SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HÒA VỚI LỆCH KHÔNG BỊ CHẶN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Trần Hồng Mơ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HỊA VỚI LỆCH KHƠNG BỊ CHẶN Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ HỒN HỐ Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin chân thành cảm ơn PGS TS Lê Hồn Hố tận tình hướng dẫn cho tơi hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn q Thầy Cơ khoa Tốn Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP Hồ Chí Minh giảng dạy cho tơi q trình học tập Tơi xin cảm ơn Phòng KHCN & SĐH, Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư Phạm TP HCM tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành khố học Tơi xin cảm ơn người thân gia đình động viên, tạo điều kiện cho tơi hồn thành khố học Sau cùng, tơi xin cảm ơn bạn học viên giải tích khố 16 giúp đỡ tơi khố học Tp.Hồ Chí Minh tháng năm 2008 Tác giả Trần Hồng Mơ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng có nhiều ứng dụng thực tiễn nói lĩnh vực ứng dụng : y khoa, xây dựng, điện tử, kiến trúc ,…, việc chứng minh tồn nghiệm yếu, nghiệm tuần hồn phương trình vi phân trung hòa với lệch khơng bị chặn Hernán R Henríquez sử dụng cơng cụ nửa nhóm tốn tử tuyến tính liên tục mạnh để chứng minh tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân trung hồ với lệch khơng bị chặn Mục đích luận văn thiết lập kết tồn nghiệm tuần hồn cho phương trình vi phân trung hòa với lệch khơng bị chặn luận văn tồn nghiệm tuần hồn phương trình trung hồ với lệch khơng bị chặn cụ thể Đó lý tơi chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Sử dụng tốn tử tuyến tính nửa nhóm liên tục mạnh kết khơng gian pha để tồn lời giải tuần hồn phương trình vi phân trung hòa với lệch khơng bị chặn Đối tượng nội dung nghiên cứu Lời giải nghiệm tuần hồn cho phương trình vi phân trung hòa với lệch khơng bị chặn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tốn tử tuyến tính nửa nhóm liên tục cơng cụ mạnh nhiều nhà tốn học sử dụng để chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chúng tơi gồm phần mở đầu, bốn chương nội dung phần kết luận Cụ thể : Phần mở đầu : Nêu lý chọn đề tài Phần nội dung : Chương : Giới thiệu tốn Chương : Các kiến thức bổ trợ Chương : Sự tồn nghiệm tuần hồn Chương 4: Các ví dụ Phần kết luận : Đưa kết luận mà luận văn đạt được, chưa đạt Chương GIỚI THIỆU BÀI TỐN Luận văn trình bày kết tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân trung hồ với tính lệch khơng bị chặn cho dạng sau: d  x( t )  F( t, x )  Ax( t )  G( t, x ), t  t t dt đó: * F, G thoả điều kiện thích hợp * A phần tử vi phân nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử tuyến tính xác định khơng gian Banach X Trong suốt luận văn này, X khơng gian Banach với chuẩn Khi phần tử vi phân A nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử tuyến tính T(t) ( t  ) xác định X định nghĩa sau:   T (t)x  x tồn A : D( A)  X  X với D( A)  x  X : lim t 0 t Ax  lim t 0 T (t ) x  x dT (t ) x  t dt t 0 , với x  D( A) Hơn T nửa nhóm giải tích bị chặn với A phần tử vi phân cho   ( A) xác định lũy thừa ( A) (0    1) tốn tử tuyến tính đóng xác định D(( A) ) Khi D(( A) ) trù mật X  ta định nghĩa chuẩn D(( A) ) sau : x   ( A) x , x  D(( A) )  Từ sau ta kí hiệu X thay cho D(( A) ) với chuẩn  Với điều kiện ta có bổ đề sau: ( [17] ) 1.1 Bổ đề 1.1 Cho    X khơng gian Banach 1.2 Bổ đề 1.2 Nếu      X  X  phép nhúng compact với  ( A) compact 1.3 Bổ đề 1.3 Với a > 0, tồn số dương  ( A) T (t )  Ca cho : Ca cho : Ca , 0t a t 1.4 Bổ đề 1.4 Với a > 0, tồn số dương T (t)  I  ( A)  Cat ,  t  a * Và xt :( ;0]  X với xt ( )  x (t   ) phụ thuộc vào khơng gian pha B B với chuẩn B khơng gian tuyến tính ánh xạ từ ( ;0] vào X Khơng gian B thỏa tiên đề sau: (B.1) Nếu x :( ;  a )  X , a  liên tục [ ,  a ) x  B với t [ ,  a ) ta có tính chất sau : i) xt  B ii) x ( t )  H xt iii) xt B B  K (t   )sup  x ( s ) :  s  t  M (t   ) x B với H  ; K , M :[0,  )  [0,  ) , K liên tục, M bị chặn địa phương H, K, M khơng phụ thuộc vào x(.) (B.2) Với x(.) (B.1), xt hàm liên tục B [ ,  a ) (B.3) B khơng gian đầy đủ Kí hiệu Bˆ khơng gian thương Banach B/ B ,  B ta viết ˆ cho lớp tương đương xác định  Khi tốn  tử T (t   ) (0), W (t )  ( )   (t   ), W(t) xác định  t        t nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử tuyến tính xác định B Sau ví dụ cụ thể khơng gian pha 1.5 Ví dụ1.1 Xét khơng gian B p = Cr  L ( g , X ), r  ,  p   gồm hàm  :( ;0]  X cho  liên tục [-r ; 0], đo ( Lesbesgue) g  (.) p khả tích Lesbesgue ( ;  r ) , g :( ;  r )  hàm dương đo Borel Nửa chuẩn B xác định bởi: 1/ p  r  p   sup   ( ) :  r    0    g ( )  ( ) d     Ta ln giả sử g thoả hai điều kiện sau: (g-1) g khả tích ( ;  r ) (g-2) Tồn hàm  khơng âm bị chặn địa phương xác định ( ;0] cho: g (   )   ( ): g ( ) , với  0   ( ;  r ) \ N , N  ( ;  r ) tập có độ đo Khi B khơng gian pha thoả tiên đề trên( [13], Định lý 1.3.8) Chương CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ 2.1 Định nghĩa 2.1 Cho E khơng gian Banach, A tập bị chặn Độ đo phi compact Kuratowski định bởi:  ( A )  inf d  / A phủ số hữu hạn tập hợp A1 , A2 , , An có đườn g kính nhỏ hay bằn g d 2.2 Tính chất 2.2 a)  ( A)   ( A)   ( coA) b)  ( A)   A compact tương đối c)  ( A)   ( B ) A  B d)  ( A  B )   ( A)   ( B ) e)  (tA)  t  ( A) 2.3 Định nghĩa 2.3 Ánh xạ liên tục f : D  E  E gọi k- đặc tồn k  (0,1) cho :  ( f ( A))  k ( A) với A bị chặn chứa D 2.4 Định lý 2.4 Cho D tập lồi đóng bị chặn khác rỗng khơng gian Banach E f : D  D ánh xạ k- đặc f có điểm bất động 2.5 Định lý 2.5( [19], Định lý 2.1 ) B khơng gian pha thỏa tiên đề nói chương I E khơng Banach Nếu X X [ , t ] hai tập bị chặn tương ứng B Với gian C [ , t ], E  bất đẳng thức sau xảy ra:  ( Xˆ t )  K (t   ) ( X [ , t ])  M (t   ) ( Xˆ  )    Trong X [ , t ]  x [ , t ]: x  X (( ,  a ), E )    X t  xt  B : x  X (( ,  a ), E )  với X ((  ,  a ), E ),  a   , tập ánh xạ x :( ,  a )  E cho x  B x(t) liên tục [ ,  a ) 2.6.Định lý 2.6: ( Định lý Schauder ) Cho C tập lồi đóng khơng gian Banach E f : C  C liên tục cho f (C ) tập compact tương đối Khi f có điểm bất động C 2.7.Định lý 2.7: ( [17], Bổ đề 2.3 ) Nếu T(t) nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử tuyến tính bị chặn với x  X, t  T (t ) x hàm liên tục từ  vào X 2.8.Định lý 2.8: ( [1], Bài tập 18 chương VI ) Cho en hệ trực chuẩn khơng gian Hilbert H, n dãy số hội  tụ đến Khi tốn tử A : X  X xác định : Ax    n x, en en , n 1 tốn tử compắc Chương SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TUẦN HỒN Đầu tiên luận văn bắt đầu nghiên cứu tồn nghiệm yếu tốn Cauchy trừu tượng: (3.1) d  x( t )  F( t, x )  Ax( t )  G( t, x ), t   t t dt (3.2) x     tập mở B F, G: [ , a ]   X hàm liên tục    a Ta giả sử A ln phần tử vi phân nửa nhóm T(.) tốn tử tuyến tính bị chặn xác định X Ta giả sử   ( A) nửa nhóm T(.)  với M   1, t  bị chặn tức T (t )  M 3.1 Định nghĩa 3.1 Ta nói hàm x :( ,  b )  X , b > 0, nghiệm yếu tốn Cauchy (3.1)- (3.2) x   ; thu hẹp x(.) [ ,  b ) liên tục với   t    b hàm AT (t  s ) F ( s , xs ), s [ , t ) khả tích thoả mãn: t (3.3) x (t )  T (t   )  (0)  F ( , )  F (t , xt )   AT (t  s ) F ( s , xs ) ds   t   T (t  s )G ( s , xs ) ds , t    Để thuận lợi cho việc chứng minh, xin giới thiệu vài kí hiệu cần thiết : * Với cặp số dương r,  ta đặt: C ( ,  , r )  u  C [ ,   ]; X  : u ( )  0, u (t )  r ,  t      Chứng minh tương tự định lý 3.9, thấy D2 [1 ; ] tập compact tương đối C ([1 ; ]; X ) Nên   D2 [1 ; ]   Suy   D[1 ; ]     D1[1 ; ]     D2 [1 ; ]     D1 [1 ; ]  Hơn T nửa nhóm compact nên   D1[1 ; ]   Ta được:   D[ ; w]   Từ định lý 2.5 ta có:  ( Pˆ ( Dˆ ))  K ( w   ) ( D[ , w])  M ( w   ) ( Dˆ )  M ( w   ) ( Dˆ ) Cũng từ định lý 2.5 ta có:  ( Dˆ )  K ( )  D[0, ]   M ( ) ( Dˆ ) Mà   D[0, ]   H sup T ( s )  ( D ) 0 s  Thật vậy, ta đặt D (0)   (0):  D  Từ tiên đề (B-1) ta có : (3.15)   D (0)   H  ( D ) Hơn ta chọn d > nhỏ cho   D (0)   d từ định nghĩa  ta nhận bao hữu hạn D(0) với tập Yi  X , i = 1,2,…,n , có đường kính nhỏ d  * Với Y tập X đặt Y  T (.) x [0; ] : x Y * *  rõ ràng n diam (Yi )  sup T ( s ) d D (0)   Yi* 0 s  i 1 * Ta nhận  ( D (0) )  sup T ( s ) d 0 s  Hay ta có  ( D1[0, ])  sup T ( s ) d 0 s  Kết hợp với (3.14) (3.15) ta suy ra:   D[0, ]   H sup T ( s )  ( D ) 0 s  Như ta được:  ( Pˆ ( Dˆ ))  M ( w   ) K ( ) H sup T ( s )  M ( )  ( D ) với    w ,   0 s  Do điều kiện d) ta suy Pˆ ánh xạ đặc Theo định lý 2.4, Pˆ có điểm bất động Tức tồn   E : Pˆ (ˆ )  ˆ hay P ( )  ˆ k Khi P ( )   , k  Nên m, n  P m ( )  P n ( )  Suy P k ( )  k B  P m ( )  P n ( ) B ta có : 0 k  dãy Cauchy Cho nên P k ( )   P liên tục nên P có điểm bất động ( P( )  ) Vậy tốn (3.12) tồn nghiệm w- tuần hồn ■ Sau ta xét lớp hệ thoả giả định (F, G) 3.12 Mệnh đề 3.11 Giả sử ánh xạ F , G :[0,  )  B  X thoả điều kiện (a-3), (a4), (a-5) (b-2) Giả sử thêm điều kiện sau: i) Hàm K(.) bị chặn M (t )  t   ii) Có   cho T (t )  M e t , t  iii) Tồn số dương