4 Thuật toán kiểu điểm gần kề cho bài toán (M V I)
4.2.1Thuật toán
Ta nhắc lại thuật toán điểm gần kề (P P A) cho bài toán (M V I) như sau: [7] Cho trước xk ∈C, bước lặp tiếp theo xk+1 được sinh bởi (P P A) là nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân phụ:
Tìm x∈C, w∈F(x) : hw+M(x−xk), y−xi ≥0,∀y∈C, (4.2) trong đó M là ma trận đối xứng, xác định dương và M(x−xk) được gọi là hàm xấp xỉ trong (P P A). Hàm xấp xỉ tuyến tính này là gradient của một hàm toàn phương, cụ thể là hàm
M(x−xk) = ∇(1
2||x−xk||2M).
Gần đây, một số tác giả đã tập trung nghiên cứu dạng tổng quát của (P P A) bằng cách thay thế hàm tuyến tính M(x−xk) bằng hàm phi tuyến d(x, xk), bắt nguồn từ hàm xấp xỉ Bregman.
Trong chương này, ta xét phương pháp (P P A) giải bài toán (M V I) với M là ma trận xác định dương nhưng không cần đối xứng và F là ánh xạ đa trị nhưng không cần giả thiết Lipschitz trênC.
Kí hiệuS∗là tập nghiệm của (M V I), ta giả sử rằng (M V I) luôn có nghiệm(x∗, w∗), nghĩa là S∗ 6=∅.
Định nghĩa 4.1. Ma trận Mn×n được gọi là xác định dương, nếu tồn tại τ > 0 sao cho
hM x, xi ≥τ kxk2, ∀x∈Rn. (4.3) Trong toàn chương này, ta giả sử rằng ánh xạ F là đơn điệu và nửa liên tục trên trên C,F(x) là một tập lồi, đóng với mọix∈C.
Thuật toán 4.3. . [6]
Bước 0. Cho trước ma trận xác định dương M cỡ n×n, ε > 0, x0 ∈ C, w0 ∈F(x0). Cho k:= 0.
Bước 1. Tìm điểm gần kề (x¯k, wk) là nghiệm của bài toán phụ (M V Ik):
Tìm x¯∈C,w¯∈F(¯x) : hw¯+M(¯x−xk), y−x¯i ≥0,∀y ∈C. (4.4) Nếu kxk−x¯k k≤ε, thì dừng thuật toán.
Ngược lại, chuyển sang bước 2.
Bước 2. Tính xk+1=xk−αkM(xk−x¯k) (4.5) với αk∗ = hM(xk−x¯k), xk −x¯ki kM(xk −x¯k)k2 , αk =γα∗k, γ ∈[1,2) (4.6) Đặt k :=k+ 1 và trở lại bước 1.
Nhận xét 4.2. Bài toán phụ (4.4) trong bước 1 tương tự như bài toán phụ (4.2) của (P P A), chỉ khác là ma trận M trong (4.4) là xác định dương nhưng không cần đối xứng. Do vậy, phương pháp đề xuất là dạng tổng quát của (P P A)- phương pháp cơ sở với hàm xấp xỉ tuyến tính.
Nhận xét 4.3. Khi xét lời giải của bài toán(4.4)ta thấy việc tính toán thêm cho bước lặp xk+1 thông qua (4.5)−(4.6) là khá đơn giản.
Nghiệm của bài toán(4.4), x¯k là điểm gần kề trong bước lặp thứk. Nó được xem như một véc tơ kiểm tra, bởi vì nó là nghiệm của bài toán (M V I) khi và chỉ khi xk = ¯xk. Thực tế là khi ta cố định ma trận M, kxk−x¯k k có thể xem như hàm sai số bị chặn, nghĩa là, hàm này tính xem có nhiêu điểm x¯k không là nghiệm của (M V I).
Mệnh đề 4.3. Trong bước 1 của thuật toán 4.3, nếu kxk−x¯k k≤ε thì xk là nghiệm của bài toán (M V I), với sai số ε.
Bổ đề sau cho ta một số tính chất quan trọng của phép chiếu sẽ sử dụng trong phần tiếp theo.
Bổ đề 4.1. Với mỗi x, y ∈Rn, ánh xạ PC thỏa mãn
hPC(x)−x, y−PC(x)i ≥0,∀y∈C (4.7)
kPC(x)−yk2≤kx−yk2 − kx−PC(x)k2,∀y∈C. (4.8) 4.2.2 Sự hội tụ của thuật toán
Như đã biết, với mỗix∗∈S∗,(xk−x∗)là gradient của hàm khoảng cách 1
2 kx−x∗k2 tại điểm xk 6∈S∗. Một hướng d được gọi là hướng giảm của 1
2 kx−x∗ k2 tại điểm xk nếu
hxk −x∗, di<0.
