nghiệm suy rộng của phương trình monge-amperer elliptic

Đối với nhiều phương trình vi phân đạo hàm riêng mà ta nghiên cứu trong đó có phương trình Monge-Ampere, nghiệm cổ điển không phải bao giờ cũngtồn tại, vì vậy người ta cố gắng xây dựng l

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS HÀ TIẾN NGOẠN

Hà Nội - Năm 2012

Mục lục

1.1 Phương trình Monge-Ampere elliptic và dạng biến phân 5

1.1.1 Công thức độ cong Gauss của một mặt cong trong không gian ba chiều 5

1.1.2 Phương trình Monge-Ampere elliptic hai chiều 5

1.1.3 Phương trình Monge-Ampere n-chiều 6

1.1.4 Dạng biến phân của phương trình Monge-Ampere 6

1.1.5 Ánh xạ chuẩn tắc và R-độ cong của hàm lồi 7

1.2 Phiếm hàm của bài toán Dirichlet biến dạng 12

1.2.1 Phiếm hàm IH(u) 12

1.2.2 Các tính chất của các phiếm hàm ΦH, τH và IH 18

1.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán biến phân 19

1.3.1 Ước lượng hai chiều cho IH(u) 20

1.3.2 Định lý chính về phiếm hàm IH(u) 23

2 Bài toán Dirichlet biến dạng 25 2.1 Thể tích hỗn tạp Minkowski 26

2.1.1 Hàm tựa 26

2.1.2 Thể tích hỗn tạp Minkowski của khối đa diện lồi 28

2.1.3 Thể tích hỗn tạp Minkowski cho thể lồi bị chặn tổng quát 30

2.2 Đối ngẫu của siêu mặt lồi của một hàm lồi 34

2.2.1 Ánh xạ đặc biệt trên bán cầu 34

2.2.2 Siêu mặt lồi đối ngẫu 35

2.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán biên Dirichlet biến dạng 39

2.3.1 Biểu thức của phiếm hàm IH(u) biểu diễn theo nghĩa siêu mặt lồi đối ngẫu 39

2.3.2 Biểu thức biến đổi của IH(u) 43

MỞ ĐẦU

Phương trình Monge-Ampere là phương trình vi phân đạo hàm riêng phituyến, được Monge đưa ra vào năm 1775

Đối với nhiều phương trình vi phân đạo hàm riêng mà ta nghiên cứu trong

đó có phương trình Monge-Ampere, nghiệm cổ điển không phải bao giờ cũngtồn tại, vì vậy người ta cố gắng xây dựng lý thuyết các nghiệm suy rộng hoặcnghiệm yếu của chúng

Luận văn này giới thiệu một cách tìm nghiệm suy rộng của bài toán Dirichletcho phương trình Monge-Ampere elliptic Nội dung của luận văn chủ yếu dựavào chương IV của cuốn Convex Analysis and Nonlinear Geometric EllipticEquations của Ilya J.Bakelman Cơ sở lý thuyết để nghiên cứu bài toán là cácđịnh nghĩa và tính chất của thể lồi, các siêu mặt lồi của các hàm lồi và phươngpháp biến phân để giải phương trình vi phân đạo hàm riêng

Chương 1 của Luận văn giới thiệu về phương trình Monge-Ampere ellipticxuất phát từ công thức độ cong Gauss trong không gian Euclid 3 chiều E3

và khái quát trong không gian Euclid n-chiều En, đưa ra dạng biến phân củaphương trình Monge-Ampere, định nghĩa và mô tả một số tính chất của ánh xạchuẩn tắc và R-độ cong của một hàm lồi Từ đó xây dựng phiếm hàm của bàitoán Dirichlet biến dạng của phương trình Monge-Ampere, chỉ ra được sự tồntại nghiệm của bài toán biến phân đó

Chương 2 của Luận văn nghiên cứu bài toán Dirichlet biến dạng cho phươngtrình Monge-Ampere elliptic trong đó: Giới thiệu định nghĩa và một số tính chấtcủa hàm tựa, thể tích hỗn tạp Minkowski của một thể lồi bị chặn trong En+1,đối ngẫu của một siêu mặt lồi của một hàm lồi Cuối cùng chỉ ra được sự tồn tạinghiệm của bài toán biên Dirichlet biến dạng cho phương trình Monge-Ampereelliptic, và nghiệm này chính là cực tiểu tuyệt đối của bài toán biến phân biếndạng xét trong chương 1

Em xin chân thành cảm ơn PGS TS Hà Tiến Ngoạn người đã luôn tận tìnhchỉ bảo, góp ý giúp đỡ em trong quá trình thực hiện luận văn này Em cũng xinchân thành cảm ơn những góp ý quý báu của các quý thầy cô trong hội đồngchấm luận văn.

Qua đây em cũng xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám Hiệu, PhòngSau Đại Học, Khoa Toán-Cơ-Tin học các thầy cô đã tạo điều kiện giúp đỡ emtrong thời gian em học tập tại trường KHTN-ĐHQG Hà Nội Cảm ơn gia đình,bạn bè những người luôn động viên, giúp đỡ em hoàn thành luận văn này

1.1.1 Công thức độ cong Gauss của một mặt cong trong

không gian ba chiều

Trong không gian Euclid E3 cho mặt cong S có phương trình u = u(x, y),u(x, y) ∈ C2(B) ∩ C(B) với B là một tập mở bị chặn trong E2 Khi đó độ congGauss của mặt S tại điểm (x, y, u(x, y)) có dạng:

1.1.2 Phương trình Monge-Ampere elliptic hai chiều

Cho B là một tập bị chặn trong không gian Euclid E2; K(x, y, p, q) là mộthàm số nhận giá trị dương đã biết Bài toán đặt ra là tìm hàm u = u(x, y) saocho mặt cong của đồ thị hàm số tại điểm (x, y, u(x, y)) có độ cong Gauss cho

trước và bằng K(x, y, u(x, y), ux(x, y), uy(x, y)) tức là:

uxxuyy − u2xy = K(x, y, u, ux, uy)(1 + u2x+ u2y)2 (1.2)Phương trình (1.2) được gọi là phương trình Monge-Ampere hai chiều

1.1.3 Phương trình Monge-Ampere n-chiều

a Ký hiệu: G là tập lồi, mở, bị chặn trong không gian Euclid En;

x = (x1, x2, , xn) ∈ G; u = u(x); ux = (ux1, ux2, , uxn); uij = uxixj

(i, j = 1, , n)

b Phương trình Monge-Ampere

det (uij) = f (x, u, ux) (x ∈ G), (1.3)trong đó f (x, u, p) là hàm số đã biết

Phương trình (1.3) được gọi là elliptic đối với hàm u(x) nếu ma trận (uij(x))n×n

là ma trận xác định dương tại mọi điểm x ∈ G Do đó phương trình (1.3) làelliptic nếu hàm f (x, u, p) nhận giá trị dương hay mọi nghiệm của (1.3) là hàmlồi trên G

c Bài toán Dirichlet:

Tìm nghiệm u(x) ∈ C2(G) ∩ C(G) của phương trình (1.3) thỏa mãn:

1 u(x) là hàm lồi trong G,

2 u|∂G = 0

1.1.4 Dạng biến phân của phương trình Monge-Ampere

Có một sự liên quan giữa bài toán biến phân n-chiều và bài toán Dirichletcho phương trình Monge-Ampere n-chiều đó là: cực tiểu tuyệt đối của bài toánbiến phân là nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampere tương ứng.Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số vấn đề chính về mối liên hệ giữa bài

toán biến phân và phương trình Monge-Ampere elliptic

det (uij) = f (x1, x2, , xn) (1.4)Phiếm hàm

1.1.5 Ánh xạ chuẩn tắc và R-độ cong của hàm lồi

a Một số ký hiệu:

(x1, x2, , xn, xn+1) là tọa độ Đề các trong không gian Euclid (n + 1)-chiều

En+1 và En là siêu phẳng xn+1 = 0

x = (x1, x2, , xn) và (x, z) = (x1, x2, , xn, z) là các điểm của En và En+1.Cho G là một miền lồi mở bị chặn trong En Ký hiệu Sz là đồ thị của hàm

z : G → R W+(G) và W−(G) tương ứng là các lớp tất cả các hàm lồi và cáchàm lõm xác định trên G, nếu z(x) ∈ W+(G) hoặc z(x) ∈ W−(G) thì Sz đượcgọi là một siêu mặt lồi hay siêu mặt lõm

Vậy nếu α là một siêu phẳng tựa của tập M khi đó α không thể đi qua cácđiểm trong của M và do đó α ∩ M ⊂ ∂M

Định nghĩa 1.1.3 Cho z(x) là một hàm lồi xác định trong G Cho α là mộtsiêu phẳng tựa tùy ý của Sz Nếu

Z − z0 = (p0, X − x0) = p01(X1 − x01) + + p0n(Xn− x0n) (1.6)

là phương trình của α, thì điểm (x0, z0) ∈ Sz ∩ α

Điểm p0 = (p01, p02, , p0n) ∈ Rn được gọi là ảnh chuẩn tắc của siêu phẳngtựa α và ký hiệu là

Nếu χz(x0) chứa một điểm thì siêu mặt lồi Sz có một siêu phẳng tiếp xúctại điểm (x0, z(x0)), điểm (x0, z(x0)) được gọi là trơn trong Sz

Ví dụ Nếu z(x) là một hàm lồi, tuyến tính từng khúc khi đó χz(x0) làmột khối đa diện lồi đóng trong không gian gradient Rn, số chiều có thể là

Các tính chất chính của ánh xạ chuẩn tắc của một siêu mặt lồi.

Ta vẫn ký hiệu G là tập lồi, mở, bị chặn của En

A Cho z1(x) và z2(x) là các hàm lồi xác định trên G sao cho z1|∂G = z2|∂G

và z1(x) ≤ z2(x) ∀x ∈ G Khi đó

B Cho z(x) là hàm lồi nào đó xác định trên G Khi đó χz(F ) là một tậpcon đóng bị chặn trên không gian gradient Rn, trong đó F là một tập con đóngcủa G Nếu δF là khoảng cách từ F đến ∂G, và

M (z, δF) = max

x∈G:dist(x,∂G)≥δ F

|z(x)|,khi đó bất đẳng thức

diamχz(F ) ≤ 8δF−1M (z, δF) (1.11)đúng, và χz(F ) chứa trong hình cầu |p| ≤ 4δF−1M (z, δF)

C Siêu phẳng tựa α của siêu mặt lồi Sz được gọi là kỳ dị nếu α ∩ Sz chứa

ít nhất hai điểm phân biệt Rõ ràng siêu phẳng tựa kỳ dị α của Sz chứa ít nhấtmột đoạn l ⊂ α ∩ Sz

Cho Qz là tập tất cả các siêu phẳng tựa kỳ dị của Sz Khi đó

mesRn

α∈Q z

Nếu Qz = ∅ thì Sz được gọi là một siêu mặt lồi ngặt

D Nếu e là một tập con Borel của G Khi đó tập χz(e) là đo được Lebesguetrên không gian Rn

E Nếu z(x) ∈ W+(G) ∩ C1(G) thì ánh xạ chuẩn tắc có thể được rút gọn vềánh xạ của các điểm trùng với ánh xạ tiếp xúc, tức là:

χz(x0) = zx(x0)

c R-độ cong của các hàm lồi

Cho R(p) > 0 là một hàm khả tích địa phương trong không gian gradient

Rn z(x) là hàm lồi nào đó xác định trên G Ta có hàm tập

ω(R, z, e) =

Z

χ z (e)

trong đó e là tập con Borel của G (G là tập lồi, mở, bị chặn trên En)

Định nghĩa 1.1.4 Hàm tập (1.13) được gọi là R-độ cong của hàm lồi z(x),R-độ cong chỉ nhận giá trị không âm

Do đó từ định lý tích phân suy ra R-độ cong là một hàm tập hoàn toàn cộngtính không âm trên vành các tập con Borel của G

Các tính chất của hàm lồi có liên quan đến R-độ cong của chúngĐịnh lý 1.1.1 Cho z1(x) và z2(x) ∈ W+(G) và z1(x) ≥ z2(x) trên ∂G, trong

đó G là một tập lồi mở, bị chặn trên En Giả sử

ω(R, z1, e) ≤ ω(R, z2, e) (1.15)với mọi tập con Borel e của G Khi đó

z1(x) ≥ z2(x), ∀x ∈ G

Định lý 1.1.2 Cho z1(x) và z2(x) ∈ W+(G) và z1(x) = z2(x), ∀x ∈ ∂G Cho

ω(R, z1, e) = ω(R, z2, e)

với mọi tập con Borel e ∈ G Khi đó z1(x) = z2(x), ∀x ∈ G.

Các bổ đề hình học và các ước lượng

Cho G là một tập lồi mở, bị chặn trong En, u(x) ∈ C(G) là một hàm lồitùy ý triệt tiêu trên ∂G Xét nón lồi K với đỉnh (x0, u(x0)) đáy ∂G, trong đó

x0 là một điểm trong của G và K là đồ thị hàm số z = k(x)

Bổ đề 1.1.1 Cho R(p) > 0 là một hàm khả tích địa phương trong Rn = {p =(p1, p2, , pn)} Khi đó

Định lý 1.1.3 Cho u(x) là hàm lồi trên G thỏa mãn hai điều kiện:

a) u|∂G = h = const

b) ω(R, u, G) < B(R)

Khi đó

h − TR(ωu)d(G) ≤ u(x) ≤ h (1.20)trong đó ωu = ω(R, u, G)

Nhận xét: Nếu u(x) là hàm lõm trên G thỏa mãn các điều kiện a) và b) Khi

đó bất đẳng thức (1.20) có dạng

h ≤ u(x) ≤ h + TR(ωu)d(G) (1.21)khắp nơi trong G

Định lý 1.1.4 Cho G là một tập lồi bị chặn trong En và V (ω0) = {z(x0)} làtập tất cả các hàm lồi, lõm thuộc W (G) thỏa mãn các điều kiện sau

Khi đó bất đẳng thức

m − TR(ω0)d(G) ≤ z(x) ≤ M (1.24)đúng nếu z(x) là hàm lồi Tương tự bất đẳng thức

M ≤ z(x) ≤ M + TR(ω0)d(G) (1.25)đúng nếu z(x) là hàm lõm

1.2 Phiếm hàm của bài toán Dirichlet biến dạng

1.2.1 Phiếm hàm IH(u)

Trong mục này chúng ta xây dựng mở rộng IH(u) của phiếm hàm In(u) tớitập tất cả các hàm liên tục, không dương triệt tiêu trên ∂G và thiết lập tính

liên tục của IH(u) Ở đây H là một tập con lồi nào đó của G, khoảng cách của

nó tới ∂G là một số dương (hH = dist(H, ∂G) > 0) và G là một tập lồi bị chặntrong En

a Toán tử FH và các tính chất của nó

Cho G là một tập lồi mở, bị chặn trong En và H là tập con lồi của G cókhoảng cách đến ∂G là một số dương hH H, G là bao đóng của H và G Kýhiệu C0−(G) là tập con đóng của không gian C(G) bao gồm tất cả các hàm liêntục không dương triệt tiêu trên ∂G Toán tử FH biến tập C0−(G) thành lớp cáchàm lồi đặc biệt mà sẽ được giới thiệu dưới đây Toán tử này sẽ được dùng cho

mở rộng phiếm hàm In(u) tới tập C0−(G)

Định nghĩa 1.2.1 Cho

v(x) =

(u(x) nếu x ∈ H

với u(x) ∈ C0−(G) v(x) = u(x)ϕH(x) với ϕH(x) là hàm đặc trưng của tập H.Nếu Sv là đồ thị của v(x) thì biên của bao lồi đóng C0(Sv) gồm có G và đồ thị

Sw của hàm lồi w(x) nào đó Rõ ràng w(x) ∈ W+(G) ∩ C0−(G)

Trong trường hợp này chúng ta nói w(x) là mở rộng của u(x) trên tập H từphía dưới và kí hiệu FH là toán tử biến hàm u(x) ∈ C0(G) thành hàm lồi w(x)tương ứng

Cho β là một siêu phẳng tựa nào đó của Sw tại điểm (x0, w(x0)) với x0 ∈

G | H Khi đó từ tính chất (1), suy ra β là một siêu phẳng tựa kỳ dị của Sw

vì ảnh chuẩn tắc của mọi siêu phẳng tựa kỳ dị của mọi siêu mặt lồi có độ đokhông, nên

(5) Tập WH+(G) là một tập con đóng của không gian C(G)

Chứng minh Giả sử w(x) là giới hạn của dãy các hàm w1(x), w2(x), , wm(x), thuộc vào WH+(G) trong không gian C(G) Rõ ràng w(x) là một hàm lồi trong

C0−(G) Tính chất đang xét sẽ được chứng minh nếu ta thiết lập được đẳng thức

w(x) = FH(w(x)) (xem tính chất (4)) (1.31)

Ta có

v(x) = w(x)ϕH(x), vm(x) = wm(x)ϕH(x) (1.32)Hạn chế vm(x) và v(x) trên tập lồi compact H là các hàm lồi và

lim

m→∞vm(x) = v(x)với mọi x ∈ H và vm(x) = v(x) = 0 với mọi x ∈ G | H

Do đó

C0{Sw} = lim

m→∞C0{Swm} = lim

m→∞C0{Svm} = C0{Sv}, (1.33)bởi vì đẳng thức

C0{Swm} = C0{Svm}suy ra từ điều kiện wm(x) ∈ WH+(G) với mọi số nguyên dương m Vì (1.33) làtương đương với đẳng thức (1.31) suy ra tính chất (5) được chứng minh

(6) Tập χw(G) được chứa trong hình cầu n-chiều |P | ≤ ||w(x)||

hH với mọi hàmw(x) ∈ WH+(G)

Chứng minh Cho α là một siêu phẳng tựa của đồ thị Sw của hàm w(x) ∈

WH+(G) nào đó Khi đó tồn tại một điểm x0 ∈ H sao cho điểm (x0, w(x0)) nằmtrong α Chú ý là dist(x0, ∂G) không nhỏ hơn hH = dist(H, ∂G) > 0

Cho Kx0 là một nón lồi với đỉnh (x0, w(x0)) và đáy U (x0, hH), với U (x0, hH)

là một n-cầu đóng với tâm x0 và bán kính hH Cho kx0 là một hàm lồi hạn chếtrên Kx0

(7) Từ (6) suy ra trực tiếp hàm w(x) ∈ WH+(G) bất kì thỏa mãn điều kiệnLipschitz với hằng số ||w(x)||/hH

0 nếu x ∈ G | H và u(x) ≥ −εcũng với mọi x ∈ H

Vì vn(x) hội tụ đến v(x) trên G, tồn tại số tự nhiên N sao cho

v(2)ε (x) ≤ vn(x) ≤ vε(1)(x) ∀n ≥ N và x ∈ G

Từ định nghĩa của toán tử FH suy ra

FH(vε(2)(x)) ≤ wn(x) ≤ FH(un(x)) ≤ FH(vε(1)(x)) ∀n ≥ N và x ∈ G.Từ

lim

ε→0FH(v(2)ε (x)) = lim

ε→0FH(vε(1)(x)) = w(x)

với mọi hàm w(x) = FH(u(x)).

Cho ψ(e) là một hàm tập hợp cộng tính hoàn toàn không âm trên các tậpcon Borel của G và ψ(G) < +∞, ta định nghĩa một hàm tập mới

đúng với mọi hàm u(x) ∈ C0−(G) và hàm lồi w(x) = FH(u(x)).

Nhận xét: Giả sử ψ(e) ≥ C0mes(e) với mọi tập con Borel e ⊂ G, ở đây

C0 = const > 0 Khi đó đẳng thức có thể đạt được trong (1.41) và (1.42) khi

và chỉ khi hạn chế của u(x) trên tập H lồi n-chiều là một hàm lồi

đồ thị của u(x) với x ∈ Hu Mọi siêu phẳng tựa α của đồ thị hàm w(x) có ítnhất một điểm chung với tập SHu Do đó χw(G|Hu) chỉ gồm ảnh của các siêuphẳng tựa kì dị tới đồ thị của w(x) Vì vậy từ tính chất (2) suy ra là

1.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán biến phân

Từ phần 1.2 suy ra cực tiểu tuyệt đối của phiếm hàm IH(u) chỉ có thể đạtđược tại hàm lồi w(x) ∈ WH+(G) Trong phần này ta thiết lập sự tồn tại củacực tiểu tuyệt đối w(x) cho phiếm hàm IH(u) với w(x) ∈ WH+(G)

1.3.1 Ước lượng hai chiều cho IH(u)

Bổ đề 1.3.1 Bất đẳng thức:

|w(x)| ≥ hH

đúng cho mọi hàm lồi w(x) ∈ WH+(G), ∀x ∈ H

Chứng minh Bất đẳng thức (1.47) đúng cho trường hợp tầm thường w(x) = 0trong G Do đó chúng ta giả sử ||w(x)|| > 0 Cho w(x) ∈ WH+(G) bất kỳ Từtính chất (1) suy ra tồn tại điểm x0 ∈ H sao cho

G

[−w(x)]ω(w, de) ≥ µnhH

(diamG)n+1||w(x)||n+1 (1.61)

Chứng minh Đầu tiên ta ước lượng phía trên tích phân

Z

G

[−w(x)]ω(w, de) Tacó

0 ≤Z

G

[−w(x)]ω(w, de) ≤ ||w||ω(w, G)

Từ tính chất (6) ta có:

0 ≤Z

G

[−w(x)]ω(w, de) ≤ µn

hnH||w||n+1 (1.63)Bây giờ ta ước lượng phía dưới cho

||w||n+1 − (n + 1)hHψH(G)||w||

bởi vì w(x) ≤ 0 trong G Định lý 1.3.2 được chứng minh

1.3.2 Định lý chính về phiếm hàm IH(u)

Cho U (H, m, M ) là tập con các hàm w(x) ∈ WH+(G) thỏa mãn điều kiện

ở đây 0 ≤ m < M < +∞ là các hằng số Nếu m = 0 thì U (H, m, M ) gồm cáchàm w(x) ∈ WH+(G) thỏa mãn bất đẳng thức

Bổ đề 1.3.3 Mọi tập U (H, m, M ) là compact trong C(G)

Chứng minh Tập U (H, m, M ) là đóng và bị chặn trong C(G) và với hàm w(x) ∈

U (H, m, M ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc một với hằng số M µ1/nn (hH)−1.Vậy U (H, m, M ) là compact trong C(G) Bổ đề 1.3.3 được chứng minh

Định lý 1.3.3 (Định lý chính về cực tiểu tuyệt đối cho IH(u))

Phiếm hàm IH(u) có ít nhất một cực tiểu tuyệt đối là một hàm u = w0(x)chứa trong WH+(G) và cực tiểu này thỏa mãn bất đẳng thức m0 ≤ ||w(x)|| ≤ M0với

Chứng minh Từ Định lý 1.3.1 suy ra lim

k→∞IH(wk) = +∞ nếu wk(x) ∈ WH+(G)

và ||wk(x)|| → +∞ Do đó ta có thể tìm được một số dương M0 sao cho

IH(w) > 1 nếu ||w(x)|| > M0 Ví dụ ta có thể lấy M0 là số M0 nói đến trongĐịnh lý 1.3.3 Bây giờ từ biểu thức của IH(u) và Định lý 1.3.2 ta thấy IH(0) = 0

và IH(w) < 0 nếu w ∈ WH+(G), ||w|| > 0 và ||w|| là đủ nhỏ Do đó IH(u) là bịchặn dưới và IH(u) nhận giá trị âm

Bây giờ ta xét hàm

ϕ(t) = µn

hn H

tn+1 − (n + 1)hH

diamG ψH(G)t, với t ∈ [0, +∞).