Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách suy rộng : Luận án TS. Toán học: 624601

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Việt Anh PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Việt Anh PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Lê Dũng Mưu PGS.TS Nguyễn Hữu Điển XÁC NHẬN NCS ĐÃ CHỈNH SỬA THEO QUYẾT NGHỊ CỦA HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ LUẬN ÁN Người hướng dẫn khoa học Chủ tịch hội đồng đánh giá Luận án Tiến sĩ GS.TSKH Lê Dũng Mưu GS.TSKH Phan Quốc Khánh Hà Nội - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết số liệu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Các kết viết chung với tác giả khác nhận trí đồng tác giả đưa vào luận án Hà nội, ngày tháng năm 2018 Nghiên cứu sinh Trần Việt Anh LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn GS TSKH Lê Dũng Mưu PGS.TS Nguyễn Hữu Điển Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn hướng dẫn tận tình GS TSKH Lê Dũng Mưu PGS TS Nguyễn Hữu Điển trình học tập nghiên cứu Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Lãnh đạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Phịng Sau đại học, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, thầy giáo Bộ mơn Tốn giải tích, Ban Giám đốc Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng, thầy giáo bạn đồng nghiệp Khoa Cơ I - Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng ln động viên giúp đỡ tác giả thời gian làm nghiên cứu sinh Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS TSKH Phạm Kỳ Anh thành viên nhóm Xêmina liên quan Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Trường Đại học Thăng Long, Viện Toán học, Viện nghiên cứu cao cấp Tốn đóng góp nhiều ý kiến q báu thời gian tác giả tham dự Xêmina Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn động viên hỗ trợ gia đình bạn bè suốt trình học tập, nghiên cứu MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Bảng kí hiệu Bảng chữ viết tắt Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm lồi vi phân hàm lồi 1.2 Tốn tử chiếu khơng gian Hilbert 1.3 Bài toán điểm bất động 1.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.5 Bài toán cân 20 20 22 23 24 31 Chương Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán điểm bất động tách 2.1 Định lý hội tụ 2.2 Một số hệ 2.3 Thử nghiệm số 39 40 50 53 Chương Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách toán chấp nhận tách đa tập hợp 3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 3.1.1 Thuật toán định lý hội tụ 3.1.2 Một số hệ 3.1.3 Thử nghiệm số 3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp 3.2.1 Thuật toán định lý hội tụ 57 57 58 69 70 74 75 3.3 3.2.2 Một số hệ Bài toán bất đẳng thức biến phân với tập hợp 3.3.1 Thuật toán định lý hội tụ 3.3.2 Một số hệ 3.3.3 Thử nghiệm số ràng buộc chấp nhận tách Chương Phương pháp tìm nghiệm có chuẩn nhỏ cân tách 4.1 Thuật toán định lý hội tụ 4.2 Một số hệ 4.3 Thử nghiệm số đa 84 86 88 97 98 toán 104 106 115 118 Kết luận kiến nghị 124 Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 126 Tài liệu tham khảo 127 BẢNG KÍ HIỆU R tập số thực Rn không gian Euclide n−chiều H không gian Hilbert thực N tập số tự nhiên N∗ tập số nguyên dương ∃x tồn x ∀x với x x chuẩn vectơ x x, y tích vơ hướng hai vectơ x y ∅ tập rỗng A⊂B A tập B A×B tích Descartes hai tập A B x∈A phần tử x thuộc tập A x∈ /A phần tử x không thuộc tập A int C phần tập C dom f miền hữu hiệu hàm số f argmin{f (x) : x ∈ C} phần tử cực tiểu hàm f C argmax{f (x) : x ∈ C} phần tử cực đại hàm f C δC hàm C NC (x) nón pháp tuyến ngồi C x ∂f (x) vi phân hàm f x Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T PC (x) hình chiếu x C {xn } dãy vectơ xn xn −→ x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn dãy {xn } hội tụ yếu tới x x lim sup giới hạn lim inf giới hạn A∗ toán tử liên hợp A V IP (C, F ) toán bất đẳng thức biến phân Sol(C, F ) tập nghiệm toán V IP (C, F ) EP (C, f ) toán cân Sol(C, f ) tập nghiệm toán cân EP (C, f ) ✷ kết thúc chứng minh BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT SFPP toán điểm bất động tách SFP toán chấp nhận tách VIP toán bất đẳng thức biến phân BVIP toán bất đẳng thức biến phân hai cấp SVIP toán bất đẳng thức biến phân tách BSVIP toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp EP toán cân SEP toán cân tách MSSFP toán chấp nhận tách đa tập hợp MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Cho H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng ·, · chuẩn tương ứng · , C tập lồi đóng khác rỗng H, F ánh xạ từ tập H chứa C vào H Bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP - Variational Inequality Problem) V IP (C, F ) phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ C Bài toán bất đẳng thức biến phân giới thiệu lần vào năm 1966 Philip Hartman Guido Stampacchia cơng bố nghiên cứu bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải toán biến phân, toán điều khiển tối ưu toán biên lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Bài tốn bất đẳng thức biến phân không gian vô hạn chiều ứng dụng giới thiệu sách "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications" David Kinderlehrer Guido Stampacchia xuất năm 1980 sách "Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems" Claudio Baiocchi Antonio Capelo xuất năm 1984 Hiện nay, toán bất đẳng thức biến phân phát triển thành nhiều dạng khác nhau, ví dụ bất đẳng thức biến phân tách, bất đẳng thức biến phân vectơ, bất đẳng thức biến phân ẩn, Bài toán bất đẳng thức biến phân thu hút nhiều quan tâm nhà toán học mơ hình chứa nhiều tốn quan trọng số lĩnh vực khác tốn học ứng dụng tối ưu hóa, tốn bù, tốn điểm bất động Brouwer, lý thuyết trị chơi, cân mạng lưới giao thông, Một hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến (4.39), điều kiện (C) hội tụ yếu hai dãy {y ki }, {tki } tới z, ta ≤ lim sup F (y ki ), y − tki ≤ F (z), y − z ∀y ∈ C i−→∞ Do F (z), y − z ≥ với y ∈ C, nghĩa z ∈ Sol(C, F ) Bằng lập luận tương tự, ta chứng minh Az ∈ Sol(Q, G) Vậy theo Định lý 4.1, ta có Hệ 4.1 Áp dụng Định lý 4.1 với f = g = ta có kết sau thuật tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ toán chấp nhận tách Hệ 4.2 Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 Giả sử A : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn với tốn tử liên hợp A∗ Với x0 ∈ C bất kỳ, xét dãy {xk } xác định    wk = PQ (Axk ),    y k = PC (xk + δk A∗ (wk − Axk )),     xk+1 = PC (y k − λk y k ) ∀k ≥ 0, {δk } ⊂ [a, b] ⊂ 0, A +1 , {λk } dãy số nằm (0, 1) thỏa ∞ λk = ∞ Khi dãy {xk } hội tụ mãn đồng thời điều kiện lim λk = 0, k−→∞ k=0 mạnh đến nghiệm có chuẩn nhỏ SFP, với điều kiện tập nghiệm SFP khác rỗng 4.3 Thử nghiệm số Để minh họa Định lý 4.1, ta xét ví dụ sau đây: Ví dụ 4.1 Xét H1 = R4 với chuẩn x = (x21 +x22 +x23 +x24 ) với x = (x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 H2 = R2 với chuẩn y = (y12 + y22 ) với y = (y1 , y2 )T ∈ R2 Xét