Trong phần này chúng ta sẽ chỉ ra rằng −M(xk−x¯k) là một hướng giảm của hàm khoảng cách 1
2 kx−x∗ k2 tại điểm xk.
Bổ đề 4.2. Cho x¯k là điểm gần kề được sinh bởi (4.4) từ xk ∈C cho trước. Khi đó, với mỗi x∗ ∈S∗, ta có
hM(xk−x¯k), xk−x∗i ≥ hM(xk−x¯k), xk −x¯ki. (4.9) Chứng minh Vì x¯k ∈C là nghiệm của (4.4)nên (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
hw¯k +M(¯xk−xk), y−x¯ki ≥0, ∀y∈C. Thay y bởix∗ ∈C vào bất đẳng thức trên, ta được
hw¯k+M(¯xk−xk), x∗−x¯ki ≥0, ∀y∈C. (4.10) Mặt khác, vì x∗∈S∗, w∗∈F(x∗),x¯k ∈C suy ra
Kết hợp (4.10) và (4.11) ta được
hM(¯xk −xk), x∗−x¯ki ≥ hw¯k −w∗,x¯k −x∗i, và sử dụng tính đơn điệu của F suy ra
hM(¯xk −xk), x∗−x¯ki ≥0 Do đó hM(xk−x¯k), xk−x∗i ≥ hM(xk−x¯k), xk −x¯ki. 2 Do M là ma trận xác định dương và (4.3), ta có hM(xk−x¯k), xk −x¯ki ≥τ kxk −x¯k k2.
Khi đó, bổ đề 4.2 chỉ ra rằng−M(xk−x¯k) là hướng giảm của hàm 1
2 k x−x∗ k2 tại điểm xk 6∈S∗.
Nhận xét 4.4. Nếu ma trận M trong (4.4) đối xứng, thì từ (4.9), ta suy ra: kx¯k−x∗ k2M=k(xk−x∗)−(xk −x¯k)k2M
=kxk−x∗ k2M −2hM(xk−x¯k), xk−x∗i+kxk −x¯k k2M ≤ kxk−x∗ k2M − kxk −x¯k k2M .
Vì vậy, ta có thể đặt trực tiếp xk+1 := ¯xk như là bước lặp mới và sự hội tụ được suy ra từ bất đẳng thức trên. Tuy nhiên, trong trường hợp M là ma trận không đối xứng, chúng ta không thể thiết lập được tính hội tụ khi trực tiếp lấy xk+1 := ¯xk như là bước lặp mới. Trong phương pháp đề xuất, bước lặp mới xk+1 được xác định bởi (4.5)có mức độ tính toán đơn giản.
Để giải thích vì sao ta có bước tối ưu α∗k được định nghĩa trong (4.6), thay vì tính theo công thức (4.5), ta xác định bước lặp mới như sau:
Theo cách này thì
θ(α) :=kxk−x∗ k2− kxk+1(α)−x∗ k2, (4.13) là hàm lợi ích thu được tại bước lặp thứ k bằng cách sử dụng công thức dạng (4.12). Vìx∗ là nghiệm của bài toán (M V I) nên ta không thể làm cực đạiθ(α)một cách trực tiếp. Định lí sau đây sẽ chỉ ra cận dưới của θ(α), kí hiệu là q(α), mà cận này không chứa nghiệm x∗. Định lí 4.4. Với mọi x∗ ∈S∗ và α≥0, ta có θ(α)≥q(α), (4.14) trong đó q(α) = 2αhM(xk−x¯k), xk−x¯ki −α2kM(xk−x¯k)k2 . (4.15) Chứng minh Kết hợp (4.12),(4.13),(4.14) và (4.15), ta có θ(α) = kxk−x∗k2 − k(xk−x∗)−αM(xk −x¯k)k2 =2hM(xk−x¯k), xk −x∗i −α2 kM(xk−x¯k)k2 ≥2hM(xk−x¯k), xk −x¯ki −α2 kM(xk −x¯k)k2 =q(α). Định lí được chứng minh. 2.
