Giá trị chính quy của ánh sạ trơn và định lý sard

Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Mai Ngọc Hoàng Anh GIÁ TRỊ CHÍNH QUY CỦA ÁNH XẠ TRƠN VÀ ĐỊNH LÝ SARD KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Mai Ngọc Hoàng Anh GIÁ TRỊ CHÍNH QUY CỦA ÁNH XẠ TRƠN VÀ ĐỊNH LÝ SARD Chuyên ngành: Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Tất Thắng Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung báo cáo thực tập chuyên ngành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Tất Thắng tận tình hướng dẫn để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực đề tài thực tập Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Mai Ngọc Hoàng Anh i Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu nội dung nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn thông tin thu trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Mai Ngọc Hoàng Anh ii Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu ii Kiến thức 1.1 Ánh xạ trơn đa tạp trơn 1.2 Không gian tiếp xúc ánh xạ vi phân 1.3 Giá trị quy 16 Định lý Sard Định lý điểm bất động Brown 20 2.1 Định lý Sard Brown 20 2.2 Đa tạp với biên 28 2.3 Định lý điểm bất động Brown 31 2.4 Chứng minh định lý Sard 34 Đa tạp định hướng bậc Brown 45 3.1 Đồng luân trơn đẳng luân trơn 45 3.2 Đa tạp định hướng 46 3.3 Bậc Brown 48 Tài liệu tham khảo 55 i Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Ngọc Hoàng Anh Lời mở đầu Ánh xạ trơn đa tạp trơn đối tượng nghiên cứu Tôpô vi phân Việc hiểu biết ánh xạ xác định đa tạp trơn cho phép ta nhận lại thông tin đa tạp Để nghiên cứu tính chất hình học tôpô ánh xạ trơn, toán cần giải nghiên cứu điểm quy giá trị quy ánh xạ Điểm quy ánh xạ trơn điểm mà ánh xạ vi phân toàn ánh Mục đích khoá luận trình bày lại số kết giá trị quy ánh xạ trơn ứng dụng việc nghiên cứu đa tạp trơn Một định lý vấn đề định lý Sard Nói tập giá trị quy ánh xạ trơn trù mật khắp nơi Bằng việc sử dụng kết này, người ta đưa định nghĩa bậc Brown ánh xạ trơn đa tạp số chiều từ phát nhiều kết tiếng Khoá luận gồm ba chương Chương "Kiến thức bản" trình bày số khái niệm ánh xạ trơn, đa tạp trơn, không gian tiếp xúc, ánh xạ vi phân giá trị quy có [1, Chapter 1] Chương "Định lý Sard Định lý điểm bất động Brown" giới thiệu Định lý Sard với hệ [1, Chapter 2], đặc biệt hệ tập giá trị quy ánh xạ trơn đa tạp trơn trù mật tập đích Từ dẫn đến định lý điểm bất động Brown Chương "Đa tạp định hướng bậc Brown" đưa khái niệm ii Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Ngọc Hoàng Anh đồng luân trơn, đẳng luân trơn, đa tạp định hướng, bậc Brown số hệ định lý bậc Brown có [1, Chapter 4, 5], tiêu biểu kết bậc Brown ánh xạ trơn hai đa tạp định hướng chiều không phụ thuộc vào giá trị quy mà phụ thuộc vào lớp đồng luân trơn Tác giả luận văn chân thành cảm ơn TS Nguyễn Tất Thắng tận tình hướng dẫn tác giả đọc tài liệu tập dượt nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn ThS Nguyễn Thanh Tâm góp ý chi tiết cách trình bày số kết luận văn Tác giả chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Hình học, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học Đại học thực khóa luận Hà Nội, ngày 02/05/2016 Tác giả khóa luận Mai Ngọc Hoàng Anh Footer Page of 161 iii Header Page of 161 Chương Kiến thức Trong chương trình bày lại số khái niệm ánh xạ trơn, đa tạp trơn, không gian tiếp xúc, ánh xạ vi phân giá trị quy [1, Chapter 1] 1.1 Ánh xạ trơn đa tạp trơn Kí hiệu Rk không gian Euclide k-chiều Với x ∈ Rk , ta viết x = (x1 , , xk ) xi ∈ R, i = 1, , k Định nghĩa 1.1 Cho U ⊂ Rk tập mở Ánh xạ f = (f1 , , fl ) : U → Rl gọi trơn tất đạo hàm ∂ n fi ∂xi1 ∂xin fi x = (x1 , , xk ) ∈ U tồn liên tục Định nghĩa 1.2 Cho X ⊂ Rk , Y ⊂ Rl Ánh xạ f : X → Y gọi trơn với x ∈ X, tồn tập mở U ⊂ Rk chứa x ánh xạ trơn F : U → Rl trùng với f U ∩ X Tính chất 1.1.1 Cho X ⊂ Rk , Y ⊂ Rl , Z ⊂ Rm Nếu ánh xạ f : X → Y g : Y → Z trơn g ◦ f : X → Z trơn Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Ngọc Hoàng Anh Chứng minh Với x ∈ X, f : X → Y trơn nên tồn tập mở U ⊂ Rk chứa x ánh xạ trơn F : U → Rl trùng với f U ∩ X Với f (x) ∈ Y Do g : Y → Z trơn nên tồn tập mở V ⊂ Rl chứa f (x) ánh xạ trơn G : V → Rm trùng với g V ∩ Y Ta chọn U đủ nhỏ cho F (U ) ⊂ V Thật vậy, ta thay U U1 = U ∩ F −1 (V ) cần thiết Khi ánh xạ G ◦ F : U → Rm trơn tính khả vi vô hạn hợp hai ánh xạ khả vi vô hạn Hơn nữa, G ◦ F đồng với g ◦ f U ∩ X Thật vậy, lấy x ∈ U ∩ X, suy F (x ) = f (x ) ∈ F (U ) ∩ Y ⊂ V ∩ Y Do G (F (x )) = g (f (x )) Định nghĩa 1.3 Cho X ⊂ Rk , Y ⊂ Rl Ánh xạ f : X → Y gọi đồng phôi f song ánh, liên tục f −1 liên tục Định nghĩa 1.4 Cho X ⊂ Rk , Y ⊂ Rl Ánh xạ f : X → Y gọi vi phôi f đồng phôi f , f −1 trơn Khi ta nói X vi phôi với Y qua ánh xạ f f ánh xạ X vi phôi với Y Định nghĩa 1.5 Tập M ⊂ Rk gọi đa tạp trơn m-chiều Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Ngọc Hoàng Anh với x ∈ M có lân cận W ∩ M vi phôi với tập mở U ∈ Rm qua ánh xạ g Khi ánh xạ g : U → Rk gọi tham số hóa lân cận W∩M x Ánh xạ ngược g −1 : W ∩ M → U gọi hệ tọa độ W ∩ M Ví dụ 1.1.1 Theo định nghĩa, M đa tạp trơn có số chiều không x ∈ M có lân cận W ∩ M chứa x Ví dụ 1.1.2 Mặt cầu đơn vị S , gồm tất các điểm (x, y, z) ∈ R3 thỏa mãn x2 + y + z = đa tạp trơn có số chiều Thật vậy, ta có vi phôi g : (x, y) ∈ R2 : x2 + y < → R3 xác định công thức g (x, y) = x, y, − x2 − y , tham số hóa miền z > S Thay đổi vai trò x, y, z thay đổi ký hiệu cho biến, ta thực tương tự tham số hóa miền x > 0, y > 0, x < 0, y < z < Do miền phủ S nên suy S đa tạp trơn 2-chiều Ví dụ 1.1.3 Tổng quát, hình cầu S n−1 ⊂ Rn gồm tất điểm n xi = đa tạp trơn có số chiều n − Chứng (x1 , , xn ) thỏa mãn i=1 minh tương tự ví dụ Đặc biệt, S ⊂ R1 đa tạp trơn chứa hai điểm Ví dụ 1.1.4 Tập hợp M gồm tất (x, y) ∈ R2 với x = y = sin x1 đa tạp trơn 1-chiều Thật vậy, với x0 , sin x10 ∈ M, x0 > x0 < Nếu x > 0, ta chọn lân cận W = {(x, y) : x > 0} Footer Page 10 of 161 Header Page 49 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Ngọc Hoàng Anh ∂ k fr ∂xs2 ∂xsk+1 x không Do w (x) = (x) = 0, với x ∈ Ck ∩ Vx˜ Ta suy h (x) = (w (x) , x2 , , xn ) = (0, x2 , , xn ) ∈ × Rn−1 Từ đây, ta có Ck ∩ Vx˜ vi phôi với × Rn−1 ∩ h (Vx˜ ) qua h Đặt g = f ◦ h−1 : h (Vx˜ ) → Rp Ta có g ánh xạ trơn Xét ánh xạ g¯ : (x2 , , xn ) ∈ Rn−1 (0, x2 , , xn ) ∈ × Rn−1 ∩ h (Vx˜ ) → Rp xác định g¯(x2 , , xn ) = g(0, x2 , , xn ) Ánh xạ vi phân d¯ g(x2 , ,xn ) : Rn−1 → Rp có ma trận biểu diễn  ∂¯ g1 ∂x2 ∂¯ g1 ∂xn          ∂¯ gn ∂¯ gn ∂x2 ∂xn (x2 , ,xn )  ∂g1 ∂x2 ∂g1 ∂xn      =     ∂gn ∂gn ∂x2 ∂xn (0,x2 , ,xn ) ma trận dg(0,x2 , ,xn ) bỏ cột Ta suy rank d¯ g(x2 , ,xn ) ≤ rank dg(0,x2 , ,xn ) Đặt C¯ tập điểm tới hạn g¯ Theo giả thiết quy nạp, tập giá trị tới hạn g¯ C¯ có độ đo không Rp Mặt khác, với (0, x2 , , xn ) ∈ h (Ck ∩ Vx˜ ), tồn z ∈ Ck ∩ V , h (z) = (0, x2 , , xn ), suy tất đạo hàm riêng cấp bé k f triệt tiêu z, kéo theo dfz ≡ Do g = f ◦ h−1 nên dg(0,x2 , ,xn ) = dfh−1 (0,x2 , ,xn ) ◦ dh−1 (0,x2 , ,xn ) Footer Page 49 of 161 42 Header Page 50 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Ngọc Hoàng Anh hay dg(0,x2 , ,xn ) = dfz ◦ dh−1 (0,x2 , ,xn ) = ◦ dh−1 (0,x2 , ,xn ) = Suy rank d¯ g(x2 , ,xn ) ≤ rank dg(0,x2 , ,xn ) = < p ¯ Từ (x2 , , xn ) điểm tới hạn g¯ Do h (Ck ∩ Vx˜ ) ⊂ × C Khi f (Ck ∩ Vx˜ ) = (g ◦ h) (Ck ∩ Vx˜ ) ⊂ g × C¯ = g¯ C¯ có độ đo không Vì Ck \Ck+1 bị phủ đếm tập Vx˜ thỏa mãn f (Ck ∩ Vx˜ ) = 0, suy f (Ck \Ck+1 ) có độ đo không Chứng minh Bước 3: Cho I n ⊂ U gian với cạnh δ Nếu k đủ lớn (k > n p + 1), ta chứng minh f (Ck ∩ I n ) có độ đo không Vì Ck phủ đếm gian I n nên f (Ck ) có độ đo không Theo định lý Taylor, độ chặt I n định nghĩa Ck , ta có f (x + h) = f (x) + R (x, h) R (x, h) ≤ c h k+1 với x ∈ Ck ∩ I n , x + h ∈ I n Do c số phụ thuộc vào f I n Ta chia I n thành rn gian có cạnh δr Cho I1 gian rn gian mà có chứa điểm x Ck Khi điểm I1 có dạng x + h với h ≤ √ n Footer Page 50 of 161 δ r 43 Header Page 51 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Ngọc Hoàng Anh Khi f (x + h) − f (x) = R (x, h) ≤c h ≤c k+1 √ δ n r k+1 √ k+1 c( nδ) = rk+1 a Suy f (I1 ) nằm gian có cạnh rk+1 , tâm f (x), √ k+1 a = 2c( nδ) số Do f (Ck ∩ I n ) bị phủ hợp rn gian có tổng thể tích V ≤ rn Vì k > n p a p rk+1 = ap rn−p(k+1) + hay n − p (k + 1) < nên V → r → ∞ Do f (Ck ∩ I n ) phải có độ đo không Footer Page 51 of 161 44 Header Page 52 of 161 Chương Đa tạp định hướng bậc Brown Trong chương ta đưa khái niệm đồng luân trơn, đẳng luân trơn, đa tạp định hướng, bậc Brown số hệ định lý bậc Brown có [1, Chapter 4, 5], tiêu biểu kết bậc Brown ánh xạ trơn hai đa tạp định hướng chiều không phụ thuộc vào giá trị quy mà phụ thuộc vào lớp đồng luân trơn 3.1 Đồng luân trơn đẳng luân trơn Định nghĩa 3.1 Cho X ⊂ Rk X × [0, 1] kí hiệu cho tập Rk+1 gồm tất (x, t) với x ∈ X ≤ t ≤ Hai ánh xạ f, g : X → Y gọi đồng luân trơn (kí hiệu f ∼ g) tồn ánh xạ trơn F : X × [0, 1] → Y thoả mãn F (x, 0) = f (x) , F (x, 1) = g (x) Footer Page 52 of 161 45 Header Page 53 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Ngọc Hoàng Anh với x ∈ X Ánh xạ F gọi đồng luân trơn f g Nhận xét 3.1 Quan hệ đồng luân trơn (∼) quan hệ tương đương tập tất