tốn tử tuyến tính bị chặn A : R4 −→ R2 cho A(x) = (x1 + x3 + x4 , x2 + x3 − x4 )T với x = (x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 Khi A = √ Xét tốn tử tuyến tính bị chặn B : R2 −→ R4 cho B(y) = (y1 , y2 , y1 + y2 , y1 − y2 )T 118 với y = (y1 , y2 )T ∈ R2 Dễ thấy A(x), y = x, B(y) với x = (x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 y = (y1 , y2 )T ∈ R2 Do B = A∗ tốn tử liên hợp A Xét tập C R4 cho C = {(x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 : x1 − x2 − x3 ≥ 1} xác định song hàm f : R4 × R4 −→ R cho f (x, y) = −x1 + x2 + x3 + y1 − y2 − y3 với x = (x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 y = (y1 , y2 , y3 , y4 )T ∈ R4 Ta dễ dàng kiểm tra f (x, ·) lồi, liên tục, khả vi phân R4 f (x, x) = với x ∈ C Hơn nữa, f (x, y) ≥ −x1 + x2 + x3 + y1 − y2 − y3 ≥ 0, f (y, x) = −y1 + y2 + y3 + x1 − x2 − x3 ≤ Vậy f giả đơn điệu C Ngoài ra, x, y ∈ C dãy {xk }, {y k } ⊂ C hội tụ yếu đến x y f (xk , y k ) = u, y k − xk = u, y k − y − u, xk − x + u, y − x −→ u, y − x = f (x, y) k −→ ∞, u = (1, −1, −1, 0)T Do f liên tục yếu đồng thời C × C Tiếp theo, ta kiểm tra điều kiện kiểu Lipschitz C f Với x, y, z ∈ C, ta có f (x, y) + f (y, z) = f (x, z) ≥ f (x, z) − x−y − y − z Do f thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz C với số c1 = c2 = Vậy f thỏa mãn điều kiện (A) Ta dễ dàng kiểm tra tập nghiệm Sol(C, f ) EP (C, f ) cho Sol(C, f ) = {(x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 : x1 − x2 − x3 = 1} Tiếp theo, ta xét tập Q R2 cho Q = {(u1 , u2 )T ∈ R2 : u1 + u2 ≥ 2} xác định song hàm g : R2 × R2 −→ R sau: g(u, v) = −u1 − u2 + v1 + v2 119 với u = (u1 , u2 )T ∈ R2 , v = (v1 , v2 )T ∈ R2 Lập luận tương tự trên, ta kiểm tra g thỏa mãn điều kiện (B) với L1 = L2 = tập nghiệm Sol(Q, g) EP (Q, g) cho Sol(Q, g) = {(u1 , u2 )T ∈ R2 : u1 + u2 = 2} Tập nghiệm Ω SEP cho Ω = {(x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ Sol(C, f ) : A(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ Sol(Q, g)} = {(x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 : x1 − x2 − x3 = 1, (x1 + x3 + x4 ) + (x2 + x3 − x4 ) = 2} = {(x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 : x1 − x2 − x3 = 1, x1 + x2 + 2x3 = 2} = {(a, 3a − 4, − 2a, b)T : a, b ∈ R} Giả sử x = (a, 3a − 4, − 2a, b)T ∈ Ω, x = = ≥ a2 + (3a − 4)2 + (3 − 2a)2 + b2 13 (7a − 9)2 + b2 + 7 13 Do nghiệm có chuẩn nhỏ x∗ SEP x∗ = −1 , , ,0 7 T Chọn ngẫu nhiên điểm xuất phát x0 = (−4, 3, −9, 5)T cho Thuật toán 4.1 λk = 3k + k+3 , δk = 0.2, βk = , µk = Khi dễ dàng kiểm tra được: k+2 2k + 2k + = 0, • lim λk = lim k−→∞ k−→∞ k + ∞ ∞ • λk = = ∞, k+2 k=0 k=0 1 • {δk } ⊂ [0.1, 0.2] ⊂ 0, = 0, , A 2+1 1 • {βk } ⊂ , ⊂ (0, 2) = 0, , , 2 2c1 2c2 1 ã {àk } , (0, 2) = 0, , 2 2L1 2L2 Ta có kết tính tốn Bảng 4.1 nghiệm xấp xỉ sau 90910 bước lặp x90910 = (1.28571, −0.14281, 0.42852, 0.00005)T , xấp xỉ tốt cho nghiệm có chuẩn nhỏ x∗ = 120 −1 , , ,0 7 T SEP Bảng 4.1: Thuật tốn 4.1 cho Ví dụ 4.1 với λk = µk = 3k + , δk = 0.2, βk = , k+2 2k + k+3 , điểm xuất phát x0 = (−4, 3, −9, 5)T sai số ε = 10−9 2k + Số bước lặp k xk1 xk2 xk3 xk4 −4.00000 3.00000 −9.00000 5.00000 −0.25000 1.85000 −3.10000 2.50000 0.67778 1.26889 −1.59111 1.66667 0.99611 0.94922 −0.95311 1.25000 1.12501 0.74500 −0.61999 1.00000 1.18334 0.60333 −0.42000 0.83333 1.21238 0.49962 −0.28724 0.71429 1.22828 0.42066 −0.19238 0.62500 1.23785 0.35868 −0.12083 0.55556 1.24417 0.30883 −0.06467 0.50000 10 1.24869 0.26792 −0.01923 0.45455 ··· ··· ··· ··· ··· 90906 1.28571 −0.14281 0.42852 0.00006 90907 1.28571 −0.14281 0.42852 0.00006 90908 1.28571 −0.14281 0.42852 0.00006 90909 1.28571 −0.14281 0.42852 0.00005 90910 1.28571 −0.14281 0.42852 0.00005 Bảng 4.2 cho ta kết tính toán Thuật toán 4.1 với điểm xuất phát x0 = (−3, −28, 20, −10)T sai số ε = 10−8 cho trường hợp tham số λk , δk , µk Các bảng 4.3 4.4 trình bày kết tính tốn số Thuật toán 4.1 với điểm xuất phát khác sai số khác 121 Bảng 4.2: Thuật tốn 4.1 cho Ví dụ 4.1 với tham số khác nhau, điểm xuất phát x0 = (−3, −28, 20, −10)T sai số ε = 10−8 (λk , δk , βk , µk ) k2 + 3 , , , k + 5k + k2 + k + , , , k + 5k2 + 2k + 2 k + 3k + k + , , , k + 5k2 + 2k + 2k + k + 3k + k + , , , k + 6k + 2k + 2k + k + k + 3k + k + ln , , , k + 6k + 2k + 2k + k + k + 4k + 3k + , , , ln k + 6k + 3k + 2k + k + 3k + k + √ , , , k + 6k + 2k + 2k + Số bước lặp k Thời gian CPU (giây) xk 59568 26.35794 (1.28553, −0.14332, 0.42885, −0.00017)T 59568 28.37504 (1.28553, −0.14332, 0.42885, −0.00017)T 59568 27.11143 (1.28553, −0.14332, 0.42885, −0.00017)T 59604 27.99282 (1.28552, −0.14332, 0.42884, −0.00017)T 40442 19.24583 (1.28555, −0.14317, 0.42873, −0.00011)T 40442 19.63270 (1.28555, −0.14317, 0.42873, −0.00011)T 292007 126.39668 (1.28120, −0.14376, 0.42496, 0.00000)T Bảng 4.3: Thuật tốn 4.1 cho Ví dụ 4.1 với tham số khác λk = ln δk = 3k + k+3 k+1 , βk = , µk = sai số ε = 10−8 6k + 2k + 2k + Điểm xuất phát x0 Số bước lặp k Thời gian CPU (giây) xk (0.1, −0.7, −2, 3)T 18607 8.96541 (1.28559, −0.14287, 0.42846, 0.00007)T (2, 5, −6, −4)T 22520 10.32730 (1.28565, −0.14275, 0.42840, −0.00008)T (−3, −28, 20, −10)T 40442 19.24583 (1.28555, −0.14317, 0.42873, −0.00011)T (600, −100, 70, 72)T 61728 30.46700 (1.28576, −0.14261, 0.42837, 0.00053)T (1000, −200, −150, 123)T 100782 47.44614 (1.28591, −0.14219, 0.42810, 0.00055)T Bảng 4.4: Thuật tốn 4.1 cho Ví dụ 4.1 với sai số khác nhau, λk = ln δk = k+2 , k+1 k+2 , k+1 k+1 3k + k+3 , βk = , µk = điểm xuất phát x0 = (2, 5, −6, −4)T 6k + 2k + 2k + Sai số Số bước lặp k Thời gian CPU (giây) xk ε = 10−6 2253 1.27920 (1.28504, −0.14182, 0.42687, −0.00080)T ε = 10−7 7122 3.60204 (1.28550, −0.14253, 0.42803, −0.00025)T ε = 10−8 22520 10.32574 (1.28565, −0.14275, 0.42840, −0.00008)T ε = 10−9 71212 32.83508 (1.28569, −0.14282, 0.42852, −0.00003)T ε = 10−10 225191 98.27595 (1.28571, −0.14285, 0.42855, −0.00001)T 122 Kết luận chương Trong chương này, sử dụng phương pháp đạo hàm tăng cường để giải tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn cân tách với song hàm cân f, g giả đơn điệu Từ chúng tơi nhận hệ thuật tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ toán bất đẳng thức biến phân tách thuật tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ toán chấp nhận tách Kết đạt Chương đưa thuật toán để giải tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ toán cân tách với song hàm cân giả đơn điệu Các kết có thuật tốn tìm nghiệm tốn cân tách (xem [23,29,31]) giả thiết song hàm đơn điệu có song hàm đơn điệu 123 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong luận án, đề xuất phương pháp giải vài lớp toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc tập nghiệm toán chấp nhận tách ẩn Các kết mà luận án thu sau: Xây dựng ánh xạ tựa không giãn Tf : C −→ C thỏa mãn nguyên lý bán đóng tập điểm bất động Tf trùng với tập nghiệm toán cân EP (C, f ) với song hàm cân f giả đơn điệu Thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz với tập ràng buộc tập nghiệm toán điểm bất động tách với ánh xạ không giãn Thuật toán đạo hàm tăng cường để giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp bất đẳng thức biến phân tách hai cấp Thuật toán song song để giải toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz với tập ràng buộc tập nghiệm toán chấp nhận tách đa tập hợp Thuật tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ toán cân tách với song hàm cân giả đơn điệu Một số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp giải bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán điểm bất động tách ánh xạ tựa không giãn Đề xuất thuật toán song song-dưới đạo hàm tăng cường để giải bất đẳng thức biến phân tập nghiệm tốn tìm nghiệm chung tách tốn bất đẳng thức biến phân tách với ánh xạ giả đơn điệu 124 Đề xuất thuật toán song song-đạo hàm tăng cường để giải bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân tách với song hàm giả đơn điệu 125 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Anh T.V., Muu L.D (2016), "A projection-fixed point method for a class of bilevel variational inequalities with split fixed point constraints", Optimization 65 (6), pp 1229-1243 (SCIE) Anh T.V (2017), "A strongly convergent subgradient Extragradient-Halpern method for solving a class of bilevel pseudomonotone variational inequalities", Vietnam J Math., 45 (3), pp 317-332 (SCOPUS) Anh P.K., Anh T.V., Muu L.D (2017), "On bilevel split pseudomonotone variational inequality problems with applications", Acta Math Vietnam., 42 (3), pp 413-429 (SCOPUS) Anh T.V (2017), "An extragradient method for finding minimum-norm solution of the split equilibrium problem", Acta Math Vietnam., 42 (4), pp 587-604 (SCOPUS) Anh T.V (2017), "A parallel method for variational inequalities with the multiple-sets split feasibility problem constraints", J Fixed Point Theory Appl., 19 (4), pp 2681-2696 (SCIE) Anh T.V., Muu L.D (2018), "Quasi-nonexpansive mappings involving pseudomonotone bifunctions on convex sets", Journal of Convex Analysis 25 (4), pp 1105-1119 (SCIE) 126 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hữu Điển (2014), Giáo Trình Giải Tích Lồi Ứng Dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [2] Anh P.K., Hieu D.V (2016), "Parallel hybrid iterative methods for variational inequalities, equilibrium problems, and common fixed point problems", Vietnam J Math., 44 (2), pp 351-374 [3] Anh P.N (2013), "A hybrid extragradient method extended to fixed point problems and equilibrium problems", Optimization 62 (2), pp 271-283 [4] Anh P.N., Kim J K., Muu L.D (2012): "An extragradient algorithm for solving bilevel variational inequalities", J Global Optim 52 (3), pp 627-639 [5] Anh T.T.H., Ngoc L.V (2016), "On solution mapping of equilibrium problems", JP Journal of Fixed Point Theory and Applications 11 (2), pp 99-111 [6] Bauschke H.H., Combettes P.L (2011), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer, New York [7] Blum E., Oettli W (1994), "From optimization and variational inequalities to equilibrium problems", Math Student 63, pp 123-145 [8] Buong N (2017), "Iterative algorithms for the multiple-sets split feasibility problem in Hilbert spaces", Numer Algorithms 76 (3), pp 783-798 [9] Byrne C (2002), "Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem", Inverse Probl 18 (2), pp 441-453 127 [10] Byrne C (2004), "A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction", Inverse Probl 20 (1), pp 103-120 [11] Byrne C., Censor Y., Gibali A., Reich S (2012), "The split common null point problem", J Nonlinear Convex Anal 13 (4), pp 759-775 [12] Cegielski A (2015), "General method for solving the split common fixed point problem", J Optim Theory Appl 165 (2), pp 385-404 [13] Cegielski A., Al-Musallam F (2016), "Strong convergence of a hybrid steepest descent method for the split common fixed point problem", Optimization 65 (7), pp 1463-1476 [14] Ceng L.C., Ansari Q.H., Yao J.C (2012), "Relaxed extragradient methods for finding minimum-norm solutions of the split feasibility problem", Nonlinear Anal 75 (4), pp 2116-2125 [15] Censor Y., Bortfeld T., Martin B., Trofimov A (2006), "A unified approach for inversion problems in intensity-modulated radiation therapy", Phys Med Biol 51, pp 2353-2365 [16] Censor Y., Elfving T (1994), "A multiprojection algorithm using Bregman projections in a product space", Numer Algorithms (2), pp 221-239 [17] Censor Y., Elfving T., Kopf N., Bortfeld T (2005), "The multiple-sets split feasibility problem and its applications for inverse problems", Inverse Probl 21 (6), pp 2071-2084 [18] Censor Y., Gibali A., Reich S (2011), "The subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert space", J Optim Theory Appl 148 (2), pp 318-335 [19] Censor Y., Gibali A., Reich S (2012), "Algorithms for the split variational inequality problem", Numer Algorithms 59 (2), pp 301-323 [20] Censor Y., Segal A (2009) "The split common fixed point problem for directed operators", J Convex Anal 16, pp 587-600 128 [21] Combettes P.L., Hirstoaga S.A (2005), "Equilibrium programming in Hilbert spaces", J Nonlinear Convex Anal (1), pp 117-136 [22] Dinh B.V., Muu L.D (2013), "Algorithms for a class of bilevel programs involving pseudomonotone variational inequalities", Acta Math Vietnam., 38 (4), pp 529-540 [23] Dinh B.V., Son D.X., Anh T.V (2017), "Extragradient-proximal methods for split equilibrium and fixed point problems in Hilbert spaces", Vietnam J Math., 45 (4), pp 651-668 [24] Eslamian M., Eslamian P (2016), "Strong convergence of a split common fixed point problem", Numer Funct Anal Optim 37 (10), pp 1248-1266 [25] Facchinei F., Pang J.S (2003), Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementary Problems, Springer, New York [26] Fan K (1972), "A minimax inequality and applications", in: O Shisha, Inequality III, Proceeding of the Third Symposium on Inequalities Academic Press, New York [27] Goebel K., Kirk W.A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Studies in Advanced Math, vol 28 Cambridge University Press, Cambridge [28] Goldstein A.A (1964), "Convex programming in Hilbert space", Bull Am Math Soc 70, pp 709-710 [29] He Z (2012), "The split equilibrium problems and its convergence algorithms", J Inequal Appl 2012:162, DOI:10.1186/1029-242X-2012-162 [30] Hieu D.V (2015), "A parallel hybrid method for equilibrium problems, variational inequalities and nonexpansive mappings in Hilbert space", J Korean Math Soc 52 (2), pp 373-388 [31] Hieu D.V (2016), "Parallel extragradient-proximal methods for split equilibrium problems", Math Model Anal., 21 (4), pp 478-501 129 [32] Hieu D.V., Muu L.D., Anh P.K (2016), "Parallel hybrid extragradient methods for pseudomonotone equilibrium problems and nonexpansive mappings", Numer Algorithms, 73 (1), pp 197-217 [33] Ioffe A.D., Tihomirov V.M (1979), Theory of Extremal Problems, NorthHoland Publishing Company, Amsterdam-New York-Oxford [34] Konnov I.V (2000), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer, Berlin [35] Korpelevich G.M (1976), "The extragradient method for finding saddle points and other problems", Ekonomika i Matematicheskie Metody 12 (4), pp 747756 [36] Kraikaew R., Saejung S (2014), "Strong convergence of the Halpern subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert spaces", J Optim Theory Appl 163 (2), pp 399-412 [37] Levitin E.S., Polyak B.T (1966), "Constrained minimization problems", USSR Comput Math Math Phys 6, pp 1-50 [38] Liu B., Qu B., Zheng N (2014), "A successive projection algorithm for solving the multiple-sets split feasibility problem", Numer Funct Anal Optim 35 (11), pp 1459-1466 [39] Maingé, P.E (2008), "A hybrid extragradient-viscosity method for monotone operators and fixed point problems", SIAM J Control Optim 47 (3), pp 1499-1515 [40] Malitsky Y.V (2015), "Projected reflected gradient methods for monotone variational inequalities.", SIAM J Optim 25 (1), pp 502-520 [41] Moudafi A (2010), "The split common fixed-point problem for demicontractive mappings", Inverse Probl 26 (5), ID: 055007 [42] Moudafi A (2011), "Split monotone variational inclusions", J Optim Theory Appl 150 (2), pp 275-283 130 [43] Muu L.D (1984), "Stability property of a class of variational inequality", Optimization 15 (3), pp 347-351 [44] Muu L.D., Oettli W (1992), "Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria", Nonlinear Anal 18, pp 1159-1166 [45] Nikaido H., Isoda K (1955), "Note on noncooperative convex games", Pac J Math 5, pp 807-815 [46] Quoc T.D., Muu L.D., Nguyen V.H (2008), "Extragradient algorithms extended to equilibrium problems", Optimization 57 (6), pp 749-776 [47] Suzuki T (2005), "Strong convergence of Krasnoselskii and Mann’s type sequence for one–parameter nonexpansive semigroup without Bochner integrals", J Math Anal Appl 305 (1), pp 227-239 [48] Wen M., Peng J G., Tang Y.C (2015), "A cyclic and simultaneous iterative method for solving the multiple-sets split feasibility problem.", J Optim Theory Appl 166 (3), pp 844-860 [49] Xu H.K (2002), "Iterative algorithms for nonlinear operators", J London Math Soc 66 (1), pp 240-256 [50] Xu H.K (2006), "A variable Krasnosel’skii–Mann algorithm and the multipleset split feasibility problem", Inverse Probl 22, pp 2021-2034 [51] Xu H.K (2010), "Iterative methods for the split feasibility problem in infinitedimensional Hilbert spaces", Inverse Probl 26 (10), ID: 105018 [52] Xu M.H., Li M., Yang C.C (2009): "Neural networks for a class of bi-level variational inequalities", J Global Optim 44 (4), pp 535-552 [53] Yamada I (2001), "The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings", In: Butnariu, D., Censor, Y., Reich, S (eds.) Inherently Parallel Algorithms for Feasibility and Optimization and Their Applications, Elsevier, Amsterdam, pp 473-504 131 [54] Zhao J.L., Yang Q.Z (2011), "Self-adaptive projection methods for the multiple-sets split feasibility problem", Inverse Probl 27 (3), ID: 035009 [55] Zhao J.L., Yang Q.Z (2013), "A simple projection method for solving the multiple-sets split feasibility problem", Inverse Probl 21 (3), pp 537-546 [56] Zhao J.L., Zhang Y.J., Yang Q.Z (2012), "Modified projection methods for the split feasibility problem and the multiple-sets split feasibility problem", Appl Math Comput 219 (4), pp 1644-1653 132