1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Luận văn: NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN doc

50 405 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 50
Dung lượng 510,75 KB

Nội dung

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN DŨNG NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Trang 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM VĂN DŨNG

NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ

GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Trang 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM VĂN DŨNG

NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ

GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU

Trang 3

Mục lục

1.1 Phát biểu bài toán 6

1.2 Sự tồn tại nghiệm 7

1.3 Một số bài toán dẫn đến bất đẳng thức biến phân 14

1.3.1 Bài toán quy hoạch lồi 14

1.3.2 Bài toán hệ phương trình 16

1.3.3 Bài toán bù 17

2 Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu 20 2.1 Điểm bất động 20

2.2 Phương pháp đạo hàm tăng cường 24

2.3 Phương pháp hình chiếu siêu phẳng 27

3 Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân dựa vào hàm đánh giá 33 3.1 Hàm đánh giá (Gap function) 33

3.1.1 Hàm đánh giá Auslender 33

Trang 4

3.1.2 Hàm đánh giá Fukushima 353.1.3 Hàm đánh giá không ràng buộc ( D - Gap function ) 403.2 Thuật toán dựa trên hàm đánh giá 433.2.1 Thuật giải toán dựa trên hàm đánh giá γcd(.) 433.2.2 Thuật toán dựa trên hàm đánh giá Fukushima γc(.) 44

Trang 5

Mở đầu

Bất đẳng thức biến phân được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khácnhau như kinh tế, kỹ thuật, vận trù học, vật lý toán Gần đây, bài toán tối ưuvới ràng buộc bất đẳng thức biến phân (còn gọi là ràng buộc cân bằng) cũng

là một đề tài được nhiều người quan tâm nghiên cứu vì vai trò quan trọngcủa nó trong lý thuyết toán học và trong ứng dụng thực tế

Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bất đẳng thức biếnphân là việc xây dựng phương pháp giải Có rất nhiều phương pháp giải bất

đẳng thức biến phân đã được nghiên cứu như: phương pháp địa phương vàtoàn cục dựa trên việc chuyển bài toán về hệ phương trình, phương pháp dựatrên kỹ thuật hàm chắn, phương pháp dựa trên cách tiếp cận điểm bất động Mục đích của luận văn này nhằm trình bày các thuật toán giải bất đẳngthức biến phân dựa trên phương pháp hình chiếu và phương pháp hàm đánhgiá

Luận văn gồm 3 chương Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản vềbất đẳng thức biến phân, điều kiện tồn tại nghiệm và một số bài toán dẫn

đến bất đẳng thức biến phân

Trong chương 2 sẽ giới thiệu thuật toán hình chiếu cho các bài toán bất

đẳng thức biến phân đơn điệu, mà cụ thể là phương pháp đạo hàm tăng cường

và phương pháp hình chiếu siêu phẳng

Chương 3 sẽ đưa ra các thuật giải bất đẳng thức biến phân dựa vào hàm

đánh giá Các thuật toán dựa trên hàm đánh giá Anslender và hàm đánh giáhiệu chỉnh Fukushima

Trang 6

Lời cảm ơn

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS Lê DũngMưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến Thầy về công tácgiảng dạy cùng với sự hướng dẫn tận tình trong thời gian tác giả học cao học

và hoàn thành luận văn

Trong quá trình học tập, tác giả đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và sựgiảng dạy nhiệt tình của PGS Đỗ Văn Lưu, PGS Lê Thị Thanh Nhàn, PGS.Tạ Duy Phượng, GS Trần Vũ Thiệu, TS Nguyễn Thị Thu Thủy, cùng nhiềuThầy, Cô công tác tại Viện Toán Học, Viện Công Nghệ Thông Tin, Trường

đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến các Thầy, các Cô

Xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thị Thu Thủy đã động viên, giúp đỡtác giả rất nhiều trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy, Cô giáo Trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên

Tác giả xin chân thành cảm ơn BGH trường Cao đẳng sư phạm ĐăkLăk,BCN khoa Tự Nhiên, đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giảhọc cao học

Tác giả xin chân thành cảm ơn các anh chị, các bạn học viên cao học, bạn

bè, đồng nghiệp, các học trò Đặc biệt cảm ơn học trò Trần Thị Cẩm Nhung

và Nguyễn Thị Thạch Thảo, đã giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình họctập và hoàn thành luận văn

Luận văn này sẽ không được hoàn thành nếu thiếu sự thông cảm, chia sẻ

Trang 7

và sự động viên kịp thời của gia đình Xin gửi tới gia đình lời cảm ơn chânthành và sâu sắc.

Tác giả

Phạm Văn Dũng

Trang 8

Chương 1

Bài toán bất đẳng thức biến phân

Bất đẳng thức biến phân (được viết tắt là - VIP) là một công cụ mạnh, được

sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng Nhiều bàitoán về lý thuyết tối ưu, kinh tế và vật lý toán đều dẫn đến bài toán bất đẳngthức biến phân

1.1 Phát biểu bài toán

Bài toán VIP về mặt hình thức được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.1.1 ( Xem [7] Định nghĩa 1.1) Cho một tập con K của Rn

và ánh xạ F : K −→ Rn

Bài toán bất đẳng thức biến phân được ký hiệu là V IP (K; F ), là bài toántìm x∗ sao cho:

x∗ ∈ K, hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ K (1.1)Tập hợp những điểm x∗thỏa mãn (1.1) được gọi là tập nghiệm của V IP (K; F )

và ký hiệu là SOL − V IP (K; F )

Trang 9

Sau đây, chúng ta luôn giả sử rằng K là tập lồi đóng và F là ánh xạ liêntục trên K.

1.2 Sự tồn tại nghiệm

Định lý 1.2.1 ( Xem [4] Định lý Brower) Cho K ⊂ Rn compact và lồi,

ánh xạ F : K −→ K là liên tục, thì F phải có một điểm bất động

Bổ đề 1.2.2 ( Xem [4] Bổ đề 2.1) Cho K là một tập con lồi đóng của khônggian Rn Khi đó với mỗi x ∈ Rn, có duy nhất y ∈ K,

Trang 10

Do K là một tập lồi nên:

1

2(ηk + ηh) ∈ K,và

d2 ≤ kx − 1

2(ηk + ηh)k

2,vì vậy:

ky − y0k2 = 2kx − yk2 + 2kx − y0k2 − 4kx − 1

2(y + y

≤ 4d2 − 4d2 = 0,hay:

Định lý 1.2.3 ( Xem [4] Định lý 2.3) Cho K là tập lồi đóng trong khônggian Rn, thì y = P rKx là hình chiếu của x lên K khi và chỉ khi:

y ∈ K : hy, η − yi ≥ hx, η − yi ∀η ∈ K (1.5)

Trang 11

Chøng minh: Cho x ∈ Rn vµ y = P rKx ∈ K, v× K låi nªn

Trang 12

Chứng minh: Cho trước x, x0

∈ Rn, cho y = P rKx và y0 = P rKx0, lúcnày:

Do F liên tục trên K và phép chiếu PK liên tục nên Φ liên tục Vậy theo

định lý điểm bất động Brower tồn tại:

x∗ = Φ(x∗)

Trang 13

Theo định nghĩa của Φ, thì:

bị chặn, ví dụ nếu K = R, thì bài toán

F (x)(y − x) ≥ 0 ∀y ∈ Kkhông có nghiệm khi F (x) = ex

Định lý sau đây là điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm

Cho tập lồi K 6= ∅, đặt KR = K ∩P

R trong đó PR là hình cầu đóng bánkính R và tâm O ∈ Rn Khi đó KR là tập compact Vậy theo định lý 1.2.5,

đẳng thức biến phân (1.1) là tồn tại một số R > 0 sao cho có một nghiệm

xR ∈ KR của bài toán (1.6) thỏa mãn:

Trang 14

Chứng minh: Rõ ràng là nếu tồn tại một nghiệm x của bài toán (1.1) thì x

là một nghiệm của bài toán (1.6), miễn là:

Từ định lý này ta có thể rút ra được nhiều điều kiện đủ để tồn tại nghiệm

Ta cần đến khái niệm về tính chất tự bức sau

Hệ quả 1.2.7 ( Xem [4] Hệ quả 4.3) Nếu F : K −→ Rn thỏa mãn:

Trang 15

Chứng minh: Chọn H > |f(x0)| và R > |x0| sao cho:

hF (xR), xR − x0i ≥ −hF (xR), x0 − xRi ≤ 0

Vì vậy, dựa vào (1.9), ta có |x| 6= R Nói cách khác,

Thông thường, nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân không phải

là duy nhất Tuy vậy vẫn có một điều kiện rất cơ bản đảm bảo cho sự duynhất Giả sử x, x0 ∈ K là hai nghiệm khác nhau của bài toán (1.1) thì:

x ∈ K : hF (x), y − xi ≥ 0 ∀y ∈ K,

x0 ∈ K : hF (x0), y − x0i ≥ 0 ∀y ∈ K

Từ đây ta thấy, nếu:

hF (x) − F (x0), x − x0i > 0 miễn là x, x0 ∈ K, x 6= x0 (1.10)Vậy, điều kiện (1.10) kéo theo tính duy nhất nghiệm Điều kiện (1.10)

được gọi là điều kiện đơn điệu chặt

Trang 16

Định nghĩa 1.2.8 ( Xem [4] Định nghĩa 4.5) Ta gọi ánh xạ F : K −→ Rn

là đơn điệu trên K nếu:

hF (x) − F (x0), x − x0i ≥ 0 ∀x, x0 ∈ K

Ta nói F là đơn điệu chặt nếu đẳng thức chỉ xảy ra khi x=x'

Định lý 1.2.9 ( Xem [4] Định lý 4.6) Cho F : K1 −→ Rn là một ánh xạliên tục và đơn điệu chặt của tập lồi đóng K1 ⊂ Rn Cho K2 ⊂ K1 là mộttập lồi và đóng Giả sử tồn tại nghiệm của bài toán:

xj ∈ Kj : hF (xj), y − xji ≥ 0, x ∈ Kj, J = 1, 2

(i) Nếu F (x2) = 0 thì x1 = x2

(ii) Nếu F (x2) 6= 0và x1 6= x2 thì siêu phẳng hF (x2), y − x2i = 0 tách x1

từ K2

1.3 Một số bài toán dẫn đến bất đẳng thức biến phân

Trong phần này, ta giới thiệu một số bài toán có liên quan đến bất đẳngthức biến phân Đặc biệt, ta xét đến mối quan hệ giữa hàm lồi và toán tử đơn

điệu

Cho f ∈ C1

(K), K ⊂ Rn, là tập lồi đóng, và đặt:

F (x) = gradf (x)(Đạo hàm của f)

1.3.1 Bài toán quy hoạch lồi

Định lý 1.3.1 ( Xem [4] Định lý 5.1) Giả sử tồn tại x ∈ K sao cho:

f (x) = min

y∈Kf (y)

Trang 17

thì x là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân.

x ∈ K : hF (x), y − xi ≥ 0 với y ∈ K

Chứng minh: Nếu y ∈ K thì z = x + t(y − x) với 0 ≤ t ≤ 1,

vì vậy hàm: ϕ(t) = f(x + t(y − x)), 0 ≤ t ≤ 1 đạt cực tiểu khi t = 0.Nên,

0 ≤ ϕ0(0) = hgrad f (x), y − xi = hF (x), y − xi 2

Điều đảo lại cũng đúng nếu f là hàm lồi, cụ thể ta có định lý sau:

