Khoá luận tốt nghiệp giá trị chính quy của ánh sạ trơn và định lý sard

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s P H Ạ M H À N Ộ I KHOA TOÁN M N gọc H oàng A nh GIÁ TR Ị CH ÍNH Q U Y C Ủ A Á N H X Ạ TR Ơ N VÀ Đ ỊN H LÝ SARD KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC H N ội —N ăm 2016 BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ À O TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s P H Ạ M H À N Ộ I KHOA TOÁN M N gọc H oàng A nh GIÁ T R Ị CH ÍNH Q U Y C Ủ A Á N H X Ạ TR Ơ N VÀ Đ ỊN H LÝ SA R D C huyên ngành: H ình học K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS N guyễn Tất Thắng H N ội —N ăm 2016 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung báo cáo thực tập chuyên ngành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Tất Thắng tận tình hướng dẫn để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực đề tài thực tập Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Mai N gọc Hoàng Anh Lời cam đ oan Tôi xin cam đoan số liệu nội dung nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn thông tin thu trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Mai N gọc Hoàng Anh 11 M ục lục Lời mở đầu ii K iến thứ c 1.1 Ánh xạ trơn đa tạp trơn 1.2 Không gian tiếp xúc ánh xạ vi p h â n 1.3 Giá trị q u y 16 Đ ịnh lý Sard Đ ịnh lý điểm bất động Brow n 20 2.1 Định lý Sard B ro w n 20 2.2 Đa tạp với b i ê n 28 2.3 Định lý điểm bất động B r o w n 31 2.4 Chứng minh định lý S a r d 34 Đ a tạp định hướng bậc Brow n 45 3.1 Đồng luân trơn đẳng luân t r n 45 3.2 Đa tạp định h n g 46 3.3 Bậc B row n 48 Tài liệu tham khảo 55 M N gọc H oàng A nh Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lời mở đầu Ánh xạ trơn đa tạp trơn đối tượng nghiên cứu Tôpô vi phân Việc hiểu biết ánh xạ xác định đa tạp trơn cho phép ta nhận lại thông tin đa tạp Để nghiên cứu tính chất hình học tôpô ánh xạ trơn, toán cần giải nghiên cứu điểm quy giá trị quy ánh xạ Điểm quy ánh xạ trơn điểm mà ánh xạ vi phân toàn ánh Mục đích khoá luận trình bày lại số kết giá trị quy ánh xạ trơn ứng dụng việc nghiên cứu đa tạp trơn Một định lý vấn đề định lý Sard Nói tập giá trị quy ánh xạ trơn trù mật khắp nơi Bằng việc sử dụng kết này, người ta đưa định nghĩa bậc Brown ánh xạ trơn đa tạp số chiều từ phát nhiều kết tiếng Khoá luận gồm ba chương Chương "Kiến thức " trình bày số khái niệm ánh xạ trơn, đa tạp trơn, không gian tiếp xúc, ánh xạ vi phân giá trị quy có [1, Chapter 1] Chương "Định lý Sard Định lý điểm bất động Brown " giới thiệu Định lý Sard với hệ [1, Chapter 2], đặc biệt hệ tập giá trị quy ánh xạ trơn đa tạp trơn trù mật tập đích Từ dẫn đến định lý điểm bất động Brown Chương "Đa tạp định hướng bậc Brown" đưa khái niệm ii M N gọc H oàng A nh Khóa luận tốt nghiệp Đại học đồng luân trơn, đẳng luân trơn, đa tạp định hướng, bậc Brown số hệ định lý bậc Brown có [1, Chapter 4, 5], tiêu biểu kết bậc Brown ánh xạ trơn hai đa tạp định hướng chiều không phụ thuộc vào giá trị quy mà phụ thuộc vào lớp đồng luân trơn Tác giả luận văn chân thành cảm ơn TS Nguyễn Tất Thắng tận tình hướng dẫn tác giả đọc tài liệu tập dượt nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn ThS Nguyễn Thanh Tâm góp ý chi tiết cách trình bày số kết luận văn Tác giả chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Hình học, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học Đại học thực khóa luận Hà Nội, ngày 02/05/2016 Tác giả khóa luận Mai Ngọc Hoàng Anh Chương K iến thứ c Trong chương trình bày lại số khái niệm ánh xạ trơn, đa tạp trơn, không gian tiếp xúc, ánh xạ vi phân giá trị quy [1, Chapter 1] 1.1 * Anh xạ trơn đa tạp trơn Kí hiệu không gian Euclide A;-chiều Với X € Kfc, ta viết X = ( x i , , Xỵ) Xị G R, ỉ = 1, , k Đ ịn h nghĩa 1.1 Cho u c R fe tập mở Ánh xạ / = (fi, u —>• M.1 gọi trơn tấ t đạo hàm g dnfg X : fi = ( x i, , X k ) € u tồn liên tục Đ ịn h nghĩa 1.2 Cho X c Mfe, Y c M1 Ánh xạ / : X —» Y gọi trơn với X E X , tồn tập mở xạ trơn F : u —¥ M 1trùng với / T ính chất 1.1.1 Cho X c f c M.k chứa X ánh un X Y c M1, z c Rm Nếu ánh xạ : X —)■Y g : Y —)■z trơn g o / : X —»■z trơn M N gọc H oàng A nh Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chứng minh Với X £ X , f X —>• y trơn nên tồn tập mở u C R fc chứa X ánh xạ trơn F : u -> R l trùng với / u n X Với / (:r) £ Y Do g : Y —> z trơn nên tồn tập mở V c R l chứa f (x) ánh xạ trơn G : V -> Mm trùng với g V n Y Ta chọn u đủ nhỏ cho F (u ) c V T hật vậy, ta thay u U\ — u n F ~ l (V ) cần thiết Khi ánh xạ G o F : u ->• Mm trơn tính khả vi vô hạn hợp hai ánh xạ khả vi vô hạn Hơn nữa, G o F đồng với g o / u n X T hật vậy, lấy x' £ u n i , suy F ự ) = f 0X') G F ỢJ) n Y c V n Y Do G{F{x' ) ) = g ( f ( x ' ) ) Đ ịnh nghĩa 1.3 Cho X c □ Y c M* Ánh xạ / : X —» Y gọi đồng phôi / song ánh, liên tục / -1 liên tục Đ ịnh nghĩa 1.4 Cho X c Y c M1 Ánh xạ / : X —»■Y gọi vi phôi / đồng phôi / , / -1 trơn Khi ta nói X vi phôi với Y qua ánh xạ / / ánh xạ X vi phôi với Y Đ ịnh nghĩa 1.5 Tập M cM k gọi đa tạp trơn m-chiều M N gọc H oàng A nh Khóa luận tốt nghiệp Đại học với X € M có lân cận w n M vi phôi với tập mở u G Rm qua ánh xạ g Khi ánh xạ g : u —»• Rfe gọi tham số hóa lân cận W n M X Ánh xạ ngược g~l : w n M —>■u gọi hệ tọa độ w nM V í dụ 1.1.1 Theo định nghĩa, M đa tạp trơn có số chiều không X € M có lân cận W n M chứa X V í dụ 1.1.2 Mặt cầu đơn vị s 2, gồm tấ t các điểm (X , y, z ) G R3 thỏa mãn X2 + y2 + z = đa tạp trơn có số chiều T hật vậy, ta có vi phôi g : { (x ,y ) e R : X + y2 < l} R3 xác định công thức g (x,y) = ị x , y , y / l — X — y miền z > s Thay đổi vai trò X, y ,z , tham số hóa thay đổi ký hiệu cho biến, ta thực tương tự tham số hóa miền X < 0, y < z X > 0, y > 0, < Do miền phủ s nên suy s đa tạp trơn 2-chiều V í dụ 1.1.3 Tổng quát, hình cầu S n~1 c Rn gồm tấ t điểm 71 (x i, , x n) thỏa mãn = đa tạp trơn có số chiều n — Chứng i=1 minh tương tự ví dụ Đặc biệt, s ữ c R đa tạp trơn chứa hai điểm V í dụ 1.1.4 Tập hợp M gồm tấ t (x,y) G R2 với X Ỷ y = sin - đa tap trơn 1-chiều T hât vây, với moi í^o,sin — ) e M , x > x ữ < Nếu X > 0, ta chọn lân cận w = {(x ,y ) : X > 0} M N gọc H oàng A nh Khóa luận tốt nghiệp Đại học g (C ') = / (14 n c ) có độ đo không C h ứ n g m in h B ước 2: Với X € Cỵ\Cỵ+1, tồn đạo hàm cấp k + d k+1f r d x ,1 d x.ttl khác không X Khi hàm w (x) = - gậ w Ỡ X g Ỡ X Sk+1 không X, Giả sử Si = khác không X Xét ánh xạ h : u —>Mn xác định h (x) = (w {x) , x 2, Khi dhã : Mn —¥ Mn có ma trận biểu diễn X 9w dw dw dxi dx2 dxn 0 L J X suy dhi không suy biến Theo định lý hàm ngược, h ánh xạ u X vi phôi với h (Vã) Chú ý h ánh xạ ckn 14 vào siêu phẳng X M n_1 T hật vậy, với lân cận Vã c X E Cỵ n 14, tấ t đạo hàm riêng cấp bé k 41 / M N gọc H oàng A nh Khóa luận tốt nghiệp Đại học X không Do w (X ) = ƠnX s x -(x) = 0, với „ k+1 X e Ck n Vx Ta suy h (x) = (w ( x ) , x2, , x n) = (0, x 2, , x n) e Từ đây, ta có ckn f o h~l : h (Vị,) —>■ Vx vi phôi với (o X X Mn Mn_1) n h (Vx) qua h Đặt g — Ta có g ánh xạ trơn Xét ánh xạ g : { (x2, x n) G Mn 11(0,ar2, —, z n) e (o X R n x) n h (\A)} -» w xác định g(x2, , x n) = g{0, x 2, , x n) Ánh xạ vi phân dg(X2 x ) : Mn_1 —> có ma trận biểu diễn dgi dgi dgi dgi dx2 dxn dx2 dxn dgn dx2 dgn dxn dgn dx2 dgn dxn ( x , ■ìxn) ma trận dg(0 x2 X ) bỏ cột Ta suy rank (dg(X2 x )) < rank (dg{ữ,x2, ,xn)) ■ Đặt c tập điểm tới hạn g Theo giả thiết quy nạp, tập giá trị tới hạn g (c) có độ đo không IRP Mặt khác, với (0, x 2, , x n) € h ( C k n Ví), tồn z ẽ Cỵ n V, h (z ) = (0,312, ,x n), suy tấ t đạo hàm riêng cấp bé k / triệt tiêu z, kéo theo d fz = Do g = / o /ỉ,-1 nên dg(0,x2, ,xn) — dfh~i(0,x2, ,xn) ° dh 42 (0,x2, ,xn) M N gọc H oàng A nh Khóa luận tốt nghiệp Đại học hay dg{0,X2, ,Xn) = d fz o dh 1{0,X2, ,Xn) = o dh 1{0,X2, ,Xn) = Suy rank dg{x2j,„jXn) < ranh dg{0,x2, ,xn) = < p x n) điểm tới hạn g Do h (ckn Vx) c x Từ (x 2, Khi / (c k n Vx) = ( g o h ) (c k n Vx) c g (o X Ỡ) = g (Ỡ) có độ đo không Vì c k\ c k+i bị phủ đếm tập Vx thỏa mãn / (c k n Vx) — 0, suy / (Ck\C k+i) có độ đo không C h ứ n g m in h B ước 3: Cho In c u chứng minh / k đủ lớn (A; > - + 1), ta (Ck n I n) có độ đo không Vì ckcó thể phủ đếm gian với cạnh ổ Nếu gian I n nên / (c k) có độ đo không Theo định lý Taylor, độ chặt I n định nghĩa ck: ta có f (x + h) = f (x) + R (x, h) IlR (X , /i)|| < c \ \ h \ \ k+ với X ckn I n, X + € h € I n Do c số phụ thuộc vào / I n Ta chia I n thành rn gian có cạnh - Cho II gian rn gian mà có chứa điểm dạng \\h\\ < X + ựĩi h X ck Khi điểm bất với (f) 43 kì lị có M N gọc H oàng A nh Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khi \\f{x + h) - f{x)\\ = ||iỉ(a;,fe)|| < c\\h\\k+1 c(y/ĩĩỗ)k+1 (pk~\~1 Suy / ự i) nằm gian có cạnh -¡mT j tâm / (X), a = 2c(^/nô)k+1 số Do / (Cỵ n I n) bị phủ hợp rn gian có tổng thể tích V < r n ( ^ T ) P = ap.rn~p{k+1) Vì k > - + hay n — p (k + 1) < nên V —> r —> 00 Do / (Ck n I n) phải có độ đo không □ 44 