Chú ý rằng, q(α) là hàm bậc hai theo α và do đó nó đạt giá trị lớn nhất tại điểm αk∗ = hM(xk −x¯k), xk−x¯ki
kM(xk−x¯k)k2 ,
Đây chính là α∗k được định nghĩa trong (4.6). Bởi vì bất đẳng thức được sử dụng trong chứng minh của (4.14) nên trong quá trình tính toán ta choγ ≥1để thuật toán hội tụ nhanh hơn. Chú ý rằng, với mỗiαk =γα∗k thì từ (4.14),(4.15) và (4.6), ta suy ra
θ(γα∗k)≥q(γα∗k) = γ(2−γ)αk∗hM(xk −x¯k), xk−x¯ki. (4.16)
Định lí dưới đây chỉ ra quan hệ giữa dãy {xk} sinh bởi thuật toán và nghiệm bất kì của bài toán (M V I).
Định lí 4.5. Với mỗi (x∗, w∗)∈S∗, dãy {xk} sinh bởi thuật toán 4.3 thỏa mãn kxk+1−x∗ k2≤kxk−x∗ k2 −c0 kxk−x¯k k2, (4.17) trong đó c0 >0 là hằng số.
Chứng minh Trước hết, ta suy ra từ (4.13) và (4.16) rằng
kxk−x∗ k2− kxk+1−x∗ k2≥γ(2−γ)α∗khM(xk−x¯k), xk −x¯ki, (4.18) Vậy nên kxk+1−x∗ k2≤kxk −x∗k2 −γ(2−γ)α∗khM(xk−x¯k), xk−x¯ki. Vì hM(xk−x¯k), xk−x¯ki ≥τ kxk−x¯k k2, (4.19) nên αk∗ =hM(xk −x¯k), xk−x¯ki kM(xk−x¯k)k2 ≥ τ kMTM k Kết hợp với(4.19), ta được α∗khM(xk−x¯k), xk−x¯ki ≥ τ 2 kMTM k kx k−x¯k k2. (4.20)
Thay bất đẳng thức này vào (4.18) và đặt
c0 = γ(2−γ)τ2
kMTM k,
thì ta được điều phải chứng minh. 2
Định lí dưới đây chỉ ra sự hội tụ của dãy {(xk, wk)}.
Định lí 4.6. Dãy {xk}và {wk} sinh bởi thuật toán 4.3 hội tụ tớix∞ vàw∞ là nghiệm của bài toán (M V I).
Chứng minh Ta suy ra từ(4.17) rằng, dãy{kxk−x∗ k}không tăng và bị chặn dưới bởi 0, nên nó phải hội tụ. Do đó, dãy {xk} bị chặn. Cũng từ (4.17) ta suy ra
lim
k→∞ kxk−x¯k k= 0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Và do đó {x¯k} cũng bị chặn. Vậy nên theo tính chất nửa liên tục dưới củaF, ta có dãy {wk} cũng bị chặn. Theo định lí Weierstrass, tồn tại dãy con {x¯kj} của {x¯k} và {wkj} của {wk} sao cho x¯kj → x∞ và wkj → w∞. Với mỗi x¯kj ∈C, wkj ∈ F(¯xkj), ta có hwkj+M(¯xkj−xkj), x−x¯kji ≥0,∀x∈C. Vì F(x) là đóng với mọi x∈C và lim j→∞ kxkj −x¯kj k= 0, nên ta có x∞∈C, w∞ ∈F(x∞) : hw∞, x−x∞i ≥0,∀x∈C,
và vì vậy (x∞, w∞) là nghiệm của bài toán (M V I). Chú ý rằng bất đẳng thức (4.17) đúng với mọi nghiệm của (M V I), nên
kxk+1−x∞ k2≤kxk−x∞k2,∀k≥0,
và do đó dãy {xk} hội tụ tới x∞. 2
4.3 Áp dụng thuật toán ánh xạ co Banach cho (M V I)
Trong mục này, ta sẽ kết hợp thuật toán 4.3 với nguyên lí ánh xạ co Banach để giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị (M V I), trong đó hàm giá F đơn điệu, Lipschitz trên C. Các bài toán phụ (V Ik) là các bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh với hằng vố ||M||. Khi đó, bài toán này có thể được giải một cách có hiệu quả bằng thuật toán ánh xạ co Banach. Với mỗi x ∈ C, k = 0,1,2,· · ·, kí hiệu Fk(x) := F(x) +M(x−xk).
Thuật toán 4.4. .
Đặt k = 0. Chọn β > 2kLM2k.
Bước 1. Bước lặp thứ j, j = 0,1,2,· · ·. Chọn xk,0 = x0, wk,0 ∈ Fk(xk,0) và giải bài toán quy hoạch lồi mạnh
xk,j :=argmin{1
2β kx−xk,j k2 +hwk,j, x−xk,ji |x∈C} thu được nghiệm duy nhất xk,j+1.
