nghiệm suy rộng của phương trình monge-amperer elliptic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ MINH TRUNG NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ MINH TRUNG NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE ELLIPTIC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Mở đầu 3 1 Dạng biến phân của phương trình Monge-Ampere 5 1.1 Phương trình Monge-Ampere elliptic và dạng biến phân . . . . . 5 1.1.1 Công thức độ cong Gauss của một mặt cong trong không gian ba chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Phương trình Monge-Ampere elliptic hai chiều . . . . . . 5 1.1.3 Phương trình Monge-Ampere n-chiều . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Dạng biến phân của phương trình Monge-Ampere . . . . 6 1.1.5 Ánh xạ chuẩn tắc và R-độ cong của hàm lồi . . . . . . . . 7 1.2 Phiếm hàm của bài toán Dirichlet biến dạng . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Phiếm hàm I H (u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Các tính chất của các phiếm hàm Φ H , τ H và I H . . . . . 18 1.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán biến phân . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 Ước lượng hai chiều cho I H (u) . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.2 Định lý chính về phiếm hàm I H (u) . . . . . . . . . . . . . 23 2 Bài toán Dirichlet biến dạng 25 2.1 Thể tích hỗn tạp Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 Hàm tựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 Thể tích hỗn tạp Minkowski của khối đa diện lồi . . . . . 28 1 2.1.3 Thể tích hỗn tạp Minkowski cho thể lồi bị chặn tổng quát 30 2.2 Đối ngẫu của siêu mặt lồi của một hàm lồi . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1 Ánh xạ đặc biệt trên bán cầu . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2 Siêu mặt lồi đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán biên Dirichlet biến dạng . . . . . 39 2.3.1 Biểu thức của phiếm hàm I H (u) biểu diễn theo nghĩa siêu mặt lồi đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.2 Biểu thức biến đổi của I H (u) . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 2 MỞ ĐẦU Phương trình Monge-Ampere là phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến, được Monge đưa ra vào năm 1775. Đối với nhiều phương trình vi phân đạo hàm riêng mà ta nghiên cứu trong đó có phương trình Monge-Ampere, nghiệm cổ điển không phải bao giờ cũng tồn tại, vì vậy người ta cố gắng xây dựng lý thuyết các nghiệm suy rộng hoặc nghiệm yếu của chúng. Luận văn này giới thiệu một cách tìm nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampere elliptic. Nội dung của luận văn chủ yếu dựa vào chương IV của cuốn Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic Equations của Ilya J.Bakelman. Cơ sở lý thuyết để nghiên cứu bài toán là các định nghĩa và tính chất của thể lồi, các siêu mặt lồi của các hàm lồi và phương pháp biến phân để giải phương trình vi phân đạo hàm riêng. Chương 1 của Luận văn giới thiệu về phương trình Monge-Ampere elliptic xuất phát từ công thức độ cong Gauss trong không gian Euclid 3 chiều E 3 và khái quát trong không gian Euclid n-chiều E n , đưa ra dạng biến phân của phương trình Monge-Ampere, định nghĩa và mô tả một số tính chất của ánh xạ chuẩn tắc và R-độ cong của một hàm lồi. Từ đó xây dựng phiếm hàm của bài toán Dirichlet biến dạng của phương trình Monge-Ampere, chỉ ra được sự tồn tại nghiệm của bài toán biến phân đó. Chương 2 của Luận văn nghiên cứu bài toán Dirichlet biến dạng cho phương trình Monge-Ampere elliptic trong đó: Giới thiệu định nghĩa và một số tính chất của hàm tựa, thể tích hỗn tạp Minkowski của một thể lồi bị chặn trong E n+1 , đối ngẫu của một siêu mặt lồi của một hàm lồi. Cuối cùng chỉ ra được sự tồn tại nghiệm của bài toán biên Dirichlet biến dạng cho phương trình Monge-Ampere elliptic, và nghiệm này chính là cực tiểu tuyệt đối của bài toán biến phân biến dạng xét trong chương 1. 3 Em xin chân thành cảm ơn PGS. TS Hà Tiến Ngoạn người đã luôn tận tình chỉ bảo, góp ý giúp đỡ em trong quá trình thực hiện luận văn này. Em cũng xin chân thành cảm ơn những góp ý quý báu của các quý thầy cô trong hội đồng chấm luận văn. Qua đây em cũng xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán-Cơ-Tin học các thầy cô đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời gian em học tập tại trường KHTN-ĐHQG Hà Nội. Cảm ơn gia đình, bạn bè những người luôn động viên, giúp đỡ em hoàn thành luận văn này. 4 Chương 1 Dạng biến phân của phương trình Monge-Ampere 1.1 Phương trình Monge-Ampere elliptic và dạng biến phân 1.1.1 Công thức độ cong Gauss của một mặt cong trong không gian ba chiều Trong không gian Euclid E 3 cho mặt cong S có phương trình u = u(x, y), u(x, y) ∈ C 2 (B) ∩ C(B) với B là một tập mở bị chặn trong E 2 . Khi đó độ cong Gauss của mặt S tại điểm (x, y, u(x, y)) có dạng: K(x, y, u(x, y)) = u xx u yy − u 2 xy (1 + u 2 x + u 2 y ) 2 . (1.1) 1.1.2 Phương trình Monge-Ampere elliptic hai chiều Cho B là một tập bị chặn trong không gian Euclid E 2 ; K(x, y, p, q) là một hàm số nhận giá trị dương đã biết. Bài toán đặt ra là tìm hàm u = u(x, y) sao cho mặt cong của đồ thị hàm số tại điểm (x, y, u(x, y)) có độ cong Gauss cho 5 trước và bằng K(x, y, u(x, y), u x (x, y), u y (x, y)) tức là: u xx u yy − u 2 xy = K(x, y, u, u x , u y )(1 + u 2 x + u 2 y ) 2 . (1.2) Phương trình (1.2) được gọi là phương trình Monge-Ampere hai chiều. 1.1.3 Phương trình Monge-Ampere n-chiều a. Ký hiệu: G là tập lồi, mở, bị chặn trong không gian Euclid E n ; x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ G; u = u(x); u x = (u x 1 , u x 2 , , u x n ); u ij = u x i x j (i, j = 1, , n). b. Phương trình Monge-Ampere det (u ij ) = f(x, u, u x ) (x ∈ G), (1.3) trong đó f(x, u, p) là hàm số đã biết. Phương trình (1.3) được gọi là elliptic đối với hàm u(x) nếu ma trận (u ij (x)) n×n là ma trận xác định dương tại mọi điểm x ∈ G. Do đó phương trình (1.3) là elliptic nếu hàm f(x, u, p) nhận giá trị dương hay mọi nghiệm của (1.3) là hàm lồi trên G. c. Bài toán Dirichlet: Tìm nghiệm u(x) ∈ C 2 (G) ∩ C(G) của phương trình (1.3) thỏa mãn: 1. u(x) là hàm lồi trong G, 2. u| ∂G = 0. 1.1.4 Dạng biến phân của phương trình Monge-Ampere Có một sự liên quan giữa bài toán biến phân n-chiều và bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampere n-chiều đó là: cực tiểu tuyệt đối của bài toán biến phân là nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampere tương ứng. Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số vấn đề chính về mối liên hệ giữa bài 6 toán biến phân và phương trình Monge-Ampere elliptic det (u ij ) = f(x 1 , x 2 , , x n ). (1.4) Phiếm hàm I n (u) = −  G [u(x)det(u ij (x)) − (n + 1)f(x)u(x)]dx, (1.5) trong đó G là một tập lồi, mở, bị chặn trong không gian Euclid E n . Phiếm hàm (1.5) có phương trình Euler là phương trình Monge-Ampere (1.4). Bakelman đã nghiên cứu bài toán biến phân cho phiếm hàm (1.5) và chứng minh rằng cực tiểu tuyệt đối của bài toán này là nghiệm suy rộng của phương trình elliptic (1.4). 