Từ bài toán quy hoạch toàn phương đến bất đẳng thức biến phân affine

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ SIM TỪ BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ SIM TỪ BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Bảng ký hiệu Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi 1.1.1 Tập affine bao affine 4 1.1.2 Tập lồi, nón lồi bao lồi 1.1.3 Điểm cực biên, phương lùi xa, nón lùi xa phương cực biên Các định lý tách tập lồi Tập lồi đa diện 1.1.6 Hàm lồi tính chất Hàm toàn phương 10 12 1.1.4 1.1.5 1.2 1.2.1 1.2.2 12 Hàm toàn phương 13 Bài toán quy hoạch tồn phương 15 2.1 Giới thiệu tốn tồn nghiệm 2.1.1 Định nghĩa toán quy hoạch toàn phương 15 15 2.1.2 2.1.3 Các dạng tốn quy hoạch tồn phương Điều kiện tồn nghiệm 17 17 Điều kiện tối ưu (Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (KKT)) 29 2.2 Ma trận xác định dương ma trận nửa xác định dương Bài toán bất đẳng thức biến phân affine 31 3.1 31 Giới thiệu toán ii 3.1.1 Bất đẳng thức biến phân 31 3.2 3.1.2 Bất đẳng thức biến phân affine 32 Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân affine 36 3.3 Giải toán quy hoạch tồn phương cách đưa tốn bất đẳng thức biến phân affine 40 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Bảng ký hiệu R x, y x tập số thực tích vơ hướng hai vectơ x y chuẩn vectơ x I A ⊆ Rn ánh xạ đơn vị A tập Rn dim A af f E số chiều tập A bao affine E cone E coA bao nón sinh E bao lồi tập A Lời nói đầu Bài tốn quy hoạch tồn phương lồi lớp toán quan trọng tối ưu tốn có nhiều ứng dụng thực tế Bài toán bất đẳng thức biến phân lớp toán quan trọng Một lớp toán bất đẳng thức biến phân hay xét toán bất đẳng thức biến phân affine Có thể nói tốn bất đẳng thức biến phân affine dạng tổng quát toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc lồi Trong luận văn xét đến mối quan hệ toán quy hoạch tồn phương với ràng buộc lồi với tốn bất đẳng thức biến phân Ta nhận thấy tốn quy hoạch tồn phương lồi mơ tả toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Tuy nhiên, khơng phải tốn bất đẳng thức biến phân affine sinh từ toán quy hoạch toàn phương Qua ta thấy phát triển từ tốn quy hoạch tồn phương đến bất đẳng thức biến phân affine Cụ thể luận văn gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày số kiến thức tập lồi, hàm lồi hàm toàn phương như: tập affine bao affine; tập lồi, nón lồi bao lồi; điểm cực biên, phương lùi xa, nón lùi xa phương cực biên; định lý tách tập lồi; tập lồi đa diện; hàm lồi tính chất; hàm tồn phương Chương 2: Bài tốn quy hoạch tồn phương Trình bày định nghĩa tốn quy hoạch tồn phương, dạng toán, điều kiện tồn nghiệm điều kiện tối ưu tốn quy hoạch tồn phương Chương 3: Bài toán bất đẳng thức biến phân affine Giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân affine, điều kiện tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân affine phương pháp giải tốn quy hoạch tồn phương cách đưa toán bất đẳng thức biến phân affine Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Lê Dũng Mưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K9Y (khóa 2015–2017); Nhà trường phịng chức Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K9Y (khóa 2015–2017) ln động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập, nghiên cứu Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị cơng tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Sim Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức tập lồi, hàm lồi, hàm toàn phương Cụ thể: Mục 1.1 giới thiệu khái niệm tập lồi, hàm lồi Mục 1.2 trình bày định nghĩa hàm toàn phương Các kiến thức chương viết sở tổng hợp từ tài liệu [1], [2] [3] 1.1 1.1.1 Tập lồi Tập affine bao affine Cho x1 , x2 hai điểm Rn Đường thẳng qua x1 , x2 tập tất điểm x ∈ Rn có dạng x = (1 − λ ) x1 + λ x2 = x1 + λ x2 − x1 với λ ∈ R Định nghĩa 1.1.1 Tập A ⊆ Rn gọi tập affine (hay đa tạp tuyến tính) (1 − λ ) x + λ y ∈ A ∀x, y ∈ A ∀λ ∈ R Nhận xét 1.1.1 Nếu A tập affine, với a ∈ Rn , A + a = {x + a : x ∈ A} tập affine Mệnh đề 1.1.1 Tập M ⊂ Rn không gian tập affine chứa Nghĩa là, x, y ∈ M điểm λ x + µy thuộc M với λ , µ ∈ R Định lý 1.1.1 Mỗi tập affine A không rỗng tập affine A = a + L a ∈ A L không gian Chứng minh Giả sử A tập affine a ∈ A Khi đó, A = a + L với L = −a + A Do −a ∈ Rn nên L = −a + A tập affine Hơn nữa, ∈ L (vì a ∈ A) nên L không gian Ngược lại, giả sử A = a + L với a ∈ A L không gian Do không gian L tập affine nên A = a + L tập affine Khơng gian L nói gọi không gian song song với tập affine A: A//M Nó xác định cách Định nghĩa 1.1.2 Chiều (thứ nguyên) tập affine A không rỗng định nghĩa chiều không gian song song với Kí hiệu dimA Chú ý 1.1.1 Quy ước: dim∅ = −1 Giả sử L không gian Rn , phần bù trực giao L xác định sau: L⊥ = {x ∈ Rn : x⊥y, ∀y ∈ L}, x⊥y ⇔ (x, y) = Khi đó, tập L⊥ không gian dim L+dim L⊥ = n, L⊥ L ⊥ = Định nghĩa 1.1.3 Tập affine n − chiều Rn gọi siêu phẳng Mệnh đề 1.1.2 Giả sử β ∈ R, = b ∈ Rn Khi đó, tập H = {x ∈ Rn : x, b = β } siêu phẳng Rn Hơn nữa, siêu phẳng biểu diễn cách Định nghĩa 1.1.4 Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 x1 + λ2 x2 + + λk xk với xi ∈ Rn λ1 + λ2 + + λk = gọi tổ hợp affine điểm x1 , x2 , , xk A tập affine A chứa tổ hợp affine phần tử thuộc Giao họ tập affine tập affine Cho E tập Rn , có tập affine chứa E, cụ thể Rn Định nghĩa 1.1.5 Giao tất tập affine chứa E gọi bao affine (affine hull) E, ký hiệu a f f E Đó tập affine nhỏ chứa E Định nghĩa 1.1.6 Điểm x ∈ Rn gọi tổ hợp affine điểm x1 , , xm ∈ Rn , m m ∃λ1 , , λm ∈ R, ∑ λi = : x = ∑ λi xi i=1 i=1 Định nghĩa 1.1.7 Tập m + điểm b0 , b1 , , bm gọi độc lập affine a f f {b0 , b1 , , bm } m chiều Nhận xét 1.1.2 b0 , b1 , , bm độc lập affine b1 −b0 , , bm −b0 độc lập tuyến tính Thật vậy, a f f {b0 , b1 , , bm } = L + b0 đó, L = a f f {0, b1 − b0 , , bm − b0 } Do đó, dim L = m ⇔ b1 − b0 , b2 − b0 , , bm − b0 độc lập tuyến tính 1.1.2 Tập lồi, nón lồi bao lồi Cho hai điểm x1 , x2 ∈ Rn Đoạn nối x1 , x2 định nghĩa sau: x1 ; x2 = x ∈ A : x = λ x1 + (1 − λ ) x2 , λ Định nghĩa 1.1.8 Tập C ⊂ Rn gọi lồi nếu: ∀x1 , x2 ∈ C ∀λ ∈ R : λ λ x1 + (1 − λ ) x2 ∈ C Nói cách khác, C chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc Ví dụ 1.1.1 Trong R2 hình tam giác, hình chữ nhật, hình trịn, hình elip tập lồi Trong R3 hình cầu, khối lăng trụ tam giác, khối chóp tứ giác tập lồi Các nửa khơng gian, hình cầu đơn vị khơng gian Banach tập lồi Một số hình vẽ tập lồi, tập khơng lồi R2 (xem Hình 1.1) 31 Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân affine Chương nghiên cứu lớp toán bất đẳng thức biến phân hay xét toán bất đẳng thức biến phân affine phát triển từ tốn quy hoạch tồn phương đến tốn bất đẳng thức biến phân affine Chương viết dựa sở tài liệu [1], [5] [6] 3.1 3.1.1 Giới thiệu toán Bất đẳng thức biến phân Cho f : Rn → R hàm C1 ∆ ⊂ Rn tập lồi, đóng, khác rỗng Mệnh đề 3.1.1 Nếu x nghiệm địa phương toán tối ưu { f (x) : x ∈ ∆} (3.1) ∇ f (x) , y − x ∀y ∈ ∆ (3.2) Chứng minh Gọi x ∈ ∆ nghiệm địa phương tốn (3.1) Chọn µ cho f (y) f (x) , y ∈ ∆ ∩ B (x, µ) lấy x thuộc ∆\ {x} ta 32 có : ∃δ > : x + t (x − x) ∈ ∆ ∩ B (x, µ) với t ∈ (0; δ ) f (x + t (x − x)) − f (x) t→∞ t ⇔ f (x, x − x) ⇔0 lim ∇ f (x) , x − x Đặt:   ∂ f (x)  ∂x            φ (x) = ∇ f (x) =            ∂ f (x)  ∂ xn ∀x ∈ Rn (3.3) Khi đó, (3.2) viết lại φ (x) , y − x ∀y ∈ ∆ (3.4) Định nghĩa 3.1.1 Bài toán (3.4) bất đẳng thức biến phân liên quan đến toán tối ưu (3.1) Dạng toán bất đẳng thức biến phân tổng quát Tìm x ∈ C ⊆ Rn : φ (x) , x − x ∀x ∈ C V I (C, φ ) φ : C → Rn tốn tử (khơng thiết phải đạo hàm hàm số) Tập tất x ∈ C thỏa mãn (3.4) gọi tập nghiệm toán V I (φ , ∆), ký hiệu: Sol (V I (φ , ∇)) 3.1.2 Bất đẳng thức biến phân affine Trong trường hợp φ tốn tử tuyến tính, tức φ (x) = Ax + q, A ma trận q ∈ Rn V I (C, φ ) gọi bất đẳng thức biến phân affine 33 Ta thấy rằng, x nghiệm địa phương tốn tồn phương f (x) = xT Mx + qT x|x ∈ ∆ (2.1) đó, M ∈ Rs n×n ma trận đối xứng cấp n, b ∈ Rn ∆ ⊂ Rn đa diện ∀y ∈ ∆ Điều suy x nghiệm lồi Mx + q, y − x toán V I (φ , ∆) Ở φ (x) = Mx + q toán tử affine với M ma