Một vài kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ THU MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ THU MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Mục lục ii Danh sách ký hiệu iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian tiền Hilbert 1.1.2 Không gian Hilbert 1.1.3 Các ví dụ 1.1.4 Một vài tính chất Tập lồi hàm lồi không gian Hilbert 1.2.1 Tập lồi 1.2.2 Hàm lồi 11 Hàm toàn phương 17 1.2 1.3 Bài tốn quy hoạch tồn phương 21 2.1 Giới thiệu toán 21 2.1.1 Phát biểu toán 21 Các định lí tồn nghiệm 23 2.2 ii 2.2.1 Bài tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính 2.2.2 23 Bài tốn quy hoạch tồn phương lồi với hữu hạn ràng buộc tồn phương lồi khơng gian Hilbert thực 37 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 iii Danh sách ký hiệu N Tập số tự nhiên R Tập số thực Rn Không gian số thực n chiều , Tích vơ hướng Chuẩn 0+ F Nón lùi xa tập lồi F ∂f (x) Dưới vi phân f x ∂ε f (x0 ) ε−Dưới vi phân f x0 ∇f (x) Đạo hàm f x Rm×n Khơng gian ma trận cấp m × n Rn×n S Khơng gian ma trận đối xứng cấp n × n AT Ma trận chuyển vị ma trận A B(x0 , ρ) Hình cầu đóng tâm x0 bán kính ρ H Khơng gian Hilbert thực Mở đầu Quy hoạch toàn phương phận đặc biệt quy hoạch phi tuyến, có nhiều ứng dụng lý thuyết thực tế Đây vấn đề nhiều nhà Toán học nghiên cứu xây dựng nên nhiều thuật toán để giải Sau học kiến thức chuyên ngành Tốn ứng dụng, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, mối quan hệ ứng dụng chúng Đồng thời muốn tìm hiểu sâu kết tồn nghiệm toán quy hoạch toàn phương Tác giả chọn đề tài nghiên cứu "Một vài kết tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương" Luận văn trình bày tồn nghiệm toán quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính Rn tốn quy hoạch tồn phương lồi với ràng buộc tồn phương lồi khơng gian Hilbert Các kết thông tin luận văn viết dựa vào báo "On the Solution Existence of Convex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces" Vũ Văn Đông Nguyễn Năng Tâm, 2016 Luận văn chia thành hai chương với nội dung sau: Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị", chương trình bày số kiến thức sở không gian Hilbert, tập lồi hàm lồi khơng gian Hilbert Chương 2: "Bài tốn quy hoạch tồn phương", chương trình bày nội dung tốn quy hoạch tồn phương tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính khơng gian Rn tốn quy hoạch toàn phương lồi với hữu hạn ràng buộc tồn phương lồi khơng gian Hilbert thực Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2017 Tác giả luận văn Đào Thị Thu Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức cở khơng gian Hilbert giải tích lồi Đó kết dùng cho chương sau Nội dung chương trích dẫn chủ yếu từ tài liệu tham khảo [1], [2], [3] [4] 1.1 1.1.1 Không gian Hilbert Không gian tiền Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Cho H không gian trường K Tích vơ hướng H ánh xạ xác định sau: , : H × H → K, (x, y) → x, y , thỏa mãn điều kiện sau đây: a) x, y = y, x với x, y ∈ H; b) x + y, z = x, z + y, z với x, y, z ∈ H; c) λx, y = λ x, y với x, y ∈ H; λ ∈ K; d) x, x ≥ với x ∈ H x, x = x = Số x, y gọi tích vô hướng hai véctơ x y Cặp (H, , ) gọi không gian tiền Hilbert (hay gọi khơng gian Unita) Từ định nghĩa ta thấy với trường R tích vơ hướng , dạng song tuyến tính xác định dương H Khi H gọi khơng gian tiền Hilbert thực Định lí 1.1.2 Cho H không gian tiền Hilbert với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau | x, y |2 ≤ x, x y, y Dấu "=" xảy x, y phụ thuộc tuyến tính Định lí 1.1.3 Cho H khơng gian tiền Hilbert Khi x = x, x , x ∈ H xác định chuẩn H 1.1.2 Không gian Hilbert Một không gian tiền