Vài kết quả về nghiệm của phương trình ∂

Header Page of 166 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Tiến Đạt VÀI KẾT QUẢ VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ∂ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 Footer Page of 166 Header Page of 166 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Tiến Đạt VÀI KẾT QUẢ VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ∂ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 Footer Page of 166 Header Page of 166 LỜI CÁM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Đông – giảng viên trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh Chính thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ nghiêm khắc khoa học để hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy cô Khoa Toán- Tin giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập, nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn cán thuộc phòng ban chức trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, thầy cô giáo bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ nhiều thời gian nghiên cứu luận văn Đặc biệt gia đình với cô Lê Hồng Thúy Vũ niềm động viên, an ủi lớn để hoàn thành luận văn TP.HCM, ngày 18 tháng năm 2012 Tác giả Footer Page of 166 Header Page of 166 MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cám ơn Mục lục Danh sách ký hiệu MỞ ĐẦU Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Toán tử vi phân 1.2 Tích chập hàm suy rộng 1.3 Miền chỉnh hình, miền giả lồi tính đa điều hòa Chương : TOÁN TỬ ∂ TRÊN KHÔNG GIAN L2( p ,q ) (Ω,φ ) 13 2.1 Toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert 13 2.2 Toán tử ∂ không gian L2( p ,q ) (Ω,φ ) 19 Chương : L2 - ĐÁNH GIÁ VÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ∂ 27 3.1 Các định lý tồn nghiệm phương trình ∂ miền giả lồi 27 3.2 Định lý tính quy nghiệm phương trình ∂ 34 3.3 Giải toán Lêvi 38 3.4 Định lý xấp xỉ 41 3.5 Mở rộng miền Ω toán tử ∂ lên toàn không gian ( Ω ⊆  n ) 44 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 Footer Page of 166 Header Page of 166 DANH SÁCH CÁC KÍ HIỆU ∂ ∂z j , ∂ ∂zj : xem trang d : kí hiệu dạng vi phân (trang 6) ∧ : kí hiệu tích (trang 7) ∂ ∂ : thành phần d tương ứng thuộc dạng (1,0) (0,1) (xem trang 5) I (hoặc J K): kí hiệu đa số, nghĩa dãy (i1 , i2 , , i p ) số nguyên tăng ngặt nằm n, n số chiều không xét Ta viết I = p , ∑ ' I hiểu tổng phần tử mà số thỏa i1 < i2 < < i p (xem trang 7, 24) J dz I (hoặc d z ): kí hiệu cho dzi1 ∧ ∧ dzi p ∧ d z j1 ∧ d z jq (xem trang 7, 24) C k ( Ω ) ( ≤ k ≤ ∞, k ∈  ) : không gian hàm giá trị phức có đạo hàm liên tục cấp k Ω Cok (ω ) : ω tập Ω , không gian hàm thuộc C k ( Ω ) triệt tiêu bên tập compact ω supp f : kí hiệu giá f, bao đóng nhỏ tập hợp mà bên tập f triệt tiêu F( p ,q ) : F không gian hàm bất kì, kí hiệu không gian dạng thuộc loại (p,q) với hệ số thuộc vào F (xem trang 8, 9) L2 (Ω, φ ) : không gian hàm khả tích bình phương Ω theo độ đo e −φ d λ nghĩa = uφ ∫u A(Ω) : tập tất hàm giải tích Ω ∂Ω : biên tập Ω  Ω : kí hiệu trang 11 K Footer Page of 166 e −φ d λ < ∞ Header Page of 166 K c : phần bù tập K K ⊂⊂ Ω : nghĩa K có quan hệ compact Ω , tức K chứa compact tập Ω P (Ω) : tập tất hàm điều hòa xác định Ω (trang 13)  ΩP : xem trang 13 K L2 (Ω,loc) : không gian hàm xác định Ω mà bình phương khả tích địa phương theo độ đo Lebesgue (xem trang 24) D( p ,q ) (Ω) : tập hàm (p,q)-dạng có hệ số thuộc Co∞ (Ω) (trang 24) DT , KerT , RT : miền xác định, nhân ảnh toán tử tuyến tính T T * : toán tử liên hợp toán tử tuyến tính xác định trù mật T (xem trang 17, 18, 19) W s (Ω) : với s số nguyên không âm, không gian hàm xác định Ω ⊂  n có đạo hàm bậc nhỏ s thuộc L2 (xem trang 40) W s (Ω, loc) tập hợp hàm xác định Ω ⊂  n có đạo hàm bậc nhỏ s thuộc L2 tập compact Ω (xem trang 40) Footer Page of 166 Header Page of 166 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các định lý tồn nghiệm phương trình Cauchy-Rieman miền chỉnh hình đưa trước tiên Oka (1937) Ông chứng minh định lý xấp xỉ hàm chỉnh hình lân cận tập compact lồi chỉnh hình Mối liên hệ miền giả lồi miền chỉnh hình tìm sau Oka (1953), Bremermann (1954) Norguet (1954) Đây phát quan trọng giúp hình thành phương pháp giải toán Cauchy thứ (bài toán giải phương trình Cauchy Riemann) trực tiếp miền giả lồi, đánh giá dễ so với miền chỉnh hình Các phương pháp tương tự phương pháp đưa Garabedian Spencer (1952) giống phân tích Hodge-de Rham-Kodaira dạng đa tạp Riemann Các đánh giá đưa Morrey (1958) (0,1)- dạng Kohn (1963) cho trường hợp tổng quát Kohn (1964) đồng thời chứng minh số định lý mà đòi hỏi tính quy biên Kỹ thuật sử dụng hàm trọng bổ sung vào L2 chuẩn để nghiên cứu phương trình Cauchy-Riemann đưa Hormander (1965), Andreotti Vesentini (1965) giúp ngăn chặn khó khăn yêu cầu đòi hỏi biên đưa kết sâu sắc hơn… Tôi chọn đề tài nhằm tìm hiểu sâu giải tích phức nhiều biến việc sử dụng số kết việc giải toán Cauchy – Riemann Mục đích nghiên cứu Nội dung luận văn trình bày lại số kết nghiệm phương trình Cauchy-Riemann (còn gọi phương trình ∂ ) theo kỹ thuật L2 đánh giá Hormander, đặc biệt kết tồn xấp xỉ nghiệm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán Cauchy – Riemann không nhất, không gian Hilbert L2( p ,q ) (Ω, φ ) , lý thuyết toán tử vi phân, hàm đa điều hòa dưới, miền giả lồi Footer Page of 166 Header Page of 166 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Luận văn tài