trận Jacobian đối xứng cố định Định nghĩa 3.1.2 Cho M ∈ Rn×n , q ∈ Rn , ∆ ⊂ Rn đa diện lồi Bài toán bất đẳng thức biến phân Tìm x ∈ ∆ cho Mx + q, y − x ∀y ∈ ∆ (3.5) gọi bất đẳng thức biến phân affine xác định kiện {M, q, ∆} ký hiệu AV I (M, q, ∆) Tập nghiệm toán viết ngắn gọn Sol (AV I (M, q, ∆)) Định lí sau chứng tỏ nghiệm toán AV I (M, q, ∆) biểu thị nhân tử Lagrange Bổ đề 3.1.1 (Bổ đề Farkas) Cho A ∈ Rm×n , b ∈ Rm Khi hai hệ có hệ có nghiệm 0, bT x < 0, x ∈ Rm Ax AT = b, y 0, y ∈ Rm Định lý 3.1.1 Cho ∆ = {x ∈ Rn : Ax b} (3.6) với A ∈ Rm×n , b ∈ Rm x ∈ Rn nghiệm (3.5) tồn λ = λ1 , λ2 , , λm ∈ Rm   Mx − AT λ + q =   Ax    b, λ λ T (Ax − b) = (3.7) 34 Chứng minh Chúng ta kí hiệu Ai cột thứ i ma trận A bi tọa độ thứ i vectơ b Ta đặt = Ai T ∀i = 1, 2, , m Giả sử x ∈ Sol (AV I (M, q, ∆)) Ta đặt I = (1, 2, , m) , I0 = {i ∈ ∆ : , x = b} I1 = {i ∈ I : , x > bi } Giả sử v ∈ Rn thỏa mãn , v ∀i ∈ I0 Ta thấy rằng, tồn δ1 > cho , x + tv Mx + q, v bi ∀i ∈ I, t ∈ (0; δ1 ) (3.5) dẫn đến Thật vậy, −Mx − q, v Cho v ∈ Rn thỏa mãn −ai , v I0 Theo Bổ đề Farkas, tồn số thực không âm λi , (i ∈ I0 ) cho ∑ λi (−ai) = −Mx − q ∀i ∈ (3.8) i∈I Đặt λi = ∀i ∈ Ii λ = λ1 , λ2 , , λm ∈ Rm Vì = Ai T , ∀i = 1, 2, , m Từ (3.8) ta thu bất đẳng thức thứ (1.17) Vì x ∈ ∆ (A, b) λi (Ai x − bi ) = với i ∈ I điều kiện lại (3.7) thỏa mãn Trong phần ta chứng minh điều kiện đủ, giả sử tồn λ = (λ1 , λ2 , , λm ) ∈ Rm cho (3.7) Khi đó, cho y ∈ ∆ có: Mx + q, y − x = AT λ , y − x = λ , (Ay − b) − (Ax − b) = λ , (Ay − b) − (Ax − b) T T = λ (Ay − b) − λ (Ax − b) T = λ (Ay − b) Điều chứng tỏ x nghiệm (3.5) điều phải chứng minh Từ Định lý 3.1.1 suy hai hệ sau Một hai hệ ứng dụng cho trường hợp mà ∆ biểu diễn dạng ∆ = {x ∈ Rn : Ax b, x 0} (3.9) 35 Hệ lại ứng dụng trường hợp mà ∆ biểu diễn dạng ∆ = {x ∈ Rn : Ax b,Cx = d} (3.10) Hệ 3.1.1 Cho ∆ xác định công thức (3.9) Khi x ∈ Rn nghiệm (3.5) tồn λ = λ , , λ m ∈ Rm cho   Mx − AT λ + q    Ax b, x 0, λ     x Mx − AT λ + q + λ T (Ax − b) = (3.11) Chứng minh Định nghĩa ma trận A ∈ R(m×n)×n vectơ b ∈ Rm×n xác định A = A b ,b= Khi tốn (3.5) ∆ xác định cơng thức E (3.9) tương đương với tốn: Tìm x ∈ ∆ := x ∈ Rn : Ax b cho Mx + q, y − x ∀y ∈ ∆ Ứng dụng Định lý 3.1.1 vào toán AV I kết luận x¯ nghiệm toán λ = (λ1 , λ2 , , λm+2s ) ∈ Rm+2s T cho Mx − A λ + q = 0, Ax b, λ 0, λ T Ax − b = 0, với λ = λ , λ , , λ m ∈ Rm Ở đó, λ i = λi ∀i ∈ {1, 2, , m} Chúng ta thu tính chất (3.11) từ điều Hệ 3.1.2 Cho ∆ định cơng thức (3.10) x ∈ Rn nghiệm (3.5) tồn λ = λ , λ , , λ m ∈ Rm µ = (µ , µ , , µ s ) ∈ Rs cho   Mx − AT λ −CT µ + q =   Ax b,Cx = d, λ    T λ (Ax − b) = (3.12) Chứng minh Định nghĩa A ∈ R(m+2s)×n b ∈ Rm×2s Khi đó, toán (3.5) với ∆ xác 36 định (3.10) tương đương với tốn: Tìm x ∈ ∆ := x ∈ Rn : Ax b cho Mx + q, y − x ∀y ∈ ∆ Ứng dụng Định lý 3.1.1 vào toán AV I kết luận x¯ nghiệm toán λ = (λ1 , λ2 , λm+2s ) ∈ Rm+2s cho: Mx − AT λ + q = 0, Ax b, λ 0, λ T Ax − b = với λ = λ , λ , , λ m ∈ Rm µ = (µ , µ , , µ s ) ∈ R∗ Ở đó, λ i = λi ∀i ∈ {1, 2, , m} µ j = λm+ j −λm+s+ j ∀ j ∈ {1, 2, , s} Chứng tỏ, thu tính chất (3.12) từ điều 3.2 Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân affine Xét tốn (3.5) Vì ∆ tập lồi đa diện, tồn m ∈ N, A ∈ Rm×n b ∈ Rm cho: ∆ = x ∈ Rn : Ax b (3.13) Định lý 3.2.1 Nếu hai điều kiện sau thỏa mãn i) tồn x ∈ ∆ cho (Mx + q)T v với v ∈ 0+ ∆; ii) (y − x)T M (y − x) x ∈ ∆ y ∈ ∆ tập nghiệm Sol (AV I (M, q, ∆)) khác rỗng Cho ∆= z= x ∈ Rn+m : M − AT z = −q, λ = z= x A 0 I ∈ Rn+m : Mx − AT λ + q = 0; Ax λ I ma trận đơn vị Rm×m z b b, λ 37 Cho f (z) = 12 zT M + M T z + đó, M = M − AT T q z −b ∈ R(n+m)×(n+m) , z = A Xét tốn quy hoạch tồn phương bổ trợ: x ∈ Rn+m λ f (z) : z ∈ ∆ (3.14) Bổ đề 3.2.1 Tập ∆ khác rỗng tồn x ∈ ∆ cho (Mx + q)T v với v ∈ 0+ ∆ Chứng minh Điều kiện cần Nếu ∆˜ = 0/ tồn x z= ∈ Rn+m : λ Mx − AT λ = q = 0, Ax Lấy v ∈ 0+ ∆ Theo (3.13), ta có: Av = Mx − AT λ + q T Do đó, (Mx + q)T v = λ Av T b, λ (3.15) 0 Từ (3.15) ta có: T v = (Mx + q)T v − λ Av Điều kiện đủ Giả sử ∃ x ∈ ∆ : (Mx + q)T v ∀v ∈ 0+ ∆ = δ (A) Xét dạng tuyến tính sau cT y : y ∈ ∆ đó, c := M x + q Từ giả thiết ta có ∆ = 0/ (Mx + q)T v (3.16) ∀v ∈ Rn , Av Theo Định lí Eaves (3.16) có nghiệm Tiếp theo, theo Định lý (điều kiện tối ưu) ta có: ∃ λ ∈ Rm : −AT λ + c = 0, λ (3.17) 38 Vì x ∈ ∆, ta có A x b Kết hợp với (3.17) ta có z := x ∈ ∆ λ Vì vậy, ∆ = / Bổ đề 3.2.2 Nếu tồn x ∈ ∆ cho (Mx + q)T v với v ∈ 0+ ∆ tốn quy hoạch tồn phương bổ trợ (3.14) có nghiệm Chứng minh Theo Bổ đề 3.2.2, từ giả thiết suy ∆ khác rỗng x Lấy z = ∈ ∆ λ Ta có: T q z f (z) = zT M + M T z + −b   T T T M −A M −A x q x   = + + λ A A λ −b T x λ T M + MT x x = + qT x − bT λ λ 0 λ = x T M + M T x + qT x − bT λ = xT Mx + qT x − bT λ = xT (Mx + q) − bT λ = xT AT λ − bT λ = λ T (Ax − b) Vì f (z) bị chặn ∆ Theo Định lí Frank – Wolfe, (3.14) có nghiệm Chứng minh Định lí 3.2.1 Theo giả thiết (i) Bổ đề 3.2.3 toán quy hoạch tồn phương (3.14) x có nghiệm z = ∈ Rn+m Do đó, tồn số nhân tử Lagrange λ θ= θ1 θ ∈ R2m µ ∈ Rn cho: 39   x A θ1 q  T T T   M + M − − M − A µ + =0    λ I θ −b      A x b ,θ  I λ       A x b   T  θ − =   I λ Hệ  viết lại sau:  M − AT x M AT x AT θ1 MT   + − − µ    A λ λ I −A θ −A       q + =0  −b       Ax b, λ 0, θ 0, θ 0,     T  T θ (Ax − b) = 0, θ λ = Ta thực biến đổi thu hệ tương đương với hệ (3.11) đến (3.14) Mx − AT λ + q + M T x + AT λ − AT θ − M T µ = (3.18) Ax − Ax − θ + Aµ − b = (3.19) 0, θ (3.20) Ax θ1 b, λ T 0, θ (Ax − b) = 0, θ Từ (3.18), điều có z = x T λ = (3.21) ∈ ∆ kéo theo λ M T (x − µ) = AT θ − λ (3.22) A (x − µ) = Ax − θ − b (3.23) Từ (3.19) kéo theo Từ (3.21) - (3.23) 40 (x − µ)T M T (x − µ) = (x − µ)T AT θ − λ T = θ1 −λ T = θ1 −λ = θ1 T A (x − µ) Ax − θ − b (Ax − b) − θ = − θ1 Do đó, theo (3.20), ta có: T T θ2 + θ2 T T λ − λ (Ax − b) T θ − λ (Ax − b) (x − µ)T M T (x − µ) = − θ T T θ − λ (Ax − b) (3.24) Từ (3.19) suy Aµ − b = θ 0, µ ∈ ∆ Vì x ∈ ∆, ta thu từ giả thiết (ii) (x − µ)T M T (x − µ) Kết hợp với (3.20) x ∈ ∆ nên Mx − AT λ + q = Do (3.24) ta λ (Ax − b) = Vì λ đó,  ta có: T  Mx − A λ + q =   Ax b, λ 0,    T λ (Ax − b) = Thì theo Định lý 3.1.1, x ∈ Sol (AV I (M, q, ∆)) Giả thiết (ii) quan trọng kết luận định lý Dễ thấy rằng(ii) tương đương với điều kiện ánh xạ φ : ∆ → Rn xác định φ (x) = Mx + q đơn điệu ∆ 3.3 Giải tốn quy hoạch tồn phương cách đưa toán bất đẳng thức biến phân affine Trước tiên ta có định nghĩa: Cho C ⊆ Rn Định nghĩa toán tử chiếu Cho C tập lồi đóng khác rỗng Rn x ∈ Rn Ta nói y hình chiếu x lên C x−y x−z ∀z ∈ C 41 Thông thường ta ký hiệu y = PC (x) Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 3.3.1 (i) Với x ∈ Rn , hình chiếu PC (x) tồn (ii) Điểm π = PC (x) x − π, z − π (iii) PC (x) − PC (x ) x−x ∀x, x ∀z ∈ C Định nghĩa 3.3.1 Toán tử φ : C → Rn gọi đơn điệu C φ (x) − φ (y), x − y ∀x, y ∈ C (3.25) Nếu tồn γ > cho φ (x) − φ (y), x − y γ x−y ∀x, y ∈ C (3.26) φ gọi đơn điệu mạnh C Chú ý 3.3.1 Nếu C ⊆ R φ : C → R có nghĩa φ đơn điệu khơng giảm C Hiển nhiên ta có đơn điệu mạnh C kéo theo đơn điệu C Mệnh đề sau nói lên tính đơn điệu hàm tồn phương Mệnh đề 3.3.2 Cho hàm f : Rn → R, khả vi Khi f lồi mạnh (lồi) Rn ∇ f (x) đơn điệu mạnh (đơn điệu) Rn Chứng minh 42 Ta có f lồi ∆ f (x) , y − x f (y) − f (x) ∀x, y ∆ f (y) , x − y f (x) − f (y) ∀x, y Cộng vế với vế hai bất phương trình chuyển vế ta có ∆ f (x) − ∆ f (y) , x − y ∀x, y Chứng tỏ ∇ f đơn điệu Ta lại có f lồi mạnh tồn γ > cho φ (x) := f (x) − γ x lồi Do φ lồi nên chứng minh tương tự ta thấy ∇ f đơn điệu mạnh Rn Hệ 3.3.1 Cho hàm toàn phương f (x) = xT Dx Khi ∇ f tốn tử đơn điệu mạnh (đơn điệu) Rn D xác định dương (nửa xác định dương), D đối xứng Chứng minh Hàm f (x) = 12 xT Dx lồi mạnh (lồi) D xác định dương (nửa xác định dương) Nhận xét 3.3.1 Do ρ (x) = qT x tuyến tính (do lồi) Vậy theo mệnh đề ∇ρ (x) = q toán tử đơn điệu Dễ thấy toán tử Dx + q đơn điệu mạnh (đơn điệu) D xác định dương (nửa xác định dương) Thật vậy, dễ kiểm tra tổng toán tử đơn điệu mạnh toán tử đơn điệu toán tử đơn điệu mạnh Vậy f (x) = 21 xT Dx + qT x ∇ f (x) đơn điệu mạnh (đơn điệu) D xác định dương (nửa