Chương Đ a tạp định hướng bậc B row n Trong chương ta đưa khái niệm đồng luân trơn, đẳng luân trơn, đa tạp định hướng, bậc Brown số hệ định lý bậc Brown có [1, Chapter 4, 5], tiêu biểu kết bậc Brown ánh xạ trơn hai đa tạp định hướng chiều không phụ thuộc vào giá trị quy mà phụ thuộc vào lớp đồng luân trơn 3.1 Đ ồng luân trơn đẳng luân trơn Đ ịn h n g h ĩa 3.1 Cho X c X X [0,1] kí hiệu cho tập R fc+1 gồm tấ t (X, t ) với I Ễ I < í < Hai ánh xạ f,g :X ^Y gọi đồng luân trơn (kí hiệu / ~ g) tồn ánh xạ trơn F T x thoả mãn F (X, 0) = f {x) , F (X, 1) = g (X) 45 M N gọc H oàng A nh Khóa luận tốt nghiệp Đại học với e X X Ánh xạ F gọi đồng luân trơn / g N h ậ n x é t 3.1 Quan hệ đồng luân trơn (~) quan hệ tương đương tập tấ t ánh xạ trơn từ X đến Y (Chứng minh xem [3, Mục 1.4]) Đ ịn h n g h ĩa 3.2 Nếu / g vi phôi từ luân trơn với vi phôi từ / đến g g X đến Y Vi phôi / đẳng tồn đồng luân trơn cho với t F : X X [0, 1] —»• Y € [0,1], tương ứng X —> F (x, t) từ X vi phôi lên Y N h ậ n x é t 3.2 Quan hệ đẳng luân trơn quan hệ tương đương tập tấ t vi phôi từ X lên Y (Chứng minh xem [3, Mục 1.4]) B ổ đề 3.1 (Bổ đề nhất) Cho y z điểm tuỳ ý đa tạp trơn liên thông N Khi tồn vi phôi h : N —»■N ỉà đẳng luân trơn đến phép đồng biến y thành z (Chứng minh xem [1, Chapter 4, page 22]) 3.2 Đ a tạp định hướng Đ ịn h n g h ĩa 3.3 Hướng không gian vectơ thực hữu hạn chiều lớp tương đương sở có thứ tự sau: Cơ sở có thứ 46 M N gọc H oàng A nh Khóa luận tốt nghiệp Đại học tự (&!, ,ò„) hướng với sở ( & / , bn') bi = aijbj với 3=1 det (dịj) > Nó xác định ngược hướng det (ữjj) < N h ậ n x é t 3.3 Mỗi không gian vectơ hữu hạn chiều dương có hai hướng Đ ịn h n g h ĩa 3.4 Hướng ứng với sở tắc ( ( , , ) , ( , , ) , 1)) không gian vectơ Rn, n > 1, gọi hướng tiêu chuẩn Rn Để thuận tiện, ta quy ước không gian vectơ không chiều có hai hướng Ký hiệu +1 —1 Đ ịn h n g h ĩa 3.5 Đa tạp trơn có hướng đa tạp M với việc chọn hướng cho không gian tiếp xúc TXM với X € M N h ậ n x é t 3.4 Nếu m > 1, định nghĩa tương đương với điều kiện: Với điểm M có lân cận u c M vi phôi h ánh xạ u lên tập mở Rm H m mà bảo toàn hướng, nghĩa với X e u, đẳng cấu dhx biến hướng cho trước TXM thành hướng tiêu chuẩn Rm Nếu M liên thông có hướng có hai hướng Nếu M có biên, ta phân thành ba loại vectơ không gian tiếp xúc TXM điểm biên: Có vectơ tiếp xúc với biên, lập thành không gian (m — 1) chiều Tx( d M ) c TXM 47 M N gọc H oàng A nh Khóa luận tốt nghiệp Đại học Có vectơ hướng ngoài, lập thành nửa không gian mở biên Tx(dM) Có vectơ hướng vào trong, lập nên nửa không gian bù Đ ịn h n g h ĩa 3.6 Mỗi hướng M xác định hướng d M sau: Với X € ỠM, chọn sở định hướng dương (vi,v2, cho TXM : cho v2: ,vm tiếp xúc với biên ỠM Vi vectơ Khi M có số chiều m > (t>2, , vm) xác định hướng cần tìm cho ỠM X Nếu số chiều M điểm biên X quy định hướng —1 +1 cho ỠM tuỳ theo vectơ định hướng dương Vi hướng hay hướng vào V í d ụ 3.2.1 Mặt cầu đơn vị s m_1 c Rm định hướng xem biên đĩa