liệu tham khảo để tìm hiểu sâu phương pháp tiếp cận nghiên cứu toán Cauchy – Riemann theo phương pháp L2 – đánh giá Hormander Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương: Chương Trình bày số kiến thức chuẩn bị Chương Trình bày toán tử ∂ không gian L2( p ,q ) (Ω, φ ) Chương Trình bày kỹ thuật L2 - đánh giá với định lý tồn nghiệm xấp xỉ nghiệm phương trình ∂ Footer Page of 166 Header Page of 166 Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Toán tử vi phân Cho u hàm giá trị phức thuộc lớp C1 (Ω) Ω tập mở  n , đồng  n  2n Ta kí hiệu hệ tọa độ thực x j ,1 ≤ j ≤ 2n , hệ tọa độ phức z= x2 j −1 + x2 j ,1 ≤ j ≤ n Ta mô tả du tổ hợp tuyến j tính dạng vi phân dz j d z j sau: n ∂u ∂u dz + dzj ∑ ∑ j ∂ z ∂ z j =j = j j = du n (1.1.1) đó: ∂u ∂u  ∂u ∂u  ∂u  ∂u = +i = −i   ,  ∂z j  ∂x2 j −1 ∂x2 j  ∂ z j  ∂x2 j −1 ∂x2 j    Với kí hiệu n ∂u ∂u = dz , ∂ u dzj ∑ ∑ j ∂z j =j = j ∂z j = ∂u n Ta viết (1.1.1) sau: du = ∂u + ∂u Dạng vi phân mà tổ hợp tuyến tính dạng vi phân dz j gọi dạng (1,0), dạng vi phân mà tổ hợp tuyến tính dạng vi phân d z j gọi dạng (0,1) Vì ∂u (tương ứng ∂u ) thành phần du thuộc loại (1,0) (tương ứng (0,1)) Định nghĩa 1.1.1 Một hàm u ∈ C1 (Ω) gọi giải tích (hoặc chỉnh hình) Ω du thuộc loại (1,0), nghĩa ∂u =0 (phương trình Cauchy - Riemann) Tập hợp tất hàm giải tích Ω kí hiệu A(Ω) Toán tử vi phân ∂ ∂ tuyến tính A(Ω) vành Footer Page of 166 Header Page 10 of 166 Bây lấy u ∈ A(Ω) , nhận giá trị phức v nghĩa u = (u1 , u2 , , uv ) mà thành phần u j hàm giải tích Ω Nếu v ∈ C1 (ω ) với ω tập mở chứa miền giá trị u, với z ∈ Ω hàm (v  u )( z ) = v(u ( z )) thuộc lớp C1 (ω ) ta có v ∂v ∂v = d (v  u ) ∑ du j + ∑ du j ∂u j j ∂u j =j = v Bởi du j thuộc loại (1,0) du j thuộc loại (0,1) Ω nên suy : v ∂v ∂v du j ∂ (v  u ) = du j , ∂ ( v  u ) = ∑ ∑ j =1 ∂ u j j =1 ∂u j v Do v  u giải tích v giải tích Tổng quát, việc phân tích d giống ∂ + ∂ khái niệm hàm giải tích bất biến qua ánh xạ giải tích Cuối ta mở rộng định nghĩa toán tử ∂ ∂ thành dạng vi phân Một dạng vi phân f gọi thuộc loại (p,q) viết dạng = f ∑∑ f = I p= J q I ,J dz I ∧ d z J I = (i1 , , i p ) J = ( j1 , , jq ) đa số, nghĩa dãy số nằm n Ở dùng kí hiệu J dz I ∧ d z = dzi1 ∧ ∧ dzi p ∧ d z j1 ∧ d z jq Mỗi dạng vi phân viết cách tổng dạng loại (p,q): ≤ p, q ≤ n Nếu f thuộc loại (p,q) dạng vi phân df = ∑ df I ,J ∧ dz I ∧ d z J Có thể viết dạng df = ∂f + ∂ f đó: ∑ ∂f ∂f = J I ,J ∧ dz I ∧ d z , ∂ f = I ,J ∑∂ f I ,J ∧ dz I ∧ d z J I ,J dạng thuộc loại (p+1,q) (p,q+1) ( ) Vì = d f = ∂ f + ∂∂ + ∂∂ f + ∂ f tất số hạng tổng khác Footer Page 10 of 166 Header Page 45 of 166 e − F (τ ) ≤ δ Ω ( z ), z ∈ ∂D Vì A(Ω) - bao ∂D chứa D nguyên lý mô-đun cực đại, từ định lý 1.3.4 ta có e − F (τ ) ≤ δ Ω ( z ), z ∈ D nghĩa − log δ Ω ( z0 + τ w) ≤ Re f (τ ) , τ ≤ r Kết luận giống với w = Do − log δ Ω ( z + τ w) hàm điều hòa {τ ∈  : z + τ w ∈ D} với z cố định w ∈  n Mặt khác, − log δ Ω ( z + τ w) hàm nửa liên tục δ Ω hàm liên tục.Vậy − log δ Ω ( z + τ w) hàm đa điểu hòa Suy Ω miền giả lồi 1) ⇒ 3) Áp dụng hệ 3.2.5 3) ⇒ 2) Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo số chiều n Nếu n = điều rõ ràng tập mở  miền chỉnh hình Giả sử mệnh đề với n − Với zo ∈ ∂Ω , ta cần xây dựng hàm chỉnh hình Ω mà mở rộng chỉnh hình qua lân cận chứa zo Ta cần chứng minh điều tập mở trù mật ∂Ω Ta xây dựng tập mở trù mật ∂Ω sau : Với điểm biên z ∈ ∂Ω cầu B ( z , r ) đủ nhỏ, chọn q ∈ B ( z , r ) ∩ Ω đủ gần biên Ω , lấy Bq cầu tâm q lớn cho Bq ⊂ Ω , chọn zo ∈ Bq ∩ ∂Ω , suy zo ∈ B ( z , r ) ∩ ∂Ω Vì tập điểm biên zo xây dựng theo kiểu hình học trù mật ∂Ω Đồng thời, điểm biên zo ta tìm siêu phẳng phức H qua tâm cầu Bq qua zo thỏa mãn zo ∈ ∂ ( H ∩ Ω) (Hình minh họa bên dưới) Footer Page 45 of 166 Header Page 46 of 166 Bằng phép biến đổi tọa độ, ta giả sử zo = H o= { z ∈ Ω : zn= 0} ≠ ∅ (có thể xem H o tập mở  n−1 ) Khi H o miền giả lồi Ta H o , với f ∈ C(∞p ,q ) ( H o ) ( ≤ q ≤ n − ) mà ∂ f = tìm thấy hàm F ∈ C(∞p ,q ) (Ω) cho ∂F = F = f H o Ta xây dựng hàm F sau: Giả sử p : Ω →  n −1 phép chiếu thỏa = p ( z ) p ( z1 , z= (= z1 , z2 , , zn −1 ) z ' Đặt , , z n −1 , z n ) Ωo= { z ∈ Ω : p( z ) ∉ H o } ⊂ Ω Khi H o Ωo hai tập rời tập đóng tương đối Ω Áp dụng bổ đề Urysohn tồn hàm θ ∈ C ∞ (Ω) cho θ = lân cận H o θ = lân cận Ωo Đặt f tích θ với hàm hợp f  p , f ∈ C(∞p ,q ) (Ω) f = f H o Lại đặt : F= ( z ) f ( z ) − zn v( z ) v ∈ C(∞p ,q ) (Ω) chọn cho ∂F = Điều có nghĩa là: ∂θ ∧ ( f  p ) ∂v = zn (3.3.2) Vì vế phải (3.3.2) thuộc C(∞p ,q +1) (Ω) ∂ -đóng nên sử dụng giả thuyết 3) tồn hàm v ∈ C(∞p ,q ) (Ω) thỏa mãn phương trình (3.3.2) Vì f dạng ∂ đóng H o mở rộng lên thành F dạng ∂ -đóng Ω Điều đặc biệt trường hợp q = Bây thay Ω H o ta chứng minh giả thuyết 3) H o Thật vậy, với f ∈ C(∞p ,q +1) ( H o ) mà ∂ f = , áp dụng điều chứng minh trên, tồn dạng F ∈ C(∞p ,q +1) (Ω) thỏa ∂F = F = f H o Áp dụng giả thuyết 3), phương trình ∂U = F có nghiệm U ∈ C(∞p ,q ) (Ω) Đặt u = U  p ta có Footer Page 46 of 166 Header Page 47 of 166 ∂u =f Do giả thuyết quy nạp, H o miền chỉnh hình Do tồn hàm f ( z ') = f ( z1 , , zn −1 ) chỉnh hình H o thác triển chỉnh hình lên lận cận Lý luận tương tự trên, tồn hàm F cho F = f H o , F ( z ) chỉnh hình Ω mở rộng qua điểm zo = Điều Ω miền chỉnh hình Vì ta có 3) ⇒ 2) ■ 3.4 Định lý xấp xỉ Định lý xấp xỉ hàm biến phức biến gây nhiều ấn tượng tinh tế hữu dụng Chẳng hạn như, định lý Runge cho phép xấp xỉ hàm chỉnh hình lân cận tập compact hàm phân