Phân dạng và sử dụng tính chất đặc biệt khi giải các bài toán về tam giác trong hình học phẳng

Để chinh phục được câu hình học phẳng trong đề thi học sinh giỏi và đề thi TNTHPT Quốc Gia, trước hết chúng ta cần cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản của Hình học phẳng và các tí

1 Mở đầu

1.1.Lý do chọn đề tài :

Những năm gần đây, câu hình học tọa độ trong mặt phẳng Oxy thuộc hệ thống câu hỏi phân loại, đây là loại bài tập tương đối khó đến rất khó Để giải quyết được, yêu cầu chúng ta phải phát hiện ra những tính chất đặc biệt trên hình Các tính chất đặc biệt này chủ yếu nằm trong chương trình toán học cấp THCS mà chúng ta đã học

từ lâu, vì vậy đa số các em học sinh thường không còn nhớ

Để chinh phục được câu hình học phẳng trong đề thi học sinh giỏi và đề thi TNTHPT Quốc Gia, trước hết chúng ta cần cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản của Hình học phẳng và các tính chất đặc biệt thường sử dụng khi mở nút thắt của bài toán Sau đó cần làm thật nhiều bài tập áp dụng các tính chất này Kho tàng toán học thì thật mênh mông nhưng nếu chúng ta biết cách phân loại các dạng bài toán và phân tích các hướng giải quyết thì chúng ta sẽ không cảm thấy “ngợp” cũng như thấy

“bí” trước một bài hình học phẳng

Trong hệ thống các bài toán hình học phẳng, chúng ta rất hay gặp các bài toán

về tam giác, có thể nói sự xuất hiện của chúng chiếm đến một nửa số các bài toán Tính chất về các điểm cũng như các đường trong tam giác là vô cùng nhiều và rất nhiều tính chất thú vị Do sự đa dạng, vừa hay lại vừa khó của các bài toán trong tam giác nên rất nhiều thầy cô giáo cũng như học sinh gặp khó khăn khi dạy và học phần này

Để giúp các thầy cô giáo cũng như các em học sinh có một tài liệu bổ ích về các bài toán hình học phẳng trong tam giác và chinh phục được bài này trong đề thi học sinh giỏi, các đề thi TNTHPT Quốc Gia, tôi xin chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: “PHÂN DẠNG, SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

- Cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản của Hình học phẳng và các tính chất đặc biệt thường sử dụng khi mở nút thắt của bài toán về tam giác trong hình học phẳng, giúp các em giải quyết chùm bài toán này đạt hiệu quả tốt hơn

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Các tính chất hình học đặc biệt của tam giác trong hình học phẳng

- Chùm bài toán về tam giác trong hình học phẳng

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp phân loại và hệ thống lý thuyết

- Phương pháp thực nghiệm khoa học

- Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm

1.5.Những điểm mới của SKKN:

- Phân dạng rõ ràng, mạch lạc các tính chất đặc biệt của tam giác trong hình học phẳng

- Hệ thống ngắn gọn, đa dạng các bài toán về tam giác có sử dụng tính chất đặc biệt để giải

- Chỉ ra được tính hiệu quả của vấn đề khi ứng dụng trong thực tiễn

2 Nội dung

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:

10 bài toán cơ bản của hình học phẳng:

Bài toán 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau:

Cho hai đt: d a x b y c1: 1  1  1 0,d a x b y c2: 2  2  2 0

Cách tìm: Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hpt:

0 0

a x b y c

a x b y c







Bài toán 2: Tìm tọa độ một điểm thuộc một đường thẳng và cách một điểm một khoảng không đổi:

Cho đt (d): ax+by+c=0 Tìm tọa tọa độ điểm M thuộc (d) sao cho IM=l>0, với I cho trước

Cách tìm: - Do M thuộc (d) nên gọi tọa độ M(theo một ẩn t)

-Giải PT IM=l ta tìm được t, từ đó tìm được tọa độ M

Lưu ý nếu đề cho hoành độ hoặc tung độ M thỏa mãn điều kiện nào đó để loại bớt trường hợp

Bài toán 3: Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một điểm cho trước.

Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua I

Cách tìm: I là trung điểm của đoạn MM’: Suy ra: '

'

2 2







Bài toán 4: Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng cho trước.

Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đt (d):

Các bước tìm:

-Viết pt đt (d’) đi qua M và vuông góc với (d),

-Tìm tọa độ I là giao điểm của (d) và (d’),

-Tìm tọa độ M’ sao cho I là trung điểm của đoạn MM’

Bài toán 5: Kiểm tra tính cùng phía hay khác phía của hai điểm đối với một đường thẳng

Kiểm tra tính cùng phía hay khác phía của hai điểm A, B đối với đt (d): ax+by+c=0

Cách làm:

-Đặt T= ax+by+c

-Tính T A ax A by A c T; B ax B by B c

-Nếu T T  thì A,B cùng phía đối với (d) A B 0

-Nếu T T  thì A,B khác phía đối với (d)0

Bài toán 6: Viết pt đt đi qua một điểm và tạo với một đt cho trước góc 

Cách làm:

Viết pt đt (d) đi qua M(x0;y0) và tạo với một đt (d’): ax+by+c=0 cho trước góc  -Gọi VTPT của (d) là n p q( ; ), (p2 q2 0), VTPT của (d’) là '( ; )n a b

-Khi đó: os( ; ') os( ; ') 2 2 2 2 os

ap bq



 

-Từ pt này ta được pt đẳng cấp bậc hai đối với p, q Chọn được p, q và suy ra pt

đt cần tìm

Bài toán 7: Viết pt đường phân giác của góc tạo bởi hai đt cắt nhau

Viết pt đường phân giác của góc tạo bởi hai đt cắt nhau (d): ax+by+c=0 và (d’): a’x+b’y+c’=0

Cách làm:

-Gọi điểm M(x;y) thuộc đường phân giác cần tìm Khi đó: d(M;d)=d(M;d’)

'

-Chuyển vế rút gọn PT trên ta được pt hai phân giác cần tìm

Bài toán 8: Viết pt đường phân giác trong, ngoài của góc của một tam giác

Viết pt đường phân giác trong, ngoài của góc A của tam giác ABC

Cách làm:

-Viết pt TQ của đt AB và AC,

- Viết pt đường phân giác của góc A tạo bởi hai đt cắt nhau AB và AC

-Xét một trong hai phân giác là (d):

Nếu B, C khác phía đối với (d) thì (d) là phân giác trong của góc A Khi đó phân giác còn lại là phân giác ngoài

Nếu B, C cùng phía đối với (d) thì (d) là phân giác ngoài của góc A Khi đó phân giác còn lại là phân giác trong

Bài toán 9: Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm của tam giác.

Bài toán: Cho tam giác ABC, biết tọa độ 3 đỉnh Tìm tọa độ trọng tâm, trực

tâm của tam giác ABC

Cách làm:

Gọi G là trọng tâm tam giác Khi đó G có tọa độ là:

( ; )

Gọi H(a;b) là tọa độ trực tâm tam giác Ta tìm a, b từ hệ pt: . 0

AH BC

BH AC









 

 

Bài toán 10: Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác

Cách làm: Gọi I(a;b) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta tìm tọa độ M, N là trung điểm của BC và AC

Khi đó ta tìm a, b từ hệ pt: . 0

IM BC

IN AC









 

 

Gọi J(a;b) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi D là chân đường cao hạ từ A

Ta tìm tọa độ D từ đẳng thức: BD AB.DC

AC



Tương tự ta tìm tọa độ J từ đẳng thức: AJ AB.JD

BD



2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

- Rất nhiều học sinh đã quên các kiến thức về hình học phẳng, nên nhiều khi chỉ xác định làm phần cơ bản, chủ yếu mang tính chất nhận biết (6điểm) của đề thi Quốc gia

- Với thực tế tuyển sinh hiện nay và những năm tới thì 6, 7 điểm môn Toán không thể cho các em một tỷ lệ cao để đậu vào học trường các em mong muốn Tôi trăn trở và viết đề tài này với hy vọng sẽ giúp các em có hứng thú cũng như sẽ chinh phục đượcbài toán hình học phẳng, liên quan đến hình học phẳng trong đề thi Quốc Gia

- Đây cũng là vấn đề khó trong những bài toán dành cho học sinh giỏi, nên cần đưa ra một vài phương pháp tiếp cận dễ dàng hơn cho người học cũng như người dạy

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Phân dạng và sử dụng tính chất đặc biệt khi giải các bài toán về tam giác trong hình học phẳng.

Dạng 1: Sử dụng 10 tính chất đặc biệt trong tam giác để giải các bài toán hình học phẳng.

Tính chất 1 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I, H là trực tâm, gọi H’ là

giao điểm của (I) với đt AH CMR : H’ đối xứng với H qua BC

Bài giải :

Ta có : BAH HCB (cùng phụ với ABC )

Lại có: BAC BCH '

Suy ra : BCH H CB ' Do đó BC là trung

trực của HH’

hay H’ đối xứng với H qua BC.(đpcm)

H I

C B

A

H'

Tính chất 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tron (I), H là trực tâm Kẻ đường

kính AA’, M là trung điểm BC CMR: AH  2.IM

Bài giải: Ta có : ABA ' 900(góc nội tiếp chắn nửa đtr (I) )

'

BA BA

  , mà BA CH  BA CH'/ / (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có : CA’ //BH (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCA’ là

hình bình hành, mà M là trung điểm BC

suy ra M là trung điểm A’H  OM là

đường trung bình của tam giác AA’H 

2

AH  IM

B

H

C A

A' M

Tính chất 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I), BH và CK là hai đường cao.

Chứng minh : AI KH

Lời giải:

Kẻ tiếp tuyến Ax   d

2

s AC xACABC

Mà ABC AHK(do tứ giác KHCB nội

tiếp)  xAC AHK , mà 2 góc này ở vị

trí so le trong do đó Ax//HK Lại có

AxAI  AI HK(đpcm)

H

I

C

x

B

A

K

Tính chất 4: Cho tam giác ABC nội tiếp (I), H là trực tâm, gọi J là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác HBC Chứng minh I và J đối xứng qua BC

Lời giải :

Gọi H’ là giao điểm của AH với (I), suy ra tứ

giác ACH’B nội tiếp đt (I), suy ra I đồng thời là

tâm đtr ngoại tiếp tam giác BH’C

Mặt khác H, H’ đối xứng nhau qua BC, suy ra

tam giác HBC đối xứng với tam giác H’BC qua

BC Mà I, J lần lượt là tâm đtr ngoại tiếp tam

giác H’BC và HBC Vậy I và J cũng đối xứng

qua BC (đpcm)

B

H I

C J

A

H'

Tính chất 5 : Cho tam giác ABC, gọi H, G, I lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh :

a) IH IA IB IC     

b) 3 điểm G, H, I thẳng hàng và IH  3IG

Lời giải:

a) Ở tính chất 2, ta đã c/mAH  2IM

Ta có: IA IB IC IA     2IM IA AH IH

b) Do G là trọng tâm tam giác nên ta có :

IA IB IC IG IA IM IG

IA AH IG IH IG

G

C M

A

A'

Tính chất 6 : Cho tam giác ABC nội tiếp đtr (I), gọi D, E theo thứ tự là chân đường

cao hạ từ A, B Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm BC và AB Chứng minh tứ giác MEND nội tiếp

Lời giải :

Ta có D là trung điểm HH’ ( tính chất 1),

M là trung điểm HA’( do HCA’B là hình

bình hành- tính chất 2) Như vậy ta có phép vị

tự : ( ; )1

2

( ') :

( ')

H

V











B

M H'

D

H I

C

A

Mà hai điểm A’, H’ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Suy ra hai điểm M,D thuộc đường tròn (C’) là ảnh của (C) tâm I qua 1

( ; )H

V (1)

Chứng minh tương tự A’, H’cũng thuộc đường

tròn (C’) là ảnh của (C) tâm I qua ( ; )1

2

H

V (2)

Từ (1) và (2) suy ra D, M, E, N thuộc (C’)

Tính chất 7: Cho tam giác ABC, gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội

tiếp AJ cắt (I) tại D Chứng minh DB=DJ=DC

Lời giải:

Ta có: BJD BAD ABJ 

Mà ABJ JBC (Do BJ là phân giác góc ABC),

BAD DAC

Suy ra BJD JBD Do đó tam giác IBD

cân tại D  DJ=DB

Lại có: BAD DAC  BD=DCVậy DB=DJ=DC

I

C B

A

D J

Tính chất 8: Cho tam giác ABC, gọi D, E, F là chân đường cao hạ từ A, B, C, gọi H

là trực tâm Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

Lời giải:

Ta có : tứ giác BDHF nội tiếp nên

ABE ADF

tứ giác ECDH nội tiếp nên ACF ADE

Mà ABE ACF

Suy ra EDA ADF Hay DH là phân

giác của góc EDF

E H A

F

Chứng minh tương tự EH, FH cũng là các phân giác của tam giác DEF

Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

Tính chất 9: Cho tam giác ABC nội tiếp (I) Gọi D, E là giao điểm của các đường

cao qua A, C cắt (I) Chứng minh: IB là trung trực của ED

Lời giải:

Ta có :

,

E A sd BD D C sd BE

Tam giác EBD cân tại B suy ra BE=BD

Mà IE=ID Vậy IB là trung trực của ED.(DPCM)

A

I

C

B D E

Tính chất 10: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm I, G là trọng tâm

tam giác ABC, D là trung điểm AB, E là trọng tâm tam giác ACD Chứng minh I là trực tâm tam giác DEG

Lời giải:

Gọi F, H, K lần lượt là trung điểm BC, AC, AD E là

giao điểm của DH và CK.G là giao điểm của AF và CD

Ta có :

2

/ / , 3

CE CG

GE AB do

CK CD

AB DI GE ID

Lại có: DE CB GI/ / , BC

GI ED



Vậy I là trực tâm tam giác DEG

A

G E

D

F I K

Sử dụng các tính chất trên giải một số bài tập:

Bài tập 1:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD, M(3;-1) là trung điểm BC Đường cao kẻ từ B của tam giác ABC đi qua E(-1;-3) điểm F(1;3) nằm trên đường thẳng AC Tìm tọa độ điểm A và viết pt cạnh BC, biết D(4;-2)

Hướng dẫn giải:

-Trước hết các em vẽ hình bằng thước thật chính xác

và điền các dữ kiện của bài toán vào hình vẽ

- Các em hãy tạo ra một hình bình hành ( Gọi H là

trực tâm c/m được BHCD là hình bình hành, SỬ

DỤNG TC 2)

Bước tiếp theo thật đơn giản vì các em đã gỡ được nút

thắt của bài toán.

ĐS: A(2;2), pt BC: y+1=0

F E

M

H

C B

A

D

Bài tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đtr I(2;1), bk R=5, trực tâm H(-1;-1), độ dài

BC=8 Hãy viết pt BC

Hướng dẫn giải:

Hãy tìm nút thắt của bài toán và cởi bỏ

nó nhé

-Các em tạo ra hình bình hành?

Tao ra đường kính AA’ ta có hình bình

hành BHCA’ (SỬ DỤNG TC 2)

Ta có: AH=2MI ( M là tr đ BC)

H

C A

A' M

Bài tập 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đtr I(-2;0), A(3:-7), trực tâm H(3;-1) Xác định

tọa độ C biết C có hoành độ dương

Hướng dẫn giải: Các em sử dụng TC 2

Bài tập 4:

Cho tam giác ABC nội tiếp đtr O(0;0), gọi M(-1;0), N(1;1) lần lượt là chân các đường cao kẻ từ B, C Tìm tọa độ A, B, C biết A nằm trên (d): 3x+y-1=0

Hướng dẫn giải:

Nút thắt của bài toán là các em tìm được

OA vuông góc MN

Các em hãy áp dụng tính chất 3 để giải.

ĐS: A(1;-2), B(1;2), C(-2;1)

N

O

C B

A M

Bài tập 5: Cho tam giác ABC, có đỉnh A(1;5) Tâm đtr nội tiếp và ngoại tiếp lần lượt

là I(2;2), K( ;3)5

2 Tìm tọa độ B, C.

Hướng dẫn giải:

Ta sẽ đi tìm nút thắt của bài toán

-Các em viết dược pt đtr (C) ngoại tiếp

tam giác ABC ( tâm K, bk AK)

-Viết pt AI

AI cắt (C) tại D suy ra tọa độ D

SỬ DỤNG TC 7 ta có: BD=DI=CD

B,C là giao điểm của đtr (C) và đtr (C’)

tâm D bk DI

ĐS: B(4;1), C(1;1) hoặc C(4;1), B(1;1)

K

C B

A

D I

Các em hãy tìm tòi các ví dụ tương tự và sử dụng các tính chất trên để giải nhé

Dạng 2: Tìm tọa độ đỉnh của tam giác khi biết tọa độ ba điểm

Phần này sẽ giới thiệu một số bài toán về tìm tọa độ 3 đỉnh của một tam giác khi biết tọa độ 3 điểm có cùng tính chất

Bài toán 1 : Cho tam giác ABC biết toa độ trung điểm của ba cạnh Hãy xác định tọa

độ các đỉnh của tam giác

Hướng giải : Giả sử M; N ; P lần lượt là ba trung điểm của ba cạnh AB; BC;

CA theo công thức tính tọa độ của trung điểm ta có

Giải hệ này ta có tọa độ đỉnh của tam giác ABC

Bài tập minh họa 1 Cho tam giác ABC biết M(1;2); N(2;1) P(4;0) lần lượt là tọa

độ trung điểm của ba cạnh AB; BC;CA Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác Bài giải :

Áp dụng công thức trên ta có

Vậy : x A  3;x B  1;x C  5;y A  1;y B  3;y C   1 A(3;1); ( 1;3); (5; 1)B  C 

Bài toán 2 : Cho tam giác ABC nhọn biết tọa độ 3 chân đường cao Hãy xác định tọa

độ các đỉnh của tam giác

Hướng giải :

Giả sử AD; BE; CF là các đường cao của tam

giác ABC với trực tâm H Sử dụng tính chất của

tứ giác nội tiếp dễ rằng chứng minh được

HD;HE;HF là các đường phân giác trong của tam

giác DEF

Bài tập minh họa 2: (HSG Thanh Hóa 2011)

Cho tam giác ABC nhọn có tọa độ chân các đường cao hạ từ đỉnh A; B; C xuống các

cạnh tương ứng là D(-1; - 2); E( 2; 2) ; F(-1; 2) Hãy xác định tọa độ các đỉnh của

tam giác

Bài giải :

Gọi H là trực tâm tam giác ABC ta có phương trình DE : 4x – 3y – 2 = 0 ;

EF : y – 2 = 0

Vậy phương trình phân giác góc FED là : 4 3 2 ( 2)

5

y

 

Ta có hai phương trình đường thẳng là :x 2y  2 0 ( )  hay x y2   6 0 ( )  d

Khi thay tọa độ của F; D vào (d) thấy F; D cùng phía đối với (d) nên phương

trình AC : 2x + y – 6 = 0

(Ta có thể tìm phương trình các cạnh còn lại và từ đó xác định các định của tam giác ABC) ĐS: A(1;4), B(-4;-1), C(5;-4)

Bài toán 3 : Cho tam giác ABC biết tọa độ P;Q;R là ba điểm tiếp xúc của đường tròn

nội tiếp tam giác ABC và các cạnh của tam giác ABC

Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác

Hướng giải

Ta gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì

phương trình các cạnh tam giác ABC

Bài tập minh họa 3: Cho tam giác ABC biết tọa độ P (3;0);Q (4;1);R 11 8;

5 5

 lần lượt

là ba điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC; CA; AB

của tam giác ABC Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác

Bài giải :

Do đường tròn nội tiếp tam giác ABC qua P; Q; R nên phương trình của nó

là :x 32y 12  1

Ta có tâm I(3;1) vì vậy các đường thẳng AC; BC; AB đi qua Q; P ; R có véc

tơ pháp tuyến là   IQ IP IR; ;

sẽ có phương trình tương ứng là :

H A

E

F