Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình siêu việt

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐINH THỊ NAM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Phản biện 1: TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN Phản biện 2: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học ngành Phương pháp Toán Sơ cấp họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 26 tháng 11 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình bất phương trình nội dung quan trọng chương trình toán trung học phổ thông Đây chuyên đề rộng chứa nhiều dạng toán hay khó Đặc biệt, dạng toán phương trình bất phương trình siêu việt (mũ lôgarit) dạng thường gặp kỳ thi đại học thi học sinh giỏi quốc gia Việc giải toán phương trình, bất phương trình mũ lôgarit đòi hỏi phải nắm vững phương pháp, kiến thức hàm số mũ hàm số lôgarit kiến thức liên quan phải biết vận dụng kiến thức cách hợp lý, có tính tư Có nhiều phương pháp để giải phương trình, bất phương trình mũ lôgarit, toán ta phải biết nhận dạng áp dụng phương pháp thích hợp để giải Chính lý nên chọn đề tài "Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình siêu việt" nhằm hệ thống số dạng toán, phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ lôgarit MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Hệ thống số dạng toán, phương pháp giải phương trình bất phương trình mũ lôgarit ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Khảo sát lớp hàm số mũ, lôgarit dạng phương trình bất phương trình siêu việt liên quan PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Tham khảo, phân tích tổng hợp tài liệu chuyên đề, sách giáo khoa, tài liệu giáo viên hướng dẫn, tài liệu mạng Phương pháp thực nghiệm trường phổ thông phương pháp thảo luận, trao đổi qua bạn bè, đồng nghiệp Footer Page of 126 Header Page of 126 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán bậc trung học phổ thông CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương sau: Chương Tính chất hàm số mũ, hàm số lôgarit kiến thức liên quan Chương Phương trình bất phương trình mũ Chương Phương trình bất phương trình lôgarit Footer Page of 126 Header Page of 126 CHƯƠNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT VÀ CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Tính chất hàm số mũ hàm số lôgarit 1.1.1 Tính chất hàm số mũ 1.1.2 Tính chất hàm số lôgarit 1.2 Đặc trưng hàm hàm số mũ hàm số lôgarit Bài toán 1.1 (Phương trình hàm Cauchy dạng mũ) Xác định hàm f (x) liên tục R thỏa mãn điều kiện sau f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R Bài toán 1.2 (Phương trình hàm Cauchy dạng lôgarit) Xác định hàm f (x) liên tục R+ thỏa mãn điều kiện sau f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R+ 1.3 Các định lý bổ trợ Định lý 1.1 (Bất đẳng thức AM-GM, xem [9]) Giả sử x1 , x2 , · · · , xn số không âm Khi √ x1 + x2 + · · · + xn ≥ n x1 x2 · · · xn n Dấu "=" xảy x1 = x2 = · · · = xn Footer Page of 126 Header Page of 126 Định lý 1.2 (Bất đẳng thức AM-GM suy rộng, xem [9]) Giả sử cho trước hai cặp dãy số dương x1 , x2 , · · · , xn p1 , p2 , · · · , pn Khi xp11 xp22 · · · xpnn x1 p1 + x2 p2 + · · · + xn pn ≤ p1 + p2 + · · · + pn p1 +p2 +···+pn Dấu "=" xảy x1 = x2 = · · · = xn Nếu p1 + p2 + · · · + pn = xp11 xp22 · · · xpnn ≤ x1 p1 + x2 p2 + · · · + xn pn Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwaz, xem [9]) Cho hai cặp dãy số a1 , a2 , · · · , an b1 , b2 , · · · , bn Khi (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 ≤ (a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ) Dấu xảy ∃k : = kbi Định lý 1.4 (Bất đẳng thức Bernoulli, xem [9]) Cho x > −1 Khi (1 + x)α ≤ + αx ≤ α ≤ (1 + x)α ≥ + αx α ≤ ∨ α ≥ Lưu ý Khi thay x x − ta có xα + (1 − x)α ≤ ≤ α ≤ xα + (1 − x)α ≥ α ≤ ∨ α ≥ (x > 0) Định lý 1.5 (Định lý Fermat, xem [11]) Nếu hàm số y = f (x) xác định liên tục khoảng (a, b), đạt giá trị cực trị điểm x0 ∈ (a, b) tồn f (x0 ) f (x0 ) = Định lý 1.6 (Định lý Rolle, xem [11]) Nếu hàm số f (x) liên tục đoạn [a, b] có đạo hàm khoảng (a, b), đồng thời f (a) = f (b) tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = Từ định lý Rolle ta có hệ sau: Hệ 1.1 (Hệ định lý Rolle) Nếu hàm số y = f (x) có f (x) > 0, ∀x ∈ (a; b) f (x) < 0, ∀x ∈ (a; b) phương trình f (x) = hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a; b) Định lý 1.7 (Định lý Lagrange, xem [11]) Nếu hàm số f (x) liên tục đoạn [a, b] có đạo hàm khoảng (a, b) tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = Footer Page of 126 f (b) − f (a) b−a Header Page of 126 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 2.1 Phương trình, bất phương trình mũ 2.1.1 Phương trình mũ 2.1.2 Bất phương trình mũ 2.2 2.2.1 Phương pháp giải biện luận phương trình, bất phương trình mũ Các phương pháp 2.2.1.1 Phương pháp đưa số Các dạng thường gặp: Dạng a=1 f (x) g(x) 00 af (x) = ag(x) ⇔ (a − 1)[f (x) − g(x)] = Dạng a>1 f (x) < g(x) f (x) g(x) a 1 f (x) ≤ g(x) f (x) g(x) a ≤a ⇔ a=1 00, ta phương trình αk tk + αk−1 t(k−1) + + α1 t + α0 = Mở rộng Khi thay x biểu thức f (x) Đặt af (x) = t, tùy theo biểu thức f (x) mà đặt điều kiện cho t Dạng Phương trình α1 ax + α2 bx + α3 = với ab=1 Đặt ax = t, t>0, suy bx = , ta phương trình t α2 α1 t + + α3 = ⇔ α1 t2 + α3 t + α2 = t Mở rộng Khi thay x biểu thức f (x) Đặt af (x) = t, tùy theo biểu thức f (x) mà đặt điều kiện cho t Dạng Phương trình α1 a2x + α2 (ab)x + α3 b2x = Khi chia hai vế phương trình cho b2x > 0, ta phương trình α1 a b 2x + α2 a b x + α3 = a x Đặt = t, điều kiện t>0, ta phương trình α1 t2 + α2 t + α3 = b Lưu ý Có thể chia hai vế phương trình cho a2x , (ab)x Mở rộng Thay x biểu thức f (x) 2.2.1.3 Phương pháp lôgarit hóa Các dạng thường gặp phương trình mũ: cho < a = 1, b > 0, c > Dạng af (x) = b ⇔ f (x) = loga b Footer Page of 126 Header Page of 126 Dạng af (x) = bg(x) ⇔ loga af (x) = loga bg(x) ⇔ f (x) = g(x) loga b Dạng af (x) bg(x) = c ⇔ f (x) + g(x) loga b = loga c Lưu ý Có thể lấy số dương khác làm số lấy lôgarit hai vế phương trình không thiết phải số a Các dạng thường gặp bất phương trình mũ: Dạng a>1 0 loga b Dạng   b > b > b≤0 f (x) a >b⇔ ∨ a>1 ∨ 0 bg(x) ⇔ lg af (x) > lg bg(x) ⇔ f (x) lg a > g(x) lg b 2.2.1.4 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình bất phương trình mũ ta sử dụng nhận xét sau: Nếu phương trình có nghiệm x0 , vế phương trình hàm số đồng biến, vế hàm số nghịch biến (hoặc hàm số hằng) x0 nghiệm Nếu phương trình có dạng f (u) = f (v), mà hàm số y = f (t) với tập xác định Df , hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) Df f (u) = f (v) ⇔ u = v, ∀u, v ∈ Df Đối với bất phương trình có dạng f (x) > k : Bước 1: Xét hàm số y = f (x) có f (x0 ) = k Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến) Bước 2: Khi f (x) > k ⇔ f (x) > f (x0 ) ⇔ x > x0 Đối với bất phương trình có dạng f (u) < f (v): Bước 1: Xét hàm số y = f (t) với tập xác định Df Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến) Df Bước 2: Khi f (u) < f (v) ⇔ u < v, ∀u, v ∈ Df Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 2.2.2 Các phương pháp khác 2.2.2.1 Sử dụng định lý Rolle Áp dụng định lý Rolle để giải phương trình mũ, ta thực bước sau: Bước 1: Giả sử α nghiệm phương trình Bước 2: Biến đổi phương trình dạng thích hợp f (a) = f (b), từ hàm số f (t) liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm khoảng (a; b) Khi theo định lý Rolle, ∃c ∈ (a; b) cho f (c) = Bước 3: Giải f (c) = ta xác định α Bước 4: Thử lại Từ hệ định lý Rolle ta rút phương pháp giải phương trình: Giả sử cần giải phương trình f (x) = Ta thực theo bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định D phương trình Bước 2: Chỉ f (x) > 0, ∀x ∈ D f (x) < 0, ∀x ∈ D Bước 3: Vậy phương trình f (x) = có nghiệm nghiệm phân biệt D Ta cần hai giá trị x1 , x2 ∈ D cho f (x1 ) = f (x2 ) = Bước 4: Kết luận 2.2.2.2 Phương pháp đánh giá Để đánh giá hai vế phương trình bất phương trình mũ ta thường dựa vào: tính đơn điệu hàm số, tính chất hàm số mũ, bất đẳng thức AM-GM, Cauchy-Schwaz, Bernoulli, tính chất giá trị tuyệt đối 2.2.2.3 Phương pháp điều kiện cần đủ Trong phần sử dụng phương pháp điều kiện cần đủ giải toán tính nghiệm, toán tập nghiệm toán hai phương trình tương đương Bài toán 2.3 (Bài toán tính nghiệm) Tìm điều kiện tham số (giả sử m) để phương trình, bất phương trình f (x, m) ≥ (hoặc f (x, m) ≤ 0) có nghiệm Phương pháp giải Thực theo bước: Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức f (x, m) ≥ có nghĩa Bước 2: Điều kiện cần: Giả sử f (x, m) ≥ có nghiệm x = x0 , đó: a Dựa tính chất đối xứng biểu thức giải tích f (x, m) ≥ 0, ta khẳng định x = ϕ(x0 ) nghiệm f (x, m) ≥ Footer Page 10 of 126 10 Header Page 12 of 126 π π Nếu ≤ x ≤ tồn α β với ≤ α ≤ , ≤ β ≤ cho sin α = x 2 cos β = x π π Với số thực x tồn số α với − < α < cho x = tan α 2 Nếu số thực x, y thỏa mãn hệ thức x + y = tồn số α với ≤ α ≤ 2π cho x = sin α y = cos α 2.2.3 Xây dựng phương trình bất phương trình mũ 2.2.3.1 Xây dựng phương trình bất phương trình mũ dựa vào phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 2.31 Xét phương trình bậc hai 2t2 − 9t + = 2 Lấy t = 2x −x , ta 2.(2x −x )2 − 9.2x −x + = 2 Chia hai vế phương trình cho 4, ta 22x −2x−1 − 9.2x −x−2 + = Nhân hai vế phương trình với 22x+2 , ta có toán sau Bài toán 2.6 Giải phương trình 22x +1 − 9.2x +x + 22x+2 = Ví dụ 2.32 Xét phương trình bậc ba t3 − = 2 Lấy t = 2x − x , ta 2x − x − = 2 Khai triển 2x − x phương trình ta toán sau Bài toán 2.7 Giải phương trình 23x − 6.2x − 23(x−1) + 12 = 2x Ví dụ 2.33 Xét phương trình bậc bốn t4 + 2t3 − t − = Do t = nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình √ cho t ta t3 + 2t2 − − = Thay t = (2 + 3)x ta toán sau t Bài toán 2.8 Giải phương trình √ √ √ (26 + 15 3)x + 2(7 + 3)x − 2(2 − 3)x = Nhận xét 2.4 Từ phương trình toán 2.6, 2.7, 2.8 thay dấu "=" dấu ">, , ,