Định lý 1.3.2 ( Xem [4] Định lý 5.2) Giả sử f lồi và x thỏa mãn:

Định lý 1.3.3 ( Xem [4] Định lý 5.3) Cho F : E −→ R1

, E ⊂ Rn, là mộthàm lồi khả vi liên tục (lồi chặt) Thì F (x) = gradf(x) sẽ đơn điệu (đơn

điệu chặt)

Trang 19

trong đó K∗ là nón đối ngẫu của K, được định nghĩa là:

K∗ ≡ {y ∈ Rn|hy, xi ≥ 0, ∀x ∈ K},(tức là K∗ bao gồm mọi vector y sao cho y tạo với mọi vector x bất kỳthuộc K một góc không tù)

Tập hợp những giá trị x∗ ∈ K thõa mãn NCP (K; F ) ( thỏa mãn (1.11)

được gọi là SOL − NCP (K; F )

Rõ ràng, một bài toán NCP (K; F ) là như sau:

x∗ ∈ K, F (x∗) ∈ K∗ và hF (x∗), x∗i = 0

Kết quả sau cho biết mối liên hệ giữa V IP (K; F ) và NCP (K; F )

Mệnh đề 1.3.5 ( Xem [7] Mệnh đề 1.1) Cho K là một nón lồi trong Rn

Ta có:

SOL − V IP (K; F ) = SOL − N CP (K; F )

Trang 20

F (x∗) ∈ K.

ThÕ nªn:

x∗ ∈ SOL − N CP (K; F )

Trang 22

2.1 Điểm bất động

Chúng ta bắt đầu với phương pháp hình chiếu cơ bản nhất, dựa trên định

lý Banach về điểm bất động Ta giả sử rằng:

Trang 23

và cho k ←k+1; rồi trở lại bước 1.

Định lý sau đảm bảo cho sự hội tụ của ALGO − 1:

Định lý 2.1.1 ( Xem [7] Định lý 3.1) Cho K ⊂ Rn là tập lồi đóng Giả sửtồn tại L > 0 và β > 0 sao cho:

hF (x) − F (y), x − yi ≥ βkx − yk2, ∀x, y ∈ K (2.1)( F đơn điệu mạnh trên K với hệ số β )

và:

k F (x) − F (y)k ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ K (2.2)

Trang 24

( F liªn tôc Lipschitz trªn K víi h»ng sè L).

kPK[x − F (x)] − PK[y − F (y)]

≤ kx − yk2 + L2ky − xk2 − 2αky − xk2

= (1 + L2 − 2α)ky − xk2

Trang 25

Từ đây ta thấy rằng, nếu:

1 + L2 − 2α < 1

tức là:

L2

< 2α,thì ánh xạ:

x → PK[x − αF (x)]

là ánh xạ co

2Trong thuật toán ALGO − 1 độ dài bước cố định là 1 Thuật toán sau

đây cho phép thay đổi độ dài bước ở mỗi bước lặp

Thuật toán hình chiếu cơ bản với độ dài bước biến thiên: ALGO − 2Cho: x0 ∈ K, t0 > 0

và cho k←k+1 rồi trở lại bước 1

Sự lựa chọn của {tk} là yếu tố quan trọng cho sự hội tụ của ALGO − 2

Ta nhắc lại rằng: F là tự bức khi và chỉ khi ∃c > 0, sao cho:

h F (x) − F (y), x − yi ≥ ckF (x) − F (y)k2 ∀x, y ∈ K

Trang 26

Chú ý: F đơn điệu mạnh và Lipschitz liên tục, thì F tự bức (Điều ngược lạikhông đúng).

Sự hội tụ của dãy {xk} được tạo bởi ALGO − 2 như sau:

Định lý 2.1.2 ( Xem [7] Định lý 3.2) Cho K ⊂ Rn là tập lồi đóng Cho

thì ALGO-2 tạo ra một dãy {xk} hội tụ tới một nghiệm của V IP (K; F )

Định lý trên có thể chứng minh tương tự như định lý 2.1.1 Chi tiết có thểxem ở [4]

2.2 Phương pháp đạo hàm tăng cường

Như trên ta đã thấy, phương pháp chiếu cơ bản chỉ hội tụ khi F có tính tựbức Điều này làm hạn chế phạm vi ứng dụng các phương pháp này Phươngpháp đạo hàm tăng cường dưới đây cho phép giải phóng điều kiện tự bức

Thuật toán đạo hàm tăng cường ALGO-3

Trang 27

Định nghĩa 2.2.1 ( Xem [7] Định nghĩa 3.1) Chúng ta nói rằng F : K →

Rn là giả đơn trên K đối với SOL − V IP (K, F ) nếu:

1 SOL − V IP (K; F ) 6= ∅

2 Với ∀x∗ ∈ SOL − V IP (K, F ) , ta có:

hF (x), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ K

Bổ đề sau rất cần thiết cho việc chứng minh sự hội tụ của thuật toán

Bổ đề 2.2.2 ( Xem [7] Bổ đề 3.1) Cho K ⊂ Rn là tập lồi đóng, cho F :

K → Rn là giả đơn trên K đối với SOL − V IP (K, F ) và L-Lipschitzliên tục trên K

Cho x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ) Khi đó, với mỗi k ∈ N ta có:

kxk+1 − x∗k2 ≤ kxk − x∗k2 − (1 − t2L2)kxk+12 − xkk2

Dựa vào bổ đề này, chúng ta có thể thiết lập sự hội tụ của ALGO − 3

Định lý 2.2.3 ( Xem [7] Định lý 3.3) Cho K ⊂ Rn là tập lồi đóng vàcho F : K → Rn là giả đơn trên K đối với SOL − V IP (K, F ) và L-Lipschitz liên tục trên K

Nếu 0 < t < 1

L thì dãy {xk} được tạo bởi ALGO − 3 hội tụ tới một nghiệmcủa V IP (K, F )

Trang 28

Chứng minh: Cho x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ) Đặt m ≡ 1 − t2L2, do

t < L1, nên ta có m ∈ (0, 1) Từ bổ đề 2.2.2, dãy {xk} bị chặn Vì vậy có ítnhất một điểm giới hạn x nằm trên K

Điều này chứng tỏ rằng x ∈ SOL − V IP (K; F ) Do m ∈ (0; 1) nên theo

bổ đề 2.2.2, dãy {kxk − x∗k} đơn điệu, áp dụng bổ đề 2.2.2 với x∗ = x

Điều này cũng chứng minh rằng toàn bộ dãy {xk} hội tụ tại x

áp dụng bổ đề 2.2.2 với x = x∗ để kết luận rằng dãy không âm {kxk− xk}

là dãy đơn điệu giảm và do đó hội tụ

Bởi vì:

lim

l−→∞kxk − xk = lim

l−→∞kxk1 − xk = 0suy ra xk −→ x khi k −→ +∞, như mong muốn

2

Trang 29

2.3 Phương pháp hình chiếu siêu phẳng.

Để có sự hội tụ của dãy {xk}, ta phải chọn 0 < t < 1

L, tuy nhiên, khôngphải lúc nào hằng số Lipschitz − L cũng có thể tìm được dễ dàng, và dovậy, sẽ khó khăn trong việc chọn t

Bây giờ ta trình bày phương pháp đạo hàm tăng cường được cải tiến, saocho ta không sử dụng hằng số L - Lipschitz nữa

Thuật toán này có thể được mô tả về mặt hình học như sau:

Cho trước xk cùng với tập lồi đóng K, F là giả đơn đối với SOL −

V IP (K, F ) và t > 0

Đầu tiên, tính điểm PK[xk − tF (xk)] ≡ yk

Sau đó, trên đoạn thẳng [xk → yk ≡ PK[xk − tF (xk)]] tìm zk bằng quy tắcArmijo

Phương pháp trên đòi hỏi 3 lần chiếu trong một phép lặp: 2 trên K và 1 trên

Hk ( Hình chiếu cuối cùng trên Hk được tính bởi công thức hiện)

Thuật toán hình chiếu siêu phẳng ALGO-4

Cho : x0 ∈ K, t > 0 và m ∈ (0, 1)

Bước 0: Cho k = 0

Trang 30

Bước 1: Nếu xk ∈ SOL − V IP (K, F ), dừng xk là nghiệm.

Đặt:

zk := 2−ikyk + (1 − 2−ik)xkvà

và cho k←k+1; rồi trở lại bước 1

• Phương pháp hình chiếu siêu phẳng có quan hệ chặt chẽ với phươngpháp đạo hàm tăng cường, bởi vì:

Trang 31

Để chứng minh sự hội tụ của ALGO − 4 chúng ta sẽ cần đến 3 bổ đề sau:

Bổ đề 2.3.1 ( Xem [7] Bổ đề 3.2) Cho K ⊂ Rn là tập lồi đóng không rỗng

Ta có những tính chất sau cho hình chiếu

(i) ∀ x, y ∈ Rn:

kPK(x) − PK(y)k2 ≤ kx − yk2 − k[PK(x) − x] − [PK(y) − y]k2

(ii) ∀x ∈ K và ∀y ∈ Rn:

h x − PK(y), x − yi ≥ kx − PK(y)k2

Bổ đề 2.3.2 ( Xem [7] Bổ đề 3.3) Cho K ⊂ Rn là tập lồi đóng không rỗng

và F : K → Rnliên tục trên K Cho xk ∈ Kvà xk ∈ SOL−V IP (K, F )/

ta có:

(i) Tồn tại một số nguyên hữu hạn ik ≥ 0 sao cho (2.5) được thỏa mãn

Do đó, bước 2 của ALGO − 4 kết thúc hữu hạn, vì vậy phương pháp hình

Trang 32

chiếu siêu phẳng được xác định tốt.

(ii)h F (zk), xk − zki > 0

Bổ đề 2.3.3 ( Xem [7] Bổ đề 3.4) Cho K ⊂ Rn là tập lồi đóng khôngrỗng và F : K → Rn liên tục trên K Giả sử F giả đơn trên K đốivới SOL − V IP (K, F )

Cho {xk} là dãy được tạo bởi ALGO − 4

(iv) Nếu một điểm giới hạn của {xk} là nghiệm của V IP (K, F ) thì toàn

bộ dãy hội tụ tới một nghiệm của V IP (K, F )

Bây giờ chúng ta chứng minh định lý hội tụ của ALGO − 4

Định lý 2.3.4 ( Xem [7] Định lý 3.4) Cho K ⊂ Rn là tập lồi đóng khôngrỗng và F : K → Rn liên tục trên K Giả sử F giả đơn điệu trên K đốivới SOL − V IP (K, F ) Ta có:

Nếu {xk} là dãy được tạo bởi ALGO − 4, thì {xk} hội tụ tới một nghiệmcủa V IP (K, F )

Chứng minh: Để đơn giản, đặt:

tk = 2−ik

Từ bổ đề 2.3.3, ( phần (iii)), và theo định nghĩa của zk ( bước 3 của ALGO−

Trang 33

Điều này chứng minh rằng x ∈ V IP (K, F ).

Theo bổ đề 2.3.3 ( phần (iv)) ta kết luận rằng toàn bộ dãy {xk} hội tụ đến

x Vì vậy suy ra điều phải chứng minh

••Trường hợp 2: lim

Đặt

zk ≡ 2−ik +1yk+ (1 − 2−ik +1)xkChúng ta có thể giả sử có một dãy con {xk l} hội tụ tới x

Ngày đăng: 28/06/2014, 06:20

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w