Một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính kì dị

Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Mơ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH KÌ DỊ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Mơ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH KÌ DỊ Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Khuất Văn Ninh Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời cảm ơn Trong trình nghiên cứu thực đề tài "Một số phương pháp giải phương trình tích phân kì tuyến tính kì dị", với say mê, cố gắng thân, với bảo tận tình thầy giáo hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành khoá luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy thầy cô giáo Khoa Toán, thầy cô giáo trường ĐHSP Hà Nội bạn sinh viên giúp đỡ em thời gian qua Do khuôn khổ thời gian trình độ thân hạn chế nên khoá luận tránh khỏi thiếu sót Kính mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để đề tài "Một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính kì dị" hoàn thiện phát triển Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Mơ i Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời cam đoan Khóa luận kết thân em đạt trình học tập nghiên cứu, dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh giúp đỡ Thầy, Cô khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy em Trong nghiên cứu, hoàn thành khóa luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài "Một số phương pháp giải phương trình tích phân kì tuyến tính kì dị" kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Mơ ii Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 1.3 1.4 Tích phân xác định 1.1.1 Tích phân xác định 1.1.2 Tích phân suy rộng loại 1.1.3 Tích phân suy rộng loại 1.1.4 Tích phân Euler Phương pháp biến đổi Laplace 10 1.2.1 Định nghĩa biến đổi Laplace 11 1.2.2 Tính chất biến đổi Laplace 12 Tính gần tích phân xác định 19 1.3.1 Đa thức nội suy 19 1.3.2 Công thức hình thang 20 1.3.3 Phương pháp Simpson 22 Phương trình tích phân kì dị 23 1.4.1 Phương trình tích phân 23 1.4.2 Phương trình tích phân kì dị 25 i Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Mơ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH KÌ DỊ 28 2.1 Phương trình tích phân Abel 29 2.1.1 Phương pháp biến đổi Laplace 29 2.1.2 Ví dụ 32 2.1.3 Bài tập 33 Phương trình tích phân Abel tổng quát 33 2.2.1 Phương pháp biến đổi Laplace 34 2.2.2 Ví dụ 36 2.2.3 Bài tập 37 Các phương trình Voterra kì dị yếu 37 2.3.1 Phương pháp biến đổi Laplace 38 2.3.2 Ví dụ 39 2.3.3 Bài tập 40 2.2 2.3 PHƯƠNG PHÁP CẦU PHƯƠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH KÌ DỊ 3.1 3.2 41 Phương trình tích phân Abel phương trình tích phân tổng quát Abel 42 3.1.1 Phương pháp cầu phương 42 3.1.2 Ví dụ 45 3.1.3 Bài tập 53 Phương trình Volterra kì dị yếu 54 3.2.1 Phương pháp cầu phương 54 3.2.2 Ví dụ 57 ii Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2.3 61 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Footer Page of 161 Bài tập Nguyễn Thị Mơ iii Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Mơ Lời mở đầu Trong Toán học ứng dụng thường bắt gặp nhiều toán có liên quan đến việc giải phương trình tích phân Nó xem công cụ toán học có ứng dụng rộng rãi, không toán học mà nhiều ngành khoa học khác, ví dụ nghiên cứu phương trình tích phân nhằm giải phương trình vi phân với điều kiện biên xác định để giải số vấn đề vật lí mà phương trình vi phân mô tả tượng khuếch tán, tượng truyền, Vì vậy, việc nghiên cứu giải phương trình tích phân có vai trò quan trọng lý thuyết Toán học Có hai phương pháp giải phương trình tích phân: Phương pháp giải tích cho nghiệm toán dạng biểu thức giải tích Phương pháp số cho nghiệm gần toán dạng bảng số Luận văn gồm ba chương Chương "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại số kiến thức tích phân xác định, tích phân suy rộng loại loại 2, tích phân Euler, phương pháp biến đổi Laplace, công thức tính gần tích phân xác định Một số khái niệm phương trình tích phân, phương trình tích phân kì dị Chương "Phương pháp biến đổi Laplace giải phương trình tích phân tuyến tính kì dị" trình bày phương pháp biến đổi Laplace giải loại phương trình tích phân tuyến tính kì dị Sau đưa ví dụ tập để áp dụng phương pháp Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Mơ Chương "Phương pháp cầu phương giải phương trình tích phân tuyến tính kì dị" trình bày phương pháp cầu phương giải loại phương trình tích phân tuyến tính kì dị Sau đưa ví dụ tập để áp dụng phương pháp Tác giả luận văn chân thành cảm ơn PGS TS Khuất Văn Ninh tận tình hướng dẫn tác giả đọc tài liệu tập dượt nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn thầy cô giáo góp ý chi tiết cách trình bày số kết khoá luận Tác giả chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Giải tích, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học đại học thực khóa luận Hà Nội, ngày 04/05/2016 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Mơ Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức giải tích cổ điển, khái niệm tích phân xác định, tích phân suy rộng loại 2, tích phân Euler, phương pháp biến đổi Laplace, công thức tính gần tích phân xác định phương pháp cầu phương Nội dung chương cần thiết cho việc trình bày nội dung chương sau 1.1 1.1.1 Tích phân xác định Tích phân xác định Định nghĩa 1.1 (xem [5], trang 249) Cho hàm số f (x) xác định bị chặn khoảng đóng [a, b], chia [a, b] thành khoảng nhỏ điểm chia: x0 ≡ a < x1 < x2 < < xi−1 < xi < < xn ≡ b Đặt ∆xi = xi − xi−1 , λ = max ∆xi 1≤i≤n Footer Page 10 of 161 Header Page 56 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Mơ Từ đó, tính u1 ≈ 0, 009264 i = : g(t) = u(t) (0, − t) Ta có g(t)dt + g(t)dt = 0,2 g(t)dt ≈ 0,2 0,1 0,2 g(t)dt, (3.28) 0,1 g(0) + g(0, − η) g(0, − η) + g(0, − η) (0, − η) + (0, 1) 2 0,2 u0 0, − η u1 0, − η u2 0, + + 1 2 (0, + η) η4 0, (3.29) u0 0, − η 0, − η u2 0, u1 + + 1 2 (0, + η) η4 0, (3.30) g(t)dt = Như f (0, 2) = Ta tính u2 ≈ 0, 039201 Hoàn toàn tương tự ta có: i = 3, 4, ta tính được: u3 ≈ 0, 092284, u4 ≈ 0, 166074, u5 ≈ 0, 258956 Từ chương trước ta tìm nghiệm xác toán u(x) = x2 Như vậy, ta có nghiệm toán cho Bảng (3.2) so sánh với nghiệm xác x 128 11 Phương trình x4 = u(t)dt: 231 (x − t) u(xi ) nghiệm xác xi , ui nghiệm gần xi , Footer Page 56 of 161 49 Header Page 57 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Mơ ∆ui = |u(xi ) − ui | Bảng 3.2: 3.2 u(xi ) = x2 ui i xi ∆u 0 0 0,1 0,01 0,009264 0,000736 0,2 0,04 0,039201 0,000799 0,3 0,09 0,092284 0,002284 0,4 0,16 0,166074 0,006074 0,5 0,25 0,258956 0,008956 Ví dụ 3.1.3 Giải phương trình tích phân Abel sau: x x2 = √ u(t)dt, x ∈ [0; 0, 5], u(0) = x−t (3.31) Với x ∈ [0; 0, 5] Ta chia đoạn [0; 0, 5] thành phần nhau: x0 = 0, x1 = 0, 1, , x5 = 0, 5; i = 0, 5; h = 0, Với η = 0, 01 Với i = Thay vào công thức (3.8) ta có 0, = u u √0 +√ 0, 0, 01 0, − 0, 01 , (3.32) ta tính u1 ≈ 0.093697 Với i = Thay vào công thức (3.11) ta có u0 0, − 0, 01 u1 0, − 0, 01 u2 0, 01 0, 2 = √ +√ +√ , 2 0, 0, + 0, 01 0, 01 (3.33) ta tính u2 ≈ 0, 184837 Footer Page 57 of 161 50 Header Page 58 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Mơ Tiếp tục với i = 3, 4, Thay vào công thức (3.12) ta thu giá trị: u3 ≈ 0, 287869, u4 ≈ 0, 388384, u5 ≈ 0, 488770 Từ chương trước ta tìm nghiệm xác toán u(x) = x Như vậy, ta có nghiệm toán cho Bảng (3.3) so sánh với nghiệm xác x Phương trình x = √ u(t)dt : x−t Bảng 3.3: 3.3 u(xi ) = x ui i xi ∆u 0 0 0,1 0,1 0,093697 0,006303 0,2 0,2 0,184837 0,015163 0,3 0,3 0,287969 0,012131 0,4 0,4 0,388384 0,011616 0,5 0,5 0,488770 0,01123 Ví dụ 3.1.4 Giải phương trình tích phân Abel sau: x πx + x = √ u(t)dt, x ∈ [0; 0, 5], u(0) = x−t (3.34) Với x ∈ [0; 0, 5] Ta chia đoạn [0; 0, 5] thành phần nhau: x0 = 0, x1 = 0, 1, , x5 = 0, 5; i = 0, 5; h = 0, Với η = 0, 01 Với i = Thay vào công thức (3.8), ta có π0, + 0, = u u √0 +√ 0, 0, 01 ta tính u1 ≈ 0.442763 Footer Page 58 of 161 51 0, − 0, 01 , (3.35) Header Page 59 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Mơ Với i = Thay vào công thức (3.11) ta có u0 0, − 0, 01 u1 0, − 0, 01 u2 0, 01 π0, + 0, 2 = √ +√ +√ , 2 0, 0, + 0, 01 0, 01 (3.36) ta tính u2 ≈ 0, 613186 Tiếp tục với i = 3, 4, Thay vào công thức (3.12) ta thu giá trị: u3 ≈ 0, 827315, u4 ≈ 1, 013657, u5 ≈ 1, 189633 Từ chương trước ta tìm nghiệm xác toán √ u(x) = x + x Như vậy, ta có nghiệm toán so sánh với nghiệm xác cho Bảng (3.4) x Phương trình πx + x = √ u(t)dt: x−t i xi 0 Bảng 3.4: 3.4 √ u(xi ) = x + x ui ∆u 0 0,1 0,416228 0,442763 0,026535 0,2 0,647214 0,613186 0,034028 0,3 0,847723 0,827315 0,020408 0,4 1,032456 1,013657 0,018799 0,5 1,207107 1,189633 0,017474 Ví dụ 3.1.5 Giải phương trình tích phân Abel tổng quát sau: x x3 = (x − t) u(t)dt, x ∈ [0, 0, 5], u0 = (3.37) Với x ∈ [0; 0, 5] Ta chia đoạn [0; 0, 5] thành phần nhau: Footer Page 59 of 161 52 Header Page 60 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Mơ x0 = 0, x1 = 0, 1, , x5 = 0, 5; i = 0, 5; h = 0, Với η = 0, 01 Với i = Thay vào công thức (3.8) ta 0, = u0 0, + u1 0, 01 0, − 0, 01 , (3.38) ta tính u1 ≈ 0, 107729 Với i = Thay vào công thức (3.11) ta có u1 0, − 0, 01 u2 0, u0 0, − 0, 01 0, = + + , 2 2 (0, + 0, 01) 0, 0, 01 (3.39) ta tính u2 ≈ 0, 202917 Tương tự với i = 3, 4, Thay vào (3.12) ta tính u3 ≈ 0, 310535, u4 ≈ 0, 415966, u5 ≈ 0, 520774 Từ chương trước ta tìm nghiệm xác toán u(x) = x Như vậy, ta có nghiệm toán cho Bảng (3.5) so sánh với nghiệm xác Phương trình x = 3.1.3 x (x − t) u(t)dt: Bài tập Bài 1: Giải phương trình tích phân Abel sau, lấy x ∈ [0; 0, 5] π x = x √ u(t)dt, x−t Footer Page 60 of 161 u(0) = 53 Header Page 61 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Mơ Bảng 3.5: 3.5 i xi u(xi ) = x ui ∆u 0 0 0,1 0,1 0,107729 0,007729 0,2 0,2 0,202917 0,002917 0,3 0,3 0,310535 0,010535 0,4 0,4 0,415966 0,015966 0,5 0,5 0,520774 0,020774 x √ 2 x + x = π (x2 − x) = √ x √ u(t)dt, x−t u(t)dt, x−t u(0) = u(0) = Bài 2: Giải phương trình tích phân Abel tổng quát sau, lấy x ∈ [0; 0, 5] 432 17 x6 = 935 24 x = 25 x5 = 36 3.2 3.2.1 x (x − t) x (x − t) x (x − t) u(t)dt, u(0) = u(t)dt, u(0) = u(t)dt, u(0) = Phương trình Volterra kì dị yếu Phương pháp cầu phương Xét phương trình tích phân x u(x) = f (x) + Footer Page 61 of 161 54 u(t)dt (x − t)α Header Page 62 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Mơ Phương pháp cầu phương sử dụng trên, chi tiết tính chất có chương trước Nhắc lại: Áp dụng công thức hình thang Cho x ∈ [0, a] Ta chia đoạn [0, a] thành n phần nhau: a x0 = 0, x1 = h, , xn = a; i = 0, n; h = n Khi xi u(t)dt (xi − t)α (3.40) g(0) + g(xi − η) (xi − η) (3.41) u(xi ) = f (xi ) + u(t) (xi − t)α Với < η < h, ta có Đặt g(t) = xi −η xi g(t)dt ≈ i = : g(t) = g(t)dt ≈ u(t) (x1 − t)α Ta có x1 g(t)dt ≈ g(0) + g(x1 − η) u1 x1 − η u0 (x1 − η) = + x1 α η α (3.42) Ta tính u(x1 ) = f (x1 ) + Footer Page 62 of 161 u0 u1 x1 − η + x1 α η α 55 (3.43) Header Page 63 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Mơ Ở ta lấy x1 ≈ x1 − η hay u(x1 ) ≈ u1 Như u1 = f (x1 ) + u1 x1 − η u0 + x1 α η α (3.44) Từ ta tính u1 i = : g(t) = u(t) (x2 − t)α Ta có x2 x1 g(t)dt = x2 g(t)dt ≈ x2 g(t)dt + g(t)dt (3.45) x1 g(x1 − η) + g(x2 − η) g(0) + g(x1 − η) (x1 − η) + (x2 − x1 ) 2 x2 g(t)dt = u0 x1 − η u1 x2 − η u2 x2 − x1 + + α x2 α (x2 − x1 + η)α η (3.46) Như ta có u2 = f (x2 ) + x2 − η u2 x2 − x1 u0 x1 − η u1 + + α (3.47) x2 α (x2 − x1 + η)α η Ta tính u2 Hoàn toàn tương tự với i = n, ta có: un = f (xn ) + Footer Page 63 of 161 u0 x1 − η u1 x2 − η u2 (x2 − x1 ) + + xn α (xn − x1 + η)α (xn − x2 + η)α un xn − xn−1 (3.48) + + α η 56 Header Page 64 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Mơ Ta tính un Do ta có nghiệm gần dạng bảng số (u0 , u1 , u2 , , un ), sau ta so sánh với nghiệm xác tìm theo phương pháp biến đổi Laplace chương trước 3.2.2 Ví dụ Ví dụ 3.2.1 Sử dụng phương pháp cầu phương để giải phương trình tích phân Volterra kì dị yếu sau: x √ √ u(x) = − x + u(t)dt, x ∈ [0; 0, 5], u(0) = x−t (3.49) Giải: Với x điểm bất thường, ta có x−η x √ u(t)dt ≈ x−t √ u(t)dt x−t (3.50) Với x ∈ [0; 0, 5], ta chia đoạn [0; 0, 5] thành phần nhau: x0 = 0, x1 = 0, 1, , x5 = 0, 5; i = 0, 5; h = 0, Khi xi u(xi ) = f (xi ) + K(xi , t)u(t)dt (3.51) u(t)dt xi − t (3.52) hay xi √ u(xi ) = f (xi ) + Đặt g(t) = √ u(t) xi − t Footer Page 64 of 161 57 Header Page 65 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Mơ Với η = 0, 01, ta có xi −η xi g(t)dt ≈ g(0) + g(xi − η) (xi − η) g(t)dt ≈ (3.53) i = : g(t) = √ u(t) 0, − t Ta có 0,1 g(t)dt ≈ g(0) + g(0, − η) u1 0, − η u0 (0, − η) = √ +√ η 0, (3.54) Ta tính u0 u1 0, − η u(0, 1) = f (0, 1) + √ +√ η 0, (3.55) Ở ta lấy 0, ≈ 0, − η hay u(0, 1) ≈ u1 Như u0 u1 0, − η u1 = f (0, 1) + √ +√ η 0, (3.56) Từ đây, với η = 0, 01, u0 = ta tính u1 ≈ 0, 926994 i = : g(t) = √ u(t) 0, − t Ta có 0,2 0,1 g(t)dt = 0,2 g(t)dt ≈ 0,2 g(t)dt + g(t)dt (3.57) 0,1 g(0) + g(0, − η) g(0, − η) + g(0, − η) (0, − η) + 0, 2 Footer Page 65 of 161 58 Header Page 66 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Mơ 0,2 u0 0, − η u1 u2 0, 0, − η g(t)dt = √ + + √ (0, + η)α η 0, (3.58) Như ta có u0 0, − η u2 = f (0, 2) + √ + 0, 0, − η u2 0, +√ (3.59) η (0, + η) u1 Ta tính u2 ≈ 0, 943441 Hoàn toàn tương tự ta có: i = 3, 4, ta tính được: u3 ≈ 0, 926687, u4 ≈ 0, 899382, u5 ≈ 0, 859600 Từ chương trước ta tìm nghiệm xác toán u(x) = Như vậy, ta có nghiệm toán cho Bảng 3.6 so sánh với nghiệm xác √ x √ Phương trình u(x) = − x + u(t)dt: x−t u(xi ) nghiệm xác xi , ui nghiệm gần xi , ∆ui = |u(xi ) − ui | Bảng 3.6: 3.6 u(xi ) = ui i xi ∆u 0 1 0,1 0,926994 0,073006 0,2 0,943441 0,056559 0,3 0,926687 0,073313 0,4 0,899382 0,100618 0,5 0,859600 0,1404 Ví dụ 3.2.2 Sử dụng phương pháp cầu phương để giải phương trình Footer Page 66 of 161 59 Header Page 67 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Mơ tích phân Volterra kì dị yếu sau: x 27 u(x) = x2 − x + 40 1 (x − t) u(t)dt, x ∈ [0; 0, 5], u(0) = (3.60) Với x ∈ [0; 0, 5] Ta chia đoạn [0; 0, 5] thành phần nhau: x0 = 0, x1 = 0, 1, , x5 = 0, 5; i = 0, 5; h = 0, Với η = 0, 03 Với i = Thay vào công thức (3.45) ta u1 = f (0, 1) + u0 0, 1 + u1 η 0, − η , (3.61) ta tính u1 ≈ 0, 009993 Với i = Thay vào công thức (3.48) ta u2 = f (0, 2) + u1 u0 0, − η 0, − η u2 0, + + , 1 2 (0, + η) η3 0, (3.62) ta tính u2 ≈ 0, 038664 Tương tự, với i = 3, 4, 5, thay vào (3.49) ta tính được: u3 ≈ 0, 094659, u4 ≈ 0, 152236, u5 ≈ 0, 233487 Từ chương trước ta tìm nghiệm xác toán u(x) = Như vậy, ta có nghiệm toán cho Bảng (3.7) so sánh với nghiệm xác x 27 Phương trình u(x) = x2 − x + u(t)dt: 40 (x − t) Footer Page 67 of 161 60 Header Page 68 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2.3 Nguyễn Thị Mơ Bảng 3.7: 3.7 u(xi ) = x2 ui i xi ∆u 0 0 0,1 0,01 0,009993 0,000007 0,2 0,04 0,038664 0,001336 0,3 0,09 0,094659 0,004659 0,4 0,16 0,152236 0,007764 0,5 0,25 0,233487 0,016513 Bài tập Giải phương trình tích phân Volterra kì dị yếu sau, lấy x ∈ [0; 0, 5] u(x) = √ x √ x − 2πx + u(t)dt, x−t u(0) = x 16 2 u(x) = x − x + √ u(t)dt, 15 x−t u(0) = x 16 x4 + u(t)dt, 21 (x − t) u(0) = u(x) = x − Footer Page 68 of 161 61 Header Page 69 of 161 Kết luận Trong khóa luận em tóm tắt số kiến thức liên quan, trình bày phương pháp giải tích, phương pháp số để giải phương trình tích phân tuyến tính kì dị, áp dụng tính số ví dụ Vấn đề nghiên cứu nhiều điều thú vị bổ ích Tuy nhiên lần đầu nghiên cứu khoa học với vốn kiến thức thời gian có hạn, em mong góp ý quý thầy cô bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Footer Page 69 of 161 62 Header Page 70 of 161 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh(2002), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Minh Chương, Ya D Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2004), Giáo trình giải tích tập 3, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006), Toán học cao cấp tập 2, NXB Khoa học Kĩ thuật Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [6] Abdul-Majid Wazwaz (2011), Linear and Nonlinear Integral Equation, Higher Education Press, Beijing and Springer-Verlag Berlin Heidelberg Footer Page 70 of 161 63 ... phương trình tích phân kì dị Chương "Phương pháp biến đổi Laplace giải phương trình tích phân tuyến tính kì dị" trình bày phương pháp biến đổi Laplace giải loại phương trình tích phân tuyến tính. .. x∈[a,b] 1.4 1.4.1 Phương trình tích phân kì dị Phương trình tích phân Một phương trình tích phân phương trình mà hàm ẩn u(x) xuất dấu tích phân Dạng chuẩn tắc phương trình tích phân Footer Page... lại số kiến thức tích phân xác định, tích phân suy rộng loại loại 2, tích phân Euler, phương pháp biến đổi Laplace, công thức tính gần tích phân xác định Một số khái niệm phương trình tích phân,