hình mà cực điểm nằm phần bù tập compact cho Còn định lý Mergelyan cho phép xấp xỉ hàm liên tục tập compact chỉnh hình phần tập compact đa thức miễn phần bù tập compact phải thành phần liên thông Tuy nhiên xấp xỉ hai định lý không đạt ta làm việc với không gian hàm biến phức nhiều biến (xem ví dụ [10] – trang 224) Sử dụng kĩ thuật Hormander, tức dùng kĩ thuật L2 - đánh giá chứng minh mục 3.2 ta trình bày số kết xấp xỉ Định lý 3.4.1 Cho Ω ⊆  n miền giả lồi, p hàm vét kiệt, đa điều hòa dưới, ngặt xác định Ω Với c ∈  đặt K= {z ∈ Ω:p(z) ≤ c} ⊂⊂ Ω Nếu f hàm c chỉnh hình lân cận K c ε > tồn hàm F chỉnh hình Ω cho: f −F L2 ( K c ) ≤ε Chứng minh Áp dụng định lý Hanh – Banach ta cần chứng minh v ∈ L2 ( K c ) ∫ uvd λ = (3.4.1) Kc với u ∈ A(Ω) (3.4.1) với u mà chỉnh hình lân cận Footer Page 47 of 166 Header Page 48 of 166 K c Trước tiên ta cố định hàm v trên, giả sử c = Đặt v = Ω \ K o Dùng kí hiệu chương 2, ta đặt = F Ker = RT bất đẳng thức S f H2 ≤C v H1 thỏa mãn với f ∈ DT * ∩ F Không tính tổng quát, giả sử v = Do định lý 3.2.4 ta có KerT không gian A(Ω) đồng thời phần tử KerT hàm thuộc lớp C ∞ Khi từ (3.4.1) ta có hàm veφ1 ∈ ( KerT ) ⊆ L2 (Ω, φ1 ) Áp dụng Bổ đề 2.1.10 tồn hàm f ∈ DT * thỏa ⊥ T * f = veφ1 f ≤ C veφ1 Ta viết f = ∑ j f j d z j từ (2.2.5) cho ta: φ1 φ1 ve =−e ∑ j Đặt δ = −∑ j ∂ δ ∂z j ∂ (e −φ2 f j ) ∂z j ⇔ v =−∑ j ∂ (e −φ2 f j ) ∂z j liên hợp toán tử ∂ : L2 (Ω) → L2(0,1) (Ω) ) (chứng minh tương tự chứng minh định lý (2.2.6)) Ký hiệu fe −φ2 = = g có v δ= ( fe −φ2 ) δ g Cách xây dựng vừa thực với hàm φ1= φ − 2ψ , φ2= φ −ψ , ψ chọn định lý 1.3.11, φ = β  p hàm vét kiệt, đa điều hòa ngặt định lý 1.3.12 Ta giả sử β hàm tăng ngặt đến ∞ β (0) = Đặt η :  →  hàm thuộc lớp C ∞ , đồng x ≤ , đồng thời lồi ngặt tăng ngặt đến ∞ x > Đặt β n ( x) = η n ( x).β ( x) β n ( x) = β m ( x) với x ≤ , m, n ≥ Đồng thời β n+1 ( x) ≥ β n ( x) với x > , n ≥ Cuối với x > ta có β n ( x)  ∞ n → ∞ Do với n ∈  * , ta xây dựng hàm φ1n , φ2n từ hàm β n giống cách xây dựng hàm φ1 , φ2 định lý 1.3.12 Vì với n ∈  * , ta nhận g n có dạng (0,1) cho v = δ ( g n ) g n eφ2 n Footer Page 48 of 166 ≤ C veφ1 n φ2n φ1n Header Page 49 of 166 Chú ý rằng, vế phải bất đẳng thức không phụ thuộc vào n v = tập Ω \ K o , đồng thời φ1n không phụ thuộc n x ≤ Do đó: v = δ ( g n ) g n eφ2 n φ2n ≤ C với n ∈  * với C số định không phụ thuộc n Vì φ2n ≥ φ21 nên L2 (Ω, φ2n ) ⊆ L2 (Ω, φ21 ) cho tất n ∈  * , nên ta có dãy (g n ) ⊆ L2(0,1) (Ω, φ21 ) dãy bị chặn Khi dãy {g n } ⊆ L2(0,1) (Ω,φ21 ) có dãy ( g n j ) hội tụ yếu đến phần tử g o , suy ra: g o eφ2 n φ2n ≤ C với n = 1, 2, Nhưng φ2n  ∞ K o , g o = hầu khắp nơi K o (nếu không bất đẳng thức không đúng) Bây lấy µ ∈ Co∞ (Ω) Từ g n j → g o suy δ g n → δ g o theo nghĩa yếu, nghĩa là: j  n ∂µ ∫ µ vd λ = ∫ µδ g n j d λ → ∫ µδ go d λ = ∫  ∑1 ∂ zk go ( )   dλ k  (3.4.2) Bởi g o , v có giá K o nên biểu thức cho µ thuộc lớp C ∞ lân cận K o Đặc biệt cho µ chỉnh hình lân cận K o Vì µ chỉnh hình K o vế phải (3.4.2) ■ Hệ 3.4.2 Cho Ω ⊆  n miền giả lồi, K tập compact Ω Giả sử  P ( Ω ) = K Khi hàm chỉnh hình xác định lân cận K có K thể xấp xỉ K hàm chỉnh hình Ω Trong chứng minh hệ ta có sử dụng kết sau Bổ đề 3.4.3 Với tập compact K ⊂ Ω ( Ω tập mở  n ) lân cận mở ω K tồn số Cα cho: sup ∂α u ≤ Cα u K L1 (ω ) với u ∈ A(Ω) Chứng minh chi tiết bổ đề xem [7] Footer Page 49 of 166 Header Page 50 of 166 Chứng minh hệ 3.4.2 Lấy u hàm chỉnh hình lân cận ω K Do Ω miền giả lồi nên theo định lý 1.3.9 tồn p hàm vét kiệt, đa điều hòa ngặt, thuộc lớp C ∞ xác định Ω cho p thỏa mãn giả thuyết định lý 3.4.1 K chứa phần K o mà thân K o chứa phần ω (xem định lý 1.3.9 ) Áp dụng định lý 3.4.1 có dãy u j ∈ A(Ω) cho u − u j → L2 ( K o ) Áp dụng bổ đề 3.4.3 điều suy u − u j → K Do hệ chứng minh ■ 3.5 Mở rộng miền Ω toán tử ∂ lên toàn không gian ( Ω ⊆  n ) Phương pháp L2 – đánh giá trình bày chương mang lại cho ta định lý tồn toán tử ∂ thay miền Ω không gian  n Lấy ϕ ∈ C ( n ) lấy T, S hai toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật hai không gian L2( p ,q ) ( n , φ ) , L2( p ,q +1) ( n , φ ) L2( p ,q +2 ) ( n , φ ) xác định toán tử ∂ Điều kiện n ∂η j ∑ ∂z k =1 ≤ eψ với j ∈ * k định lí 1.3.12 thỏa mãn ψ = hàm ηv ( z ) = η ( z ) v lân cận η ∈ Co∞ Do định lý 3.1.7 áp dụng được, nghĩa D( p ,q +1) ( n ) tập trù mật DT * ∩ DS Bởi ψ = nên áp dụng (3.1.4) chứng minh định lý 3.1.8 ta thu ∫c f e −φ d λ ≤ T * f với f ∈ DT * ∩ DS (3.5.1) ∂ 2φ c∑ w j ≤ ∑ w j wk với z , w ∈  n =j = j , k ∂z j ∂ z k (3.5.2) 2 + Sf c hàm liên tục có giá trị dương cho n n Định lý 3.5.1 Với φ hàm đa điều hòa ngặt thuộc lớp C ( n ) cho Footer Page 50 of 166 Header Page 51 of 166 (3.5.2) với hàm liên tục, dương c Với g ∈ L2( p ,q +1) ( n , φ ) mà ∂g = thỏa mãn điều kiện ∫ −φ g e dλ < ∞ c (3.5.3) tìm dạng u ∈ L2( p ,q ) ( n , φ ) cho ∂u =g −φ −φ u e d g λ ≤ ∫ ∫ e c dλ (3.5.4) Chứng minh Ta chứng minh với f ∈ DT * bất đẳng thức sau ( g , f )φ ≤ T* f φ (∫ −φ g e c dλ ) (3.5.5) Nếu f ∈ DT * mà trực giao với KerS hai vế (3.5.5) triệt tiêu g ∈ KerS miền RT chứa KerS nên T * f với f Do ta cần chứng minh trường hợp f ∈ DT * ∩ DS điều suy trực tiếp từ (3.5.1), (3.5.3) Khi (3.5.5) áp dụng định lý Hahn – Banach cho dạng phản tuyến tính T * f → ( g , f )φ với f ∈ DT * mở rộng lên toàn không gian L2( p ,q ) ( n , φ ) thành dạng phản tuyến tính liên tục mà bị chặn chuẩn Do lại áp dụng định lý biểu diễn Riesz tồn phần tử u L2( p ,q ) ( n , φ ) cho (u , T * f )φ = ( g , f )φ với f ∈ DT * (3.5.6) Từ suy Tu = g, đồng thời từ kết hợp (3.5.5) (3.5.6) ta có (3.5.4) ■ Hệ sau định lý 3.5.1 thường hữu ích nhiều không đòi hỏi hàm đa điều hòa ngặt Định lý 3.5.2 Với φ hàm đa điều hòa xác định  n Với hàm g ∈ L2( p ,q +1) ( n , φ ) mà ∂g = có nghiệm u ∈ L2( p ,q ) ( n , loc) phương trình ∂u =g cho Footer Page 51 of 166 Header Page 52 of 166 2 2∫ u e −φ (1 + z ) −2 d λ ≤ ∫ g e −φ d λ (3.5.7) Chứng minh Trước tiên ta giả sử φ ∈ C Ta áp dụng định lý 3.5.1 với φ thay hàm = φ log(1 + z ) Ta có ∂2 2 2 2 w j wk log(1 + z ) = (1 + z ) −2 ( w (1 + z )- ( w, z ) ) ≥ (1 + z ) −2 w (3.5.8) ∑ ∂z j ∂ z k j , k =1 n Do ta lấy hàm= c 2(1 + z ) −2 Nếu φ không thuộc lớp C ta quy hóa φ định nghĩa 1.2.1 thu hàm đa điều hòa φε ∈ C ∞ mà giảm dần φ ε → Với ε > ta tìm thấy hàm uε cho ∂uε = g 2 2 2∫ uε e −φε (1 + z ) −2 d λ ≤ ∫ g e −φε d λ ≤ ∫ g e −φ d λ Bởi φε giảm theo giảm ε , điều uε bị chặn theo chuẩn L2 tập compact Do ta chọn dãy ε j → cho uε j hội tụ yếu tập compact đến hàm u ∈ L2( p ,q ) ( n , loc) Với ε > R < ∞ ta thu 2∫ z 0 thỏa mãn φ ( z ') − φ ( z ) < C z '− z < (3.5.9) Cho W không gian tuyến tính  n có đối chiều k Với hàm giải tích Footer Page 52 of 166 Header Page 53 of 166 u xác định W cho ∫ W u e −φ d σ < ∞ (3.5.10) dσ kí hiệu độ đo lebesgue W, tồn hàm giải tích U xác định  n cho U = u W ∫U 2 e −φ (1 + z ) −3 k d λ ≤ k π k e kC ∫ u e −φ dσ W (3.5.11) Chứng minh Bởi hàm log(1 + z ) hàm đa điều hòa (3.5.8) nên ta cần chứng minh định lý trường hợp W siêu phẳng lặp lại kết k lần ta có điều phải chứng minh Ta giả sử W siêu phẳng có phương trình zn = Khi u hàm giải tích theo biến z ' = ( z1 , z2 , , zn −1 ) ta xem u hàm giải tích  n mà độc lập với biến zn Do (3.5.9) nên áp dụng tích phân theo biến zn ta thu ∫ zn R , ta chọn giới hạn yếu g g N mà thỏa mãn (3.5.18) cho g ( z ) = z > R Phương trình (3.5.18) theo nghĩa đạo hàm suy rộng g v có giá compact Như ∂u ∫ uvd λ = ∑ ∫ ∂ z Do đó= L(u ) uvd λ ∫= Footer Page 56 of 166 u ∈ A ■ j g j d λ với u ∈ C ∞ ( n ) Header Page 57 of 166 KẾT LUẬN Bài toán phương trình ∂ trình bày luận văn – gọi phương trình Cauchy – Riemann không – quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới, phương pháp tiếp cận toán phong phú Luận văn chủ yếu tập trung vào tìm hiểu kết biết, liên quan đến việc giải phương trình Cauchy – Riemann không theo phương pháp Hormander, tức phương pháp L2 - đánh giá không gian Hilbert có trọng Ở chương luận văn trình bày số định nghĩa liên quan đến toán tử vi phân, biểu diễn dạng vi phân hàm không gian L2( p ,q ) (Ω) , kết lý thuyết hàm suy rộng Đồng thời vấn đề miền chỉnh hình, miền giả lồi trình bày, làm tiền đề cho kết sau Chương giới thiệu toán tử tuyến tính, không bị chặn không gian Hilbert, nhằm chuẩn bị lý luận cho việc xây dựng toán tử ∂ phương trình Cauchy – Riemann Chương mô tả toán tử liên hợp toán tử ∂ không gian Hilbert có trọng, mà hàm trọng chọn chương 1, số định lý đánh giá, điều cần thiết giải toán Cauchy – Riemann theo phương pháp L2 - đánh giá không gian Hilbert có trọng Trong chương 3, cách sử dụng kỹ thuật L2 - đánh giá trình bày chương để nghiên cứu phương trình Cauchy- Riemann (phương trình ∂ ) dẫn đến định lý tồn xấp xỉ nghiệm phương trình CauchyRiemann miền giả lồi Qua nhận nghiệm toán Lê-vi Ngoài chương trình bày số kết mở rộng miền Ω lên thành toàn không gian phức  n Vì toán Cauchy – Riemann nghiên cứu theo phương pháp đánh giá biên, mà kĩ thuật L2 - đánh giá sử dụng bối cảnh toán ∂ Neumann không gian có trọng Với ước lượng Morrey-Kohn-Hormander cho ta định lý tồn nghiệm toán tử ∂ - Neumann miền giả lồi bị chặn Phương pháp đánh giá tự nhiên phương pháp Hormander Footer Page 57 of 166 Header Page 58 of 166 dựa vào lý thuyết hệ phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt lý thuyết elliptic toán tử Laplace Mặc dù phương pháp khó kỹ thuật phương pháp Hormander chúng đạt nhiều thông tin Tác giả luận văn hy vọng có dịp tiếp cận nghiên cứu phương pháp này, nhằm nâng tầm trình độ hiểu biết phương pháp giải toán Cauchy – Riemann Footer Page 58 of 166 Header Page 59 of 166 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Mậu Hải, Nguyễn Văn Khuê (2010), Phép tính vi phân – Dạng vi phân không gian Banach, Nhà xuất Đại Học Sư Phạm [2] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục Tiếng Anh [3] Adams, R A (1975), Sobolev spaces, Academic Press, New York [4] A.K.Pichler-Tennenberg (1998), Operators and Forms in Hilbert Space, University of Bristol [5] Andrew M Bruckner, Judith B Bruckner, Brian S Thomson (1997), Real Analysis, Prentice Hall (Pearson) [6] Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck (2011), Several Complex Variables, Kortewegde Vries Institute for Mathematics, Faculty of Science, University of Amsterdam [7] L Hörmander (1973), An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North- Holland Publishing Company [8] L Hörmander (1990), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Springer-Verlag [9] Mei – Chi Shaw , So – Chin Chen (2001), Partial Differential Equations in Several Complex Variables, American Mathematicial Society, International press [10] Steven G.Krantz (1992), Function Theory of Several Complex Variables, Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software Pacific Grove, California [11] Webster R (1994), Convexity, Oxford University Press Inc., New York Footer Page 59 of 166