xác định dương) 43 Xét tốn tồn phương f (x) := xT Dx + qT x : x ∈ ∆ (3.27) đó, D ma trận xác định dương, đối xứng Như thấy, f lồi nên toán tương đương với bất đẳng thức biến phân Tìm x ∈ ∆ : ∇ f (x) , x − x ∀x ∈ ∆ Do ∇ f (x) = Dx + q nên toán tương đương với bất đẳng thức biến phân affine sau: Tìm x ∈ ∆ : Dx + q, x − x ∀x ∈ ∆ Thuật toán giải: Chọn x0 ∈ ∆ Khi với k = 0, 1, tính xk+1 = P∆ xk − ρ Dxk + q đó, ρ > 0, P∆ toán tử chiếu lên ∆ Định lí hội tụ Nếu ρ > L 2δ , với L hệ số Lipschitz δ hệ số đơn điệu mạnh ∇ f dãy xk → x∗ x∗ nghiệm tốn (3.27) Nhận xét 3.3.2 Để thấy rõ khơng phải toán bất đẳng thức biến phân affine chuyển tốn quy hoạch tồn phương ta xét ví dụ sau Ví dụ 3.3.1 Tìm x ∈ R+ cho Ax, y − x , ∀y ∈ R+ với A = −1 Ta thấy rằng, A không đối xứng nên Ax đạo hàm hàm toàn phương 44 Kết luận Luận văn nhằm mục đích nói đến mối quan hệ phát triển từ tốn quy hoạch tồn phương đến tốn bất đẳng thức biến phân affine Cụ thể, luận văn trình bày số vấn đề sau: (1) Trình bày số kiến thức tập lồi, hàm lồi hàm tồn phương (2) Trình bày kiến thức tốn quy hoạch tồn phương (3) Trình bày số kiến thức bất đẳng thức biến phân affine, phát triển từ tốn quy hoạch tồn phương đến tốn bất đẳng thức biến phân affine mối quan hệ hai toán 45 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu Nguyễn Hữu Điển (2015), Giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Lê Dũng Mưu (2003), Nhập môn phương pháp tối ưu, NXB Khoa học kỹ thuật [3] Trần Vũ Thiệu Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [4] Dong, V V., Tam, N N (2016), "On the Solution Existence for Convex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces", Taiwanese Journal of Mathematics, 4, 134 –137 [5] G M Lee, Nguyen Nang Tam and Nguyen Dong Yen (2007), Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities: A qualitative Study, Springer [6] L.D Muu, T.D Quoc (2009), "Regularization Algorithms for Solving Monotone Ky Fan Inequalities with Application to a Nash-Cournot Equilibrium Model", J Optim Theory Appl 142: 185 – 204 ... biến phân affine Chương nghiên cứu lớp toán bất đẳng thức biến phân hay xét toán bất đẳng thức biến phân affine phát triển từ tốn quy hoạch tồn phương đến toán bất đẳng thức biến phân affine Chương... đẳng thức biến phân affine Giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân affine, điều kiện tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân affine phương pháp giải tốn quy hoạch tồn phương cách đưa toán bất đẳng. .. đơn điệu Tuy nhiên, toán bất đẳng thức biến phân affine sinh từ tốn quy hoạch tồn phương Qua ta thấy phát triển từ toán quy hoạch toàn phương đến bất đẳng thức biến phân affine Cụ thể luận văn