2 Bài toán Dirichlet biến dạng
2.1.2Thể tích hỗn tạp Minkowski của khối đa diện lồi
diện lồi bị chặn trong En+1, khi đó
P =λ1P1+λ2P2 +· · ·+λkPk (2.8) cũng là một khối đa diện bị chặn, và mỗi mặt Q của P là một tổ hợp tuyến tính Q = λ1Q1+λ2Q2+· · ·+λkQk (2.9) trong đó Qs là mặt củaPs, (s= 1,2, ..., k), vàQs nằm trên các mặt phẳng song song với Qi. Các mặt Qi tạo ra n-mặt Q có thể có ki chiều (0 ≤ ki ≤ n).
Cho Q là một mặt của P, ν là pháp tuyến ngoài đơn vị của Q và h(ν) là hàm tựa của P, số
h= h(ν) (2.10)
gọi là số tựa của n-mặt Q.
Cho h1, h2, ..., hk là các số tựa của các mặt Q1, Q2, ..., Qk của các khối đa diện P1, P2, ..., Pk, khi đó
h= λ1h1+λ2h2+· · ·+λkhk (2.11) là số tựa của mặt Q của khối đa diện
P =λ1P1+λ2P2+· · ·+λkPk.
Định lý 2.1.2. Cho λ1, λ2, ..., λk là các số không âm bất kỳ, P1, P2, ..., Pk xác định các khối đa diện lồi bị chặn trong En+1, và
P =λ1P1+λ2P2+· · ·+λkPk.
Khi đó thể tích V(P) của khối đa diện lồi bị chặn P là một đa thức thuần nhất bậc n+ 1 ứng với các giá trị thực λ1, λ2, ..., λk.
Ta thường viết thể tích V(P) của khối đa diện lồi bị chặn P =λ1P1+λ2P2 +· · ·+λkPk
dưới dạng V(P) = k X i1i2...in+1 λi1λi2...λin+1Vi1i2...in+1 (2.12) trong đó các chỉ số ij chạy độc lập từ 1 đến k. Do đó tích λi1λi2...λin+1 là nhận nhiều lần như sự sắp xếp lại các số nguyên dương i1, i2, ..., in+1. Các hệ số Vi1i2...in+1 xác định không phụ thuộc vào bậc của i1, i2, ..., in+1.
Cho λi1λi2...λin+1 là tích của các số lấy từ λ1, λ2, ..., λk. Tập các giá trị λj bằng 0 trừ các số đã chọn λi1, λi2, ..., λin+1 trong công thức
P = X j
λjPj. (2.13)
Khi đó đa diện Pj tương ứng không bao gồm tổ hợp (2.13). Vậy hệ số Vi1i2...in+1 cho tíchλi1λi2...λin+1 chỉ phụ thuộc vào các đa diện Pi1, Pi2, ..., Pin+1, không nhất thiết phân biệt bởi vì các số nguyên dương i1, i2, ..., in+1 không nhất thiết phân biệt.
Ta xét trường hợp đặc biệt λ1 = 1, λ2 = ... = λk = 0. Khi đó P = P1 từ (2.12) suy ra
V11...1 = V(P1).
Các hệ sốVi1i2...in+1 được gọi làthể tích hỗn tạp Minkowski(hay thể tích hỗn tạp) của đa diệnPi1, Pi2, ..., Pin+1. Ta ký hiệu thể tích này bởiV(Pi1, Pi2, ..., Pin+1). Từ định nghĩa suy ra rằng V(Pi1, Pi2, ..., Pin+1) không phụ thuộc vào bậc của các chỉ số i1, i2, ..., in+1, chúng là các hàm đối xứng của Pi1, ..., Pin+1.
Với trường hợp của hai khối đa diện lồi bị chặn P1 và P2 công thức (2.12) có dạng V(λ1P1+λ2P2) = n+1 X j=1 λ1n+j−1λj2Cnj+1VP1, P1, ..., P1 | {z } n−j+1 ;P2, ..., P2 | {z } j . (2.14) Định lý 2.1.3. Cho V(P0, P1, ..., P1) là thể tích hỗn tạp, Fi (Pi) là các diện tích của các mặt của khối đa diện P1, và h0i là số tựa tương ứng của khối đa
diện P0. Khi đó V(P0, P1, ..., P1) = 1 n+ 1 X i h0iFi(Pi). (2.15) Định lý 2.1.4. Cho P1, P2, ..., Pn+1 là các khối đa diện lồi bị chặn trong En+1, và
P =λ1P1+λ2P2 +· · ·+λkPk
với λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0, ..., λn+1 ≥ 0. Cho Qi là n-mặt của P. Khi đó tồn tại các mặt Qi1, Qi2, ..., Qin+1 của P1, P2, ..., Pn+1 tương ứng sao cho phương trình
Qi =λ1Qi1+λ2Qi2 +· · ·+λn+1Qin+1 và V(P1, P2, ..., Pn+1) = 1 n+ 1 X i hi1F(Qi2, ..., Qin+1) (2.16)
đúng với F(Qi2, ..., Qin+1) là n-thể tích hỗn tạp (diện tích) của Qi2, Qi3, ..., Qin+1.
2.1.3 Thể tích hỗn tạp Minkowski cho thể lồi bị chặn tổng quát
Cho H1, H2, ..., Hn+1 là các thể lồi bị chặn trong En+1 và
H = λ1H1+λ2H2 +· · ·+λn+1Hn+1, với λ1 ≥ 0, λ2 ≥0, ..., λn+1 ≥ 0. Nếu các khối đa diện lồi bị chặn P1(i), P2(i), ..., Pn(i+1) (i= 1,2, ...) hội tụ đến H1, H2, ..., Hn+1 tương ứng, thì khối đa diện
P(i) = λ1P1(i) +λ2P2(i) +· · ·+λn+1Pn(i+1) hội tụ đến H.
Cho F = ∂H khi đó F là một siêu mặt lồi đóng trong En+1. Nếu ψF là ánh xạ cầu của F, thì ψF(F) = Sn, trong đó Sn là siêu cầu đơn vị trong En+1. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
M là một tập con của F và với điểm X ⊂ M có ít nhất một siêu phẳng tựa α của F sao cho X =α∩F và ψF(X) = N.
Hàm tập
µF(N) = area M
được gọi là hàm mặt của F, trong đó area M là diện tích của miền M.
Định lý 2.1.5. Cho H là một thể lồi bị chặn trong En+1 và F = ∂H là một siêu mặt lồi đóng trong En+1. Khi đó hàm mặt µF(N), N ∈ Sn là một hàm tập không âm hoàn toàn cộng tính trên vành các tập con Borel của Sn. Hơn nữa các thể lồi bị chặn H(i) hội tụ đến thể lồi bị chặn H khi i →+∞ thì µF(i)(N)
hội tụ yếu đến µF(N), trong đó
F(i) = ∂H(i), F = ∂H.
Bây giờ ta nghiên cứu một vài công thức cho thể tích hỗn tạp Minkowski. Cho H là một thể lồi bị chặn trong En+1 và F =∂H. Ta có công thức
V(H) =
Z
Sn
h(ν)µF(deν) (2.17)
trong đó h(ν) và µF(e) tương ứng là hàm tựa và hàm mặt của H. Thật vậy
V(P) = X i
[h(νi)Fi] (2.18) với khối đa diện lồi bị chặn P nào đó, trong đó ν1, ν2, ..., νm là các pháp tuyến ngoài đơn vị tới các mặt của P và Fi= µ∂F(νi) là diện tích của các mặt của P với các pháp tuyến đó.
Nếu các khối đa diện lồi bị chặnP(i) hội tụ đến một thể lồi bị chặn H trong En+1, khi đó từ (2.18) và Định lý 2.1.5 suy ra
V(P) = lim
i→+∞V(P(i)). (2.19) Từ (2.19) và Định lý 2.1.5 ta có kết quả (2.17).
Định lý 2.1.6. Thể tích của một tổ hợp tuyến tính của các thể lồi bị chặn trong
En+1 là một đa thức thuần nhất bậc n+ 1 ứng với các hệ số của nó.