N1, N2, N3 N4 cho : (3.16) (  A) F (t , )  N1  (3.17) G (t , )  N3  với N1 N3  B B  N2  N4 đủ nhỏ với  B , nghiệm yếu x (., ) tốn xác định bị chặn Khi giả định (F, G) thoả Chứng minh Đặt x  x (., ) nghiệm yếu (3.1) – (3.2) tương ứng với   Theo định lý 3.3 x xác định ( , b ) , với b > t Khi x (t )  T (t )  (0)  F (0, )  F (t , xt )   AT (t  s ) F ( s , xs ) ds  t   T (t  s )G ( s , xs ) ds , t  0 Từ tiên đề (B-1) ta suy tồn số dương C1, C2 độc lập với  cho (3.18) xt B   K (t ) C1e t  B   C2  M (t )  với  t  b B Từ đánh giá hệ 3.4, x xác định bị chặn Hơn từ (3.18) chọn R > C2.K ( K  sup K (t ) ) w đủ lớn t 0 xw B  R với  B cho  B  R Khi giả định (F, G) thoả với E  BR [0] 3.13 Hệ 3.12 Giả sử F, G, T thoả điều kiện (a-3), (a-4), (a-5) a), b), c) định lý 3.10 Nếu K(.) hàm bị chặn M (t )  t   (3.12) có nghiệm mw- tuần tồn với m Chứng minh Ta áp dụng định lý 3.10 [0, mw] Rõ ràng với m đủ lớn lấy   mw M ( w   )  K ( ) sup T ( s ) H  M ( )     0 s  Tức điều kiện d) thoả Chương CÁC VÍ DỤ Sau luận văn xét tồn nghiệm tuần hồn phương trình cụ thể Đầu tiên xét ví dụ tổng qt 4.1 Ví dụ 4.1 Nếu hàm F thoả điều kiện sau: (a-6) Có hai hàm bị chặn L1 , L2 :[0, w]  [0,  ) với L1 ( h ), L2 ( h )  0, h  hàm bị chặn địa phương f :[0,  )  [0,  ) cho F (t , xt )  F ( s , xs )  L1 (t  s ) f  xs B   L2 (t  s )sup f  x ( )  : s    t  , với  s  t  b với ánh xạ x :( , b )  X , liên tục [0, b) xt  , với  t  b , F thoả điều kiện (a-3) Hơn nữa, F (t ,.) hồn tồn liên tục với  t  w , F thoả điều kiện (a-5) Tiếp theo luận văn nghiên cứu tốn tử tuyến tính khơng gian B = Cr  Lp ( g , X ), với r = 0, giới thiệu ví dụ 1.1 4.2.Ví dụ 4.2 p Đặt B = Cr  L ( g , X ), với r = p > Đặt  (t ,  )   C (t , ) ( ) d ,  C (t , )  L ( X ) hàm đo xác định [0,  )  ( ,0] thoả điều kiện sau: i) Với t ,  , C (t , ) tốn tử tuyến tính compact có tính địa phương  Điều có nghĩa với s > tập  C ( t , ) x : x  1,  s     tương đối compact X; ii) Với t  , hàm (ii-1) sup  0t b  C ( t , ) g ( )1/ p q - khả tích ( ,0] q C (t, ) d   ; g ( )q 1 (ii-2)  C (t  h,  h) C (t, ) L1(h)  sup    1/ p 1/ p 0t  w   g (  ) g (  )  q 1/ q  d      0, h  , với b > 0,   p q Thì  thoả điều kiện (a-3) (a-5) Thật vậy, ta có : 1/ q 1/ p  C(t, ) q    C(t, ) p 1/ p (t,)   g( ) ( )d    d    g( ) ( ) d  q1 1/ p ( ) g    g ( )      1/ q  C (t, ) q  d     q 1   g ( )   B Từ điều kiện (ii-2) ta suy  xác định  (t, ) ánh xạ tuyến tính bị chặn từ B vào X Hơn nữa,  (t, ) tốn tử compact Bởi ta đặt s (t , )   C (t , ) ( ) d s (t,.) tốn tử tuyến tính bị chặn s tốn tử compact từ B vào X Thật vậy, với s > ta lấy     B :  ( )  1, s    0 Khi ta chứng minh  s (t, ),    tập compăc tương đối X +  s (t, ),    bị chặn Theo i) ta có  C (t , ) ( ):  ( )  1,  s     tập compăc tương đối X nên tồn M > cho C (t, ) ( )  M,    Suy s (t, )  M s +  s (t, ),    liên tục đồng bậc Do  C (t , ) ( ):  ( )  1,  s     tập compăc tương đối nên với  > 0,   : 1,2   , 1  2   C (t, )1( )  C (t, )2 ( )   s Hay ta có s (t,1)  s (t, )   C (t, )1( )  C (t, )2 ( ) d   s Theo định lý Arzela – Ascoli  s (t, ),    tập compăc tương đối X Vì s (t,.) hội tụ tới (t,.) s   nên ta suy  (t, ) tốn tử compact Mặt khác, x(.)  