Hilbert xem khơng gian định chuẩn đầy đủ khơng đầy đủ Định nghĩa 1.1.4 Nếu H không gian tiền Hilbert đầy đủ với chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng gọi khơng gian Hilbert Cũng tương tự trường hợp không gian tiền Hilbert, với trường R ta có khơng gian Hilbert thực 1.1.3 Các ví dụ i) Rn khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng n xi yi , x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn x, y = i=1 ii) Xét không gian ∞ l = |xn |2 < +∞ x = (xn )n ⊂ K i=1 Ta biết l2 không gian Banach với chuẩn ∞ |xn |2 x = i=1 (1.1) Với x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ l2 , từ bất đẳng thức ∞ x n yn ≤ x y < +∞, i=1 dễ kiểm tra x, y = ∞ xn yn xác định tích vơ hướng l2 i=1 cảm sinh (1.1) Vậy l2 khơng gian Hilbert 1.1.4 Một vài tính chất Định lí 1.1.5 Cho H khơng gian Hilbert Khi , : H × H → R hàm liên tục Định lí 1.1.6 Với x, y thuộc khơng gian tiền Hilbert H ta ln có đẳng thức hình bình hành sau đây: x+y + x−y = 2( x + y ) (1.2) Hệ 1.1.7 Cho H không gian tiền Hilbert x, y, z ∈ H Khi đó, ta có đẳng thức Apollonius: 2 x−y + x−z =4 x− y+z + y − z Định lí 1.1.8 Giả sử (H, ) khơng gian định chuẩn trường R, bất đẳng thức hình bình hành nghiệm với x, y ∈ H: x+y + x−y = 2( x + y ) Khi đó, với trường R ta đặt x, y = p(x, y) = ( x + y − x − y ), , tích vơ hướng H ta có x, x = x , ∀x ∈ H 59 Hệ 2.2.30 Xét tốn quy hoạch tuyến tính (LP ) (là tốn (CQP ) trường hợp T = Ti = i = 1, 2, , m) Giả sử f (x) bị chặn tập F khác rỗng Khi đó, tốn (CQP ) có nghiệm Nhận xét 2.2.31 Nếu H không gian Hilbert hữu hạn chiều tốn tử liên tục T H hữu hạn chiều x, T x thỏa mãn điều kiện Legrendre Vì nên H hữu hạn chiều Định lí 2.2.20 Định lý 2.2.28 trùng 60 Kết luận Trong luận văn tơi trình bày kết sau: (1) Trình bày số kiến thức không gian Hilbert; tập lồi hàm lồi khơng gian Hilbert; hàm tồn phương (2) Trình bày chứng minh định lí Frank - Wolfe, định lí Eaves tồn nghiệm toán quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính (3) Trình bày chứng minh định lí Frank - Wolfe 1, định lí Eaves, định lí Frank - Wolfe tồn nghiệm toán quy hoạch toàn phương lồi với hữu hạn ràng buộc toàn phương lồi không gian Hilbert thực 61 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu Nguyễn Hữu Điển (2014), Giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Thị Bạch Kim (2008), Giáo trình phương pháp tối ưu - Lý thuyết thuật toán, Nhà xuất Bách khoa Kỹ thuật [3] Lê Dũng Mưu (1998), Giáo trình phương pháp tối ưu, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [4] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Nhập môn tối ưu phi tuyến, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [5] Bertsekas D P (2003), Convex Analysis and Optimization, Springer [6] Dong V V and Tam N N (2016), "On the Solution Existence of Convex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces", Taiwanese Journal Of Mathematics, Vol 20, No 6, pp 1417-1436 [7] Heinz H B and Patrick L C (2011), Convex Analysis and Monotone Opetator Theory in Hilbert Spaces, Springer ... tìm hiểu sâu kết tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương Tác giả chọn đề tài nghiên cứu "Một vài kết tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương" Luận văn trình bày tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương với... Chương 2: "Bài tốn quy hoạch tồn phương" , chương trình bày nội dung tốn quy hoạch tồn phương tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính khơng gian Rn tốn quy hoạch tồn phương lồi... ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ THU MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA