Nguyên lý bài toán phụ giải bất đẳng thức biến phân

Nguyên lý bài toán phụ giải bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM VĂN DŨNG

NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ

GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM VĂN DŨNG

NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ

GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU

Mục lục

1.1 Phát biểu bài toán 6

1.2 Sự tồn tại nghiệm 7

1.3 Một số bài toán dẫn đến bất đẳng thức biến phân 14

1.3.1 Bài toán quy hoạch lồi 14

3.1.2 Hàm đánh giá Fukushima 353.1.3 Hàm đánh giá không ràng buộc ( D - Gap function ) 403.2 Thuật toán dựa trên hàm đánh giá 433.2.1 Thuật giải toán dựa trên hàm đánh giá γcd(.) 433.2.2 Thuật toán dựa trên hàm đánh giá Fukushima γc(.) 44

Mở đầu

Bất đẳng thức biến phân được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khácnhau như kinh tế, kỹ thuật, vận trù học, vật lý toán Gần đây, bài toán tối ưuvới ràng buộc bất đẳng thức biến phân (còn gọi là ràng buộc cân bằng) cũnglà một đề tài được nhiều người quan tâm nghiên cứu vì vai trò quan trọngcủa nó trong lý thuyết toán học và trong ứng dụng thực tế.

Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bất đẳng thức biếnphân là việc xây dựng phương pháp giải Có rất nhiều phương pháp giải bấtđẳng thức biến phân đã được nghiên cứu như: phương pháp địa phương vàtoàn cục dựa trên việc chuyển bài toán về hệ phương trình, phương pháp dựatrên kỹ thuật hàm chắn, phương pháp dựa trên cách tiếp cận điểm bất động Mục đích của luận văn này nhằm trình bày các thuật toán giải bất đẳngthức biến phân dựa trên phương pháp hình chiếu và phương pháp hàm đánhgiá.

Luận văn gồm 3 chương Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản vềbất đẳng thức biến phân, điều kiện tồn tại nghiệm và một số bài toán dẫnđến bất đẳng thức biến phân.

Trong chương 2 sẽ giới thiệu thuật toán hình chiếu cho các bài toán bấtđẳng thức biến phân đơn điệu, mà cụ thể là phương pháp đạo hàm tăng cườngvà phương pháp hình chiếu siêu phẳng.

Chương 3 sẽ đưa ra các thuật giải bất đẳng thức biến phân dựa vào hàmđánh giá Các thuật toán dựa trên hàm đánh giá Anslender và hàm đánh giáhiệu chỉnh Fukushima.

Lời cảm ơn

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS Lê DũngMưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến Thầy về công tácgiảng dạy cùng với sự hướng dẫn tận tình trong thời gian tác giả học cao họcvà hoàn thành luận văn.

Trong quá trình học tập, tác giả đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và sựgiảng dạy nhiệt tình của PGS Đỗ Văn Lưu, PGS Lê Thị Thanh Nhàn, PGS.Tạ Duy Phượng, GS Trần Vũ Thiệu, TS Nguyễn Thị Thu Thủy, cùng nhiềuThầy, Cô công tác tại Viện Toán Học, Viện Công Nghệ Thông Tin, Trườngđại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến các Thầy, các Cô.

Xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thị Thu Thủy đã động viên, giúp đỡtác giả rất nhiều trong suốt quá trình học tập.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy, Cô giáo Trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên.

Tác giả xin chân thành cảm ơn BGH trường Cao đẳng sư phạm ĐăkLăk,BCN khoa Tự Nhiên, đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giảhọc cao học.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các anh chị, các bạn học viên cao học, bạnbè, đồng nghiệp, các học trò Đặc biệt cảm ơn học trò Trần Thị Cẩm Nhungvà Nguyễn Thị Thạch Thảo, đã giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình họctập và hoàn thành luận văn.

Luận văn này sẽ không được hoàn thành nếu thiếu sự thông cảm, chia sẻ

và sự động viên kịp thời của gia đình Xin gửi tới gia đình lời cảm ơn chânthành và sâu sắc.

Tác giả

Phạm Văn Dũng

Chương 1

Bài toán bất đẳng thức biến phân

Bất đẳng thức biến phân (được viết tắt là - VIP) là một công cụ mạnh, đượcsử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng Nhiều bàitoán về lý thuyết tối ưu, kinh tế và vật lý toán đều dẫn đến bài toán bất đẳngthức biến phân.

1.1 Phát biểu bài toán

Bài toán VIP về mặt hình thức được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.1.1 ( Xem [7] Định nghĩa 1.1) Cho một tập con K của Rn

và ánh xạ F : K −→ Rn.

Bài toán bất đẳng thức biến phân được ký hiệu là V IP (K; F ), là bài toántìm x∗ sao cho:

x∗ ∈ K, hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ K (1.1)Tập hợp những điểm x∗thỏa mãn (1.1) được gọi là tập nghiệm của V IP (K; F )và ký hiệu là SOL − V IP (K; F ).

Sau đây, chúng ta luôn giả sử rằng K là tập lồi đóng và F là ánh xạ liêntục trên K.

Do K là một tập lồi nên:1

2(ηk + ηh) ∈ K,và

d2 ≤ kx − 1

2(ηk + ηh)k

2,vì vậy:

kηk− ηhk2 ≤ 2kx − ηkk2 + 2kx − ηhk2 − 4d2,và từ (1.3) ta kết luận rằng:

k→∞kηk− ηhk = 0.Do đó, có một giá trị y ∈ K sao cho

ky − y0k2 = 2kx − yk2 + 2kx − y0k2 − 4kx − 1

2(y + y

≤ 4d2 − 4d2 = 0,hay:

Định lý 1.2.3 ( Xem [4] Định lý 2.3) Cho K là tập lồi đóng trong khônggian Rn, thì y = P rKx là hình chiếu của x lên K khi và chỉ khi:

y ∈ K : hy, η − yi ≥ hx, η − yi ∀η ∈ K (1.5)

Chứng minh: Cho x ∈ Rn và y = P rKx ∈ K, vì K lồi nên(1 − t)y + tη = y + t(η − y), ∀η ∈ K, 0 ≤ t ≤ 1

Hệ quả 1.2.4 ( Xem [4] Hệ quả 2.4) Cho K là một tập lồi đóng trongkhông gian Rn, thì P rK là toán tử không giản, tức là:

kP rKx − P rKx0k ≤ kx − x0k, x, x0 ∈ Rn.

Chứng minh: Cho trước x, x0

∈ Rn, cho y = P rKx và y0 = P rKx0, lúcnày:

Theo định nghĩa của Φ, thì:

x∗ = Φ(x∗) = PK(x∗ − F (x∗)).Theo tính chất của hình chiếu và định lý 1.2.3, ta có:

hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ K.Vậy bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1) có nghiệm.

2Chú ý rằng bài toán (1.1) không phải luôn luôn có nghiệm khi K khôngbị chặn, ví dụ nếu K = R, thì bài toán

F (x)(y − x) ≥ 0 ∀y ∈ Kkhông có nghiệm khi F (x) = ex.

Định lý sau đây là điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm.Cho tập lồi K 6= ∅, đặt KR = K ∩P

R trong đó PR là hình cầu đóng bánkính R và tâm O ∈ Rn Khi đó KR là tập compact Vậy theo định lý 1.2.5,ta có:

xR ∈ KR : hF (xR), y − xRi ≥ 0 ∀y ∈ KR (1.6)Định lý 1.2.6 ( Xem [4] Định lý 4.2) Cho K ⊂ Rn là tập lồi, đóng và ánhxạ:

F : K −→ Rn

liên tục trên K Điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm của bài toán bấtđẳng thức biến phân (1.1) là tồn tại một số R > 0 sao cho có một nghiệmxR ∈ KR của bài toán (1.6) thỏa mãn:

Chøng minh: Râ rµng lµ nÕu tån t¹i mét nghiÖm x cña bµi to¸n (1.1) th× xlµ mét nghiÖm cña bµi to¸n (1.6), miÔn lµ:

HÖ qu¶ 1.2.7 ( Xem [4] HÖ qu¶ 4.3) NÕu F : K −→ Rn tháa m·n:hF (x) − F (x0), x − x0i

Chứng minh: Chọn H > |f(x0)| và R > |x0| sao cho:

x ∈ K : hF (x), y − xi ≥ 0 ∀y ∈ K,

x0 ∈ K : hF (x0), y − x0i ≥ 0 ∀y ∈ K.Từ đây ta thấy, nếu:

hF (x) − F (x0), x − x0i > 0 miễn là x, x0 ∈ K, x 6= x0 (1.10)Vậy, điều kiện (1.10) kéo theo tính duy nhất nghiệm Điều kiện (1.10)được gọi là điều kiện đơn điệu chặt.

Định nghĩa 1.2.8 ( Xem [4] Định nghĩa 4.5) Ta gọi ánh xạ F : K −→ Rn

là đơn điệu trên K nếu:

hF (x) − F (x0), x − x0i ≥ 0 ∀x, x0 ∈ K.

Ta nói F là đơn điệu chặt nếu đẳng thức chỉ xảy ra khi x=x'.

Định lý 1.2.9 ( Xem [4] Định lý 4.6) Cho F : K1 −→ Rn là một ánh xạliên tục và đơn điệu chặt của tập lồi đóng K1 ⊂ Rn Cho K2 ⊂ K1 là mộttập lồi và đóng Giả sử tồn tại nghiệm của bài toán:

xj ∈ Kj : hF (xj), y − xji ≥ 0, x ∈ Kj, J = 1, 2

(i) Nếu F (x2) = 0 thì x1 = x2

(ii) Nếu F (x2) 6= 0và x1 6= x2 thì siêu phẳng hF (x2), y − x2i = 0 tách x1

từ K2.

1.3 Một số bài toán dẫn đến bất đẳng thức biến phân.

Trong phần này, ta giới thiệu một số bài toán có liên quan đến bất đẳngthức biến phân Đặc biệt, ta xét đến mối quan hệ giữa hàm lồi và toán tử đơnđiệu.

Cho f ∈ C1

(K), K ⊂ Rn, là tập lồi đóng, và đặt:F (x) = gradf (x)(Đạo hàm của f).

1.3.1 Bài toán quy hoạch lồi

Định lý 1.3.1 ( Xem [4] Định lý 5.1) Giả sử tồn tại x ∈ K sao cho:f (x) = min

y∈Kf (y).

thì x là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân.

x ∈ K : hF (x), y − xi ≥ 0 với y ∈ K.

Chứng minh: Nếu y ∈ K thì z = x + t(y − x) với 0 ≤ t ≤ 1,

vì vậy hàm: ϕ(t) = f(x + t(y − x)), 0 ≤ t ≤ 1 đạt cực tiểu khi t = 0.Nên,

0 ≤ ϕ0(0) = hgrad f (x), y − xi = hF (x), y − xi 2Điều đảo lại cũng đúng nếu f là hàm lồi, cụ thể ta có định lý sau:

Định lý 1.3.2 ( Xem [4] Định lý 5.2) Giả sử f lồi và x thỏa mãn:x ∈ K : hF (x), y − xi ≥ 0 ∀y ∈ K,

Định lý 1.3.3 ( Xem [4] Định lý 5.3) Cho F : E −→ R1

, E ⊂ Rn, là mộthàm lồi khả vi liên tục (lồi chặt) Thì F (x) = gradf(x) sẽ đơn điệu (đơnđiệu chặt).

Chứng minh: Cho trước x, x0 ∈ E,

f (x) ≥ f (x0) + hF (x0), x − x0i,

f (x0) ≥ f (x) + hF (x), x0− xi.Từ đó ta có:

hF (x0) − F (x), x0 − xi ≥ 0, x, x0 ∈ E.

Vậy F đơn điệu Cách chứng minh F đơn điệu chặt khi f lồi chặt cũngtương tự.

2Tuy nhiên, không phải tất cả các toán tử đơn điệu đều là đạo hàm của mộthàm lồi.

1.3.2 Bài toán hệ phương trình

Khi K là toàn bộ tập Rn, thì:

x∗ ∈ SOL − V IP (Rn; F ) ⇔ F (x∗) = 0.Thật vậy:

• Với x∗

∈ Rn và F (x∗) = 0,suy ra:

x∗ ∈ SOL − V IP (Rn; F ) : h0, x − x∗i ≡ 0 ∀x ∈ Rn.Vì vậy:

Rn∩ F−1(0) = F−1(0) ⊂ SOL − V IP (Rn; F ).

• Ngược lại: x∗

∈ SOL − V IP (Rn; F ) ⇒ hF (x∗), di ≥ 0 ∀d ∈ Rn.Đặc biệt: d ≡ −F (x∗) ⇒ F (x∗) = 0.

Kết quả sau cho biết mối liên hệ giữa V IP (K; F ) và NCP (K; F ).

Mệnh đề 1.3.5 ( Xem [7] Mệnh đề 1.1) Cho K là một nón lồi trong Rn.Ta có:

SOL − V IP (K; F ) = SOL − N CP (K; F ).

Chøng minh:

• =⇒ SOL − V IP (K; F ) = SOL − N CP (K; F )Gi¶ sö:

x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ),râ rµng,

x∗ ∈ K.B»ng c¸ch lÊy x = 0 ∈ K, trong (1.1) ta cã:

hF (x∗), −x∗i ≥ 0

LÊy x = 2x∗ ∈ K, trong (1.1), ta cã ®­îc:hF (x∗), x∗i ≥ 0,

suy ra:

hF (x∗), x∗i = 0,nãi c¸ch kh¸c ®iÒu nµy cho thÊy:

F (x∗) ∈ K.ThÕ nªn:

x∗ ∈ SOL − N CP (K; F ).

• ⇐= SOL − N CP (K; F ) ⊂ SOL − V IP (K; F )Gi¶ sö:

x∗ ∈ SOL − N CP (K; F ),ta cã:

2.1 Điểm bất động

Chúng ta bắt đầu với phương pháp hình chiếu cơ bản nhất, dựa trên địnhlý Banach về điểm bất động Ta giả sử rằng:

•K ⊂ Rn là tập lồi đóng•F : K → Rn liên tục trên KTa biết rằng:

x∗ ∈ V IP (K; F ) ⇔ FKnat(x∗) ≡ x∗ − PK[x∗ − F (x∗)] = 0.Trong đó: PK là hình chiếu trên K.

xk+1 ≡ PK[xk − F (xk)]

và cho k ←k+1; rồi trở lại bước 1.

Định lý sau đảm bảo cho sự hội tụ của ALGO − 1:

Định lý 2.1.1 ( Xem [7] Định lý 3.1) Cho K ⊂ Rn là tập lồi đóng Giả sửtồn tại L > 0 và β > 0 sao cho:

hF (x) − F (y), x − yi ≥ βkx − yk2, ∀x, y ∈ K (2.1)( F đơn điệu mạnh trên K với hệ số β )

k F (x) − F (y)k ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ K (2.2)

( F liên tục Lipschitz trên K với hằng số L).Khi đó, nếu:

h F (x) − F (y), x − yi ≥ αkx − yk2,nê ta có:

1 + L2 − 2α

Từ đây ta thấy rằng, nếu:

1 + L2 − 2α < 1

tức là:

< 2α,thì ánh xạ:

x → PK[x − αF (x)]là ánh xạ co.

2Trong thuật toán ALGO − 1 độ dài bước cố định là 1 Thuật toán sauđây cho phép thay đổi độ dài bước ở mỗi bước lặp.

Thuật toán hình chiếu cơ bản với độ dài bước biến thiên: ALGO − 2Cho: x0 ∈ K, t0 > 0.

Bước 0: Cho k = 0.

Bước 1: Nếu: xk = PK[xk− t0F (xk)], dừng xk là nghiệm.Bươc2: Trái lại, chọn tk > 0.

xk+1 ≡ PK[xk− tkF (xk)] (2.4)và cho k←k+1 rồi trở lại bước 1.

Sự lựa chọn của {tk} là yếu tố quan trọng cho sự hội tụ của ALGO − 2Ta nhắc lại rằng: F là tự bức khi và chỉ khi ∃c > 0, sao cho:

h F (x) − F (y), x − yi ≥ ckF (x) − F (y)k2 ∀x, y ∈ K.

Chú ý: F đơn điệu mạnh và Lipschitz liên tục, thì F tự bức (Điều ngược lạikhông đúng).

Sự hội tụ của dãy {xk} được tạo bởi ALGO − 2 như sau:

Định lý 2.1.2 ( Xem [7] Định lý 3.2) Cho K ⊂ Rn là tập lồi đóng ChoF : K → Rn là c - tự bức trên K

Giả sử SOL − V IP (K; F ) 6= ∅Nếu

2.2 Phương pháp đạo hàm tăng cường

Như trên ta đã thấy, phương pháp chiếu cơ bản chỉ hội tụ khi F có tính tựbức Điều này làm hạn chế phạm vi ứng dụng các phương pháp này Phươngpháp đạo hàm tăng cường dưới đây cho phép giải phóng điều kiện tự bức.

Thuật toán đạo hàm tăng cường ALGO-3

Cho : x0 ∈ K và t > 0.Bước 0: Cho k = 0.Bước 1: Tính:

xk+12 ≡ PK[xk − tF (xk)].

Bước 2: Nếu xk+12 = xk thì dừng xk là nghiệm.

Trái lại, đặt:

xk+1 := PK[xk − tF (xk+12)]Cho k←k+1; trở lại bước 1.

Thuật toán trên cho phép áp dụng với F là giả đơn điệu, được định nghĩanhư sau:

Định nghĩa 2.2.1 ( Xem [7] Định nghĩa 3.1) Chúng ta nói rằng F : K →Rn là giả đơn trên K đối với SOL − V IP (K, F ) nếu:

Cho x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ) Khi đó, với mỗi k ∈ N ta có:kxk+1 − x∗k2 ≤ kxk − x∗k2 − (1 − t2L2)kxk+12 − xkk2

Dựa vào bổ đề này, chúng ta có thể thiết lập sự hội tụ của ALGO − 3.Định lý 2.2.3 ( Xem [7] Định lý 3.3) Cho K ⊂ Rn là tập lồi đóng vàcho F : K → Rn là giả đơn trên K đối với SOL − V IP (K, F ) và L-Lipschitz liên tục trên K.

Nếu 0 < t < 1

L thì dãy {xk} được tạo bởi ALGO − 3 hội tụ tới một nghiệmcủa V IP (K, F )

Chứng minh: Cho x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ) Đặt m ≡ 1 − t2L2, dot < L1, nên ta có m ∈ (0, 1) Từ bổ đề 2.2.2, dãy {xk} bị chặn Vì vậy có ítnhất một điểm giới hạn x nằm trên K.

Chúng ta cần x ∈ SOL − V IP (K; F ).

Thật vậy, từ bổ đề 2.2.2, và do m ∈ (0, 1) ta có:m

Điều này chứng tỏ rằng x ∈ SOL − V IP (K; F ) Do m ∈ (0; 1) nên theobổ đề 2.2.2, dãy {kxk − x∗k} đơn điệu, áp dụng bổ đề 2.2.2 với x∗ = x.Điều này cũng chứng minh rằng toàn bộ dãy {xk} hội tụ tại x.

áp dụng bổ đề 2.2.2 với x = x∗ để kết luận rằng dãy không âm {kxk− xk}là dãy đơn điệu giảm và do đó hội tụ.

Bởi vì:

l−→∞kxk − xk = lim

l−→∞kxk1 − xk = 0suy ra xk −→ x khi k −→ +∞, như mong muốn.

2

2.3 Phương pháp hình chiếu siêu phẳng.

Để có sự hội tụ của dãy {xk}, ta phải chọn 0 < t < 1

L, tuy nhiên, khôngphải lúc nào hằng số Lipschitz − L cũng có thể tìm được dễ dàng, và dovậy, sẽ khó khăn trong việc chọn t.

Bây giờ ta trình bày phương pháp đạo hàm tăng cường được cải tiến, saocho ta không sử dụng hằng số L - Lipschitz nữa.

Thuật toán này có thể được mô tả về mặt hình học như sau:

Cho trước xk cùng với tập lồi đóng K, F là giả đơn đối với SOL −V IP (K, F ) và t > 0

Đầu tiên, tính điểm PK[xk − tF (xk)] ≡ yk.

Sau đó, trên đoạn thẳng [xk → yk ≡ PK[xk − tF (xk)]] tìm zk bằng quy tắcArmijo.

Khi đó:

Hk ≡ {x ∈ Rn|h F (zk), x − zki = 0}tách hẳn xk từ tập SOL − V IP (K, F ).

Sau đó chúng ta chiếu xk lên Hk để tìm wk và dựa vào điểm wk trên K đểtìm điểm xk+1 ( điều này cho thấy rằng xk+1 là gần với SOL−V IP (K, F )hơn xk)

Phương pháp trên đòi hỏi 3 lần chiếu trong một phép lặp: 2 trên K và 1 trênHk ( Hình chiếu cuối cùng trên Hk được tính bởi công thức hiện).

Thuật toán hình chiếu siêu phẳng ALGO-4

Cho : x0 ∈ K, t > 0 và m ∈ (0, 1).Bước 0: Cho k = 0.

Bước 1: Nếu xk ∈ SOL − V IP (K, F ), dừng xk là nghiệm.Bước 2:

zk := 2−ikyk + (1 − 2−ik)xkvà

wk ≡ PK(xk) = xk − h F (z

kF (zk)k2 F (zk).Bước 4:

xk+1 := PK(ωk)và cho k←k+1; rồi trở lại bước 1.

• Phương pháp hình chiếu siêu phẳng có quan hệ chặt chẽ với phươngpháp đạo hàm tăng cường, bởi vì:

zk := tkyk + (1 − tk)xk

trong đó tk = 2−ik vàh F (zk), xk − zki

kF (zk)k2 = h F (zk), xk − [tkyk + (1 − tk)xk]ikF (zk)k2

= tkh F (zk), xk− zkikF (zk)k2

τk ≡ tkh F (z

kF (zk)k2 Ta có:

ωk = xk − h F (z

kF (zk)k2 F (zk) = xk − τkF (zk).Vì vậy:

(i) Tồn tại một số nguyên hữu hạn ik ≥ 0 sao cho (2.5) được thỏa mãn.Do đó, bước 2 của ALGO − 4 kết thúc hữu hạn, vì vậy phương pháp hình

chiếu siêu phẳng được xác định tốt.(ii)h F (zk), xk − zki > 0.

Bổ đề 2.3.3 ( Xem [7] Bổ đề 3.4) Cho K ⊂ Rn là tập lồi đóng khôngrỗng và F : K → Rn liên tục trên K Giả sử F giả đơn trên K đốivới SOL − V IP (K, F ).

Cho {xk} là dãy được tạo bởi ALGO − 4.Khi đó:

(i) ∀x∗ ∈ SOL − V IP (K, F ), dãy không âm {kxk− x∗k}là không giảm vàdo đó hội tụ.

(ii) Dãy {xk} bị chặn.(iii) lim

l−→∞h F (zk), xk − zki = 0

(iv) Nếu một điểm giới hạn của {xk} là nghiệm của V IP (K, F ) thì toànbộ dãy hội tụ tới một nghiệm của V IP (K, F ).

Bây giờ chúng ta chứng minh định lý hội tụ của ALGO − 4

Định lý 2.3.4 ( Xem [7] Định lý 3.4) Cho K ⊂ Rn là tập lồi đóng khôngrỗng và F : K → Rn liên tục trên K Giả sử F giả đơn điệu trên K đốivới SOL − V IP (K, F ) Ta có:

Nếu {xk} là dãy được tạo bởi ALGO − 4, thì {xk} hội tụ tới một nghiệmcủa V IP (K, F ).

Chứng minh: Để đơn giản, đặt:

tk = 2−ik

Từ bổ đề 2.3.3, ( phần (iii)), và theo định nghĩa của zk ( bước 3 của ALGO−