Chú ý rằng Định lý 2.1.3 và Định lý 2.1.4 có thể mở rộng đến các thể lồi bị chặn trong En+1. Ví dụ phương trình (2.15) có dạng V(H0, H1, ..., H1) = Z ∂H1 h0(ν)dS(1) (2.20)
trong đó h0(ν) là hàm tựa của H0 được tính cho các véc tơ đơn vị ν, và dS(1) là vi phân của diện tích ∂H1.
Các tính chất đơn giản của thể tích hỗn tạp
1. ChoH1, H2, ..., Hn+1 là các thể lồi bị chặn phân biệt trong En+1. Trường hợp với hai thể lồi phân biệt, ta sử dụng ký hiệu đặc biệt
Vm(H1, H2) = V(H1, H1, ..., H1, H2, H2, ..., H2) = Vn+1−m(H1, H2) (2.21) vì vậy V(λ1H1+λ2H2) = n+1 X m=0 Cmn+1λn1+1−mλm2 Vm(H1, H2) và nV1(H1, H2) = lim λ→0 V(H1+λH2)−V(H1) λ , với λ≥ 0. (2.22) 2. Phương trình V(H1, H2, ..., Hn, X) = 0 (2.23) đúng cho điểm X ∈ En+1 nào đó và các thể lồi bị chặn H1, H2, ..., Hn trong En+1. Phương trình (2.23) suy ra trực tiếp từ đẳng thức
V(λ1H1+· · ·+λnHn) = V(λ1H1 +· · ·+λnHn+λn+1X). Nếu các thể lồi H1, H2, ..., Hn+1 trùng nhau và trùng thể lồi H thì
V X i λiH = X i λi n+1 V(H).
Vậy
V(H, H, ..., H) = V(H)
hoặc (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
V0(H1, H2) =V(H1); Vn+1(H1, H2) =V(H2). 3. Tính chất đơn điệu được cho bởi bất đẳng thức
V(H1, H2, ..., Hn+1)≤ V(H10, H20, ..., Hn0+1) (2.24) nếu Hi ⊂Hi0, (i= 1,2, ..., n+ 1).
4. Nếu thay thế Hn+1 bởi điểm X ∈En+1, khi đó từ (2.23) và (2.24) suy ra thể tích hỗn tạp chỉ cho ta giá trị không âm.
Có thể thấy được V(H1, H2, ..., Hn+1)> 0 khi và chỉ khi ta có thể tìm được một đoạn không suy biếnIi ⊂ Hi, (i= 1,2, ..., n+1) sao choC0(I1∪I2∪...∪In+1)
không nằm trên siêu phẳng nào đó của En+1.
5. Ta giả sử rằng các thể lồi đóng bị chặnH1, H2, ..., Hn+1 là lồi ngặt, và các hàm tựa của chúng thuộc lớp C2 với mọi véc tơ không âm. Từ (2.17), (2.18), (2.20) suy ra V(H1, H2) = 1 n+ 1 Z Sn h2(ν)Dn(H1, ν)dσ (2.25) trong đó ν là véc tơ đơn vị, dσ là vi phân của diện tích của Sn; h1(ν), h2(ν) là các hàm tựa của H1 và H2 và Dm(H1, ν) là ký hiệu tổng tất cả các định thức con chính cấp m của ma trận Hessian của h1(ν).
Sự mở rộng của (2.25) như sau V1(H1, H2, ..., Hn+1) = 1
n+ 1
Z
Sn
hn+1(ν)Dn(H1, H2, ..., Hn, ν)dσ (2.26)
trong đó ν là véc tơ đơn vị; H1, H2, ..., Hn+1 là các thể lồi ngặt bị chặn với các hàm tựa thuộc lớp C2, và Dn(H1, H2, ..., Hn, ν) là số nhân tại λ1λ2...λn trong Dn(H1, H2, ..., Hn, ν) phân chia bởi n!.
Ta thu được từ (2.23) như (2.26) triệt tiêu nếu Hn+1 hội tụ tới điểm X. Từ hn+1 = (OX, ν) (2.27) có kết quả Z Sn uiDn(H1, ..., Hn, ν)dσ = 0, i= 1,2, ..., n+ 1; ν = (u1, u2, ..., un+1), |ν| = 1.