ta-gi-V-dng-I (quasi pseudo V-type I) ti x X nu tn ti cỏc hm giỏ tr thc dng i v i xỏc nh trờn X ì X v hm vector : X ì X Rn cho p p i i (x, x) [fi (x) fi ( x)] i (x, x)fi ( x) i=1 v i=1 m m j (x, x)gj ( x) j=1 j j (x, x)gj ( x) 0, j=1 vi mi x X nh ngha 1.5.9 Bi toỏn a mc tiờu (VP)c gi l gi -ta-V-dng-I (pseudo quasi V-type I) ti x X nu tn ti cỏc hm giỏ tr thc dng i v i xỏc nh trờn X ì X v hm vector : X ì X Rn cho p p i (x, x)fi ( x) v i i (x, x) [fi (x) fi ( x)] 0 i=1 i=1 m m j j (x, x)gj ( x) j=1 j (x, x)gj ( x) 0, j=1 vi mi x X 1.6 Mt s hm li tng quỏt m rng nh ngha 1.6.1 f c gi l gi-cht-yu-Invex (weak strictly pseudoinvex) ng vi ti x X nu tn ti mt hm vector (x, x) nh ngha trờn X ì X cho,x X, f (x) f ( x) f ( x)(x, x) < nh ngha 1.6.2 f c gi l gi mnh invex ng vi ti x X nu tn ti mt hm vector (x, x) nh ngha trờn X ì X cho,x X, f (x) f ( x) f ( x)(x, x) nh ngha 1.6.3 f c gi l ta-yu-invex ng vi ti x X nu tn ti mt hm vector (x, x) nh ngha trờn X ì X cho f (x) f ( x) f ( x)(x, x) Footer Page 10 of 126 0, x X Header Page 12 of 126 10 Chng HM TYPE I TNG QUT V CC HM LIấN QUAN Trong chng ny chỳng ta nh ngha mt s bi toỏn Univex dng I tng quỏt Nờu mt vi cỏc dng mi ca hm li tng quỏt nh l : Hm dng I Univex, hm dng I Univex tng quỏt (generalized type I Univex function), hm d-dng I khụng kh vi (nondifferentiable d-type I function), Hm gi-d-loi I khụng kh vi (nondifferentiabl gi-d-type I function), Hm Ta- d-loi I khụng kh vi (nondifferentiable quasi-d-type I function) 2.1 Cỏc hm dng I-Univex tng quỏt Trong cỏc nh ngha di õy, b0 , b1 : XìXì[0, 1] R+ , b(x, a) = lim b(x, a, ) 0 , v b khụng ph thuc vo nu cỏc hm b0 , b1 kh vi, , : R R v : X ì X Rn l mt hm vector Xột bi toỏn a mc tiờu sau (VP) Min f (x) v..k g(x) 0, x X, õy f : X Rk , g : X Rm , X l m khỏc rng ca Rm nh ngha 2.1.1 Ta núi bi toỏn (V P ) l weak strictly pseudo type I Univex ti a X0 nu tn ti hm giỏ tr thc b0 , b1 , , v cho b0 (x, a)0 [f (x) f (a)] (f (a))(x, a) < 0, b1 (x, a)1 [g(a)] (g(a))(x, a) 0, Vi mi x X0 v vi mi i = 1, , p, j = 1, , m nh ngha 2.1.2 Ta núi bi toỏn (V P ) l strong pseudoquasi type I Univex ti Footer Page 12 of 126 Header Page 13 of 126 11 a X0 nu tn ti hm giỏ tr thc b0 , b1 , , v cho b0 (x, a)0 [f (x) f (a)] (f (a))(x, a) 0, b1 (x, a)1 [g(a)] (g(a))(x, a) 0, vi mi x X0 v vi mi i = 1, , p, j = 1, , m nh ngha 2.1.3 Ta núi bi toỏn (V P ) l ta cht gi dng I Univex yu ng vi b0 , b1 , , v ti a X0 nu tn ti hm giỏ tr thc b0 , b1 , , v cho b0 (x, a)0 [f (x) f (a)] (f (a))(x, a) b1 (x, a)1 [g(a)] (g(a))(x, a) 0, 0, vi mi x X0 v vi mi i = 1, , p, j = 1, , m nh ngha 2.1.4 Ta núi bi toỏn (V P ) l gi dng I Univex cht yu ng vi b0 , b1 , , v ti a X0 nu tn ti hm giỏ tr thc b0 , b1 , , v cho b0 (x, a)0 [f (x) f (a)] (f (a))(x, a) < 0, b1 (x, a)1 [g(a)] (g(a))(x, a) < 0, vi mi x X0 v vi mi i = 1, , p, j = 1, , m 2.2 Hm d-dng I khụng kh vi v cỏc hm liờn quan Trong nhng nh ngha di õy f : X Rk , g : X Rm , X l m khỏc rng (u)] ca Rn , : X ìX Rn l hm vector Ta kớ hiu f (u, (x, u)) = lim [f (u+(x,u))f 0+ v nh ngha tng t cho g (u, (x, u)) Vi D = {x X : g(x) 0} l tt c cỏc nghim chp nhn c ca bi toỏn (P ), I = 1, , k, M = 1, 2, , m, J(x) = {j J(x) = M M : gj (x) = 0} v J(x) = {j M : gj (x) < 0} Rừ rng rng J(x) nh ngha 2.2.1 (f, g) gi l d-dng I univex ng vi b0 , b1 , , v ti u X nu tn ti b0 , b1 , , v cho x X, b0 (x, u)0 [f (x) f (u)] f (u, (x, u)) v b1 (x, u)0 [g(u)] g (u, (x, u)) nh ngha 2.2.2 (f, g) gi l gi ta d-dng I univex cht yu ng vi b0 , b1 , , v ti u X nu tn ti b0 , b1 , , v cho x X , b0 (x, u)0 [f (x) f (u)] f (u, (x, u)) < v b1 (x, u)1 [g(u)] Footer Page 13 of 126 g (u, (x, u)) Header Page 14 of 126 12 nh ngha 2.2.3 (f, g) gi l gi ta d-dng I univex mnh ng vi b0 , b1 , , v ti u X nu tn ti b0 , b1 , , v cho x X, b0 (x, u)0 [f (x) f (u)] f (u, (x, u)) v b1 (x, u)1 [g(u)] g (u, (x, u)) nh ngha 2.2.4 (f, g) gi l ta cht-gi d-dng I univex yu ng vi b0 , b1 , , v ti u X nu tn ti b0 , b1 , , v cho x X, b0 (x, u)0 [f (x) f (u)] f (u, (x, u)) v b1 (x, u)1 [g(u)] g (u, (x, u)) nh ngha 2.2.5 (f, g) gi l gi d-dng I univex cht yu ng vi b0 , b1 , , v ti u X nu tn ti b0 , b1 , , v cho x X, b0 (x, u)0 [f (x) f (u)] f (u, (x, u)) < v b1 (x, u)1 [g(u)] 2.3 g (u, (x, u)) < Hm type I liờn thụng na a phng nh ngha 2.3.1 Tp X0 Rm c gi l mt -hỡnh a phng ti x, x X0 , nu vi mi x X0 tn ti < a (x, x) cho x + (x, x) X0 vi bt kỡ [0, a (x, x)] nh ngha 2.3.2 (Preda 1996) Cho hm f : X0 Rm , vi X0 Rm l mt -hỡnh a phng ti x X0 Chỳng ta núi rng f l (a) Pre-invex na a phng (slpi) ti x nu tng ng vi x v vi mi x X0 , tn ti mt s dng d (x, x) a (x, x) cho f ( x + (x, x)) f (x) + (1 )f ( x) vi < < d (x, x) (b) ta-Pre-invex na a phng (slqpi) ti x nu tng ng vi x v vi mi x X0 , tn ti mt s dng d (x, x) a (x, x) cho f (x) f ( x) v < < d (x, x) suy f ( x + (x, x)) f ( x) nh ngha 2.3.3 Cho hm f : X0 Rm , vi X0 Rm l mt -hỡnh a phng ti x X0 Chỳng ta núi rng f l -na kh vi ti x nu (df )+ ( x, (x, x))tn ti vi mi x X0 , vi (df )+ ( x, (x, x)) = lim 0+ [f ( x + (x, x)) f ( x)] (o hm phi ti x theo hng (x, x)) Nu f l -na kh vi ti bt kỡ x X0 , thỡ f gi l -na kh vi trờn X0 Footer Page 14 of 126 Header Page 15 of 126 13 nh ngha 2.3.4 (Preda 1996 ) Hm f gi l gi-preinvex na a phng (slppi) ti x nu vi mi x X0 , (df )+ ( x, (x, x)) f (x) f ( x) Nu f l slqqi ti bt kỡ x X0 , thỡ f l slppi trờn X0 nh ngha 2.3.5 Cho X v Y l hai ca X0 v y Y Chỳng ta núi rng Y l -hỡnh a phng (locally starshaped ) ti y ng vi X nu bt kỡ x X, tn ti < a (x, y) cho y + (x, y) Y vi mi a (x, y) nh ngha 2.3.6 Cho Y l -hỡnh a phng (locally starshaped ) ti y ng vi X v f l hm -na kh vi ti y Chỳng ta núi f l (a) Slppi ti y Y ng vi X, nu bt kỡ x X, (df )+ ( y , (x, y)) f ( y ) f (x) (b) gi-preinvex na a phng cht (sslppi) ti y Y ng vi X nu vi bt kỡ x X, x = y, (df )+ ( y , (x, y)) f (x) > f ( y ) nh ngha 2.3.7 (Ester and Nehse 1980 ) Mt hm ging hm li (convexlike) f : X0 Rk nu x, y X0 v 1, cú z X0 cho f (x) + (1 )f (y) f (z) Xột bi toỏn phõn thc sau: (x) (x) , , fgpp (x) (VFP) M in fg11 (x) hj (x) 0, j = 1, 2, , m, v..k x X0 nh ngha 2.3.8 Chỳng ta gi bi toỏn (V F P ) l -dng I-Preinvex na kh vi ti x nu bt kỡ x X0 ta cú fi (x) fi ( x) (dfi )+ ( x, (x, x)), i P, gi (x) gi ( x) (dgi )+ ( x, (x, x)), i P, hj ( x) (dhj )+ ( x, (x, x)), j M nh ngha 2.3.9 Chỳng ta gi bi toỏn (V F P ) l -gi ta dng I-Preinvex na kh vi ti x nu bt kỡ x X0 ta cú (dfi )+ ( x, (x, x)) fi (x) fi ( x), i P, (dgi )+ ( x, (x, x)) gi (x) gi ( x), i P, hj ( x) (dhj )+ ( x, (x, x)) 0, j M nh ngha 2.3.10 Chỳng ta gi bi toỏn (V F P ) l - ta gi dng I-Preinvex na kh vi ti x nu bt kỡ x X0 ta cú fi (x) fi ( x) (dfi )+ ( x, (x, x)) 0, i P, gi (x) gi ( x) (dgi )+ ( x, (x, x)) 0, i P, + (dhj ) ( x, (x, x)) Footer Page 15 of 126 hj ( x) 0, j M Header Page 16 of 126 14 2.4 Hm Invex khụng trn v cỏc hm liờn quan Trong phn ny ta kớ hiu Rn l khụng gian clit n chiu, X l khỏc rng ca Rn nh ngha 2.4.1 Mt hm f : X R c gi l Lipschitz cn x X nu cho mi K > , |f (y) f (z)| K y z , y, z khong lõn cn ca x X Chung ta núi rng f : X R l Lipschitz a phng trờn X nu nú Lipschitz cn bt kỡ im no ca X nh ngha 2.4.2 Nu hm f : X R l Lipschitz ti x X, thỡ o hm suy rng ca f ti x X theo hng v Rn , kớ hiu f (x, v), cho bi f (x, v) = lim sup yx [f (y + v) f (y)] nh ngha 2.4.3 Gradient suy rng Clarke ca f ti x X, kớ hiu f (x), c nh ngha nh sau f (x) = { Rn : f (x; v) T v, v Rn } suy vi mi v Rn bt kỡ thỡ f (x; v) = max{ T v : f (x)} nh ngha 2.4.4 Hm khụng kh vi f : X R gi l invex ng vi : X ì X Rn nu f (x) f (u) T (x, u), f (u), x, u X nh ngha 2.4.5 Hm khụng kh vi f : X R gi l invex cht ng vi : X ì X Rn nu f (x) f (u) > T (x, u), f (u), x = u X nh ngha 2.4.6 Hm khụng kh vi f : X R gi l gi invex ng vi : X ìX Rn nu f (x) f (u) < T (x, u), f (u), x, u X nh ngha 2.4.7 Hm khụng kh vi f : X R gi l gi- invex cht ng vi : X ì X Rn nu T (x, u) f (x) > f (u), f (u), x, u X Footer Page 16 of 126 Header Page 17 of 126 15 2.5 Hm dng I v cỏc hm liờn quan khụng gian Banach Cho E, F v G l cỏc khụng gian Banach Xột quy hoch toỏn hc sau (P) Min {f (x) : x C, g(x) K} õy f : E F v g : E G, vi C E, K G o hm suy rng theo hng ca hm Lipschitz a phng t E vo R, nh nh ngha (2.4.2) ti x theo hng d , kớ hiu f (x, d), cho bi f (x, d) = lim sup xx0 t0 [f (x + td) f (x0 )] t Gradient Clarke tng quỏt ca ti x l ( x) = {x E : ( x, d) < x , d >, d X} õy E l khụng gian Topo i ngu ca E v < , > l cp i ngu Cho C l khỏc rng ca E , Hm C (.) : E R l hm khong cỏch t x n C nh ngha nh sau C (x) = inf { x c : c C} Hm khong cỏch khụng phi kh vi hu khp ni, nhng l Lipschitz a phng Cho x C Mt vector d E gi l tip tuyn ca C ti x nu C ( x, d) = Tp cỏc vector tip tuyn ca C ti x l nún li úng E, gi l nún tip xỳc Clarke (tangent cone) ca C ti x c kớ hiu l TC ( x) nh ngha 2.5.1 Mt ỏnh x h : E G c gi l hm Lipschitzian compact ti x E nu tn ti hm a tr (hm tp) R : E comp(G) vi (comp(G) l tt c compact nh chun ca G) v hm r : E ì E R+ tha cỏc iu kin sau i) lim x x,d0 r(x, d) = 0; ii) Tn ti > cho t1 [h(x + td) h(x)] R(d) + d r(x, t)BG , x x + BG v t (0, ) õy BG l qu cu n v úng tõm l gc ca G iii) R(0) = {0} v R na liờn tc trờn Phuong et al (1995) a vo khỏi nim invex cho hm thc Lipschitz a phng : E R ng vi = C E Footer Page 17 of 126 Header Page 18 of 126 16 nh ngha 2.5.2 c gi l invex ti x C ,theo C, nu mi y C tn ti (y, x) TC (x) cho (y) (x) (x, (y, x)) l invex trờn C nu bt ng thc trờn ỳng vi mi x, y C nh ngha di õy l m rng khỏi nim Invex cho cỏc hm gia cỏc khụng gian Banach nh ngha 2.5.3 f : E F v g : E G l Invex nu u of v v og l invex theo nh ngha (2.5.2 ) u Q v v K Cỏc nh ngha di õy l m rng khỏi nim ca hm dng I hm gi dng I, ta dng I v hm gi ta dng I, ta gi dng I khụng gian Banach nh ngha 2.5.4 Hm giỏ tr thc Lipschtz a phng (Locally Lipschtz read-valued functions) f : E R v g : E R gi l Type I ti x C ,theo C, nu vi mi y C, tn ti (y, x) TC (x) cho f (y) f (x) f (x; (y, x)) g(x) g (x, (y, x)) nh ngha 2.5.5 (f, g) gi l ta dng I ti x C ,theo C, nu mi y C,cú (y, x) TC (x) cho f (y) f (x) f (x; (y, x)) 0, g(x) g (x, (y, x)) nh ngha 2.5.6 (f, g) gi l gi dng I ti x C ,theo C, nu mi y C,cú (y, x) TC (x) cho f (x; (y, x)) f (y) f (x), g (x, (y, x)) g(x) nh ngha 2.5.7 (f, g) gi l ta gi dng I ti x C ,theo C, nu mi y C,cú (y, x) TC (x) cho f (y) f (x) f (x; (y, x)) 0, g (x, (y, x)) g(x) nh ngha 2.5.8 (f, g) gi l gi ta dng I ti x C ,theo C, nu mi y C,cú (y, x) TC (x) cho f (x; (y, x)) f (y) f (x), g(x) g (x, (y, x)) Footer Page 18 of 126 Header Page 19 of 126 17 nh ngha 2.5.9 (f, g) gi l ta cht gi dng I ti x C, theo C, nu mi y C,cú (y, x) TC (x) cho f (y) f (x) f (x; (y, x)) 0, g (x, (y, x)) g(x) > Footer Page 19 of 126 Header Page 20 of 126 18 Chng IU KIN TN TI NGHIM CA BI TON TI U A MC TIấU LI TNG QUT 3.1 iu kin ti u cho bi toỏn ti u a mc tiờu Trong phn ny, chỳng ta thit lp mt s iu kin ti u cho a X0 l nghim hu hiu ca mt bi toỏn ti u a mc tiờu (Ti u Vector) Xột bi toỏn ti u a mc tiờu (VP) Min f(x) =(f1 (x), , fP (x)) v..k g(x) 0, x X Rn , Trong ú f : X Rp v g : X Rm l cỏc hm kh vi v X Rn l m õy vic tỡm nghim cc tiu cú ngha l tỡm hp cỏc im hu hiu Kớ hiu X0 l tt c cỏc nghim chp nhn c (nghim kh thi) ca bi toỏn (VP) nh lý 3.1.1 (iu kin ) gi s rng (i) a X0 ; (ii)Tn ti Rp , > v Rm , 0 cho: (a) f (a) + g(a) = 0, (b)0 g(a) = 0, (c) e = 1, õy e = (1, , 1)T Rp ; (iii) Bi toỏn (VP) l gi ta dng I univex mnh ti a X0 ng vi mi b0 , b1 , ứ0 , ứ1 v ; (iv) u ứ0 (u) v u ứ1 (u) 0; (v)b0 (x, a) > v b1 (x, a) Footer Page 20 of 126 Header Page 21 of 126 19 vi mi nghim kh thi x Khi ú a l mt nghim hu hiu ca bi toỏn (VP) nh lý 3.1.2 (iu kin ) gi s rng (i) a X0 ; (ii)Tn ti Rp , 0,v Rm , 0 cho (a) f (a) + g(a) = 0, (b)0 g(a) = (c) e = 1, õy e = (1, , 1)T Rp ; (iii) Bi toỏn (VP) l gi ta dng I univex cht yu ti a X0 ng vi mi b0 , b1 , ứ0 , ứ1 v ; (iv) u ứ0 (u) v u ứ1 (u) 0; (v) b0 (x, a) > v b1 (x, a) vi mi nghim x kh thi Khi ú a l mt nghim hu hiu ca bi toỏn (VP) nh lý 3.1.3(iu kin ) gi s rng (i) a X0 ; (ii)Tn ti Rp , 0,v Rm , 0 cho (a) f (a) + g(a) = 0, (b)0 g(a) = 0, (c) e = 1, õy e = (1, , 1)T Rp ; (iii) Bi toỏn (VP) l gi dng I univex cht yu ti a X0 ng vi mi b0 , b1 , ứ0 , ứ1 v ; (iv) u ứ0 (u) v u ứ1 (u) 0; (v) b0 (x, a) > v b1 (x, a) 0; vi mi nghim x kh thi Khi ú a l mt nghim hu hiu ca bi toỏn (VP) 3.2 iu kin ti u cho bi toỏn ti u a mc tiờu khụng kh vi Xột bi toỏn ti u a mc tiờu (P) Min f (x) v..k g(x) 0, x X Vi f : X Rk , g : X Rm v = X Rn Cho hm vector : X ì X Rm Ta kớ hiu f (u, (x, u)) = lim+ f (u+(x,u))f (u) Cho D = {x X : g(x) 0} l tt c cỏc nghim kh thi (nghim chp nhn c) ca bi toỏn (P) Vi J(x) = {j M : gj (x) = 0} v J(x) = {j M : gj (x) < 0} rừ rng J(x) J(x) = M Footer Page 21 of 126 Header Page 22 of 126 20 B 3.2.1 (iu kin ti u cn Karush-Kuhn-Tucker) Cho x l mt nghim hu hiu yu ca (P) Gi s gj l liờn tc vi j J(x), f v g l kh vi theo hng ti x vi f ( x, (x, x)) v gj ( x, (x, x)) l cỏc hm preinvex ca x X Hn na g tha m iu kin Slate tng quỏt ti x Khi ú tn ti R+ , cho ( x, ) tha cỏc iu kin sau: f ( x, (x, x)) + T g ( x, (x, x)) 0, x X, T g( x) = 0, g( x) (3.10) (3.11) (3.12) nh lý 3.2.1 Cho x l mt nghim chp nhn c ca (P)v tha iu kin (3.10),(3.11),(3.12) Hn th na nu bt kỡ iu kin no sau õy c tha món: a)(f, àT g) l gi ta d-dng-I univex mnh ti x ng vi b0 , b1 , , v vi b0 > 0, a < (a) < v b1 0, a = (a) 0; b)(f, àT g) l gi ta d-dng-I univex mnh cht yu ti x ng