ánh xạ trơn từ X đến Y (Chứng minh xem [3, Mục 1.4]) Định nghĩa 3.2 Nếu f g vi phôi từ X đến Y Vi phôi f đẳng luân trơn với vi phôi g tồn đồng luân trơn F : X ×[0, 1] → Y từ f đến g cho với t ∈ [0, 1], tương ứng x → F (x, t) từ X vi phôi lên Y Nhận xét 3.2 Quan hệ đẳng luân trơn quan hệ tương đương tập tất vi phôi từ X lên Y (Chứng minh xem [3, Mục 1.4]) Bổ đề 3.1 (Bổ đề nhất) Cho y z điểm tuỳ ý đa tạp trơn liên thông N Khi tồn vi phôi h : N → N đẳng luân trơn đến phép đồng biến y thành z (Chứng minh xem [1, Chapter 4, page 22]) 3.2 Đa tạp định hướng Định nghĩa 3.3 Hướng không gian vectơ thực hữu hạn chiều lớp tương đương sở có thứ tự sau: Cơ sở có thứ Footer Page 53 of 161 46 Header Page 54 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Ngọc Hoàng Anh n tự (b1 , , bn ) hướng với sở b1 , , bn bi = aij bj với j=1 det (aij ) > Nó xác định ngược hướng det (aij ) < Nhận xét 3.3 Mỗi không gian vectơ hữu hạn chiều dương có hai hướng Định nghĩa 3.4 Hướng ứng với sở tắc ((1, 0, , 0), (0, 1, , 0), ,(0, , 0, 1)) không gian vectơ Rn , n ≥ 1, gọi hướng tiêu chuẩn Rn Để thuận tiện, ta quy ước không gian vectơ không chiều có hai hướng Ký hiệu +1 −1 Định nghĩa 3.5 Đa tạp trơn có hướng đa tạp M với việc chọn hướng cho không gian tiếp xúc Tx M với x ∈ M Nhận xét 3.4 Nếu m ≥ 1, định nghĩa tương đương với điều kiện: Với điểm M có lân cận U ⊂ M vi phôi h ánh xạ U lên tập mở Rm H m mà bảo toàn hướng, nghĩa với x ∈ U , đẳng cấu dhx biến hướng cho trước Tx M thành hướng tiêu chuẩn Rm Nếu M liên thông có hướng có hai hướng Nếu M có biên, ta phân thành ba loại vectơ không gian tiếp xúc Tx M điểm biên: Có vectơ tiếp xúc với biên, lập thành không gian (m − 1) chiều Tx (∂M ) ⊂ Tx M Footer Page 54 of 161 47 Header Page 55 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Ngọc Hoàng Anh Có vectơ hướng ngoài, lập thành nửa không gian mở biên Tx (∂M ) Có vectơ hướng vào trong, lập nên nửa không gian bù Định nghĩa 3.6 Mỗi hướng M xác định hướng ∂M sau: Với x ∈ ∂M , chọn sở định hướng dương (v1 , v2 , , vm ) cho Tx M , cho v2 , , vm tiếp xúc với biên ∂M v1 vectơ Khi M có số chiều m ≥ (v2 , , vm ) xác định hướng cần tìm cho ∂M x Nếu số chiều M điểm biên x quy định hướng −1 +1 cho ∂M tuỳ theo vectơ định hướng dương v1 hướng hay hướng vào Ví dụ 3.2.1 Mặt cầu đơn vị S m−1 ⊂ Rm định hướng xem biên đĩa Dm 3.3 Bậc Brown Cho M N hai đa tạp định hướng n-chiều biên cho f :M →N ánh xạ trơn Nếu M compact N liên thông bậc f định nghĩa sau: Định nghĩa 3.7 Cho M , N hai đa tạp định hướng n-chiều biên, M compact, N liên thông f :M →N Footer Page 55 of 161 48 Header Page 56 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Ngọc Hoàng Anh ánh xạ trơn Với x ∈ M điểm quy f , ánh xạ vi phân dfx : Tx M → Tf (x) N đẳng cấu tuyến tính hai không gian vectơ định hướng Ta gọi dấu f x, kí hiệu sign dfx , +1 dfx bảo toàn hướng −1 dfx đảo ngược hướng Nhận xét 3.5 Với x ∈ M , ta gọi ∂fi ∂xj (x) ma trận biểu diễn dfx theo hai sở định hướng dương Tx M Tf (x) N Khi sign dfx = +1 det ∂fi ∂xj (x) > sign dfx = −1 det ∂fi ∂xj (x) < Định nghĩa 3.8 Cho M , N hai đa tạp định hướng n-chiều biên, M compact, N liên thông f :M →N ánh xạ trơn Với giá trị quy y ∈ N , ta đặt sign dfx deg (f, y) := x∈f −1 (y) (tổng dấu f điểm x ∈ f −1 (y)) Tính chất 3.3.1 Cho M , N hai đa tạp định hướng n-chiều biên, M compact, N liên thông f :M →N ánh xạ trơn Với giá trị quy y ∈ N , hàm số deg (f, y) địa phương theo biến y Footer Page 56 of 161 49 Header Page 57 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Ngọc Hoàng Anh Chứng minh Với y ∈ N giá trị quy f Đặt f −1 (y) = {x1 , , xk } Do M N hai đa tạp có số chiều nên tồn lân cận Ui xi vi phôi với f (Ui ) qua f , i = 1, , k Ui ∩ UJ = ∅ với i = j Với xi cố định Ui , xét ánh xạ h : Ui → R ∂fp ∂xq xác định h (x) = det (x) Do F trơn nên h liên tục Giả sử sign dfxi = +1, tức h (xi ) > Do h liên tục nên tồn lân cận Ui ⊂ Ui xi cho h (x) > với x ∈ Ui , suy sign dfx = +1 = sign dfxi với x ∈ Ui Tương tự trường hợp sign dfxi = −1 Do tồn lân cận Ui ⊂ Ui xi cho sign dfx = sign dfxi với x ∈ Ui Đặt V = f (U1 ) ∩ f (Uk ) \f (M \U1 \ \Uk ) Ta có deg (f, y ) = deg (f, y) với y ∈ V Thật vậy, với y ∈ V , theo Định lý 1.4, f −1 (y ) = {x1 , , xk } , thoả mãn xi ∈ U i , i = 1, , k Theo chứng minh trên, sign dfxi = sign dfxi , i = 1, , k Vậy k deg (f, y ) = k sign dfxi = i=1 Footer Page 57 of 161 sign dfxi = deg (f, y) i=1 50 Header Page 58 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Ngọc Hoàng Anh Định lý 3.1 Cho M , N hai đa tạp định hướng n-chiều biên, M compact, N liên thông f :M →N ánh xạ trơn Với giá trị quy y ∈ N , số nguyên deg (f, y) không phụ thuộc vào việc chọn giá trị quy y Định nghĩa 3.9 Cho M , N hai đa tạp định hướng n-chiều biên, M compact, N liên thông f :M →N ánh xạ trơn Với giá trị quy y ∈ N , số nguyên deg (f, y) gọi bậc f Kí hiệu deg f Định lý 3.2 Nếu f đồng luân trơn với g deg f = deg g Để chứng minh cho Định lý 3.1 Định lý 3.2, ta cần đến hai Bổ đề sau: Bổ đề 3.2 Cho đa tạp trơn compact định hướng X với biên ∂X định hướng Nếu ánh xạ trơn f : ∂X → N có mở rộng ánh xạ F : X → N deg (f, y) = với giá trị quy y f Chứng minh Đặt M = ∂X Giả sử y giá trị quy F Khi y giá trị quy f = F |M Do F −1 (y) đa tạp trơn, compact 1-chiều nên F −1 (y) hợp hữu hạn cung đường tròn Footer Page 58 of 161 51 Header Page 59 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Ngọc Hoàng Anh có điểm biên cung nằm M Cho A ⊂ F −1 (y) cung với ∂A = {a} ∪ {b} Ta sign dfa + sign dfb = (tổng tất cung vậy) deg (f, y) = Hướng X N xác định hướng A sau: Cho x ∈ A, cho (v1 , , vn+1 ) sở định hướng dương Tx X cho v1 tiếp xúc với A Khi v1 xác định hướng cần tìm cho Tx A dFx biến (v2 , , vn+1 ) vào sở định hướng dương cho Tf (x) N Gọi v1 (x) kí hiệu cho vectơ đơn vị định hướng dương tiếp xúc A x Rõ ràng v1 hàm trơn v1 (x) hướng điểm biên, gọi b, hướng vào điểm biên khác a Điều suy sign dfa = −1, sign dfb = +1 với tổng Áp dụng cho tất cung A vậy, ta có điều phải chứng minh deg (f, y) = Giả sử y0 giá trị quy f , y0 không giá trị quy F Hàm số deg (f, y) số lân cận U y0 Ta chọn giá trị quy y F U theo trường hợp suy deg (f, y0 ) = deg (f, y) = Footer Page 59 of 161 52 Header Page 60 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Ngọc Hoàng Anh Bổ đề 3.3 Giả sử F : [0, 1] × M → N đồng luân trơn hai ánh xạ f (x) = F (0, x), g (x) = F (1, x) Khi bậc deg (g, y) với bậc deg (f, y) với giá trị quy y chung f g Chứng minh Giả sử y giá trị quy F Đa tạp [0, 1] × M định hướng có biên gồm × M (với hướng đúng) × M (với hướng sai) Do bậc F |∂([0,1]×M ) giá trị quy y với hiệu deg (g, y) − deg (f, y) Theo Bổ đề 3.2, hiệu 0, tức deg (g, y) = deg (f, y) Giả sử y không điểm quy F Theo Định lý 3.8, hàm deg (g, y ) hàm deg (f, y ) số địa phương theo y Do có lân cận V1 ⊂ N y chứa giá trị quy f cho deg (f, y ) = deg (f, y) với y ∈ V1 Tương tự có lân cận V2 ⊂ N y cho deg (g, y ) = deg (g, y) với y ∈ V2 Chọn giá trị quy z F V1 ∩ V2 Khi deg (f, y) = deg (f, z) = deg (g, z)) = deg (g, y) Ta chứng minh Định lý 3.1 sau: Footer Page 60 of 161 53 Header Page 61 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Ngọc Hoàng Anh Chứng minh Nếu y z hai giá trị quy f : M → N , chọn vi phôi h : N → N , biến y thành z đẳng luân với phép đồng Khi h bảo toàn hướng deg (f, y) = deg (h ◦ f, h (y)) Nhưng f đồng luân với h ◦ f nên theo Bổ đề 3.3, deg (h ◦ f, z) = deg (f, z) Do deg (f, y) = deg (f, z) Từ Định lý 3.1 Bổ đề 3.3, ta dễ dàng chứng minh Định lý 3.2 Footer Page 61 of 161 54 Header Page 62 of 161 Kết luận Phần nội dung trình bày phát biểu định lý Sard, định lý A.B Brown, định lý điểm cố định Brown, bước chứng minh định lý Sard khái niệm bậc Brown Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hy vọng điều em trình bày khoá luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề có liên quan tôpô vi phân thuận lợi Mặc dù cố gắng song hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Trân trọng cảm ơn Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Footer Page 62 of 161 55 Header Page 63 of 161 Tài liệu tham khảo [1] John W Milnor , Topology From The Differentiable Viewpoint, University of Virginia Press, 1965 [2] Hoàng Tuỵ, Hàm thực giải tích hàm, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, 2005 [3] Nguyễn Quốc Hưng, Phan Hồ Anh Thư, Võ Nguyễn Thuỷ Tiên, Lý thuyết bậc Tôpô đa tạp compact định hướng được, 2009 [4] Giáo trình Giải tích, Đại học Sư phạm Hà Nội, Nguồn: http://d.violet.vn/uploads/resources/559/477244/index.html Footer Page 63 of 161 56 ... điểm quy giá trị quy ánh xạ Điểm quy ánh xạ trơn điểm mà ánh xạ vi phân toàn ánh Mục đích khoá luận trình bày lại số kết giá trị quy ánh xạ trơn ứng dụng việc nghiên cứu đa tạp trơn Một định lý. .. Chương Định lý Sard Định lý điểm bất động Brown Trong chương giới thiệu Định lý Sard với hệ [1, Chapter 2], đặc biệt hệ tập giá trị quy ánh xạ trơn đa tạp trơn trù mật tập đích Từ dẫn đến định lý. .. bày số khái niệm ánh xạ trơn, đa tạp trơn, không gian tiếp xúc, ánh xạ vi phân giá trị quy có [1, Chapter 1] Chương "Định lý Sard Định lý điểm bất động Brown" giới thiệu Định lý Sard với hệ [1,