Một số phương pháp kết hợp giải bài toán chấp nhận lồi suy rộng : Luận án TS. Toán học: 60 46 01

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- ĐẶNG VĂN HIẾU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI SUY RỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- ĐẶNG VĂN HIẾU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62460112 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan kết trình bày luận án này, hướng dẫn GS TSKH Phạm Kỳ Anh, trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Những kết viết chung với giáo sư hướng dẫn cộng đồng ý đưa vào luận án Hà nội, tháng 12 năm 2016 Nghiên cứu sinh Đặng Văn Hiếu LỜI CẢM ƠN Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, GS TSKH Phạm Kỳ Anh Tôi vô biết ơn giúp đỡ tận tình, quý báu mà Thầy dành cho tơi suốt q trình thực luận án Nhờ ý tưởng mà Thầy gợi ý, góp ý, hướng dẫn Thầy, tài liệu bổ ích mà Thầy cung cấp trao đổi thú vị Thầy công việc nghiên cứu, tơi hồn thành đề tài Thầy dành cho nhiều quan tâm, dẫn giúp đỡ quý báu không nghiên cứu khoa học mà sống Chính nhờ quan tâm Thầy, tơi thấy tin tưởng gặp khó khăn, vấp váp, chí thất bại Điều giúp tơi vững tin thực q trình nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn thầy anh chị em Trung tâm Tính tốn Hiệu cao, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Hữu Điển Thầy giúp đỡ nhiều việc sử dụng cơng cụ phần mềm tốn học Trong suốt thời gian làm nghiên cứu sinh, Thầy tạo cho môi trường làm việc thuận lợi, cho phép tơi tiếp cận phương tiện, máy móc để thực đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn thầy anh chị em Bộ mơn Tốn học tính tốn Tốn ứng dụng nói riêng Khoa Tốn Cơ Tin học, ĐHKHTN nói chung Những ý kiến quý báu thầy bạn kỳ Xêmina môn tạo điều kiện Khoa, môn giúp tơi nhiều việc hồn thành luận án Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy, anh chị bạn nhóm Xêmina liên quan ĐHKHTN, ĐHBK, Viện nghiên cứu cao cấp Tốn Nhóm tạo cho tơi nhiều cảm hứng nghiên cứu khoa học gắn bó với môi trường nghiên cứu Tôi biết ơn Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội Công tác quản lý đào tạo mơi trường nghiên cứu Trường góp phần khơng nhỏ luận án hồn thành dự định Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô anh chị em Bộ Mơn Tốn Tin nói riêng Khoa Cơ Bản, Trường Sĩ Quan Khơng Qn nói chung Đơn vị tạo điều kiện thuận lợi cho yên tâm học tập, nghiên cứu công tác Sự quan tâm lời động viên, khích lệ thầy cô, anh chị em bạn giúp tơi nhiều việc hồn thành luận án Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TSKH Vũ Hoàng Linh Thầy dạy dỗ bảo tận tình cho tơi cách học tập nghiên cứu chuyên đề cao học nghiên cứu sinh Thầy có nhiều góp ý quan trọng kỳ Xêmina, giúp tơi có nhiều ý tưởng động lực để phát triển hoàn thành luận án Từ tận đáy lịng tơi xin gửi lời cảm ơn tới GS TSKH Lê Dũng Mưu Thầy giúp đỡ nhiều chuyên môn, cách nghiên cứu, xây dựng ý tưởng giải vấn đề Chính nhờ bảo tận tình Thầy, tơi thấy tự tin hơn, độc lập nghiên cứu đề xuất ý tưởng Thầy có ảnh hưởng khơng nhỏ tới nghiên cứu gần Tôi xin chân thành cảm ơn GS TS Đặng Quang Á, GS TSKH Phạm Thế Long, TS Nguyễn Thế Vinh, TS Nguyễn Trung Hiếu thầy, anh chị khác, người dành thời gian đọc cho em nhiều ý kiến quý báu nội dung hình thức trình bày luận án Tơi xin gửi lời cảm ơn tới TS Vũ Tiến Dũng dành nhiều thời gian chia sẻ, hướng dẫn giúp tơi thực thử nghiệm số bó máy tính Trung tâm Tính tốn Hiệu cao, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội Tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS Trần Đình Quốc - Department of Statistics and Operations Research, University of North Carolina Anh giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm lập trình cung cấp gói phần mềm hỗ trợ cho tơi dễ dàng thực thử nghiệm số luận án Tôi xin cảm ơn bạn bè tôi, người quan tâm động viên sống lẫn công việc nghiên cứu khoa học Cuối cùng, luận án khơng thể hồn thành khơng có động viên hỗ trợ mặt gia đình Tơi khơng thể diễn đạt lời lịng biết ơn gia đình dành cho từ trước đến Qua đây, gửi lời cảm ơn tới vợ, tôi, người cho động lực, tiếng cười tạo điều kiện thời gian cho học tập nghiên cứu Luận án này, tơi cố gắng thực hiện, để gửi tới cha mẹ, vợ con, anh chị em người thân gia đình, với tất lịng biết ơn sâu sắc MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Bảng kí hiệu Bảng chữ viết tắt Mở đầu 10 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hình học khơng gian Banach 1.1.1 Không gian Banach lồi, trơn, lồi đều, trơn 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu số tính chất 1.1.3 Phép chiếu metric phép chiếu tổng quát 1.2 Phương trình tốn tử khơng gian Banach 1.2.1 Các khái niệm liên tục toán tử phi tuyến 1.2.2 Toán tử khả vi 1.2.3 Phiếm hàm lồi vi phân phiếm hàm lồi 1.2.4 Bài toán đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 1.3 Phương trình với tốn tử J - đơn điệu 1.3.1 Toán tử J - đơn điệu (accretive) toán tử đơn điệu 1.3.2 Phương trình với tốn tử J - đơn điệu 1.4 Bài tốn tìm điểm bất động 1.4.1 Ánh xạ không giãn 1.4.2 Ánh xạ không giãn tiệm cận 1.5 Bất đẳng thức biến phân toán cân 1.5.1 Bất đẳng thức biến phân 1.5.2 Bài toán cân 1.6 Mối liên hệ toán EP, VIP, FPP giải phương trình tốn tử 1.7 Một số bất đẳng thức sử dụng luận án 24 24 24 25 27 30 30 31 32 33 35 35 38 42 42 43 44 44 45 47 49 Chương Một số phương pháp giải hệ phương trình tốn tử 2.1 Hệ phương trình với toán tử J - đơn điệu ngược 2.2 Điểm bất động chung họ ánh xạ 2.2.1 Các phương pháp lai ghép song song 2.2.2 Các phương pháp lai ghép 2.3 Thử nghiệm số 50 50 61 62 67 72 Chương Một số phương pháp tìm nghiệm chung tốn cân bằng, tốn bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động 76 3.1 Phương pháp điểm gần kề 77 3.1.1 Phương pháp lai ghép không gian Banach 77 3.1.2 Phương pháp lai ghép không gian Hilbert 88 3.2 Các phương pháp chiếu 95 3.2.1 Phương pháp chiếu EGM 95 3.2.2 Phương pháp chiếu GLM 102 3.3 Phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo 108 3.4 Thử nghiệm số 114 3.4.1 Thử nghiệm số cho phương pháp điểm gần kề 114 3.4.2 Thử nghiệm số cho phương pháp chiếu EGM 116 3.4.3 Thử nghiệm số cho phương pháp chiếu GLM 117 Chương Một số phương pháp giải toán cân tách ứng dụng 4.1 Các thuật toán hội tụ 4.2 Ứng dụng cho toán biến phân tách 4.3 Thử nghiệm số 121 122 131 133 Kết luận 138 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 141 Tài liệu tham khảo 142 BẢNG KÍ HIỆU Tích vơ hướng (hoặc tích đối ngẫu) , H Khơng gian Hilbert X Không gian Banach X∗ Không gian đối ngẫu X J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc S( x0 , r ) ( B[ x0 , r ]) Mặt (hình) cầu tâm x0 , bán kính r arg f ( x ) Phần tử cực tiểu hàm f arg max f ( x ) Phần tử cực đại hàm f Tp (Ts ) Thời gian chạy song song (tuần tự) S p = Ts /Tp (E p = S p /N) Tỷ lệ tăng tốc độ (Hiệu suất trung bình CPU) D ( A)( R( A)) Miền xác định (giá trị) toán tử A G ( A) Đồ thị toán tử A Fix (S) F˜ (S) Tập điểm bất động ánh xạ S Tập điểm bất động tiệm cận ánh xạ S V I ( A, C ) Tập nghiệm VIP cho toán tử A C EP( f , C ) Tập nghiệm EP cho song hàm f C PC (ΠC ) Phép chiếu metric (tổng quát) tập C φ(., ) Phiếm hàm Lyapunov ( +\ +) ∗ Tập hợp số thực (không âm\ dương) δX (ρ X ) Mô-đun lồi (trơn) không gian X ∅ Tập rỗng ✷ Kết thúc chứng minh BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT IPIRM (EPIRM) Phương pháp chỉnh lặp song song ẩn (hiện) PPM Phương pháp điểm gần kề EGM Phương pháp đạo hàm tăng cường SEGM Phương pháp đạo hàm-đạo hàm tăng cường GM Phương pháp đạo hàm GLM Phương pháp kiểu đạo hàm CFP (GCFP) Bài toán chấp nhận lồi (suy rộng) SFP Bài toán chấp nhận tách SOP Bài toán tối ưu tách SOE Hệ phương trình tốn tử FPP (CFPP) Bài tốn điểm bất động (chung) CSVIP Nghiệm chung bất đẳng thức biến phân CSEP Nghiệm chung toán cân IP (SIP) Bài toán ngược (tách) VIP (SVIP) Bài toán bất đẳng thức biến phân (tách) EP (SEP) Bài toán cân (tách) REP Bài toán cân hiệu chỉnh GEP Bài toán cân suy rộng Bảng 4.1: Thử nghiệm cho Thuật toán 4.1 N=2 N=50 N=100 m TOL CPU(s) Iter CPU(s) Iter CPU(s) Iter 10−3 0.061 3.754 10.611 10−6 0.222 10 5.565 10 23.345 10 10−3 0.158 2.373 9.578 10−6 0.244 3.574 15.659 10−3 0.176 2.494 6.614 10−6 0.228 3.289 14.118 100 10−3 0.273 5.384 14.135 10−6 0.405 8.758 22.281 500 10−3 2.605 52.877 113.215 10−6 4.041 72.749 149.628 10 Bảng 4.2: Thử nghiệm cho Thuật toán 4.2 N=2 N=50 N=100 m TOL CPU(s) 10−3 0.102 2.027 5.783 10−6 0.351 11 3.905 11 8.329 11 10−3 1.394 54 16.468 41 33.844 29 10−6 3.909 127 49.388 114 99.714 113 10−3 5.216 139 65.798 128 127.887 122 10−6 15.42 402 209.645 370 347.256 363 100 10−3 Slow conv - - - - - 10−6 Slow conv - - - - - 10 Iter CPU(s) Iter CPU(s) Iter 136 Bài toán (4.30) giải công cụ Optimization Toolbox Matlab Kết thử nghiệm cho Thuật tốn 4.2 trình bày Bảng 4.2 Từ bảng này, ta thấy Thuật toán 4.2 hội tụ chậm với m = 100 (Slow conv.) Cuối cùng, chúng tơi thử nghiệm cho Thuật tốn 4.1 4.2 với liệu sinh ngẫu nhiên Kết trình bày Bảng 4.3 Nhận xét rằng, Thuật tốn 4.2 có ý nghĩa khơng gian Hilbert vơ hạn chiều hội tụ mạnh Kết luận chương Trong chương này, chúng tơi đề xuất hai thuật toán song song giải tốn SEP hai khơng gian Hilbert thực Các thuật toán kết hợp hai phương pháp PPM EGM với phương pháp chiếu co Hai định lý hội tụ yếu mạnh thiết lập giả thiết sử dụng phổ biến cho song hàm Các thử nghiệm số chế độ thực cho lớp song hàm khái quát hóa từ mơ hình cân Nash-Cournot để minh họa hội tụ thuật toán đề xuất Bảng 4.3: Thử nghiệm cho Thuật toán 4.1 4.2 với liệu N=50 Alg 3.2 N=100 Alg 4.2 Alg 3.2 Alg 4.2 m TOL CPU(s) Iter CPU(s) Iter CPU(s) Iter CPU(s) Iter 10−3 2.056 2.272 8.712 6.691 10−6 3.253 10 4.109 11 14.462 10 16.473 11 10−3 1.317 22.881 52 5.044 60.364 39 10−6 2.974 60.375 126 8.008 180.072 119 10 10−3 1.517 59.724 112 4.945 209.523 142 10−6 2.644 210.139 383 8.787 622.079 417 137 KẾT LUẬN Luận án đề xuất số phương pháp song song giải toán dạng GCFP bao gồm tốn giải hệ phương trình toán tử J - đơn điệu, toán CFPP, tốn CSVIP, tốn CSEP, tốn tìm nghiệm chung hỗn hợp tốn SEP Các kết thu luận án bao gồm: Phương pháp chỉnh lặp song song ẩn (IPIRM) phương pháp chỉnh lặp song song (EPIRM) cho hệ phương trình tốn tử J - đơn điệu không gian Banach Phương pháp lai ghép song song tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ tựa φ - không giãn (tiệm cận) không gian Banach trơn lồi Phương pháp lai ghép PPM song song, phương pháp chiếu EGM song song, phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo tìm nghiệm chung toán EP và/hoặc toán VIP tốn FPP khơng gian Hilbert Banach Phương pháp chiếu GLM tìm nghiệm tốn EP khơng gian Hilbert Phương pháp PPM - EGM song song giải toán cân tách khơng gian Hilbert Một số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: Các kết luận án mở rộng để giải hệ phương trình với toán tử J - đơn điệu kết hợp với xấp xỉ hữu hạn chiều không gian Banach Nghiên cứu phương trình Hammerstein loại (vế trái hợp tốn tử đơn điệu) phương trình với toán tử hiệu toán tử đơn điệu 138 Nghiên cứu kỹ thuật phân rã song song, chia miền để xây dựng phương pháp song song Đề xuất phương pháp dạng chiếu gradient với số lần thực phép chiếu tính giá trị tốn tử bước lặp để giải toán VIP GEP (Generalized Equilibrium Problem) 139 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Anh P.K., Buong Ng., Hieu D.V (2014), "Parallel methods for regularizing systems of equations involving accretive operators", Appl Anal 93(10), pp 2136-2157 (SCIE) Anh P.K., Hieu D.V (2015), "Parallel and sequential hybrid methods for a finite family of asymptotically quasi φ - nonexpansive mappings", J Appl Math Comput 48, pp 241-263 (SCOPUS) Hieu D.V (2015), "A parallel hybrid method for equilibrium problems, variational inequalities and nonexpansive mappings in Hilbert space", J Korean Math Soc 52(2), pp 373-388 (SCIE) Hieu D.V (2016), "Common solutions to pseudomonotone equilibrium problems", Bull Iranian Math Soc 42 (5), pp 1207-1219 (SCIE) Hieu D.V (2016), "Parallel extragradient-proximal methods for split equilibrium problems", Math Model Anal., 21 (4), pp 478-501 (SCIE) Anh P.K., Hieu D.V (2016), "Parallel hybrid iterative methods for variational inequalities, equilibrium problems, and common fixed point problems", Vietnam J Math., 44 (2), pp 351-374 (SCOPUS) Hieu D.V., Muu L.D., Anh P.K (2016), "Parallel hybrid extragradient methods for pseudomonotone equilibrium problems and nonexpansive mappings", Numer Algorithms, 73, pp 197-217 (SCIE) Hieu D.V (2016), "Parallel hybrid methods for generalized equilibrium problems and asymptotically strictly pseudocontractive mappings", J Appl Math Comput., DOI :10.1007/s12190-015-0980-9 (SCOPUS) Hieu D.V (2016), "An extension of hybrid method without extrapolation step to equilibrium problems", J Ind Manag Optim DOI:10.3934/jimo.2017015 (SCIE) 140 10 Hieu D.V (2016), "Hybrid projection methods for equilibrium problems with non-Lipschitz type bifunctions", Math Meth Appl Sci (Accepted on November 28, 2016) (SCIE) 141 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Bường (2001), Hiệu chỉnh toán phương pháp toán tử đơn điệu, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tài liệu tiếng Pháp [3] Auslender A (1976), Optimisation: Méthodes Numériques, Masson, Paris, France (in French) ´ ´ ´ ees ´ Par[4] Hadamard J (1932), Le Probleeme de Cauchy et Lesequations aux Deriv tielles Hyperboliques, Paris, Hermann [5] Martinet B (1970), "R´egularisation d´ in´equations variationelles par approx´ 4, pp imations successives", Rev Fr Autom Inform Rech Op´er., Anal Numer 154–159 [6] Stampacchia, G (1964), "Formes bilineares coercitives sur les ensembles convexes", C.R Hebd Séances Acad Sci 258, pp 4413–4416 Tài liệu tiếng Anh [7] Alber Ya.I., Chidume C.E., Zegeye H (2005), "Regularization of nonlinear illposed equations with accretive operators", Fixed Point Theory Appl 2005(1), pp 11- 33 [8] Agmon S (1954), "The relaxation method for linear inequalities", Canadian J Math 6, pp 382–392 142 [9] Alber Ya I (1996), "Metric and generalized projection operators in Banach spaces: properties and applications, in Theory and Applications of Nonlinear Operators of Accretive and Monotone Type", A G Kartosator, Ed., Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Dekker, New York, NY, USA 178, pp 15-50 [10] Alber Ya.I (2000), New Results in Fixed Point Theory, Preprint, Technion [11] Alber Ya.I., Ryazantseva I (2006), Nonlinear Ill-posed Problems of Monotone Type, Springer, Dordrecht [12] Anh P.K., Chung C.V (2009), "Parallel iterative regularization methods for solving systems of ill-posed equations", Appl Math Comput 212, pp 542 550 [13] Anh P.K., Chung C.V (2011), "Parallel regularized Newton method for nonlinear ill-posed equations", Numer Algorithms 58(3), pp 379-398 [14] Anh P.K., Dzung V.T (2013), "Parallel iteratively regularized Gauss-Newton method for systems of nonlinear ill-posed equations", Inter J Computer Math., 90 (11), pp 2452-2461 [15] Anh P.K., Chung C.V (2014), "Parallel hybrid methods for a finite family of relatively nonexpansive mappings", Numer Funct Anal Optim., 35 (6), pp 649-664 [16] Anh P.K., Dzung V.T (2010), "Parallel iterative regularization algorithms for large overdetermined linear systems", Inter J Comput Meth., (4), pp 525 537 [17] Anh P.N (2013), "A hybrid extragradient method extended to fixed point problems and equilibrium problems", Optimization 62 (2), pp 271-283 [18] Bakusinskii A.B., Goncharskii A.V (1994), Ill-posed Problems: Theory and Applications, Kluwer, Dordrecht [19] Bauschke H.H., Borwein J.M (1996), "On projection algorithms for solving convex feasibility problems", SIAM Review 38, pp 367– 426 143 [20] Bianchi M., Schaible, S (1996), "Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems", J Optim Theory Appl 90, pp 31-43 [21] Blaschke B., Neubauer A., Schezer O (1997), "On convergence rates for the iteratively regularized Gauss-Newton method", IMA J Numer Anal 17, pp 421-436 [22] Blum E., Oettli W (1994), "From optimization and variational inequalities to equilibrium problems", Math Student 63, pp 123-145 [23] Buong Ng., Dung N.D (2009), "Regularization for a common solution of a system of nonlinear ill-posed equations", Int J Math Anal 3(34), pp 16931699 [24] Buong Ng., Phuong N.T.H (2012), "Convergence rates in regularization for nonlinear ill-posed equations involving m-accretive mappings in Banach spaces", Appl Math Sci 63, pp 3109-3117 [25] Buong Ng., Son P.V (2008), "An explicit iteration method for convex feasibility problems in Hilbert spaces", Appl Math Sci (15), pp 725-734 [26] Burger M., Kaltenbacher B (2006), "Regularizing Newton-Kaczmarz methods for nonlinear ill-posed problems", SIAM J Numer Anal 44, pp 153-182 [27] Butnariu D., Censor Y., Reich S (Editors) (2001), Inherently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and Their Applications, Elsevier Science Publishers, Amsterdam, The Netherlands [28] Bregman L.M (1965), "The method of successive projection for finding a common point of convex sets", Soviet Mathematics Doklady 6, pp 688–692 Translated from the Russian original publication: Doklady Akademii Nauk SSSR 162, pp 487–490 [29] Browder F.E (1967), "Nonlinear functional analysis and nonlinear partial differential equations", Differential Equations and Their Applications, Bratislava 1967, pp 89–113 144 [30] Browder F E (1966), "Nonlinear elliptic functional equations in nonreflexive Banach spaces", Bull Amer Math Soc 72, pp 89-95 [31] Censor Y., Bortfeld T., Martin B., Trofimov A (2006), "A unified approach for inversion problems in intensity-modulated radiation therapy", Phys Med Biol 51, pp 2353-2365 [32] Censor Y., Elfving T., Kopf N., Bortfeld T (2005), "The multiple-sets split feasibility problem and its applications for inverse problems", Inverse Probl 21, pp 2071-2084 [33] Censor Y., Gibali A., Reich S (2012), "A von Neumann alternating method for finding common solutions to variational inequalities", Nonlinear Anal 75, pp 4596-4603 [34] Censor Y., Gibali A., Reich S (2012), "Algorithms for the split variational inequality problem", Numer Algor 59 (2), pp 301-323 [35] Censor Y., Gibali A., Reich S (2011), "The subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert space", J Optim Theory Appl 148, pp 318-335 [36] Censor Y., Gordon D and Gordon R (2001), "Component averaging: An efficient iterative parallel algorithm for large and sparse unstructured problems", Parallel Comput 27, pp 777-808 [37] Chang S.S., Kim J.K., Wang X.R (2010), "Modified block iterative algorithm for solving convex feasibility problems in Banach spaces", J Inequal Appl 2010, ID 2010:869684, DOI:10.1155/2010/869684 [38] Combettes P.L., Hirstoaga S.A (2005), "Equilibrium programming in Hilbert spaces", J Nonlinear Convex Anal (1), pp 117-136 [39] Combettes P.L (1996), "The convex feasibility problem in image recovery", in, P.Hawkes(Ed.), Advances in Imaging and Electron Physics, Academic Press, New York 95, pp 155–270 145 [40] Daniele P., Giannessi F., and Maugeri A (2003), Equilibrium Problems and Variational Models, Kluwer [41] Diestel J (1975), Geometry of Banach Spaces - Selected Topics Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin [42] Dinh B.V., Hung P.G., Muu L.D (2014), "Bilevel optimization as a regularization approach to pseudomonotone equilibrium problems", Numer Funct Anal Optim 35 (5), pp 539–563 [43] Diniz-Ehrhardt M A., Martinez J M (1993), "A parallel projection method for overdetermined nonlinear systems of equations", Numer Algorithms 4, pp 241-262 [44] Duvaut D., Lions J.L (1976), Inequalities in Mechanics and Physics, Springer, Berlin [45] Goebel K, Kirk W.A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Studies in Advanced Math, vol 28 Cambridge University Press, Cambridge [46] Gubin L.G., Polyak B.T., Raik E.V (1967), "The method of projection for finding the common point in convex sets", USSR Comput Math Math Physics 7, pp 1–24 Translated from the Russian original publication at: Zhurnal Vychislitel’noi Matematikii Matematicheskoi Fiziki 7, pp 1211–1228 [47] Halpern B (1967), "Fixed points of nonexpanding maps", Bull Amer Math Soc.73, pp 957-961 [48] Haltmeier M., Kowar R., Leitao A., Scherzer O (2007), "Kaczmarz methods for regularizing nonlinear ill-posed equations I Convergence analysis", Inverse Probl Imaging 1(2), pp 289-298 [49] He Z (2012), "The split equilibrium problems and its convergence algorithms", J Inequal Appl 2012:162, DOI:10.1186/1029-242X-2012-162 [50] Hieu D.V., Anh P.K., Muu L.D (2016), "Modified hybrid projection methods for finding common solutions to variational inequality problems", Comput Optim Appl., DOI: 10.1007/s10589-016-9857-6 146 [51] Hieu D.V (2016), "Weak and strong convergence of subgradient extragradient methods for pseudomonotone equilibrium problems", Commun Korean Math Soc., 31 (4), pp 879-893 [52] Hieu D.V (2016), "Halpern subgradient extragradient method extended to equilibrium problems", Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales - Serie A: Matematicas, DOI :10.1007/s13398-016-0328-9 [53] Hung P.G., Muu L.D (2011), "The Tikhonov regularization extended to equilibrium problems involving pseudomonotone bifunctions", Nonlinear Anal 74, pp 6121-6129 [54] Iiduka H., Takahashi W (2008), "Weak convergence of a projection algorithm for variational inequalities in a Banach space", J Math Anal Appl 339, pp 668-679 [55] Kim T.H., Lee H.J (2008), "Strong convergence of modified iteration processes for relatively nonexpansive mappings in Banach Spaces", Kyungpook Math J 48 , pp 685-703 [56] Kinderlehrer D., Stampacchia G (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York [57] Konnov I.V (2000), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer, Berlin [58] Korpelevich G.M (1976), "An extragradient method for finding saddle points and other problems", Ekonomika i Matematicheskie Metody 12, pp 747756 [59] Lavrentiev M.M (1967), Some Improperly Posed Problems in Mathematical Physics, Springer, New-York [60] Liu X F (2011), "Strong convergence theorems for a finite family of relatively nonexpansive mappings", Vietnam J Math 39 (1), pp 63-69 147 [61] Lu T , Neittaanmaki P , and Tai X.-C (1992), "A parallel splitting up method for partial differential equations and its application to Navier-Stokes equations", RAIRO Math Model Numer Anal., 26 (6), pp 673-708 [62] Malitsky Yu.V., Semenov V.V (2015), "A hybrid method without extrapolation step for solving variational inequality problems", J Glob Optim 61, pp 193-202 [63] Mann W.R (1953), "Mean value methods in iteration", Proc Amer Math Soc 4, pp 506-510 [64] Mastroeni G (2000), "On auxiliary principle for equilibrium problems", Publ Dipart Math Univ Pisa 3, pp 1244-1258 [65] Moudafi A (2010), "The split common fixed-point problem for demicontractive mappings", Inverse Probl 26 (5), ID: 055007, DOI: 10.1088/02665611/26/5/055007 [66] Moudafi A (2011), "Split monotone variational inclusions", J Optim Theory Appl 150, pp 275-283 [67] Muu L.D, Oettli W (1992), "Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria", Nonlinear Anal 18, pp 1159-1166 [68] Nguyen T.T.V., Strodiot J.J., Nguyen V.H (2014), "Hybrid methods for solving simultaneously an equilibrium problem and countably many fixed point problems in a Hilbert space", J Optim Theory Appl 160 (3), pp 809-831 [69] Noor M.A., Oettli W (1994), "On general non linear complementarity problems and quasi-equilibria", Le Matematiche (Catania) 49, pp 313–331 [70] Peng J.W., Yao J.C (2009), "Some new iterative algorithms for generalized mixed equilibrium problems with strict pseudocontractions and monotone mappings", Taiwanese J Math 13(5), pp 1537-1582 [71] Petrot N., Wattanawitoon K., Kumam P (2010), "A hybrid projection method for generalized mixed equilibrium problems and fixed point problems in Banach spaces", Nonlinear Anal.: Hybrid Syst 4, pp 631-643 148 [72] Quoc T.D., Muu L.D., and Hien N.V (2008), "Extragradient algorithms extended to equilibrium problems", Optimization 57, pp 749-776 [73] Rockafellar R.T (1976), "Monotone operators and the proximal point algorithm", SIAM J Control Optim 14, pp 877–898 [74] Rockafellar R.T (1970), "On the maximality of sums of nonlinear monotone operators", Trans Amer Math Soc 149, pp 75-88 [75] Saeidi S (2010), "Iterative methods for equilibrium problems, variational inequalites and fixed points", Bull Iranian Math Soc 36 (1), pp 117-135 [76] Shehu Y (2011), "Strong convergence theorems for nonlinear mappings, variational inequality problems and system of generalized mixed equilibrium problems", Math Comput Model 54, pp 2259-2276 [77] Su Y., Li M., Zhang H (2011), "New monotone hybrid algorithm for hemirelatively nonexpansive mappings and maximal monotone operators", Appl Math Comput 217(12), pp 5458-5465 [78] Su Y.F., Wang Z.M., Xu H K (2009), "Strong convergence theorems for a common fixed point of two hemi-relatively nonexpansive mappings", Nonlinear Anal 71, pp 5616 - 5628 [79] Takahashi W (2000), Nonlinear Functional Analysis, Yokohama Publishers, Yokohama [80] Takahashi W., Zembayashi K (2009), "Strong and weak convergence theorems for equilibrium problems and relatively nonexpansive mappings in Banach spaces", Nonlinear Anal 70 (1), pp 45-57 [81] Vuong P.T., Strodiot J.J., Nguyen V.H (2012), "Extragradient methods and linesearch algorithms for solving Ky Fan inequalities and fixed point problems", J Optim Theory Appl 155, pp 605–627 [82] Xu H.K (2004), "Viscosity approximation methods for nonexpensive mappings", J Math Anal Appl 289(1), pp 279-291 149 [83] Yamada I (2001), "The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings", In: Butnariu, D., Censor, Y., Reich, S ( eds.) Inherently Parallel Algorithms for Feasibility and Optimization and Their Applications, Elsevier, Amsterdam, pp 473–504 [84] Zegeye H., Shahzad N (2009), "Strong convergence theorems for monotone mappings and relatively weak nonexpansive mappings", Nonlinear Anal 70 (7), pp 2707-2716 [85] Zhang C., Li J., Liu B (2011), "Strong convergence theorems for equilibrium problems and relatively nonexpansive mappings in Banach spaces", Comput Math Appl 61, pp 262-276 [86] Zilli G and Bergamaschi L (1999), "Parallel Newton methods for sparse systems of nonlinear equations", Rend Circ Mat Palermo (II) 58, pp 247-257 150