vi b0 , b1 , , v vi b0 0, a < (a) v b1 0, a = (a) 0; c)(f, àT g) l gi d-dng-I univex mnh ti x ng vi b0 , b1 , , v vi b0 0, a < (a) v b1 0, a = (a) 0; Thỡ x l nghim hu hiu yu ca bi toỏn (P) 3.3 iu kin ti u cho bi toỏn phõn thc Minimax Xột bi toỏn phõn thc minimax (P ) Min F(x) = sup yY v..k g(x) f (x, y) h(x, y) (3.19) 0, vi Y l Compac ca Rm , f (., ) v h(., ) : Rn ì Rm R l hm kh vi vi f (x, y) v h(x, y) > v g(., ) : Rn Rp l hm kh vi Kớ hiu f (x, y) f (x, z) Y(x) = y Y : = sup , J = {1, 2, , p} h(x, y) zY h(x, z) , J(x) = {j J : gj (x) = 0} Footer Page 22 of 126 Header Page 23 of 126 21 s v K = (s, t, y) N ì R+ ì Rm : s n + 1, t = (t1 , , ts ) R+ vi s s ti = v i=1 y = (y1 , , ys ) v yi Y (x), i = 1, , s} B 3.3.1 (Chandra anh kumar,1995) Cho x l nghim ti u ca bi toỏn (P) v cho gj (x ), j J(x ) l c lp tuyn tớnh Khi ú tn ti (s , t , y) K, v R p v R+ cho s p ti {f (x , yi ) àj gj (x ) = 0, v h(x , yi )} + (3.20) j=1 i=1 f (x , yi ) v h(x , yi ) = 0, i = 1, 2, , s , (3.21) p àj gj (x) = 0, (3.22) ti = 1, yi Y (x ), i = 1, , s (3.23) j=1 s p R+ , ti 0, i=1 inh lý 3.3.1 Gi s rng (x , , s , v , t , y) tho cỏc iu kin (3.20) (3.23) s Nu ( p ti (f (., yi ) v h(., yi )), àj gj (.)) l gi ta V-dng I ti x ng vi , i , j , t j=1 i=1 v thỡ x l nghim ti u ca (P) inh lý 3.3.2 Gi s rng (x , , s , v , t , y) tha cỏc iu kin (3.20) (3.23) s ti (f (., yi ) v h(., yi )), Nu ( p àj gj (.)) l ta cht gi V-dng I ti x ng vi j=1 i=1 , i , j , t v thỡ x l nghim ti u ca (P) inh lý 3.3.3 Gi s rng (x , , s , v , t , y) tho cỏc iu kin (3.20) (3.23) s ti (f (., yi ) v h(., yi )), Nu ( i=1 p àj gj (.)) l ta V-dng I na cht ti x ng vi j=1 , i , j , t v thỡ x l nghim ti u ca (P) inh lý 3.3.4 Gi s rng (x , , s , v , t , y) tho cỏc iu kin s ti (f (., yi ) v h(., yi )), (3.20) (3.23) Nu ( i=1 p àj gj (.)) l gi V-dng I cht ti j=1 x ng vi , i , j , t v à, thỡ x l nghim ti u ca (P) 3.4 iu kin ti u cho bi toỏn ti u a mc tiờu khụng gian Banach Xột bi toỏn Ti u Vector tng quỏt (P) Min {f (x) : x C, g(x) K} Footer Page 23 of 126 Header Page 24 of 126 22 Trong ú f : E F, g : E G l Lipschitzian compact mnh ti x0 E, K G l nún li, úng, cú nh vi phn khỏc rng , v C l khỏc rng ca E Kớ hiu l tt c cỏc nghim chp nhn c (nghim kh thi) ca bi toỏn (P ), gi s l khỏc rng, ngha l = {x C : g(x) 0} = nh lý 3.4.1.(iu kin ti u ): Gi s rng tn ti x0 0, v K cho k > v u Q , u = (u of + v og + kC )(x0 ), (3.31) v , g(x0 ) = (3.32) Nu (u of, v og) l type-I ti x0 efficient solution) ca (P ) ng vi C thỡ x0 l nghim hu hiu yu(weak nh lý 3.4.2 Gi s tn ti x0 v u Q , u = 0, v K , gi s k > v (3.31), (3.32) ca nh lý (3.4.1) tho Nu (f, g) l gi ta dng I ti x0 ng vi C , v cựng hm , thỡ x0 l nghim hu hiu yu ca (P ) nh lý 3.4.3 Gi s tn ti x0 v u Q , u = 0, v K , gi s k > v (3.31), (3.32) ca nh lý (3.4.1) tho Nu (f, g) l ta cht gi dng I ti x0 ng vi C , v cựng TC (x0 ) , thỡ x0 l nghim hu hiu yu ca (P ) 3.5 iu kin ti u cho bi toỏn ti u phõn thc vi hm dng I-Pre-invex na a phng (Semilocally Type I pre-invex functions) (x) (x) , , fgpp (x) (VFP) M in fg11 (x) hj (x) 0, j = 1, 2, , m, v..k x X0 nh lý 3.5.1 Cho x X v bi toỏn (VFP) l -Semilocally type I-Preinvex ti x, hn th na gi s rng tn ti Rp , u0 Rp , v Rm cho p T 0i (dfi )+ ( x, (x, x)) + v (dh)+ ( x, (x, x)) 0, i X (3.37) i=1 (dfi )+ ( x, (x, x)) T 0, x X, i P, v h( x) = 0, Footer Page 24 of 126 (3.38) (3.39) Header Page 25 of 126 23 h( x) 0, (3.40) e = 1, (3.41) T 0, u0 0, v 0, (3.42) vi e = (1, 1, , 1)T Rp thỡ x l mt giỏ tr cc tiu yu a phng ca bi toỏn(VFP) nh lý 3.5.2 Cho x X v bi toỏn (VFP) l -Semilocally type I-Preinvex ti x, Hn th na gi s tn ti Rp , u0i = fi ( x)/gi ( x), i P, v Rm cho p T 0i ((dfi )+ ( x, (x, x)) ui0 (dgi )+ ( x, (x, x))) + v (dh)+ ( x, (x, x)) 0, i=1 x X, (3.51) T v h( x) = 0, h( x) (3.52) 0, (3.52) e = 1, (3.54) T 0, u0 0, v 0, (3.55) vi e = (1, 1, , 1)T Rp thỡ x l mt giỏ tr cc tiu yu a phng ca bi toỏn(VFP) nh lý 3.5.3 Cho x X, Rp , u0i = fi ( x)/gi0 ( x), i P v v Rm cho cỏc iu kin (3.51), (3.55) ca nh lý (3.5.2) c tho Hn th na, gi s rng bi toỏn (V F Pu ) l - gi-ta-dng I-Preinvex na a phng ti x Khi ú x l nghim cc tiu ca bi toỏn (V F Pu ) Footer Page 25 of 126 Header Page 26 of 126 24 KT LUN Ni dung chớnh ca lun trỡnh by cú hng h thng cỏc lp hm tng quỏt ca hm li, c th l : Hm Invex ,hm Preinvex, hm Univex, hm V-Invex, v mt s hm li tng quỏt m rng khỏc Ngoi lun h thng cỏc lp hm Type I, hm Type I khụng kh vi, hm Invex khụng trn, v cỏc hm Type I khụng gian Banach Lun ó ch c mt s iu kin v vic tn ti nghim ca cỏc bi toỏn ti u a mc tiờu li tng quỏt, ti u a mc tiờu khụng kh vi, bi toỏn phõn thc minimax, bi toỏn ti u a mc tiờu khụng gian Banach, v bi toỏn ti u phõn thc vi cỏc hm dng I pre-invex na a phng Footer Page 26 of 126 ... nhu cu kinh t, k thut, ti, qun lý, v cỏc khỏc thc t, cỏc hm mc tiờu v hm rng buc l khụng li gii quyt c mt phn no ú Mt lp cỏc bi toỏn khụng li c cp n lun l s m rng ca bi toỏn a Mc Tiờu Li, gi... trũ ht sc quan trng lý thuyt cng nh tớnh thc t Vỡ vy õy l lý tụi ó chn ti "iu kin tn ti nghim ca Quy Hoch Li Tng Quỏt a Mc Tiờu " Ni dung chớnh ca ti l thit lp cỏc nh lý v iu kin cn v bi toỏn... 126 15 2.5 Hm dng I v cỏc hm liờn quan khụng gian Banach Cho E, F v G l cỏc khụng gian Banach Xột quy hoch toỏn hc sau (P) Min {f (x) : x C, g(x) K} õy f : E F v g : E G, vi C E, K G o hm