Nếu xk,j+1 =xk,j thì đặt x¯k :=xk,j, wk :=wk,j.
Ngược lại, chọn wk,j+1 ∈Fk(xk,j+1), cho j :=j+ 1 và trở lại bước lặp j. Nếu x¯k =xk thì dừng thuật toán.
Ngược lại, chuyển sang bước 2.
Bước 2. Tính xk+1 =xk −αkM(xk−x¯k), (4.21) với αk∗ = hM(xk−x¯k), xk−x¯ki kM(xk−x¯k)k2 , αk =γαk∗, γ ∈[1,2). (4.22) Đặt k :=k+ 1 và trở lại bước 1.
Sự hội tụ của dãy{xk,j}∞j=1trong bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh (V Ik) được cho bởi mệnh đề sau.
Mệnh đề 4.4. Giả sử F là L-Lipschitz trên C. Nếu thuật toán 4.4 dừng tại bước lặp
j trong bước 1 thì (xk, wk) là nghiệm của (V Ik). Hơn nữa, với (xk,∗, wk,∗) là nghiệm của (V Ik), ta có
kxk,j−xk,∗k≤ δ
j
1−δj kxk,1−xk,0 k ∀j = 1,2,· · · và mọi điểm tụwk,∗của dãy{wk,j}thỏa mãnwk,∗ ∈Fk(xk,∗), trong đóδ :=
q
1− k2Mβk + kML2k2. Mệnh đề 4.4 chỉ ra rằng, thuật toán 4.4 dừng tại bước 1. Nghĩa là, xk,j là nghiệm
của (V Ik). Theo định lí 4.4, ta có kết quả hội tụ của thuật toán 4.4 dưới đây.
Định lí 4.7. Dãy {xk}và {wk} sinh bởi thuật toán 4.4 hội tụ tớix∞ vàw∞ là nghiệm của bài toán (M V I).
Bây giờ ta sẽ minh họa thuật toán vừa nêu bằng bài toán kinh tế bán độc quyền đã nêu ở chương 1.
Giả sử tập chiến lược C là một tập lồi đa diện chứa trong Rn được cho bởi C :={x∈Rn |13≤ n X i=1 xi≤25,1≤xi ≤5 i= 1,2,· · · , n}. (4.23) Trước hết ta nhắc lại một số kết quả.
Mệnh đề 4.5. Một điểm x∗ là một điểm cân bằng của bài toán kinh tế bán độc quyền khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán (M V I), trong đó C là một tập lồi đa diện được cho bởi (4.23) và
F(x) =H(x)−p(σ)e−p0(σ)x,
trong đó (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
H(x) = (h01(x1),· · · , h0n(xn))T, e= (1,· · · ,1)T, σ=hx, ei.
Mệnh đề 4.6. Cho p:C →R+ là hàm lồi, khả vi liên tục cấp hai và không tăng; hàm
µτ : R+ →R+ được định nghĩa bởi µτ(σ) = σp(σ+τ) là hàm lõm với mọi τ ≥ 0. Ta cũng cho hi : R+→ R i= 1,2,· · ·, n, là hàm lồi và khả vi liên tục cấp hai. Khi đó, hàm chi phí F(x) = H(x)−p(σ)e−p0(σ)x đơn điệu trên C.
Dễ thấy, hàm chi phí F là Lipschitz trên C với hằng số Lipschitz L <1. Trong ví dụ này, ta chọn (có thể chọn ngẫu nhiên)
n := 7, H(x) = (2x1+ 1,3x2+ 4,4x3+ 2,1.5x4+ 3,4x5+ 1, x6−2,3x7+ 1)T, p(t) := 2 3t, t ∈(0,+∞), x0 := (1.9,1,1,1,1,5,1)T ∈C, Sai số ε= 10−6, M = 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 1.5 0 0 3 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 1.6 2 0 0 0 0 1 0 2 7×7
Khi đó, giá trị riêng của ma trận M là 2,3,1.5,1.6,3.4142,0.5858,1 và chuẩn của M là k M k= 6.6248 và β > L
2
2kM k ≈ 0.755. Nếu ta chọn β = 1 thì δ ≈ 0.7209. Trong trường hợp này, ta được các bước lặp sau.