S ( , b, r ) rõ ràng (t, xt )  (s, xs )   C (s  h,  h)  C (s, ) x(s   ) d  +  C (s  h, ) x(s  h   ) d -h  L1(h) xs B  L2 (h) sup x( ) s  t  C (t, ) L2 (h)  sup   1/ p 0t b   h g ( )  q 1/ q 1/ p    d    g ( )d  h = t – s   h   Từ (ii-2) tính khả tích g điều kiện (a-6) thoả Theo ví dụ 4.1 (a-3) (a-5) thoả 4.3 Ví dụ 4.3 Luận văn kết thúc với áp dụng cho kết đưa tồn nghiệm tuần hồn tốn giá trị biên sau đây: t   2   u(t,  )  b ( s t ,  ,  ) q ( u ( s ,  )) d  ds       u(t,  )  a0 ( )u(t,  )  a1(t,  )   t    (4.1) t   a(s-t)u(s, )ds, t  0,     - (4.2) u(t,0)  u(t,  )  0, t  0, (4.3) u( ,  )   ( ,  )  0,   0,     , hàm a0, a1, a, b, q  thoả điều kiện thích hợp Để xét tốn tốn Cauchy (3.1) (3.2) lấy X  L ([0,  ]) định nghĩa x(t) = u(t, ) Tốn tử A cho cơng thức Af ( )  f ( )  với miền xác định D( A)  f (.)  L2 ([0,  ]): f (.)  L2 ([0,  ]), f (0)  f ( )  Ta thấy A sinh nửa nhóm liên tục mạnh T(.), T (t ) f   en t i 1 với f  X , nửa nhóm compact, giải tích, tự liên hợp ổn định  f , zn zn n Thật vậy, e n t    ( t > ) theo định lý 2.8 suy T(t ) compắc Đặc biệt, T (t ) f   e  n2t f , zn zn  e 2t f i 1  T (t )  et , t  Hơn nữa, A có phổ rời rạc, giá trị riêng n , n  , với vectơ riêng   tương ứng chuẩn hố zn ( )  1/ sin(n ) Bởi Af ( )   f ( ) f ( )  w sin(    ) f (0)  f ( ) nên ta suy   n  1/ Tốn tử ( A) 1/ định bởi: ( A)   f   n f , zn zn xác định n 1   khơng gian D(( A) )  f (.)  X :  n f , zn zn  X 1/ Đặt B n 1 khơng gian Cr  L ( g , X ) ,với r = 0, giới thiệu ví dụ 1.1 Trong trường hợp 1/ 0  H  1; K (t )     g ( )d   t  Rõ ràng B 1/ M (t )   (t ) t  đẳng cấu đẳng cự với X  L ((,0][0,  ])  độ đo  ( ,  )  g ( )d d Tiếp theo ta giả sử điều kiện sau xảy ra: (i) Hàm b(.) đo    b ( , , )d d ;  r  0 (i-1) Với r > 0, sup 00  (i-2) Với r > 0, lim   b( , ,   h)  b( , ,  ) d d  h 0 00  [r,0] ;   b ( , ,  )    g ( ) d d d   (i-3) (ii) Hàm  b( , ,  ) đo được; b( , ,  )  0; b( , ,0)        b( , ,  ) d d d  N :    g ( )    a2 ( ) (iii) Hàm a0 (.)  L ([0,  ]); a(.) đo với  d   g ( )   a1(t,.)  L2 ([0,  ]) với t  hàm t  a1(t,.) liên tục (iv) Hàm q :  liên tục Lipschitz q( )  C1   C2 , với số C1, C2  (v) Hàm  xác định  ( )( )   ( ,  ) thuộc B Với điều kiện ta định nghĩa F , G :[0, )  B  X F (t, )  1 Q( ) G(t, )  2 ( )  h(t ) , (4.4) Q( )( ,  )  q( ( ,  )), (4.5) 1( )( )  (4.6) (4.7)    b( ,, ) ( , )d d  2 ( )( )  a0 ( ) (0,  )  h(t )  a1(t,.) , với      a( ) ( , )d ,  Sử dụng (i) (iii)  2 hai tốn tử tuyến tính bị chặn B hàm h(.) liên tục   0  Thật vậy: 1( )( )      b( , ,  ) ( , )d d  d       b2 ( , ,  ) d d d     g ( )  0   Suy       g ( ) ( , )d d        b ( , ,  ) d d d  1( )  M1  với M1     g ( )  0  a ( )  d   Tương tự ta có: 2 ( )   sup a0 ( )   g (  )        1/ Hơn nữa, 1( )  D(( A) ) ( A)1/ 1  N1/ Thật vậy, từ (4.5) ta   1/ suy 1( ), zn  n   định nghĩa ( )  ( ),cos(n )     b( , , ) ( , )d d  Từ (ii) ta nhận  : B  X tốn tử tuyến tính bị chặn với   N1/ 1/ 2       Bởi ( )       b( , ,  ) ( , )d d  d          1/ 2    b( , ,  ) d d d       g ( )    1/  0     g ( ) ( , )d d      N 1/  Do   N 1/   n 1 n 1   Mà ( A) 1( )   n 1( ), zn zn   2     Suy ( A) 1( )       n 1 1/ 1/ ( ),cos(n ) zn ( ),cos(n ) zn  d  ( )   ( A)1/ 1( )  ( ) Từ ta suy ( A)1/ 1  N1/ Vì hệ ( 4.1- 4.2 - 4.3) thoả điều kiện (a-4) (b-2) Bây ta F thoả giả thiết ví dụ 4.2  Ta định nghĩa C ( ) L ([0,  ]) [C ( ) f ]( )   b( , ,  ) f ( )d Rõ ràng 1( )   C( ) ( )d  Từ (i-1) ta kết luận C ( ) tốn tử tuyến tính compắc từ L2 ([0,  ]) vào 1/   L ([0,  ]) với C ( )     b ( , ,  )d d  ( [2],bài tập IV, 9.52)  00  Hơn nữa, từ (i-1), (i-2) tính chất tập compact tương đối L ([0,  ]) ta suy tốn tử C ( ) compact địa phương Điều kiện (i-3) suy C ( ) 2- khả vi (,0] g ( )1/ Sau đánh giá L1(h)    L1(h) sau: 2 C (  h)  C ( ) g (  h) C (  h) C ( ) d   d     g ( ) g g h g ( ) (  ) ( ) 1  g1(  h) C (  h) C ( ) g (  h) 2   1 d   g1( ) g1(  h) g1( ) g1( )   1/ g1  g 2 C ( ) d g ( ) C ( ) Sử dụng tính chất g tính khả tích g ( ) ta nhận thấy vế phải bất đẳng thức hội tụ h  Từ ví dụ 4.1 ví dụ 4.2 ta suy 1 thoả điều kiện (a-3) (a-5) Mặt khác, Q tốn tử thay liên tục biến tập bị chặn thành tập bị chặn Hơn nữa, từ tính liên tục Lipschits Holder q ta suy Q có tính chất tương tự Vì F tốn tử Hammerstein định phép hợp tốn tử tuyến tính 1 tốn tử Q nhận F thoả tính chất chứng minh cho 1 Vì vậy, hệ ( 4.1- 4.2 - 4.3) thoả điều kiện (a-3) (a-5) Ngồi ta thấy F thoả giả thiết Bổ đề 3.5 Bổ đề 3.6 nên với  có nghiệm yếu x(., ) xác định (, b) , với b > Thêm vào đó, C1 1  đủ nhỏ h bị chặn nghiệm x(., ) - bị chặn [0, ) Liên hệ với tồn nghiệm tuần hồn, h w - tuần hồn, từ Mệnh đề 3.11 Hệ 3.12 ta nhận : với C1 1  đủ nhỏ tồn nghiệm yếu mw- tuần hồn KẾT LUẬN Như nội dung luận văn giải vấn đề đặt tốn là: chứng minh tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân trung hồ với lệch khơng bị chặn Q trình chứng minh tóm tắt sau: Đầu tiên, luận văn xét tồn nghiệm yếu tốn (3.1)-(3.2) thể định lý 3.3 bổ đề 3.5, 3.6 Tiếp theo, luận văn nghiên cứu tồn nghiệm tuần hồn trình bày định lý 3.8 Sau cùng, luận văn cho ví dụ minh hoạ tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân trung hồ với lệch khơng bị chặn Luận văn kết báo tơi trình bày lại kết chứng minh thêm phần mà tác giả báo khơng chứng minh Do thời gian khơng cho phép nên tơi chưa ngun cứu sâu phương trình loại tốn tử A phụ thuộc vào tham số Sau tơi dành thời gian để nghiên cứu vấn đề Vì lần tơi thực làm quen với việc nghiên cứu khoa học cách có hệ thống nên khó tránh khỏi sai sót Kính mong q Thầy Cơ bạn đóng góp ý kiến, tơi xin chân thành cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hồn Hố (2005), Tài liệu giải tích phi tuyến (Dành cho học viên cao học) Nguyễn Xn Liêm ( 2003), Bài tập Giải Tích Hàm, NXBGD K Deimling (1985), Non Linear Functional Analysis, Springer- Verlag, Berlin N Dunford and J T Schwartz (1988), Linear Operators Part I, John Wiley and Sons, New York J Hale and J Kato (1978), Phase space for retarded equations with infinite delay, Funkcialaj Ekvac., 21, pp 11-41 H R Henríquez (2000), Existence of periodic solutions of functional differential equations with unbounded neutral delay Proyecciones., 19(3), pp 305-329 H R Henríquez (1994), Periodic solutions of quasi-linear partial functional differential equations with unbounded delay Funkcialaj Ekvac., 37(2), pp 329-343 H R Henríquez (1985), On non-exact controllable systems, Int J Control, 42(1), pp 71-83 E Hernández and H R Henríquez (1998), Existence Results for partial neutral functional differential equations with unbounded delay, J Math Anal Appl 221, pp 452-475 10 E Hernández and H R Henríquez (1998), Existence of periodic solutions of partial neutral functional differential equations with unbounded delay, J Math Anal Appl 221, pp 499-522 11 E Hernández M (2002), A Massera type criterion for a partial neutral functional differential equation, E J D E, Vol 2002, No 40, pp 1-17 12 E Hernández (2002), Regularity of Solutions of Partial Neutral Functional Differential equations with unbouned delay, Proyecciones, Vol 21, pp 65-95 13 Y Hino, S Murakami and T Naito (1991), Functional Differential Equations with Infinite Delay, Lect Notes in Math., 1473 SpringerVerlag, Berlin 14 C-M Marle (1974), Mesures et Probabilités, Hermann, Paris 15 R H Martin (1987), Nonliear Operators  Differential Equations in Banach Spaces, Robert E Krieger Publ Co., Florida 16 R Nagel (1986), One-parameter Semigroups of Positive Operators, Lect Notes in Math 1184 (editor), Springer-Verlag, Berlin 17 A Pazy (1983), Semigroups of Linear Operators and applications to Partial Differential Equations, Springe-Verlag, Berlin 18 B N Sadovskii (1967), On a fixed point principle Funct Anal Appl., 1, pp 74-76 19 S J Shin (1987), An existence theorem of a functional differential equation, Funkcialaj Ekvac., 30, pp 19-29 [...]... B ; thu hẹp của x(.) trên [0, w) là liên tục và xw   thì  là w- tuần hoàn trên (  ,0] Ngoài ra nếu hệ phương trình vi phân trung hòa trừu tượng (F, G) là w – tuần hoàn và x (., ) là một nghiệm yếu của (3.12)- (3.13) thì điều kiện xw   là đủ để đảm bảo x (., ) là một nghiệm w – tuần hoàn của (3.12) Bởi vì nó có tính cần thiết để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình (3.12)... hệ phương trình vi phân trừu tượng trung hòa (F,G) Một hệ phương trình vi phân trừu tượng trung hòa (F,G) được gọi là w – tuần hoàn nếu F (t , ) và G (t , ) là w – tuần hoàn theo t Từ đây trở về sau ta sử dụng w là hằng số dương 3.7 Định nghĩa 3.7 Ta nói rằng hàm x :  X là một nghiệm w – tuần hoàn của (3.12) nếu x(.) là một nghiệm yếu của (3.12) với điều kiện đầu x0  và x (t  w)  x (t ) với. .. phương trình vi phân trung hòa trừu tượng (F, G) là wtuần hoàn và nghiệm yếu của (3.12) với điều kiện đầu trên x0   xác định Nếu xw (., )   thì x(.) là một nghiệm w- tuần hoàn Gọi E là tập con khác rỗng, đóng của  sao cho nghiệm yếu x (., ) của (3.12) – (3.13) là duy nhất và xác định trên [0, w] , với mỗi   E Trong trường hợp này ta xác định Pw : E  B   xw (., ) Nếu hệ phương trình vi. .. Nếu hệ phương trình vi phân trung hòa trừu tượng (F, G) là w- tuần hoàn thì từ mệnh đề trên ta suy ra điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của (3.12) là Pw tồn tại điểm bất động Tuy nhiên để chứng minh Pw có điểm bất động thì tập xác định của Pw là tập lồi đóng bị chặn Vì vậy chúng tôi giới thiệu giả định sau: 3.9 Giả định (F, G) Có tập lồi đóng bị chặn E   sao cho với mỗi   E bài toán... Hệ phương trình vi phân trung hoà trừu tượng (F, G) là w- tuần hoàn và giả định (F, G) xảy ra b) Nửa nhóm T(.) là compact c) Ánh xạ G :[0,  )   X biến tập đóng bị chặn thành tập bị chặn d) Tồn tại   (0, w) sao cho: M ( w   )  K ( ) sup T ( s ) H  M ( )   1   0 s  Thì phương trình (3.12) có một nghiệm w- tuần hoàn Chứng minh Vì T(.) là nửa nhóm compact và G biến tập đóng bị chặn. .. A) F liên tục và biến tập đóng và bị chặn thành tập bị chặn   : C ( w, r )  C ([0, w]; X ) cho (a-5 )Với mỗi r > 0 và mỗi   E ; ánh xạ F   (u )(t )  F (t ,ut  W (t ) ) là hoàn toàn liên tục bởi F (b-2) Ánh xạ G biến tập bị chặn, đóng thành tập bị chặn và với mỗi tập đóng bị chặn B   và mỗi t > 0 tồn tại tập compact Wt của X sao cho T (t )G ( s , ) Wt với mọi  B và 0  s  w Khi đó... bài toán (3.1) với điều kiện đầu là  tại   b , có một nghiệm địa phương là x (., ) xác định trên ( , b   ) với   0 nào đó Theo (3.3) dễ thấy x (., ) cũng là một nghiệm của bài toán (3.1) với điều kiện x0   Điều này trái với giả thiết Vậy b■ Sau đây là hai bổ đề nói về tính duy nhất nghiệm của bài toán (3.1)-(3.2) 3.5 Bổ đề 3.5 Giả sử với mỗi   và với mỗi   0 tồn tại hằng số dương... 3.10 Nếu K(.) là hàm bị chặn và M (t )  0 khi t   thì (3.12) có một nghiệm mw- tuần toàn với m Chứng minh nào đó Ta sẽ áp dụng định lý 3.10 trên [0, mw] Rõ ràng với m đủ lớn và lấy   mw thì M ( w   )  K ( ) sup T ( s ) H  M ( )   1 2   0 s  Tức là điều kiện d) được thoả Chương 4 CÁC VÍ DỤ Sau cùng luận văn xét sự tồn tại nghiệm tuần hoàn trong một phương trình cụ thể Đầu tiên... ta chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương của bài toán (3.1)(3.2) 3.3 Định lý 3.3 Cho   và giả sử các điều kiện sau xảy ra: (a-1) Tồn tại   (0,1) sao cho F nhận giá trị trong X  và (  A) F liên tục (a-2) Tồn tại hằng số dương 0 , r0 sao cho ánh xạ  (u )(t )  F (t ,ut  W (t   ) )  : C( ,0 , r0 ) C  [ ,  0 ]; X  được cho bởi F F là hoàn toàn liên tục (b-1 )Tồn tại hằng số 0... điều kiện sau: (a-3) Với mọi   0 và tất cả x :( ,  )  X sao cho x0  B ; x liên tục và bị chặn trên [0,  ) ; hàm t  F (t , xt ) liên tục đều trên [0,  ) Nếu x (., ):( , b ) , b > 0, là nghiệm không mở rộng của (3.1)- (3.2) (với   0 ), bị chặn trên [0, b ) thì b   Chứng minh Nếu giả sử b   thì từ (a-3) ta suy ra tồn tại lim x (t , ) Do đó ta có t b thể mở rộng của x (., ) trên