Một số phương pháp giải bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG TUẤN ANH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên nghành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Một số ký hiệu viết tắt Lời nói đầu Các kiến thức Bài toán bất đẳng thức biến phân 10 2.1 Phát biểu toán ví dụ 10 2.2 Sự tồn tính chất tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 15 2.2.1 Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 15 2.2.2 Tính chất nghiệm toán 19 Một số hàm đánh giá 3.1 3.2 Các loại hàm đánh giá 23 23 3.1.1 Định nghĩa 23 3.1.2 Các hàm đánh giá cho toán VI(K,F) 24 Một số thuật toán lặp giải bất đẳng thức biến phân 35 Kết luận Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy GS TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam) trực tiếp hướng dẫn, bảo, động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn thầy, cô Khoa Toán - Tin, phòng Đào tạo khoa học Quan hệ quốc tế, bạn sinh viên lớp cao học toán K2, trường Đại học Khoa học tạo điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân khuyến khích, động viên tác giả suốt trình học cao học hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp phản hồi từ phía thầy, cô, bạn để luận văn hoàn thiện cách tốt Tôi xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 10-2010 Tác giả Hoàng Tuấn Anh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Một số ký hiệu viết tắt Rn |β| x := y ∀x ∃x x x, y A⊂B A⊆B A∪B A∩B A≡B A×B AT VI N CP t.ư không gian Euclide n-chiều trị tuyệt đối số thực β x định nghĩa bẳng y với x tồn x chuẩn véc tơ x tích vô hướng hai véc tơ x, y tập A tập thực tập B tập A tập tập B A hợp với B A giao với B A trùng với B tích Đề hai tập A B ma trận chuyển vị ma trận A toán bất đẳng thức biến phân toán bù phi tuyến tương ứng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Bất đẳng thức biến phân toán quan trọng toán học ứng dụng Do toán nhiều người quan tâm nghiên cứu Trong hướng nghiên cứu này, phương pháp giải đề tài quan trọng Mục đích luận văn tập trung giới thiệu trình bày toán bất đẳng thức biến phân, số tính chất tập nghiệm bất đẳng thức biến phân Đặc biệt sâu vào việc giới thiệu phương pháp giải cho lớp toán Luận văn bao gồm chương Chương 1: Các kiến thức giải tích lồi toán tử đơn điệu, chương nhắc lại trình bày khái niệm, định lý, tính chất dùng để nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân chương sau Chương 2: Bài toán bất đẳng thức biến phân, chương trình bày định nghĩa toán bất đẳng thức biến phân ví dụ Đồng thời trình bày tồn tính chất tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều Rn Chương 3: Các hàm đánh giá bản, trình bày số khái niệm ví dụ hàm đánh giá dùng để giải bất đẳng thức biến phân, đồng thời trình bày số phương pháp lặp để giải toán bất đẳng thức biến phân Thái Nguyên, tháng 10-2010 Tác giả Hoàng Tuấn Anh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức Trong chương này, trình bày kiến thức tập lồi, hàm lồi, kiến thức sử dụng phần sau Do chương có tính chất phụ trợ nên kết có không chứng minh, chi tiết xem thêm tài liệu [1], [2], [3], [4] Định nghĩa 1.1 Cho hai điểm a, b ∈ Rn Tập tất điểm x = (1 − λ)a + λb với ≤ λ ≤ gọi đoạn thẳng (đóng) nối a b, ký hiệu [a, b] Tập C ⊂ Rn gọi lồi chứa đoạn thẳng nối hai điểm thuộc nó; nói cách khác, (1 − λ)a + λb ∈ C với a, b ∈ C ≤ λ ≤ Định lí 1.1 Tập lồi đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với số phép lấy tổ hợp tuyến tính Tức là, A B hai tập lồi Rn tập sau tập lồi: A ∩ B = {x : x ∈ A, x ∈ B} λA + βB = {x = αa + βb : a ∈ A, b ∈ B} Định nghĩa 1.2 Một tập hợp lồi mà giao số hữu hạn nửa không gian đóng gọi tập lồi đa diện Cụ thể hơn, tập lồi đa diện tập hợp điểm x ∈ Rn nghiệm hệ Ax ≥ b, đó, A ma trận m × n b ∈ Rn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.3 Tập M Rn gọi nón (đỉnh gốc) nếu: x ∈ M, λ > =⇒ λx ∈ M Nón M gọi nón lồi M tập lồi Định nghĩa 1.4 Cho tập lồi A ⊆ Rn , hàm số f : A −→ R ∪ {+∞} gọi hàm lồi A, f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ A, ≤ λ ≤ Hàm f gọi lồi chặt A f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ A, < λ < Hàm f gọi lõm (lõm chặt) A −f lồi (lồi chặt) A Hàm f gọi hàm tựa lồi A, với λ ∈ R tập mức {x ∈ A : f (x) ≤ λ} tập lồi Hàm f gọi hàm tựa lõm A −f hàm tựa lồi A Định lí 1.2 Cho f hàm lồi tập A f hàm lồi tập B Lúc hàm sau lồi A ∩ B : λf + βf , với λ, β ≥ M ax(f, g) Định nghĩa 1.5 Cho tập lồi A ⊆ Rn , hàm số f : A −→ R ∪ {+∞} gọi hàm lồi mạnh A tồn số ρ > (hằng số lồi mạnh) cho với x, y ∈ A, λ ∈ [0; 1] ta có bất đẳng thức: f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)ρ x−y Định lí 1.3 Nếu f hàm lồi mạnh khả vi tập lồi đóng K ⊆ Rn thì: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f (x) − f (y), x − y ≥ ρ x−y Với x0 ∈ K , tập mức K0 = {x ∈ K : f (x) ≤ f (x0 )} bị chặn Tồn điểm x∗ ∈ K cho f (x∗ ) = min{f (x) : x ∈ K} Định nghĩa 1.6 Cho hàm f : K −→ [−∞, +∞] với K ⊆ Rn , ta gọi tập domf = {x ∈ K : f (x) < +∞} epif = {(x, α) ∈ S × Rn : f (x) ≤ α} miền hữu dụng tập đồ thị hàm f Hàm f gọi hàm thường domf = ∅ f (x) > −∞ với x ∈ K Định nghĩa 1.7 Cho hàm lồi thường f Rn , vectơ p ∈ Rn gọi gradient f điểm x0 p, x − x0 + f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ Rn Tập tất gradient f x0 gọi vi phân f điểm x0 ký hiệu ∂f (x0 ) Hàm f gọi khả vi phân x0 ∂f (x0 ) = ∅ Định lí 1.4 Cho f : Rn −→ Rn hàm lồi thường Khi đó, f có x0 vectơ gradient (tức ∂f (x0 ) chứa phần tử) f khả vi x0 Định nghĩa 1.8 Cho M tập không gian Rn Tập M gọi tập compact Rn dãy {xn } ⊂ M chứa dãy hội tụ tới x0 ∈ M Tập M ⊆ Rn tập compact M tập bị chặn đóng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.9 Ma trận M ∈ Rn×n gọi ma trận đối xứng M T = M Định nghĩa 1.10 Cho ma trận M ∈ Rn×n với phần tử mij (x) : i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , n hàm số xác định tập S ⊂ Rn , nửa xác định dương S với x ∈ S , ta có v T M (x)v ≥ 0, ∀v ∈ Rn Ma trận M (x) ∈ Rn·n xác định dương S với x ∈ S , ta có v T M (x)v > 0, ∀v = 0, v ∈ Rn Ma trận M (x) ∈ Rn·n xác định dương mạnh S với x ∈ S , ta có v T M (x)v ≥ α v , α > 0.∀v ∈ Rn Định nghĩa 1.11 Ánh xạ F : K −→ Rn gọi đơn điệu K nếu: [f (x1 ) − f (x2 )]T (x1 − x2 ) ≥ 0, ∀x1 , x2 ∈ K Ánh xạ F : K −→ Rn gọi đơn điệu chặt K nếu: [f (x1 ) − f (x2 )]T (x1 − x2 ) > 0, ∀x1 , x2 ∈ K Ánh xạ F : K −→ Rn gọi đơn điệu mạnh K nếu: [f (x1 ) − f (x2 )]T (x1 − x2 ) ≥ α x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ K Định nghĩa 1.12 Hàm số f xác định K ⊆ Rn gọi liên tục x0 ∈ K với > 0, nhỏ tùy ý, tồn δ > cho x − x0 < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < Hàm số f gọi liên tục K liên tục điểm x0 ∈ K Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.13 Hàm số f gọi liên tục Lipschitz tập K tồn số L > cho |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ L x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ K Định lí 1.5 Giả sử F : K −→ Rn khả vi, liên tục tập K ma trận Jacobi  ∂f1 ∂x1  ∂f2  F (x) =  ∂x  ∂fn ∂x1 ∂f1 ∂x2 ∂f2 ∂x2 ∂fn ∂x2 ∂f1  ∂xn ∂f2  ∂xn    F (x) = (f1 (x), f2 (x), , fn (x))T ∂fn ∂xn nửa xác định dương (xác định dương) Khi đó, F đơn điệu (đơn điệu chặt) Định lí 1.6 Giả sử F : K −→ Rn khả vi, liên tục tập mở chứa K, F (x) xác định dương mạnh Khi F đơn điệu mạnh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... bất đẳng thức biến phân chương sau Chương 2: Bài toán bất đẳng thức biến phân, chương trình bày định nghĩa toán bất đẳng thức biến phân ví dụ Đồng thời trình bày tồn tính chất tập nghiệm toán bất. .. hướng nghiên cứu này, phương pháp giải đề tài quan trọng Mục đích luận văn tập trung giới thiệu trình bày toán bất đẳng thức biến phân, số tính chất tập nghiệm bất đẳng thức biến phân Đặc biệt sâu... ơn Một số ký hiệu viết tắt Lời nói đầu Các kiến thức Bài toán bất đẳng thức biến phân 10 2.1 Phát biểu toán ví dụ 10 2.2 Sự tồn tính chất tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân