Phương pháp xấp xỉ trong để giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị giả đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG THỊ BÌNH PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRONG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐA TRỊ GIẢ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM NGỌC ANH THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 1.1 Một số khái niệm tính chất 1.1.1 Tập lồi hàm lồi 1.1.2 Dưới vi phân 1.2 Ánh xạ đa trị 1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 12 1.3.1 Bất đẳng thức biến phân đa trị toán liên quan 12 1.3.2 Sự tồn nghiệm toán (M V I) 18 Phương pháp xấp xỉ với điều kiện Lipschitz 20 2.1 Phương pháp hàm phạt điểm [1] 20 2.2 Thuật toán xấp xỉ hội tụ 23 Phương pháp xấp xỉ không Lipschitz 33 3.1 Thuật toán hội tụ 33 3.2 Một số kết tính toán cụ thể 39 Thuật toán kiểu điểm gần kề cho toán (M V I) 4.1 41 Thuật toán kiểu điểm gần kề 41 4.1.1 41 Sơ phương pháp kiểu điểm gần kề Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 4.1.2 4.2 4.3 Thuật toán điểm gần kề 43 Thuật toán hội tụ 45 4.2.1 Thuật toán 45 4.2.2 Sự hội tụ thuật toán 47 Áp dụng thuật toán ánh xạ co Banach cho (M V I) 51 Kết luận 55 Danh mục công trình có liên quan đến luận văn 56 Tài liệu tham khảo 57 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Lời cảm ơn Trong suốt trình làm luận văn này, nhận hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo TS Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu Viễn thông) Thầy động viên hướng dẫn tận tình cho thời gian học tập, nghiên cứu làm luận văn Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Xin cảm ơn Ban giám hiệu, bạn đồng nghiệp trường THPT Chuyên Thái Nguyên tạo điều kiện tốt để hoàn thành khóa cao học Tôi xin cảm ơn thầy, cô thuộc Bộ môn Toán - Tin, Phòng Đào tạo Quan hệ Quốc tế thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, thầy cô trực tiếp giảng dạy lớp cao học khóa (2008 - 2010) mang đến cho nhiều kiến thức bổ ích khoa học sống Xin cảm ơn bạn học viên cao học toán khóa tạo điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ trình học tập rèn luyện trường Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu xót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 9-2010 Người viết luận văn Dương Thị Bình Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân công cụ hữu hiệu để nghiên cứu giải toán ứng dụng toán cân kinh tế, tài chính, vận tải, lí thuyết trò chơi, toán cân mạng, · · · Bài toán bất đẳng thức biến phân giới thiệu Hartman Stampacchia vào năm 1966 Những nghiên cứu toán liên quan tới việc giải toán điều khiển tối ưu toán biên có dạng phương trình đạo hàm riêng Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian vô hạn chiều ứng dụng giới thiệu sách "An introduction to variational inequalities and their application" D.Kinderlehrer G Stampacchia xuất năm 1980 [8] sách "Variational and quasivariational inequalities: Application to free boundary problem" Baiocci Capelo xuất năm 1984 Từ đó, toán bất đẳng thức biến phân có bước phát triển mạnh thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Một hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Thực tế cho thấy việc giải trực tiếp để tìm nghiệm toán bất đẳng thức biến phân khó khăn trường hợp thực Vì nhà toán học nghiên cứu xây dựng nhiều thuật toán vô hạn để tìm nghiệm toán này, nhiên việc tìm nghiệm xác khó thực Do người ta thường phải lấy nghiệm xấp xỉ với độ xác Những năm gần việc nghiên cứu giải tích đa trị phát triển mạnh, điều giúp cho nhà toán học có nhìn rộng lớp toán tối ưu, có toán bất đẳng thức biến phân Vì việc nghiên cứu bất đẳng thức biến phân đa trị có bước phát triển Nhiều phương pháp đề xuất để tìm nghiệm xấp xỉ toán bất đẳng thức biến phân đa trị như: Phương pháp Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn chiếu tổng quát, phương pháp siêu phẳng cắt, · · · Luận văn trình bày phương pháp xấp xỉ giải toán bất đẳng thức biến phân đa trị giả đơn điệu viết báo Phạm Ngọc Anh " An interior proximal method for solving pseudomonotone nonlipschitzian multivalued variational inequalities, Nonlinear Analysis Forum 14, (2009), 27-42." [4] kết thuật toán điểm gần kề mở rộng cho toán bất đẳng thức biến phân đa trị [6] Ngoài lời nói đầu phần tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương Chương nhắc lại kiến thức giải tích lồi, ánh xạ đa trị liên tục Lipschitz ánh xạ đa trị đơn điệu Phần tiếp theo, phát biểu toán bất đẳng thức biến phân đa trị, toán liên quan số ví dụ thực tế, đồng thời trình bày điều kiện có nghiệm toán Chương gồm hai phần chính: Phần thứ giới thiệu phương pháp hàm phạt điểm trong; Phần thứ hai trình bày thuật toán xấp xỉ giải toán (M V I) giả đơn điệu Lipschitz chứng minh hội tụ thuật toán Chương đề xuất thuật toán giải toán (M V I) điều kiện Lipschitz Chương đưa thuật toán xấp xỉ, có kết hợp hàm logarit toàn phương với kĩ thuật đường tìm kiếm Cuối chương trình bày số kết tính toán cụ thể minh họa cho thuật toán chương chương Chương trình bày phương pháp để giải toán (M V I) kết tính toán để minh họa thuật toán đề xuất Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 1.1 Một số khái niệm tính chất Trong luận văn này, làm việc không gian Euclid n chiều Rn Mỗi phần tử x = (x1 , x2 , · · · , xn )T ∈ Rn véc tơ cột Rn Với hai véc tơ x = (x1 , x2 , · · · , xn )T ∈ Rn , y = (y1 , y2 , · · · , yn )T ∈ Rn n x, y = xi yi i=1 gọi tích vô hướng hai véc tơ x, y Chuẩn Euclid (hay độ dài) véc tơ x ∈ Rn , kí hiệu ||x|| xác định ||x|| = x, x ¯ = [−∞, +∞] = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} tập số thực mở rộng Ta gọi R Sau ta nhắc lại số khái niệm tính chất giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, vi phân, · · · 1.1.1 Tập lồi hàm lồi Định nghĩa 1.1 [10] Một tập C ⊆ Rn gọi tập lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Định nghĩa 1.2 [10] Một tập hợp giao số hữu hạn nửa không gian đóng gọi tập lồi đa diện khúc lồi Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.3 [10] Một tập C ⊆ Rn gọi nón ∀x ∈ C, ∀λ > ⇒ λx ∈ C Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Như vậy, tập lồi C nón lồi có tính chất sau: (a) λC ⊆ C, ∀λ > (b) C + C ⊆ C Tập C ⊆ Rn giả thiết tập lồi (nếu không giải thích thêm) Định nghĩa 1.4 Cho x ∈ C, nón pháp tuyến C x, kí hiệu NC (x), xác định công thức NC (x) := {w ∈ Rn | w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C} ¯ Khi đó, miền hữu hiệu f , kí hiệu Định nghĩa 1.5 Cho ánh xạ f : C → R domf , xác định domf := {x ∈ Rn | f (x) < +∞} Hàm f gọi thường domf = ∅, f (x) > −∞, ∀x ∈ C Định nghĩa 1.6 [10] Cho hàm f : C → R ∪ {+∞} Khi đó, hàm f gọi (i) lồi C f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] (ii) lồi chặt C f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, x = y, λ ∈ (0, 1) (iii) lồi mạnh với hệ số β > C với x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1), ta có f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)β||x − y||2 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lí 1.1 [2] (i) Cho hàm f lồi, khả vi tập lồi C Khi đó, với x, y ∈ C, ta có f (y) − f (x) ≥ ∇f (x), y − x (ii) Nếu f lồi chặt, khả vi tập lồi C với x, y ∈ C x = y, ta có f (y) − f (x) > ∇f (x), y − x (iii) Nếu f lồi mạnh với hệ số β > 0, khả vi tập lồi C f (y) − f (x) ≥ ∇f (x), y − x + β||y − x||2 , 1.1.2 ∀x, y ∈ C Dưới vi phân ¯ hàm lồi C ⊆ Rn Ta có định nghĩa vi phân hàm Giả sử f : C → R lồi sau Định nghĩa 1.7 Véc tơ w ∈ Rn gọi gradient f x0 ∈ C w, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ C Tập tất gradient hàm f x0 gọi vi phân f x0 , kí hiệu ∂f (x0 ), tức ∂f (x0 ) := {w ∈ Rn : w, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ C} Hàm f gọi khả vi phân x0 ∂f (x0 ) = ∅ Ví dụ 1.1 Cho C tập lồi, khác rỗng không gian Rn Xét hàm tập C δC (x) := x ∈ C, +∞ x ∈ / C Khi ∂δC (x0 ) = NC (x0 ), ∀x0 ∈ C Thật vậy, x0 ∈ C δC (x0 ) = ∂δC (x0 ) = {w ∈ Rn : δC (x) ≥ w, x − x0 , ∀x ∈ C} Hay ∂δC (x0 ) = {w ∈ Rn : ≥ w, x − x0 , ∀x ∈ C} = NC (x0 ) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷ Ví dụ 1.2 (Hàm lồi dương) [10] Cho f : Rn → R hàm lồi dương, tức là: Một hàm lồi f : Rn → R thỏa mãn f (λx) = λf (x), ∀λ > 0, ∀x ∈ Rn Khi ∂f (x0 ) = {w ∈ Rn | w, x0 = f (x0 ), w, x ≤ f (x), ∀x ∈ C} Chứng minh Nếu w ∈ ∂f (x0 ) w, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ C (1.1) Thay x = 2x0 vào (1.1), ta có w, x0 ≤ f (2x0 ) − f (x0 ) = f (x0 ) (1.2) Còn thay x = vào (1.1), ta − w, x0 ≤ −f (x0 ) (1.3) Kết hợp (1.2) (1.3), suy w, x0 = f (x0 ) Hơn w, x − x0 = w, x − w, x0 = w, x − f (x0 ) Do w, x ≤ f (x), ∀x ∈ C Ngược lại, x0 ∈ Rn thỏa mãn w, x0 = f (x0 ) w, x ≤ f (x), ∀x ∈ C w, x − x0 = w, x − w, x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ C Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... phân Vì việc nghiên cứu bất đẳng thức biến phân đa trị có bước phát triển Nhiều phương pháp đề xuất để tìm nghiệm xấp xỉ toán bất đẳng thức biến phân đa trị như: Phương pháp Số hóa Trung tâm Học... Ánh xạ đa trị 1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 12 1.3.1 Bất đẳng thức biến phân đa trị toán liên quan 12 1.3.2 Sự tồn nghiệm toán. .. đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân công cụ hữu hiệu để nghiên cứu giải toán ứng dụng toán cân kinh tế, tài chính, vận tải, lí thuyết trò chơi, toán cân mạng, · · · Bài toán bất đẳng thức biến