D m 3.3 Bậc Brown Cho M N hai đa tạp định hướng n-chiều biên cho / : M ->• N ánh xạ trơn Nếu M compact N liên thông bậc / định nghĩa sau: Đ ịn h n g h ĩa 3.7 Cho M , N hai đa tạp định hướng n-chiều biên, M compact, N liên thông / :M 48 N M N gọc H oàng A nh Khóa luận tốt nghiệp Đại học e M điểm quy /, ánh xạ vi ánh xạ trơn Với X phân dfx : TXM —> N đẳng cấu tuyến tính hai không gian vectơ định hướng Ta gọi dấu / X, kí hiệu sign dfx, +1 dfx bảo toàn hướng —1 dfx đảo ngược hướng N h ậ n x é t 3.5 Với X € M , ta gọi (X) ma trận biểu diễn dfx theo hai sở định hướng dương TXM N Khi sign dfx = +1 det 1^- (x) > sign dfx — —1 det 1^- (a;) < Đ ịn h n g h ĩa 3.8 Cho M , N hai đa tạp định hướng 77,-chiều biên, M compact, N liên thông / :M N ánh xạ trơn Với giá trị quy y E N , ta đặt deg (/, ỳ) := (tổng dấu / điểm X sign d fx € / -1 (y )) T ín h c h ấ t 3.3.1 Cho M , N hai đa tạp định hướng n-chiều biên, M compact, N liên thông f :M N ánh xạ trơn Với giá trị quy y € N , hàm số deg (/, y) địa phương theo biến y 49 M N gọc H oàng A nh Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chứng minh Với y e N giá trị quy / Đặt / -1 {y) = {xu •••,£*}• Do M N hai đa tạp có số chiều nên tồn lân cận Ui Xi vi phôi với f (Ui) qua f , i = l , , k Ui n Uj = với ỉ Ỷ 3- Với Xi cố định Ui, xét ánh xạ h Uị — VK xác định h (x) = det sign dfx = +1, tức h Xị (x) Do F trơn nên h liên tục Giả sử (Xị) > Do h liên tục nên tồn lân cận U'ị c Uị cho h( x) > với với X X e U'ị, suy sỉgn dfx = +1 = sỉgn dfXị e U'ị Tương tự trường hợp sỉgn dfx = —1 Do tồn lân cận U'ị c Uị Xi cho sign dfx = sign dfXi với X E U[ Đặt v = f (ty n / (ty \/ (M\Ui\ \uk) Ta có deg (/, y1) = deg (/, ỳ) với y' G V T hật vậy, với y' e V, theo Định lý 1.4, r (y/) = {x[, ,x'k} , thoả mãn Xị G Uị, ỉ = ĩ, ,k Theo chứng minh trên, sign dfXị = sign dfx>,, i = 1, ,k Vậy k k deg (/, ự ) = ^ sign df x[ = ^ si9n d f Xi = deg (/, ỳ ) i= i= 50 M N gọc H oàng A nh Khóa luận tốt nghiệp Đại học □ Đ ịn h lý 3.1 Cho M , N hai đa tạp định hướng n-chiều biên, M compact, N liên thông f :M N ánh xạ trơn Với giá trị quy y G N , số nguyên deg (/, y) không phụ thuộc vào việc chọn giá trị quy y Đ ịn h n g h ĩa 3.9 Cho M , N hai đa tạp định hướng n-chiều biên, M compact, N liên thông f :M N ánh xạ trơn Với giá trị quy y e N , số nguyên deg (/, y) gọi bậc / Kí hiệu d e g / Đ ịn h lý 3.2 Nếu f đồng luân trơn với g d e g / = ảegg Để chứng minh cho Định lý 3.1 Định lý 3.2, ta cần đến hai Bổ đề sau: B ổ đ ề 3.2 Cho đa tạp trơn compact định hướng X với biên định hướng Nếu ánh xạ trơn f : dx dx —>■ N có mở rộng ánh xạ F : X —»■N deg (/, y) = với giá trị quy y f Chứng minh Đặt M = d x Giả sử y giá trị quy F Khi y giá trị quy / = F\ M Do F ~ l (y) đa tạp trơn, compact 1-chiều nên F -1 (y) hợp hữu hạn cung đường tròn 51 M N gọc H oàng A nh Khóa luận tốt nghiệp Đại học có điểm biên cung nằm M Cho A c F (y) cung với dA = {a} u {6} Ta sign dfa + sign d fb = (tổng tấ t cung vậy) deg (/, y) = Hướng X N xác định hướng A sau: Cho X e A, cho (vi, , vn+i) sở định hướng dương TxX cho Vi tiếp xúc với A Khi V\ xác định hướng cần tìm cho TXA dFx biến (v2, ,vn+i) vào sở định hướng dương cho Tf(x)N Gọi Vị (X) kí hiệu cho vectơ đơn vị định hướng dương tiếp xúc A X Rõ ràng Vị hàm trơn Vị (:r) hướng điểm biên, gọi 6, hướng vào điểm biên khác a Điều suy sign dfa = - 1, sign dfb = + với tổng Áp dụng cho tấ t cung A vậy, ta có điều phải chứng minh deg (/, y ) = Giả sử yữ giá trị quy / , yữ không giá trị quy F Hàm số deg (/, y) số lân cận u y0 Ta chọn giá trị quy y F u theo trường hợp suy deg (/, yữ) = deg (/, y) = □ 52 M N gọc H oàng A nh Khóa luận tốt nghiệp Đại học B ổ đ ề 3.3 Giả sử F : [0,1] X M —> N ỉà đồng luân trơn hai ánh xạ f (x) = F ( , x ) , g (x) = F ( l , x ) Khi bậc deg (g,y) với bậc deg (/, y) với giá trị quy y chung f g Chứng minh Giả sử y giá trị quy F Đa tạp [0,1 Ị x M định hướng có biên gồm X M (với hướng đúng) X M (với hướng sai) Do bậc F ỊỠ^0 1ỊxM) giá trị quy y với hiệu deg (g, y) - deg (/, ỳ) Theo Bổ đề 3.2, hiệu 0, tức deg (g, y ) = deg (/, y ) Giả sử y không điểm quy F Theo Định lý 3.8, hàm deg (g, y') hàm deg (/, y') số địa phương theo y' Do có lân cận Vị c N y chứa giá trị quy / cho deg (/, y') = deg (/, ỳ) với y' e Vị Tương tự có lân cận v2c N y cho deg {g, ý ) = deg {g, y) với y' € v2 Chọn giá trị quy F Vị nv2 Khi deg (/, ỳ) = deg (/, z) = deg (g, z)) = deg (g, y ) □ Ta chứng minh Định lý 3.1 sau: 53 M N gọc H oàng A nh Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chứng minh Nếu y z hai giá trị quy / : M —> N , chọn vi phôi h : N —>■N , biến y thành đẳng luân với phép đồng Khi h bảo toàn hướng deg ự , y ) = deg {h o / , h (y )) Nhưng / đồng luân với h o f nên theo Bổ đề 3.3, deg (h o f , z ) = deg (/, z ) Do deg (/, ỳ) = deg (/, z) □ Từ Định lý 3.1 Bổ đề 3.3, ta dễ dàng chứng minh Định lý 3.2 54 K ết luận Phần nội dung trình bày phát biểu định lý Sard, định lý A.B Brown, định lý điểm cố định Brown, bước chứng minh định lý Sard khái niệm bậc Brown Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hy vọng điều em trình bày khoá luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề có liên quan tôpô vi phân thuận lợi Mặc dù cố gắng song hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Trân trọng cảm ơn Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 55 ... học tôpô ánh xạ trơn, toán cần giải nghiên cứu điểm quy giá trị quy ánh xạ Điểm quy ánh xạ trơn điểm mà ánh xạ vi phân toàn ánh Mục đích khoá luận trình bày lại số kết giá trị quy ánh xạ trơn ứng... thiệu Định lý Sard với hệ [1, Chapter 2], đặc biệt hệ tập giá trị quy ánh xạ trơn đa tạp trơn trù m ật tập đích Từ dẫn đến định lý điểm bất động Brown 2.1 Định lý Sard Brown Trước đưa Định lý Sard, ... tiếng Khoá luận gồm ba chương Chương "Kiến thức " trình bày số khái niệm ánh xạ trơn, đa tạp trơn, không gian tiếp xúc, ánh xạ vi phân giá trị quy có [1, Chapter 1] Chương "Định lý Sard Định lý