1.1.5 Ánh xạ chuẩn tắc và R-độ cong của hàm lồi a. Một số ký hiệu: (x 1 , x 2 , , x n , x n+1 ) là tọa độ Đề các trong không gian Euclid (n + 1)-chiều E n+1 và E n là siêu phẳng x n+1 = 0. x = (x 1 , x 2 , , x n ) và (x, z) = (x 1 , x 2 , , x n , z) là các điểm của E n và E n+1 . Cho G là một miền lồi mở bị chặn trong E n . Ký hiệu S z là đồ thị của hàm z : G → R. W + (G) và W − (G) tương ứng là các lớp tất cả các hàm lồi và các hàm lõm xác định trên G, nếu z(x) ∈ W + (G) hoặc z(x) ∈ W − (G) thì S z được gọi là một siêu mặt lồi hay siêu mặt lõm. b. Ánh xạ chuẩn tắc Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian R n = {p = (p 1 , p 2 , , p n )} với tích vô hướng (p, q) = n  i=1 p i q i và |p| = (p, p) 1 2 là độ dài của véc tơ p ∈ R n nào đó. Không gian R n gọi là không gian Gradient. Định nghĩa 1.1.2. Cho E n là không gian Euclid n-chiều và M là một tập trong E n . Một siêu phẳng α được gọi là tựa đối với tập M nếu α ∩ M = ∅ và tập M nằm về một phía của α. 7 Vậy nếu α là một siêu phẳng tựa của tập M khi đó α không thể đi qua các điểm trong của M và do đó α ∩ M ⊂ ∂M. Định nghĩa 1.1.3. Cho z(x) là một hàm lồi xác định trong G. Cho α là một siêu phẳng tựa tùy ý của S z . Nếu Z − z 0 = (p 0 , X − x 0 ) = p 0 1 (X 1 − x 0 1 ) + . . . + p 0 n (X n − x 0 n ) (1.6) là phương trình của α, thì điểm (x 0 , z 0 ) ∈ S z ∩ α. Điểm p 0 = (p 0 1 , p 0 2 , , p 0 n ) ∈ R n được gọi là ảnh chuẩn tắc của siêu phẳng tựa α và ký hiệu là p 0 = χ z (α). (1.7) Tập χ z (x 0 ) =  α χ z (α) (1.8) được gọi là ảnh chuẩn tắc của điểm x 0 (Chính xác hơn χ z (x 0 ) là ảnh chuẩn tắc của điểm x 0 ứng với hàm z(x)), trong đó x 0 là một điểm thuộc G, α là siêu phẳng tựa của S z tại điểm (x 0 , z(x 0 )) ∈ S z . Rõ ràng χ z (x 0 ) là một tập con lồi đóng của không gian Gradient R n . Nếu χ z (x 0 ) chứa một điểm thì siêu mặt lồi S z có một siêu phẳng tiếp xúc tại điểm (x 0 , z(x 0 )), điểm (x 0 , z(x 0 )) được gọi là trơn trong S z . Ví dụ. Nếu z(x) là một hàm lồi, tuyến tính từng khúc khi đó χ z (x 0 ) là một khối đa diện lồi đóng trong không gian gradient R n , số chiều có thể là 0, 1, 2, , n. Cho e là một tập con của G, tập χ z (e) =  x 0 ∈e χ z (x 0 ) (1.9) được gọi là ảnh chuẩn tắc của e, chú ý rằng χ z (e) là một tập con của không gian gradient R n . Ánh xạ χ z xác định như trên được gọi là ánh xạ chuẩn tắc. 8 [...]... thỏa mãn phương trình (2.2) được gọi là nghiệm yếu của phương trình Monge-Ampere (2.1) − Bây giờ cho u(x) ∈ C0 (G), H là một tập con lồi của G sao cho hH = dist (H, ∂G) > 0, w(x) là mở rộng của u(x) trên tập H từ phía dưới và ψH (e) là hàm tập hoàn toàn cộng tính không âm trên các tập con Borel của G (xem Mục 1.2.1) Khi đó phương trình Monge-Ampere (2.2) có dạng: ω(w, e) = ψH (e) Từ Định lý 1.3.3 suy ra... (G) Chứng minh được suy trực tiếp từ tính chất (1) (4) Đẳng thức w(x) = FH (w(x)) (1.30) + đúng nếu và chỉ nếu w(x) ∈ WH (G) − Chứng minh Nếu hàm w(x) ∈ C0 (G) thỏa mãn phương trình (1.30) thì từ + định nghĩa của toán tử FH suy ra w(x) ∈ WH (G) Điều ngược lại suy ra từ tính chất của bao lồi + (5) Tập WH (G) là một tập con đóng của không gian C(G) Chứng minh Giả sử w(x) là giới hạn của dãy các hàm w1... (G) ∩ C(G) thỏa mãn phương trình (2.1) Cho u(x) ∈ C 2 (G) ∩ C(G) là một hàm lồi thỏa mãn phương trình (2.1) và e là một tập con Borel của G, lấy tích phân hai vế của (2.1) trên e ta có: det (uij (x))dx = e f (x)dx, e bằng phép đổi biến với p = Du ta thu được: dp = f (x)dx, e χu (e) hay ω(u, e) = f (x)dx e 25 Với ψ(e) = f (x)dx là một hàm tập hoàn toàn cộng tính không âm, phương e trình Monge-Ampere... Sw Việc chứng minh được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của Sw và từ những tính chất đã biết của một bao lồi (2) Đẳng thức mesχw (G | H) = 0 đúng với mọi hàm w(x) = FH (u(x)) 13 (1.27) Cho β là một siêu phẳng tựa nào đó của Sw tại điểm (x0 , w(x0 )) với x0 ∈ G | H Khi đó từ tính chất (1), suy ra β là một siêu phẳng tựa kỳ dị của Sw vì ảnh chuẩn tắc của mọi siêu phẳng tựa kỳ dị của mọi siêu mặt lồi có... thuộc lớp C 2 với mọi véc tơ không âm Từ (2.17), (2.18), (2.20) suy ra V (H1 , H2 ) = 1 n+1 h2 (ν)Dn (H1 , ν)dσ (2.25) Sn trong đó ν là véc tơ đơn vị, dσ là vi phân của diện tích của S n ; h1 (ν), h2 (ν) là các hàm tựa của H1 và H2 và Dm (H1 , ν) là ký hiệu tổng tất cả các định thức con chính cấp m của ma trận Hessian của h1 (ν) Sự mở rộng của (2.25) như sau V1 (H1 , H2 , , Hn+1 ) = 1 n+1 hn+1 (ν)Dn (H1... hàm của bài toán Dirichlet biến dạng Phiếm hàm IH (u) Trong mục này chúng ta xây dựng mở rộng IH (u) của phiếm hàm In (u) tới tập tất cả các hàm liên tục, không dương triệt tiêu trên ∂G và thiết lập tính 12 liên tục của IH (u) Ở đây H là một tập con lồi nào đó của G, khoảng cách của nó tới ∂G là một số dương (hH = dist(H, ∂G) > 0) và G là một tập lồi bị chặn trong E n a Toán tử FH và các tính chất của. .. u(x)ϕH (x) với ϕH (x) là hàm đặc trưng của tập H Nếu Sv là đồ thị của v(x) thì biên của bao lồi đóng C0 (Sv ) gồm có G và đồ thị − Sw của hàm lồi w(x) nào đó Rõ ràng w(x) ∈ W + (G) ∩ C0 (G) Trong trường hợp này chúng ta nói w(x) là mở rộng của u(x) trên tập H từ phía dưới và kí hiệu FH là toán tử biến hàm u(x) ∈ C0 (G) thành hàm lồi w(x) tương ứng Các tính chất của FH : (1) Mọi siêu phẳng tựa β tới... mỗi mặt Q của P là một tổ hợp tuyến tính Q = λ1 Q1 + λ2 Q2 + · · · + λk Qk (2.9) trong đó Qs là mặt của Ps , (s = 1, 2, , k), và Qs nằm trên các mặt phẳng song song với Qi Các mặt Qi tạo ra n-mặt Q có thể có ki chiều (0 ≤ ki ≤ n) Cho Q là một mặt của P , ν là pháp tuyến ngoài đơn vị của Q và h(ν) là hàm tựa của P , số h = h(ν) (2.10) gọi là số tựa của n-mặt Q Cho h1 , h2 , , hk là các số tựa của các... thức thuần nhất bậc n + 1 ứng với các hệ số của nó Chú ý rằng Định lý 2.1.3 và Định lý 2.1.4 có thể mở rộng đến các thể lồi bị chặn trong E n+1 Ví dụ phương trình (2.15) có dạng h0 (ν)dS (1) V (H0 , H1 , , H1 ) = (2.20) ∂H1 trong đó h0 (ν) là hàm tựa của H0 được tính cho các véc tơ đơn vị ν, và dS (1) là vi phân của diện tích ∂H1 Các tính chất đơn giản của thể tích hỗn tạp 1 Cho H1 , H2 , , Hn+1... Bổ đề 1.3.3 suy ra tồn tại ít nhất một hàm w0 (x) ∈ U (H, m0 , M0 ) sao cho IH (w0 (x)) = inf U (H,m0 ,M0 ) Định lý 1.3.3 được chứng minh 24 IH (u) Chương 2 Bài toán Dirichlet biến dạng Cho G là một tập lồi mở bị chặn trong không gian Euclide E n , xét phương trình Monge-Ampere det (uij (x)) = f (x) (2.1) trong đó x ∈ G, f (x) là hàm số nhận giá trị dương đã biết Nghiệm cổ điển của phương trình Monge-Ampere . TRUNG NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ MINH TRUNG NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG. thuyết các nghiệm suy rộng hoặc nghiệm yếu của chúng. Luận văn này giới thiệu một cách tìm nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampere elliptic. Nội dung của luận văn chủ. phân của phương trình Monge-Ampere, định nghĩa và mô tả một số tính chất của ánh xạ chuẩn tắc và R-độ cong của một hàm lồi. Từ đó xây dựng phiếm hàm của bài toán Dirichlet biến dạng của phương trình