về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ LỆ THỦY VỀ MỘT LỚP BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - - - - - - - - - - - - - - - - - - VŨ LỆ THỦY VỀ MỘT LỚP BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2014 1 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 4 1.1 Phát biểu bài toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert . . . . 4 1.1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân. . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Các trường hợp riêng và ví dụ thực tế. . . . . . . . . . 7 1.2 Sự tồn tại nghiệm và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 20 2.1 Phát biểu bài toán và các kiến thức bổ trợ. . . . . . . . . . . 20 2.2 Thuật toán và sự hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 Mở đầu Bất đẳng thức biến phân là một vấn đề quan trọng của Toán học Ứng dụng. Bài toán này có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau. Ngoài ra, nhiều bài toán quan trọng như tối ưu lồi, bài toán bù, các bài toán phương trình vi phân và đạo hàm riêng v.v đều có thể mô tả dưới dạng một bất đẳng thức biến phân. Bất đẳng thức biến phân đã được bắt đầu nghiên cứu từ thập kỷ 60 của thế kỷ trước, tuy nhiên bài toán này vẫn là một vấn đề thời sự vì vai trò quan trọng của nó trong lý thuyết toán học và trong ứng dụng thực tế. Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng là xây dựng các phương pháp giải. Gần đây bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp mà một trường hợp riêng quan trọng là bài toán cực tiểu một chuẩn trên tập nghiệm của một bất đẳng thức biến phân đang được nhiều người quan tâm nghiên cứu. Bài toán này xuất hiện trong nhiều vấn đề khác nhau, ví dụ trong vấn đề hiệu chỉnh bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu. Việc giải bài toán này không thể áp dụng trực tiếp được bằng các phương pháp giải bất đẳng thức biến phân thông thường (một cấp) đã có, do cấu trúc lồng nhau và phụ thuộc nhau của bài toán hai cấp. Mục đích của bản luận văn này là giới thiệu một cách cơ bản về bài toán bất đẳng thức biến phân. Đặc biệt luận văn đi sâu vào một thuật toán giải bài toán cực tiểu hàm chuẩn trên tập nghiệp của bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu. Thuật toán được trình bày ở luận văn được lấy từ một bài báo gần đây của tác giả Bùi Văn Định và Lê Dũng Mưu ở tạp chí ACTA Mathematica Vietnamica. Đây là một thuật toán dựa trên phương pháp chiếu kết hợp với kỹ thuật tìm kiếm Armijo và siêu phẳng cắt để thu được sự hội tụ mạnh trong không gian Hilbert. Bản luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo còn có hai chương. Chương 1 có tiêu đề "Bài toán bất đẳng thức biến phân." Trong 3 chương này tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về bài toán bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan. Tiếp đó là một số kết quả về việc sử dụng toán tử đơn điệu trong việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Chương 2 có tiêu đề là: "Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp" Chương này giành để trình bày các kiến thức cơ bản về một bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp và chủ yếu trình bày một thuật toán dựa theo nguyên lý bài toán phụ kết hợp với kỹ thuật tìm kiếm theo tia và siêu phẳng cắt để giải bài toán này. Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu. Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy, Thầy đã dành nhiều thời gian trực tiếp tận tình hướng dẫn cũng như giải đáp những thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn. Qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn các Thầy, Cô tại Đại học Thái Nguyên và tại Viện toán học đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học. Cuối cùng tôi xin cảm ơn tới cơ quan, gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm động viên, tạo điều kiện và ủng hộ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn tốt nghiệp. Thái Nguyên, ngày 21 tháng 6 năm 2014. Tác giả Vũ Lệ Thủy 4 Chương 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân Trong toàn bộ chương này, chúng ta sẽ làm việc trên không gian Hilbert thực H. Trước tiên ta trình bày một số kiến thức cơ bản về bài toán bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan. Tiếp đó là một số kết quả về việc sử dụng toán tử đơn điệu trong việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Các kiến thức trong chương này được lấy trong tài liệu [1], [2], [3], [4], [6], [7], [8]. 1.1 Phát biểu bài toán và ví dụ 1.1.1 Một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính. Tích vô hướng xác định trên H là một ánh xạ được xác định: ., . : H ×H −→ R x, y −→ x, y. thỏa mãn các điều kiện sau: i. x, y = y, x với mọi x, y ∈ H; ii. x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H; iii. αx, y = αx, y với mọi x, y ∈ H. và α ∈ R; iv.αx, x ≥ 0 với mọi x ∈ H, x, x = 0 ⇔ x = 0. x, y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y. Cặp (H, ., .) được gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không gian 5 Unita). Sự hội tụ, khái niệm tập mở, ,trong (H, ., .) luôn được gắn với chuẩn sinh bởi x, y. Nếu không gian định chuẩn tương ứng đầy đủ thì ta nói (H, ., .) là không gian Hilbert. Định lý 1.1. Cho H là không gian tiền Hilbert, với mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau: | x, y | 2 ≤ x, xy, y, bất đẳng thức này gọi là bất đẳng thức Schwarz. Định lý 1.2. Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó:  x =  x, x, x ∈ H, xác định một chuẩn trên H. Định lý 1.3. Cho H là không gian Hilbert, khi đó: ., . : H ×H −→ R, là một hàm liên tục. Định lý 1.4. Với mọi x, y trong không gian tiền Hilbert, ta có:  x + y  2 +  x −y  2 = 2( x  2 +  y  2 ). Định nghĩa 1.2. Hai vectơ x, y ∈ H được gọi là hai vectơ trực giao với nhau, kí hiệu là x ⊥ y, nếu x, y = 0. Từ định nghĩa dễ dàng suy ra các tính chất sau: i. 0 ⊥ x, ∀x ∈ X; ii. x ⊥ y ⇒ y ⊥ x; iii. x ⊥ {y 1 , y 2 , . . . , y n } ⇒ x ⊥ α 1 y 1 + α 2 y 2 + . . . + α n y n , n ∈ N ∗ , α i ∈ R, i = 1, 2, . . . , n; iv. x ⊥ y n , y n → y khi n → ∞ thì x ⊥ y. Định nghĩa 1.3. Cho tập M ⊂ H, phần bù trực giao của M, kí hiệu M ⊥ là tập hợp sau: M ⊥ = {x ∈ H : x ⊥ y, ∀y ∈ H}. 6 Định lý 1.5. (Tích vô hướng sinh bởi chuẩn). Cho (X,  · ) là một không gian tuyến tính định chuẩn trên không gian Hilbert H. Giả sử với mọi x, y ∈ X, thỏa mãn:  x + y  2 +  x −y  2 = 2( x  2 +  y  2 ). Khi đó trên X có một tích vô hướng thỏa mãn x, x = x  2 . Định nghĩa 1.4. Cho A là một toán tử trong không gian Hilbert H, ánh xạ: A ∗ : H → H xác định như sau: ∀y ∈ H, A ∗ y = y ∗ ; trong đó: Ax, y = x, A ∗ y = x, y ∗ . Khi đó A ∗ được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A. Định lý 1.6. (Định lí F. Riesz). Với mỗi vectơ a cố định thuộc không gian Hilbert H hệ thức: f(x) = a, x. (1.1) Xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) trên không gian Hilbert H với:  f = a  . (1.2) Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) nào trên không gian Hilbert H cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng (1.1), trong đó a là một vectơ của H thỏa mãn (1.2). 1.1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân. Cho một tập con K của H và ánh xạ F : K → H. Bài toán bất đẳng thức được kí hiệu là V IP(K; F ) là bài toán tìm x ∗ sao cho: x ∗ ∈ K,  F (x ∗ ), x − x ∗  ≥ 0, ∀x ∈ K. (1.3) Tập hợp những điểm x ∗ thỏa mãn (1.3) được gọi là tập nghiệm của V IP (K; F ) và kí hiệu là SOL − V IP (K; F ). 7 1.1.3 Các trường hợp riêng và ví dụ thực tế. Một trong những lớp bài toán quan trọng và là một trường hợp riêng của bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán bù được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.5. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng trong H, K ∗ là nón đối ngẫu của K và cho ánh xạ: F : K → H. Bài toán bù, kí hiệu là NCP (K; F ) là bài toán: (NCP (K; F ))    Tìm vectơ x ∗ ∈ Ksao cho : F (x ∗ ) ∈ K ∗  x ∗ , F (x ∗ )  = 0 Tập hợp nghiệm của NCP (K; F ) được kí hiệu là SOL − NCP (K; F ). Mệnh đề 1.1. Nếu K là một nón lồi, đóng trong H thì tập nghiệm của bài toán NCP (K; F ) và bài toán V IP (K; F ) là trùng nhau, tức là: SOL − V IP(K; F ) = SOL − NCP (K; F ). Chứng minh Giả sử x ∗ ∈ SOL − V IP (K; F ). Theo định nghĩa ta có:  x ∗ ∈ K;  F (x ∗ ), x − x ∗  ≥ 0, ∀x ∈ K. Bằng cách lấy x = 0 ∈ K suy ra:  F (x ∗ , −x ∗ )  ≥ 0. (1.4) Bằng cách lấy x = 2x ∗ ∈ K ta thu được:  F (x ∗ ), x ∗  ≥ 0. (1.5) Từ (1.4) và (1.5) ta kết luận:  F (x ∗ ), x ∗  = 0. (1.6) Mặt khác từ định nghĩa ta có: 0 ≤  F (x ∗ ), x − x ∗  =  F (x ∗ ), x  −  F (x ∗ ), x ∗  =  F (x ∗ ), x  , ∀x ∈ K. Điều này chứng tỏ: F (x ∗ ) ∈ K ∗ . Kết hợp với (1.6) ta có: x ∗ ∈ SOL − NCP (K; F ); hay: SOL − V IP(K; F ) ⊂ SOL − NCP (K; F ). 8 Ngược lại, giả sử x ∗ ∈ SOL − NCP (K; F ). Theo định nghĩa ta có:  F (x ∗ ) ∈ K ∗ ;  x ∗ , F (x ∗ )  = 0. Mặt khác vì F (x ∗ ) ∈ K ∗ nên với mọi x ∈ K ta có:  F (x ∗ ), x − x ∗  =  F (x ∗ ), x  −  F (x ∗ ), x ∗  =  F (x ∗ ), x  ≥ 0. Điều này suy ra: x ∗ ∈ SOL − V IP (K; F ); hay SOL − NCP (K; F ) ⊂ SOL − V IP (K; F ). Kết luận lại ta có: SOL − V IP(K; F ) = SOL − NCP (K; F ). Mệnh đề được chứng minh. Định nghĩa 1.6. Cho K là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong H và ánh xạ F : K → K. Điểm ¯x ∈ K được gọi là điểm bất động của ánh xạ F nếu thỏa mãn điều kiện: F ( ¯ x) = ¯x. BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI. Cho K là tập lồi, đóng, khác rỗng trong H và f : K → R là một hàm lồi trên K. Bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau: Tìm x ∗ ∈ K : f(x ∗ ) = minf(x) | x ∈ K. (OP) Mệnh đề 1.2. Giả sử : f : K → R là hàm lồi khả vi trên tập lồi K ∈ H. Khi đó x ∗ ∈ K là nghiệm của bài toán (OP) khi và chỉ khi x ∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân: Tìm x ∗ ∈ K sao cho  ∇f(x ∗ ), x − x ∗  ≥ 0, ∀x ∈ K; trong đó: ∇f(x ∗ ) là đạo hàm của f tại x ∗ . Ta xét các ví dụ thực tế của bài toán bất đẳng thức biến phân. [...]... cuộc sống Bài toán này bao hàm được các bài toán quan trọng khác như bài toán tối ưu lồi, bài toán bù, một số bài toán trong vật lý toán Gần đây bài toán hai cấp tìm khoảng cách ngắn nhất từ một điểm cho trước đến tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân đang là một vấn đề thời sự Do bài toán này xuất hiện trong một số vấn đề như vấn đề hiệu chỉnh trong các bài toán bất đẳng thức biến phân giả... mãn bất đẳng thức: uR < R 20 Chương 2 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp Trong chương này chúng ta sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về một bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp và chủ yếu trình bày một thuật toán dựa theo nguyên lý bài toán phụ kết hợp với kỹ thuật tìm kiếm theo tia và siêu phẳng cắt để giải bài toán này Sự hội tụ mạnh của thuật toán được chứng minh ở cuối chương Các kiến thức. .. kiến thức cơ bản nhất về bài toán bất đẳng thức biến phân Cụ thể trong Chương 1 trình bày sự tồn tại nghiệm, tính chất đặc trưng của tập nghiệm Ngoài ra cũng giới thiệu một số trường hợp riêng của bài toán bất đẳng thức biến phân và các mô hình có thể mô tả dưới dạng một bất đẳng thức biến phân Chương 2 giới thiệu bài toán hai cấp tìm khoảng cách ngắn nhất từ một điểm cho trước lên tập nghiệm của bài toán. .. là bài toán cấp trên và bài toán (2.2) là bài toán cấp dưới Cần biết rằng tập nghiệm S của bài toán cấp dưới (2.2) là tập lồi, khi F giả đơn điệu trên K Tuy nhiên khó khăn nằm ở chỗ là dù tập nghiệm này lồi nhưng nó không được cho dưới dạng tường minh như là các bài toán 21 quy hoạch thông thường Do đó các phương pháp đã có của tối ưu lồi và bất đẳng thức biến phân không thể áp dụng để giải bài toán. .. biểu bài toán và các kiến thức bổ trợ Xét bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (V Is): min x − xg : x ∈ S, trong đó xg ∈ S = u ∈ K : F (u), y − u ≥ 0, ∀y ∈ K ; (2.1) tức là: S là tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân V IP (K, F ) được định nghĩa là: Tìm x∗ ∈ K sao cho F (x∗ ), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ K (2.2) Giả sử K là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Rn và F : Rn −→ Rn Chúng ta gọi bài toán. .. toán và sự hội tụ Dưới đây sẽ trình bày một thuật giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (VIs) Thuật toán là một sự kết hợp giữa phương pháp đạo hàm tăng cường và kỹ thuật cắt cho bài toán hai cấp Thuật toán : Chọn ρ > 0 và η ∈ (0, 1) Lấy x1 := xg ∈ K (xg là nghiệm dự đoán trước) Tại bước lặp k(k = 1, 2 ) có xk ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Giải bài toán quy hoạch lồi mạnh min 1 F (xk ),... nghiệm của bất đẳng thức (1.20) là một tập con lồi đóng của tập K Định lý 1.14 (Xem [7]) Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H; cho F : K → H là ánh xạ đơn điệu và liên tục trên các không gian con hữu hạn chiều Điều kiện cần và đủ để tồn tại một nghiệm của bất đẳng thức biến phân: u ∈ K; F u, v − u ≥ 0, ∀v ∈ K, 19 là tồn tại số R > 0 sao cho có ít nhất một nghiệm của bất đẳng thức biến phân: uR... khi j → ∞ Từ đó, theo thuật toán xkj = PBkj −1 (xg ) ta có: xkj − xg , y − xkj ≥ 0 ∀y ∈ Bkj −1 ⊇ S, ∀j Cho j → ∞ ta có: x∗ − xg , y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ S Mặt khác x∗ ∈ S =⇒ x∗ = PS (xg ) Do đó, toàn bộ dãy phải hội tụ đến nghiệm duy nhất của Bài toán (2.1) Từ uk − xk → 0 kéo theo uk hội tụ về nghiệm của (2.1) 31 Kết luận Bất đẳng thức biến phân là một bài toán quan trọng trong toán học ứng dụng vì nó xuất... của bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (K; F ), và x∗ = x Khi đó, chúng đều thỏa mãn: F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K (1.15) F (x ), x − x ≥ 0, ∀x ∈ K (1.16) Sau đó ta thế x bởi x trong (1.15) và thế x bởi x∗ trong (1.16) ta thu được: F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 F (x ), x∗ − x ≥ 0 Cộng bất đẳng thức vừa có ta thu được: F (x∗ ) − F (x ), x − x∗ ≥ 0, hay F (x∗ ) − F (x ), x∗ − x ≤ 0 (1.17) Nhưng bất đẳng thức. .. yếu trong H và ánh xạ P : K → K là liên tục yếu Khi đó có ít nhất một điểm x ∈ K sao cho x = P (¯) Nói một cách khác, tồn tại ít ¯ ¯ x nhất một điểm bất động của ánh xạ P Định lý 1.10 Cho K là một tập không rỗng, lồi, compact yếu trong H và F : K → H là ánh xạ liên tục yếu Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (K; F ) có ít nhất một nghiệm Chứng minh Theo định nghĩa, việc chứng minh định lý tương . còn có hai chương. Chương 1 có tiêu đề " ;Bài toán bất đẳng thức biến phân. " Trong 3 chương này tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về bài toán bất đẳng thức biến phân và các bài toán. thức biến phân hai cấp& quot; Chương này giành để trình bày các kiến thức cơ bản về một bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp và chủ yếu trình bày một thuật toán dựa theo nguyên lý bài toán. phương pháp giải. Gần đây bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp mà một trường hợp riêng quan trọng là bài toán cực tiểu một chuẩn trên tập nghiệm của một bất đẳng thức biến phân đang được nhiều