phương pháp xấp xỉ trong để giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị giả đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG THỊ BÌNH PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRONG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐA TRỊ GIẢ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. PHẠM NGỌC ANH THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 3 1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Bất đẳng thức biến phân đa trị và các bài toán liên quan . . . . 12 1.3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán (MV I) . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Phương pháp xấp xỉ trong với điều kiện Lipschitz 20 2.1 Phương pháp hàm phạt điểm trong [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Thuật toán xấp xỉ trong và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Phương pháp xấp xỉ trong không Lipschitz 33 3.1 Thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Một số kết quả tính toán cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4 Thuật toán kiểu điểm gần kề cho bài toán (MV I) 41 4.1 Thuật toán kiểu điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.1.1 Sơ bộ về phương pháp kiểu điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . 41 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 4.1.2 Thuật toán điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2 Thuật toán mới và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2.1 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2.2 Sự hội tụ của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.3 Áp dụng thuật toán ánh xạ co B anach cho (MV I) . . . . . . . . . . . 51 Kết luận 55 Danh mục các công trình có liên quan đến luận văn 56 Tài liệu tham khảo 57 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Lời cảm ơn Trong suốt quá trình làm luận văn này, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của thầy giáo TS. Phạm Ngọc Anh (Học viện Cô ng nghệ Bưu chính Viễn thông). Thầy luôn động viên và hướng dẫn tận tình cho tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và làm luận văn. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Xin cảm ơn Ban giám hiệu, các bạn đồng nghiệp trường THPT Chuyên Thái Nguyên đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành khóa cao học này. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy, cô thuộc Bộ môn Toán - Tin, Phòng Đào tạo và Quan hệ Quốc tế và các thầy cô trong trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, cùng các thầy cô trực tiếp giảng dạy lớp cao học khóa 2 (2008 - 2010) đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và cuộc sống. Xin cảm ơn các bạn học viên cao học toán khóa 2 đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và rèn luyện tại trường. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu xót và hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 9-2010 Người viết luận văn Dương Thị Bình Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân là một công cụ rất hữu hiệu để nghiên cứu và giải các bài toán ứng dụng như các bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính, vận tải, lí thuyết trò chơi, bài toán cân bằng mạng, ···. Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu bởi Hartman và Stampacchia vào năm 1966. Những nghiên cứu đầu tiên về bài toán này liên quan tới việc giải các bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạ n chiều và các ứng dụng của nó được giới thiệu trong cuốn sách "An introduction to variational inequalities and their application" của D.Kinderlehrer và G. Stampacchia xuất bản năm 1980 [8] và trong cuố n sách "Variational and quasivariational inequalities: Application to free boundary problem" của Baiocci và Capelo xuất bản năm 1984. Từ đó, bài toán bất đẳng thức biến phân đã có những bước phát triển rất mạnh và thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Một trong các hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biến phân là việc xây dựng các phương pháp giải. Thực tế cho thấy việc giải trực tiếp để tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân là khó khăn và không phải trường hợp nào cũng thực hiện được. Vì vậy các nhà toán học đã nghiên cứu và xây dựng nhiều thuật toán vô hạn để tìm nghiệm của bài toán này, tuy nhiên việc tìm ra nghiệm chính xác là khó thực hiện được. Do đó người ta thường phải lấy nghiệm xấp xỉ với độ chính xác nào đó. Những năm gần đây việc nghiên cứu giải tích đa trị cũng phát triển mạnh, điều này giúp cho các nhà toán học có cái nhìn rộng hơn về lớp các bài toán tối ưu, trong đó có bài toán bất đẳng thức biến phân. Vì vậy việc ng hiên cứu bất đẳng thức biến phân đa trị cũng có những bước phát triển mới. Nhiều phương pháp đã được đề xuất để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị như: Phương pháp Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 chiếu tổng quát, phương pháp siêu phẳng cắt, ···. Luận văn này trình bày phương pháp xấp xỉ trong giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị giả đơn điệu được viết trong bài báo của Phạm Ngọc Anh " An interior proximal method for solving pseudomonotone nonlipschitzian multivalued variational inequalities, Nonlinear Analysis Forum 14, (2009), 27-42." [4] và một kết quả mới về thuật toán điểm gần kề mở rộng cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị. [6] Ngoài lời nói đầu và phần tài liệu tham khảo, luận văn gồm 4 chương. Chương 1 nhắc lại các kiến thức cơ bản của giải tích lồi, ánh xạ đa trị liên tục Lipschitz và ánh xạ đa trị đơn điệu. Phần tiếp theo, phát biểu bài toán bất đẳ ng thức biến phân đa trị, các bài toán liên quan và một số ví dụ thực tế, đồng thời trình bày điều kiện có nghiệm của bài toán này. Chương 2 g ồm hai phần chính: Phần thứ nhất giới thiệu về phương pháp hàm phạt điểm trong; Phần thứ hai trình bày thuật toán xấp xỉ trong giải bài toán (MV I) giả đơn điệu Lipschitz và chứng minh sự hội tụ của thuật toán. Chương 3 đề xuất thuật toán giải bài toán (MV I) không có điều kiện Lipschitz. Chương này đưa ra thuật toán xấp xỉ, trong đó có sự kết hợp hàm logarit toàn phương với kĩ thuật đường tìm kiếm. Cuối chương trình bày một số kết quả tính toán cụ thể minh họa cho thuật toán ở chương 2 và chương 3. Chương 4 trình bày phương pháp mới để giải bài toán (MV I) và các kết quả tính toán để minh họa thuật toán đã đề xuất. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản Trong luận văn này, chúng ta sẽ làm việc trên không gian Euclid n chiều R n . Mỗi phần tử x = (x 1 , x 2 , ··· , x n ) T ∈ R n là một véc tơ cột của R n . Với hai véc tơ bất kì x = (x 1 , x 2 , ··· , x n ) T ∈ R n , y = (y 1 , y 2 , ··· , y n ) T ∈ R n thì x, y = n  i=1 x i y i được gọi là tích vô hướng của hai véc tơ x, y. Chuẩn Euclid (hay độ dài) của véc tơ x ∈ R n , kí hiệu ||x|| được xác định bởi ||x|| =  x, x. Ta gọi ¯ R = [−∞, +∞] = R ∪{−∞}∪ {+∞} là tập số thực mở rộng. Sau đây ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân, ···. 1.1.1 Tập lồi và hàm lồi Định nghĩa 1.1. [10] Một tập C ⊆ R n được gọi là tập lồi nếu ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C. Định nghĩa 1.2. [10] Một tập hợp là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng được gọi là tập lồi đa diện hay là khúc lồi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Định nghĩa 1.3. [10] Một tập C ⊆ R n được gọi là nón nếu ∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi. Như vậy, một tập lồi C là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau: (a) λC ⊆ C, ∀λ > 0 (b) C + C ⊆ C Tập C ⊆ R n dưới đây luôn giả thiết là một tập lồi (nếu không giải thích gì thêm). Định nghĩa 1.4. Cho x ∈ C, nón pháp tuyến ngoài của C tại x, kí hiệu là N C (x), được xác định bởi công thức N C (x) := {w ∈ R n | w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C}. Định nghĩa 1.5. Cho ánh xạ f : C → ¯ R. Khi đó, miền hữu hiệu của f, kí hiệu là domf, được xác định bởi domf := {x ∈ R n | f(x) < +∞}. Hàm f được gọi là chính thường nếu domf = ∅, f(x) > −∞, ∀x ∈ C Định nghĩa 1.6. [10] Cho hàm f : C → R ∪ {+∞}. Khi đó, hàm f được gọi là (i) lồi trên C nếu f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1]. (ii) lồi chặt trên C nếu f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ C, x = y, λ ∈ (0, 1). (iii) lồi mạnh với hệ số β > 0 trên C nếu với mọi x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1), ta có f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) − λ(1 − λ)β||x − y|| 2 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Định lí 1.1. [2] (i) Cho hàm f lồi, khả vi trên tập lồi C. Khi đó, với mọi x, y ∈ C, ta có f(y) − f(x) ≥ ∇f(x), y − x. (ii) Nếu f lồi chặt, khả vi trên tập lồi C thì với mọi x, y ∈ C và x = y, ta có f(y) − f(x) > ∇f(x), y − x. (iii) Nếu f lồi mạnh với hệ số β > 0, khả vi trên tập lồi C thì f(y) − f(x) ≥ ∇f(x), y − x + β||y − x|| 2 , ∀x, y ∈ C. 1.1.2 Dưới vi phân Giả sử f : C → ¯ R là hàm lồi trên C ⊆ R n . Ta có định nghĩa dưới vi phân của hàm lồi như sau. Định nghĩa 1.7. Véc tơ w ∈ R n được gọi là dưới gradient của f tại x 0 ∈ C nếu w, x − x 0  ≤ f(x) − f(x 0 ), ∀x ∈ C. Tập tất cả các dưới gradient của hàm f tại x 0 được gọi là dưới vi phân của f tại x 0 , kí hiệu ∂f (x 0 ), tức là ∂f (x 0 ) := {w ∈ R n : w, x − x 0  ≤ f(x) − f(x 0 ), ∀x ∈ C}. Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x 0 nếu ∂f (x 0 ) = ∅. Ví dụ 1.1. Cho C là một tập lồi, khác rỗng của không gian R n . Xét hàm chỉ trên tập C δ C (x) :=  0 nếu x ∈ C, +∞ nếu x /∈ C. Khi đó ∂δ C (x 0 ) = N C (x 0 ), ∀x 0 ∈ C. Thật vậy, nếu x 0 ∈ C thì δ C (x 0 ) = 0 và ∂δ C (x 0 ) = {w ∈ R n : δ C (x) ≥ w, x − x 0 , ∀x ∈ C}. Hay ∂δ C (x 0 ) = {w ∈ R n : 0 ≥ w, x − x 0 , ∀x ∈ C} = N C (x 0 ). ✷ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Ví dụ 1.2. (Hàm lồi thuần nhất dương) [10] Cho f : R n → R là hàm lồi thuần nhất dương, tức là: Một hàm lồi f : R n → R thỏa mãn f(λx) = λf(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ R n . Khi đó ∂f (x 0 ) = {w ∈ R n |w, x 0  = f(x 0 ), w, x ≤ f (x), ∀x ∈ C}. Chứng minh. Nếu w ∈ ∂f(x 0 ) thì w, x − x 0  ≤ f(x) − f(x 0 ), ∀x ∈ C. (1.1) Thay x = 2x 0 vào (1.1), ta có w, x 0  ≤ f(2x 0 ) − f(x 0 ) = f(x 0 ). (1.2) Còn nếu thay x = 0 vào (1.1), ta được −w, x 0  ≤ −f(x 0 ). (1.3) Kết hợp (1.2) và (1.3), suy ra w, x 0  = f(x 0 ). Hơn nữa w, x − x 0  = w, x − w, x 0  = w, x − f(x 0 ). Do đó w, x ≤ f (x), ∀x ∈ C. Ngược lại, nếu x 0 ∈ R n thỏa mãn w, x 0  = f(x 0 ) và w, x ≤ f(x), ∀x ∈ C thì w, x − x 0  = w, x − w, x 0  ≤ f(x) − f(x 0 ), ∀x ∈ C. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... ∂f đơn điệu 1.3 1.3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị Bất đẳng thức biến phân đa trị và các bài toán liên quan n Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn và F : C → 2R là một ánh xạ đa trị Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị được phát biểu như sau: (M V I) Tìm x∗ ∈ C và w∗ ∈ F (x∗ ) sao cho w∗ , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C F được gọi là ánh xạ giá của bài toán bất đẳng thức biến phân. .. xạ đơn trị thì bài toán bất đẳng thức biến phân có dạng (viết tắt (V I)) Tìm x∗ ∈ C sao cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C Bài toán bất đẳng thức biến phân (M V I) có quan hệ mật thiết với nhiều bài toán khác của giải tích, như là: Bài toán bù phi tuyến, bài toán điểm bất động và bài toán quy hoạch lồi, · · · Bài toán điểm bất động Kakutani Cho C là tập lồi, đóng tùy ý trong Rn và T là ánh xạ đa trị. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 toán có ràng buộc về các bài toán không có ràng buộc Kỹ thuật cơ bản để thực hiện ý tưởng này là hàm xấp xỉ Điều này đặt ra hai vấn đề cần giải quyết là xây dựng hàm xấp xỉ và bài toán phụ sao cho có thể xấp xỉ lời giải của bài toán ban đầu từ lời giải của các bài toán phụ Có hai loại hàm xấp xỉ cơ bản là hàm xấp xỉ trong và hàm xấp xỉ ngoài Hàm xấp xỉ trong thường dùng khi biết trước một... Lipschitz Trong chương này, ta sẽ trình bày phương pháp xấp xỉ trong giải bài toán bất đẳng thức biến phân (M V I), khi hàm giá F là đa trị giả đơn điệu, Lipschitz trên một tập lồi đa diện C Cơ sở của phương pháp này là thay thế dạng toàn phương thông thường bởi một hàm đặc biệt, đó là sự kết hợp giữa dạng toàn phương thông thường với hàm chắn dạng logarit để trở thành hàm xấp xỉ trong lồi mạnh [4] 2.1 Phương. .. Theo định lí này, để giải bài toán có ràng buộc (P ), ta chọn một dãy số dương {tk } tăng dần đến +∞ và giải một dãy các bài toán không có ràng buộc (Ptk ) 2.2 Thuật toán xấp xỉ trong và sự hội tụ Trong chương này, ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân (M V I) trên tập lồi đa diện C trong Rn , được xác định bởi C := {x ∈ Rn | Ax ≤ b}, trong đó A là ma trận cỡ p × n, b ∈ Rp , p ≥ n Giả sử A là ma trận... ánh xạ đa trị Khi đó: (i) Nếu F đơn điệu ngặt trên C thì bài toán (M V I) có nhiều nhất một nghiệm (ii) Nếu F là đơn điệu mạnh, nửa liên tục trên và F (x) lồi, compact, khác rỗng với mọi x ∈ C, thì bài toán (M V I) có duy nhất nghiệm Kết luận chương Trong chương này, ta nhắc lại các kết quả quan trọng của giải tích lồi, mối quan hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị với các mô hình toán học... niệm về ánh xạ đa trị đơn điệu mạnh, đơn điệu, giả đơn điệu, đơn điệu ngặt và các điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán (M V I) Chương này cũng trình bày một cách chi tiết các ví dụ minh họa cho một vài tính chất đơn điệu, Lipschitz theo khoảng cách Hausdorff của ánh xạ đa trị Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 Chương 2 Phương pháp xấp xỉ trong với điều... khác rỗng Như ta đã biết, bài toán bất đẳng thức biến phân (V I) được định nghĩa trong chương 1 có thể được xem như là việc đi tìm không điểm của toán tử T (x) = F (x) + NC (x), trong đó NC (x) là nón pháp tuyến ngoài của C tại x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 Phương pháp cổ điển để giải bài toán này là thuật toán xấp xỉ, thuật toán này xuất phát từ điểm... là ánh xạ đa trị từ C vào chính nó Bài toán điểm bất động của ánh xạ đa trị T được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho x∗ ∈ T (x∗ ) (1.4) Đặc biệt, nếu T là ánh xạ đơn trị thì bài toán điểm bất động Kakutani trở thành bài toán điểm bất động Brower có dạng: Tìm x∗ ∈ C sao cho x∗ = T (x∗ ) Mệnh đề sau cho ta thấy mối liên hệ giữa bài toán (M V I) với bài toán điểm bất động (1.4) Số hóa bởi Trung tâm... dãy {tk } đơn điệu tăng dần đến +∞ và xk là nghiệm của (Pti ) thì dãy số {f (xk )} hội tụ giảm đến f∗ (giá trị tối ưu của bài toán) Ngoài ra, mọi điểm tụ của dãy {xk } đều là nghiệm của bài toán (P ) Chứng minh Theo mệnh đề 2.1, dãy {f (xk )} đơn điệu giảm Do đó dãy này hội tụ Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Giả sử rằng bài toán có một lời giải x∗ ∈ D0 Do {xk } là nghiệm của bài toán (Ptk . KHOA HỌC DƯƠNG THỊ BÌNH PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRONG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐA TRỊ GIẢ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn. có bài toán bất đẳng thức biến phân. Vì vậy việc ng hiên cứu bất đẳng thức biến phân đa trị cũng có những bước phát triển mới. Nhiều phương pháp đã được đề xuất để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán. pháp siêu phẳng cắt, ···. Luận văn này trình bày phương pháp xấp xỉ trong giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị giả đơn điệu được viết trong bài báo của Phạm Ngọc Anh " An interior proximal