Bước lặp(k) xk1 xk2 xk3 xk4 xk5 xk6 xk7 0 1.9 1 1 1 1 5 1 1 2.0475 1.0417 1.0246 1.6452 1.1338 5.0954 1.4095 2 2.0364 0.9797 0.9285 1.5003 1.0200 4.9796 1.3394 3 2.0558 1.0043 1.0409 1.5263 1.0573 5.0158 1.3717 4 2.0898 1.0170 0.9878 1.5089 1.0774 5.0317 1.4046 5 2.0813 0.9914 0.9858 1.4641 1.0368 4.9905 1.3784 6 2.0864 0.9997 1.0128 1.4741 1.0490 5.0025 1.3887 7 2.0903 1.0034 1.0072 1.4761 1.0543 5.0074 1.3948 8 2.0906 0.9983 0.9919 1.4641 1.0462 4.9989 1.3917 9 2.0920 1.0005 1.0036 1.4664 1.0493 5.0019 1.3946 10 2.0943 1.0017 0.9991 1.4648 1.0509 5.0029 1.3979 11 2.0933 0.9993 0.9982 1.4608 1.0472 4.9992 1.3955 12 2.0938 1.0000 1.0011 1.4617 1.0483 5.0003 1.3964 13 2.0940 1.0003 1.0003 1.4619 1.0487 5.0007 1.3970 14 2.0939 0.9998 0.9996 1.4608 1.0479 4.9998 1.3965 15 2.0940 1.0000 1.0003 1.4610 1.0482 5.0001 1.3968 Bảng 2 (với n = 7, = 10−6, β= 1, δ≈0.7209). Nghiệm xấp xỉ thu được sau 15 bước là
x15= (2.0940,1.0000,1.0003,1.4610,1.0482,5.0001,1.3968)T Kết luận chương
Chương này đã trình bày các nội dung cơ bản về ánh xạ đơn điệu cực đại, thuật toán điểm gần kề để tìm không điểm của một ánh xạ đơn điệu cực đại và một phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị. Phương pháp này được dựa trên thuật toán điểm gần kề với M là một ma trận xác định dương không cần thiết phải đối xứng. Đầu tiên, chúng tôi đề xuất thuật toán và chứng minh sự hội tụ của thuật toán. Tiếp theo, chúng tôi kết hợp kỹ thuật này với phương pháp lặp Banach để giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị. Các kết quả tính toán được thực hiện bởi phần mềm Matlab 2008Ra cho thấy tính hiệu quả của thuật toán được đề xuất.
Kết luận
Như đã trình bày ở trên, bài toán bất đẳng thức biến phân có vai trò quan trọng để nghiên cứu và giải các bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính, vận tải, lí thuyết trò chơi, bài toán cân bằng mạng, · · ·. Bài toán bất đẳng thức biến phân có nhiều hướng nghiên cứu và cách tiếp cận khác nhau. Luận văn này trình bày phương pháp xấp xỉ trong và phương pháp kiểu điểm gần kề giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị. Nội dung chính đã được trình bày trong luận văn bao gồm:
•Nhắc lại một số khái niệm và tính chất của giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân,· · ·. Đồng thời, trình bày các khái niệm về ánh xạ đa trị liên tục, Lipschitz theo khoảng cách Hausdorff và một số ví dụ minh họa.
•Phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị (M V I), các bài toán liên quan và sự tồn tại nghiệm của bài toán.
•Trình bày phương phấp xấp xỉ trong giải bài toán (M V I) giả đơn điệu, Lipschitz. Phần tiếp theo là sự kết hợp giữa phương pháp này với kỹ thuật tìm kiếm theo kiểu Armijo để giải bài toán (M V I) mà không có điều kiện Lipschitz.
•Đề xuất thuật toán kiểu điểm gần kề giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị (M V I), chứng minh sự hội tụ của thuật toán và trình bày ví dụ minh họa cho thuật toán đã đề xuất.
Danh mục các công trình có liên quan đến luận văn
P. N. Anh, J. K. Kim, D. T. Binh and D. H. Phuc, Proximal Point Algorithm Using a Linear Proximal Function for nonLipschitzian Multivalued Variational Inequalities , Submitted 2010.
Tài liệu tham khảo Tiếng Việt
[1] Lê Dũng Mưu,Nhập môn các phương pháp tối ưu, Nxb Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 1998.
[2] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, Giải tích lồi, Nxb Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 2000.
[3] Nguyễn Đông Yên, Giáo trình Giải tích đa trị, Nxb Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, 2007.
Tiếng Anh
[4] Anh P. N., An Interior Proximal Method for Solving Pseudomonotone nonLips- chitzian Multivalued Variational Inequalities, Nonlinear Analysis Forum 14, (2009), 27-42.
[5] Anh P. N., Muu L.D. and Strodiot J. J.,Generalized Projection Method for Non- Lipschitz Multivalued Monotone Variational Inequalities, Acta Mathematica Viet-