Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HÀ THỊ KIM DUNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HÀ THỊ KIM DUNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i LỜI NÓI ĐẦU Nội dung ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 1.1 Về việc giải phương trình Điôphăng 1.2 Phương trình Điôphăng tuyến tính 1.3 Phương trình Fermat 1.3.1 Các số Pitago 1.3.2 Phương trình Fermat 11 1.4 Phương trình Pell 14 1.4.1 Phân số liên tục 15 1.4.2 Phương trình Pell 31 MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 39 2.1 Bài toán 39 2.2 Về cấu trúc S: 40 2.3 Chứng minh định lí 2.1 41 2.3.1 Chứng minh T ⊂ S 42 2.3.2 Xây dựng hoàn chỉnh tập S : 48 Kết luận Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 http://www.lrc-tnu.edu.vn i Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Số học lĩnh vực cổ xưa Toán học, lĩnh vực tồn nhiều toán, giả thiết chưa có câu trả lời Một phận quan trọng Số học nhiều nhà toán học lớn giới nghiên cứu, "Phương trình nghiệm nguyên" Trong kì thi chọn học sinh giỏi nước, toán phương trình nghiệm nguyên đề tài hay khó học sinh Là giáo viên dạy môn Toán trường phổ thông, chắn muốn trang bị cho kiến thức đầy đủ vấn đề Chính vậy, chọn "Phương trình nghiệm nguyên" làm luận văn tốt nghiệp Nội dung luận văn chia thành hai chương: Chương 1: “Đại cương phương trình nghiệm nguyên”, trình bày việc giải phương trình Điôphăng phương pháp giải phương trình Điôphăng tuyến tính, phương trình Fermat, phương trình Pell Chương 2: “Một lớp phương trình nghiệm nguyên”, giới thiệu lớp phương trình nghiệm nguyên quan tâm nhiều Nội dung chương viết theo báo "The equation i=1 xi = in distinct odd integers has only the five known solutions" đăng tạp chí "Journal of Number Theory" số 127 năm 2007 Do thời gian kiến thức hạn chế nên trình viết luận văn xử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS.TSKH Hà Huy Khoái tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học -Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, tổ Khoa học tự nhiên Trường THCS Trần Phú tập thể bạn bè đồng nghiệp gia đình quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành tốt luận văn Thái Nguyên, tháng 07 năm 2012 Người thực Hà Thị Kim Dung Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 1.1 Về việc giải phương trình Điôphăng Trong chương này, làm quen với phương pháp giải phương trình Điôphăng bậc (tuyến tính) bậc Đối với phương trình bậc cao hơn, tồn hay không phương pháp chung để giải? Đó câu hỏi đặt từ thời Điôphăng, nội dung Bài toán Hilbert thứ 10 tiếng Xin nhắc lại rằng, Đại hội Toán học Quốc tế đầu kỉ 20, Hilbert, nhà toán học lớn thời đại, đề 23 toán cho toán học kỉ 20 Cho đến nay, nhiều toán số chờ lời giải Bài toán thứ 10 mà ta nhắc đến là: Có hay không thuật toán để giải phương trình Điôphăng? Nói cách "nôm na" là: có hay không phương pháp để cho phương trình Điôphăng tùy ý, ta dùng phương pháp để, sau thời gian hữu hạn, tìm nghiệm, phương trình không tồn nghiệm (nguyên) Bài toán Hilbert thứ 10 nhà toán học Nga Yuri Matijasievich giải năm 1970 ông 21 tuổi Câu trả lời là: không tồn thuật toán giải phương trình Điôphăng tổng quát Như vậy, với phương trình Điôphăng bậc lớn 2, ta tìm cách giải phương trình cụ thể! Tuy nhiên, kể Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn vài phương pháp hay dùng để giải phương trình Điôphăng cho chương trình toán phổ thông Tư tưởng chung phương pháp là, xét nghiệm nguyên (nhiều nghiệm nguyên dương) nên ta thu hẹp tập hợp chứa nghiệm (nếu có) dùng cách thử toàn để xác định nghiệm Sử dụng tính chất chia hết để thu hẹp tập hợp nghiệm Dùng ước lượng độ lớn nghiệm để thu hẹp tập hợp nghiệm Thông thường, để làm việc đó, cần dựa vào "nghiệm cực trị" (nhỏ lớn theo nghĩa đó) Các "phương pháp" vừa nêu gợi ý Việc vận dụng chúng cách linh hoạt cho qua tập 1.2 Phương trình Điôphăng tuyến tính Sách "Đại thành toán pháp" Lương Thế Vinh có hướng dẫn giải toán sau đây: Một trăm trâu Một trăm bó cỏ Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Trâu già ba bó Hỏi loại trâu có ? Theo ngôn ngữ toán học bây giờ, ta giải toán sau Gọi x số trâu đứng, y số trâu nằm z số trâu già (theo quy ước toán, trâu già không đứng, mà không nằm !) Theo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ta có:   x + y + z = 100  5x + 3y + z = 100 Nhân hai vế phương trình thứ hai với trừ vế cho phương trình thứ nhất, ta được: 14x + 8y = 200 (1.1) Phương trình thu có hai ẩn x, y Vì x, y "số trâu" nên rõ ràng x, y phải nhận giá trị nguyên không âm Như vậy, phương trình (1.1) thuộc vào lớp phương trình Điôphăng tuyến tính Định nghĩa 1.1 Phương trình Điôphăng tuyến tính phương trình có dạng ax + by = c, (1.2) a, b, c số nguyên, đồng thời biến x, y nhận giá trị nguyên Giải phương trình Điôphăng (1.2) tức tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn (1.2) Định lý sau trả lời câu hỏi phương trình Điôphăng tuyến tính có nghiệm, đồng thời nghiệm chúng tồn Định lý 1.2 Giả sử a, b số nguyên dương, d ước chung lớn a b, d = (a, b) Khi phương trình ax + by = c nghiệm nguyên d không chia hết c Nếu d | c phương trình có vô số nghiệm Hơn nữa, x = x0 , y = y0 nghiệm phương trình, nghiệm phương trình có dạng: x = x0 + b n, d y = y0 − a n, d n số nguyên Chứng minh Giả sử (x, y) nghiệm phương trình Do d | a, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn d | b nên d | c Như vậy, d không chia hết c phương trình nghiệm nguyên Bây giả sử d | c Khi đó, tồn số nguyên s, t cho d = as + bt (1.3) Do d | c nên tồn e nguyên cho de = c Nhân hai vế (1.3) với e ta được: c = de = (as + bt)e = a(se) + b(te) Như vậy, ta có nghiệm phương trình cho x = x0 = se, y = y0 = te a b Ta chứng tỏ tồn vô số nghiệm Đặt x = x0 + n, y = y0 − n, d d n nguyên Ta thấy (x, y) xác định nghiệm, a b ax + by = ax0 + a n + by0 − b n = ax0 + by0 = c d d Chỉ phải chứng tỏ rằng, nghiệm phương trình phải có dạng nêu Giả sử (x, y) nghiệm tùy ý, tức x.y nguyên thỏa mãn ax + by = c Khi (ax + by) − (ax0 + by0 ) = 0, suy a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = Tức a(x − x0 ) = b(y0 − y) Chia hai vế đẳng thức cho d, ta a b (x − x0 ) = (y0 − y) (1.4) d d a b a Do d = (a, b) nên nguyên tố Từ suy y0 − y , d d d a a tức tồn n nguyên cho n = y0 − y Suy y = y0 − n Thay d d Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... Điôphăng phương pháp giải phương trình Điôphăng tuyến tính, phương trình Fermat, phương trình Pell Chương 2: Một lớp phương trình nghiệm nguyên , giới thiệu lớp phương trình nghiệm nguyên quan tâm... c phương trình có vô số nghiệm Hơn nữa, x = x0 , y = y0 nghiệm phương trình, nghiệm phương trình có dạng: x = x0 + b n, d y = y0 − a n, d n số nguyên Chứng minh Giả sử (x, y) nghiệm phương trình. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HÀ THỊ KIM DUNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC