Một số phương pháp kết hợp giải bài toán chấp nhận lồi suy rộng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- ĐẶNG VĂN HIẾU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI SUY RỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- ĐẶNG VĂN HIẾU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62460112 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án này, hướng dẫn GS TSKH Phạm Kỳ Anh, trung thực chưa công bố công trình khác Những kết viết chung với giáo sư hướng dẫn cộng đồng ý đưa vào luận án Hà nội, tháng 12 năm 2016 Nghiên cứu sinh Đặng Văn Hiếu LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, GS TSKH Phạm Kỳ Anh Tôi vô biết ơn giúp đỡ tận tình, quý báu mà Thầy dành cho suốt trình thực luận án Nhờ ý tưởng mà Thầy gợi ý, góp ý, hướng dẫn Thầy, tài liệu bổ ích mà Thầy cung cấp trao đổi thú vị Thầy công việc nghiên cứu, hoàn thành đề tài Thầy dành cho nhiều quan tâm, dẫn giúp đỡ quý báu không nghiên cứu khoa học mà sống Chính nhờ quan tâm Thầy, thấy tin tưởng gặp khó khăn, vấp váp, chí thất bại Điều giúp vững tin thực trình nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn thầy anh chị em Trung tâm Tính toán Hiệu cao, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội Đặc biệt, xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Hữu Điển Thầy giúp đỡ nhiều việc sử dụng công cụ phần mềm toán học Trong suốt thời gian làm nghiên cứu sinh, Thầy tạo cho môi trường làm việc thuận lợi, cho phép tiếp cận phương tiện, máy móc để thực đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn thầy anh chị em Bộ môn Toán học tính toán Toán ứng dụng nói riêng Khoa Toán Cơ Tin học, ĐHKHTN nói chung Những ý kiến quý báu thầy bạn kỳ Xêmina môn tạo điều kiện Khoa, môn giúp nhiều việc hoàn thành luận án Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy, anh chị bạn nhóm Xêmina liên quan ĐHKHTN, ĐHBK, Viện nghiên cứu cao cấp Toán Nhóm tạo cho nhiều cảm hứng nghiên cứu khoa học gắn bó với môi trường nghiên cứu Tôi biết ơn Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội Công tác quản lý đào tạo môi trường nghiên cứu Trường góp phần không nhỏ luận án hoàn thành dự định Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô anh chị em Bộ Môn Toán Tin nói riêng Khoa Cơ Bản, Trường Sĩ Quan Không Quân nói chung Đơn vị tạo điều kiện thuận lợi cho yên tâm học tập, nghiên cứu công tác Sự quan tâm lời động viên, khích lệ thầy cô, anh chị em bạn giúp nhiều việc hoàn thành luận án Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TSKH Vũ Hoàng Linh Thầy dạy dỗ bảo tận tình cho cách học tập nghiên cứu chuyên đề cao học nghiên cứu sinh Thầy có nhiều góp ý quan trọng kỳ Xêmina, giúp có nhiều ý tưởng động lực để phát triển hoàn thành luận án Từ tận đáy lòng xin gửi lời cảm ơn tới GS TSKH Lê Dũng Mưu Thầy giúp đỡ nhiều chuyên môn, cách nghiên cứu, xây dựng ý tưởng giải vấn đề Chính nhờ bảo tận tình Thầy, thấy tự tin hơn, độc lập nghiên cứu đề xuất ý tưởng Thầy có ảnh hưởng không nhỏ tới nghiên cứu gần Tôi xin chân thành cảm ơn GS TS Đặng Quang Á, GS TSKH Phạm Thế Long, TS Nguyễn Thế Vinh, TS Nguyễn Trung Hiếu thầy, anh chị khác, người dành thời gian đọc cho em nhiều ý kiến quý báu nội dung hình thức trình bày luận án Tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS Vũ Tiến Dũng dành nhiều thời gian chia sẻ, hướng dẫn giúp thực thử nghiệm số bó máy tính Trung tâm Tính toán Hiệu cao, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội Tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS Trần Đình Quốc - Department of Statistics and Operations Research, University of North Carolina Anh giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm lập trình cung cấp gói phần mềm hỗ trợ cho dễ dàng thực thử nghiệm số luận án Tôi xin cảm ơn bạn bè tôi, người quan tâm động viên sống lẫn công việc nghiên cứu khoa học Cuối cùng, luận án hoàn thành động viên hỗ trợ mặt gia đình Tôi diễn đạt lời lòng biết ơn gia đình dành cho từ trước đến Qua đây, gửi lời cảm ơn tới vợ, tôi, người cho động lực, tiếng cười tạo điều kiện thời gian cho học tập nghiên cứu Luận án này, cố gắng thực hiện, để gửi tới cha mẹ, vợ con, anh chị em người thân gia đình, với tất lòng biết ơn sâu sắc MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Bảng kí hiệu Bảng chữ viết tắt Mở đầu 10 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hình học không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach lồi, trơn, lồi đều, trơn 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu số tính chất 1.1.3 Phép chiếu metric phép chiếu tổng quát 1.2 Phương trình toán tử không gian Banach 1.2.1 Các khái niệm liên tục toán tử phi tuyến 1.2.2 Toán tử khả vi 1.2.3 Phiếm hàm lồi vi phân phiếm hàm lồi 1.2.4 Bài toán đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 1.3 Phương trình với toán tử J - đơn điệu 1.3.1 Toán tử J - đơn điệu (accretive) toán tử đơn điệu 1.3.2 Phương trình với toán tử J - đơn điệu 1.4 Bài toán tìm điểm bất động 1.4.1 Ánh xạ không giãn 1.4.2 Ánh xạ không giãn tiệm cận 1.5 Bất đẳng thức biến phân toán cân 1.5.1 Bất đẳng thức biến phân 1.5.2 Bài toán cân 1.6 Mối liên hệ toán EP, VIP, FPP giải phương trình toán tử 1.7 Một số bất đẳng thức sử dụng luận án 24 24 24 25 27 30 30 31 32 33 35 35 38 42 42 43 44 44 45 47 49 Chương Một số phương pháp giải hệ phương trình toán tử 2.1 Hệ phương trình với toán tử J - đơn điệu ngược 2.2 Điểm bất động chung họ ánh xạ 2.2.1 Các phương pháp lai ghép song song 2.2.2 Các phương pháp lai ghép 2.3 Thử nghiệm số 50 50 61 62 67 72 Chương Một số phương pháp tìm nghiệm chung toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động 76 3.1 Phương pháp điểm gần kề 77 3.1.1 Phương pháp lai ghép không gian Banach 77 3.1.2 Phương pháp lai ghép không gian Hilbert 88 3.2 Các phương pháp chiếu 95 3.2.1 Phương pháp chiếu EGM 95 3.2.2 Phương pháp chiếu GLM 102 3.3 Phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo 108 3.4 Thử nghiệm số 114 3.4.1 Thử nghiệm số cho phương pháp điểm gần kề 114 3.4.2 Thử nghiệm số cho phương pháp chiếu EGM 116 3.4.3 Thử nghiệm số cho phương pháp chiếu GLM 117 Chương Một số phương pháp giải toán cân tách ứng dụng 4.1 Các thuật toán hội tụ 4.2 Ứng dụng cho toán biến phân tách 4.3 Thử nghiệm số 121 122 131 133 Kết luận 138 Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 141 Tài liệu tham khảo 142 BẢNG KÍ HIỆU Tích vô hướng (hoặc tích đối ngẫu) , H Không gian Hilbert X Không gian Banach X∗ Không gian đối ngẫu X J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc S( x0 , r ) ( B[ x0 , r ]) Mặt (hình) cầu tâm x0 , bán kính r arg f ( x ) Phần tử cực tiểu hàm f arg max f ( x ) Phần tử cực đại hàm f Tp (Ts ) Thời gian chạy song song (tuần tự) S p = Ts /Tp (E p = S p /N) Tỷ lệ tăng tốc độ (Hiệu suất trung bình CPU) D ( A)( R( A)) Miền xác định (giá trị) toán tử A G ( A) Đồ thị toán tử A Fix (S) F˜ (S) Tập điểm bất động ánh xạ S Tập điểm bất động tiệm cận ánh xạ S V I ( A, C ) Tập nghiệm VIP cho toán tử A C EP( f , C ) Tập nghiệm EP cho song hàm f C PC (ΠC ) Phép chiếu metric (tổng quát) tập C φ(., ) Phiếm hàm Lyapunov ( +\ +) ∗ Tập hợp số thực (không âm\ dương) δX (ρ X ) Mô-đun lồi (trơn) không gian X ∅ Tập rỗng ✷ Kết thúc chứng minh BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT IPIRM (EPIRM) Phương pháp chỉnh lặp song song ẩn (hiện) PPM Phương pháp điểm gần kề EGM Phương pháp đạo hàm tăng cường SEGM Phương pháp đạo hàm-đạo hàm tăng cường GM Phương pháp đạo hàm GLM Phương pháp kiểu đạo hàm CFP (GCFP) Bài toán chấp nhận lồi (suy rộng) SFP Bài toán chấp nhận tách SOP Bài toán tối ưu tách SOE Hệ phương trình toán tử FPP (CFPP) Bài toán điểm bất động (chung) CSVIP Nghiệm chung bất đẳng thức biến phân CSEP Nghiệm chung toán cân IP (SIP) Bài toán ngược (tách) VIP (SVIP) Bài toán bất đẳng thức biến phân (tách) EP (SEP) Bài toán cân (tách) REP Bài toán cân hiệu chỉnh GEP Bài toán cân suy rộng Ta có kết sau liên quan tới tính lồi đóng tập điểm bất động Fix ( T ) tính bán đóng ánh xạ I − T Bổ đề 1.24 [45] Giả sử C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H T : C → C ánh xạ không giãn Nếu T có điểm bất động (i) Fix ( T ) tập lồi đóng C (ii) I − T bán đóng 1.4.2 Ánh xạ không giãn tiệm cận Trong năm gần đây, lý thuyết điểm bất động phát triển cho lớp ánh xạ rộng có ý nghĩa phương diện lý thuyết ứng dụng Trong luận án này, lớp toán tử không giãn, mở rộng nghiên cứu lớp ánh xạ rộng ánh xạ tựa φ - không giãn (tiệm cận) không gian Banach Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Banach X phản xạ, lồi chặt trơn , T : C → C ánh xạ với Fix ( T ) tập điểm bất động Điểm p ∈ C gọi điểm bất động tiệm cận T tồn dãy p xn − Txn → n → +∞ Tập điểm bất động tiệm cận T kí hiệu F˜ ( T ) Trong chương 2, nghiên cứu lớp { xn } ⊂ C cho xn ánh xạ sau Định nghĩa 1.12 Ánh xạ T : C → C gọi 1) không giãn tương đối Fix ( T ) = Ø, Fix ( T ) = F˜ ( T ) φ( p, Tx ) ≤ φ( p, x ), ∀ p ∈ Fix ( T ), ∀ x ∈ C; 2) tựa φ - không giãn (hay h-không giãn tương đối) Fix ( T ) = Ø φ( p, Tx ) ≤ φ( p, x ), ∀ p ∈ Fix ( T ), ∀ x ∈ C; 3) tựa φ-không giãn tiệm cận Fix ( T ) = Ø tồn dãy {k n } ⊂ [1, +∞) với k n → n → +∞ cho φ( p, T n x ) ≤ k n φ( p, x ), ∀n ≥ 1, ∀ p ∈ Fix ( T ), ∀ x ∈ C; 43 4) liên tục Lipschitz tồn số L > cho T n x − T n y ≤ L x − y , ∀n ≥ 1, ∀ x, y ∈ C Rõ ràng, lớp ánh xạ không giãn tương đối lớp lớp ánh xạ tự φ - không giãn lớp ánh xạ tựa φ - không giãn lớp lớp ánh xạ tựa φ - không giãn tiệm cận Hơn nữa, lớp ánh xạ tựa φ không giãn (tiệm cận) điều kiện Fix ( T ) = F˜ ( T ) bỏ qua Các ví dụ minh họa cho Định nghĩa 1.12 tìm thấy [37, 78] Bổ đề 1.25 [37] Cho X không gian Banach thực lồi chặt trơn với tính chất Kadec-Klee C tập lồi đóng khác rỗng X Giả sử T : C → C ánh xạ đóng tựa φ-không giãn tiệm cận với dãy {k n } ⊂ [1, +∞), k n → Khi Fix ( T ) tập lồi đóng C 1.5 1.5.1 Bất đẳng thức biến phân toán cân Bất đẳng thức biến phân Bất đẳng thức biến phân (VIP) Stampacchia [6] giới thiệu nghiên cứu vào năm 1964 Trong năm gần đây, toán VIP quan tâm nghiên cứu rộng rãi có nhiều ứng dụng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, điều khiển tối ưu, học tài [44, 56] Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach X A : C → X ∗ toán tử phi tuyến Bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) toán tử A C tìm x ∗ ∈ C cho A( x ∗ ), x − x ∗ ≥ 0, ∀ x ∈ C (1.24) Tập nghiệm toán VIP (1.24) kí hiệu V I ( A, C ) Trong không gian Hilbert, A liên tục C tập compact tập nghiệm toán VIP (1.24) khác rỗng Tính compact C giảm nhẹ tính toán tử A Chú ý p∗ ∈ V I ( A, C ) p∗ = PC ( p∗ − λAp∗ ), λ > Ta có bổ đề sau tính lồi đóng tập nghiệm toán VIP 44 (1.25) Bổ đề 1.26 [79] Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach X A ánh xạ h-liên tục, đơn điệu từ C vào X ∗ Khi V I ( A, C ) = {u ∈ C : v − u, A(v) ≥ 0, ∀v ∈ C } Bổ đề 1.27 [74] Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach X A ánh xạ đơn điệu h-liên tục từ C vào X ∗ với D ( A) = C Ánh xạ Q xác định   Ax + N ( x ) x ∈ C, C Q( x ) =  ∅ x ∈ / C Khi Q đơn điệu cực đại Q−1 = V I ( A, C ) 1.5.2 Bài toán cân Bài toán cân Muu Oettli [67] giới thiệu vào năm 1992, sau Blum Oettli [22], Noor Oettli [69] tiếp tục nghiên cứu thu số kết tồn quan trọng vào năm 1994 Bài toán cân mô hình tổng quát, bao gồm nhiều mô hình toán học khác toán VIP, toán FPP, toán tối ưu, toán điểm yên ngựa, toán cân Nash, vv [22, 67] Lý thuyết toán cân cung cấp cho ta cách tiếp cận tổng quát để nghiên cứu lớp toán kinh tế, tài chính, tối ưu lý thuyết xấp xỉ Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach X f song hàm từ C × C vào tập hợp số thực Bài toán cân (EP) cho f C tìm phần tử x ∗ ∈ C cho f ( x ∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C (1.26) Tập nghiệm toán cân EP (1.26) kí hiệu EP( f , C ) đơn giản EP( f ) Trong không gian Hilbert, f liên tục tập compact C lồi (hoặc tựa lồi) theo biến thứ toán EP (1.26) có nghiệm Tính compact C thay tính song hàm f Để giải toán (1.26) không gian Banach X, giả thiết song hàm f thỏa mãn điều kiện sau đây: (A1) f ( x, x ) = với x ∈ C; (A2) f đơn điệu, tức f ( x, y) + f (y, x ) ≤ với x, y ∈ C; 45 (A3) Với x, y, z ∈ C, lim sup f (tz + (1 − t) x, y) ≤ f ( x, y); t →0+ (A4) Với x ∈ C, f ( x, ) hàm lồi nửa liên tục Các kết không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn, toán cân hiệu chỉnh có nghiệm tập nghiệm toán cân EP lồi đóng Bổ đề 1.28 [38] Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn, song hàm f từ C × C tới thỏa mãn điều kiện (A1)-(A4) cho trước r > 0, x ∈ X Khi tồn z ∈ C cho f (z, y) + y − z, Jz − Jx ≥ 0, r ∀y ∈ C Bổ đề 1.29 [38] Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn, song hàm f từ C × C tới thỏa mãn điều kiện (A1)-(A4) Với r > 0, x ∈ X, ta xác định giải thức f (ánh xạ Combettes) f Tr x = {z ∈ C : f (z, y) + y − z, Jz − Jx ≥ 0, r ∀ y ∈ C } Khi f (B1) Tr đơn trị; f (B2) Tr không giãn vững (firmly nonexpansive), tức với x, y ∈ X, f f f f f f Tr x − Tr y, JTr x − JTr y ≤ Tr x − Tr y, Jx − Jy ; f f (B3) Fix ( Tr ) = F˜ ( Tr ) = EP( f , C ); f (B4) EP( f , C ) lồi đóng Tr ánh xạ không giãn tương đối Bổ đề 1.30 [80] Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn, song hàm f từ C × C tới thỏa mãn điều kiện (A1)-(A4) r > f Khi đó, với x ∈ X q ∈ Fix ( Tr ), f f φ(q, Tr x ) + φ( Tr x, x ) ≤ φ(q, x ) Bổ đề 1.31 [49, Bổ đề 2.5] Cho hai số thực r, s > x, y ∈ H Với giả thiết Bổ đề 1.29, ta có f f || Tr ( x ) − Ts (y)|| ≤ || x − y|| + 46 |s − r | f || Ts (y) − y|| s Trong Chương 3, X không gian Hilbert thực H, xét toán EP giả đơn điệu Khi đó, giả thiết song hàm f thỏa mãn điều kiện sau đây: ¯ ) f ( x, x ) = với x ∈ C f giả đơn điệu, tức với x, y ∈ C, (A1 f ( x, y) ≥ ⇒ f (y, x ) ≤ 0; ¯ ) f thỏa mãn bất đẳng thức kiểu Lipschitz, tức tồn hai số dương (A2 c1 , c2 cho f ( x, y) + f (y, z) ≥ f ( x, z) − c1 || x − y||2 − c2 ||y − z||2 , ∀ x, y, z ∈ C; ¯ ) f (., y) nửa liên tục yếu theo dãy C với y ∈ C, tức là, (A3 lim sup f ( xn , y) ≤ f ( x, y) n→∞ với dãy { xn } ⊂ C xn x; ¯ ) f ( x, ) lồi khả vi phân C với x ∈ C cố định (A4 Dễ thấy, song hàm đơn điệu giả đơn điệu, điều ngược lại nói chung không Một toán tử A : C → H gọi giả đơn điệu song hàm f ( x, y) = A( x ), y − x giả đơn điệu Ta có kết sau tính lồi đóng tập nghiệm EP( f , C ) cho toán EP giả đơn điệu ¯ ) − (A4 ¯ ), tập nghiệm Bổ đề 1.32 [20] Nếu song hàm f thỏa mãn điều kiện (A1 EP( f , C ) lồi đóng 1.6 Mối liên hệ toán EP, VIP, FPP giải phương trình toán tử Như trình bày phần trước, toán EP mặt hình thức đơn giản chứa đựng nhiều mô hình toán học khác nhau, kinh tế tài chính, lý thuyết biến phân, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết điều khiển tối ưu Trong mục này, điểm qua số nét mối liên hệ toán EP, toán VIP, toán FPP toán giải hệ phương trình toán tử Chúng trình bày không gian Hilbert H với tích vô hướng , Đối với không gian 47 Banach, cần thay tích vô hướng tích đối ngẫu thu kết tương tự Nhắc lại toán EP cho song hàm f : C × C → tìm x ∗ ∈ C cho f ( x ∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C, (1.27) C tập lồi đóng không gian Hilbert H Cho A : C → H toán tử phi tuyến đặt f ( x, y) = A( x ), y − x toán EP (1.27) trở thành toán VIP , tức tìm x ∗ ∈ C cho A( x ∗ ), y − x ∗ ≥ 0, ∀y ∈ C (1.28) Hiển nhiên, C = H bất đẳng thức biến phân (1.28) trở thành toán giải phương trình toán tử A( x ) = (1.29) Cho T : C → C ánh xạ đặt f ( x, y) = x − T ( x ), y − x Khi toán EP (1.27) trở thành toán FPP cho ánh xạ T, tức tìm x ∗ ∈ C cho x ∗ = T ( x ∗ ), (1.30) toán tương đương với toán giải phương trình toán tử (1.29) với A( x ) = x − T ( x ) Nếu T ánh xạ không giãn A = I − T 1/2 - đơn điệu mạnh ngược Ngược lại A α - đơn điệu mạnh ngược toán tử T = I − λA không giãn với λ ∈ (0, 2α) toán VIP (1.28) tương đương với toán FPP cho ánh xạ PC T, tức tìm x ∗ cho x ∗ = PC ( x ∗ − λA( x ∗ )), (1.31) PC phép chiếu metric lên tập C Đây sở để xây dựng thuật toán lặp giải toán VIP cách sử dụng thuật toán lặp điểm bất động cho ánh xạ không giãn Trong luận án này, với giả thiết khác nhau, xem xét phương pháp khác Có thể đưa toán VIP toán EP toán FPP cho ánh xạ không giãn, nhiên, cần đặt thêm giả thiết lên toán tử song hàm giả thiết thường mạnh Đó lý nên xử lý trực tiếp toán 48 10 Hieu D.V (2016), "Hybrid projection methods for equilibrium problems with non-Lipschitz type bifunctions", Math Meth Appl Sci (Accepted on November 28, 2016) (SCIE) 141 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Bường (2001), Hiệu chỉnh toán phương pháp toán tử đơn điệu, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tài liệu tiếng Pháp [3] Auslender A (1976), Optimisation: Méthodes Numériques, Masson, Paris, France (in French) ´ ´ ´ ees ´ Par[4] Hadamard J (1932), Le Probleeme de Cauchy et Lesequations aux Deriv tielles Hyperboliques, Paris, Hermann [5] Martinet B (1970), "R´egularisation d´ in´equations variationelles par approx´ 4, pp imations successives", Rev Fr Autom Inform Rech Op´er., Anal Numer 154–159 [6] Stampacchia, G (1964), "Formes bilineares coercitives sur les ensembles convexes", C.R Hebd Séances Acad Sci 258, pp 4413–4416 Tài liệu tiếng Anh [7] Alber Ya.I., Chidume C.E., Zegeye H (2005), "Regularization of nonlinear illposed equations with accretive operators", Fixed Point Theory Appl 2005(1), pp 11- 33 [8] Agmon S (1954), "The relaxation method for linear inequalities", Canadian J Math 6, pp 382–392 142 [9] Alber Ya I (1996), "Metric and generalized projection operators in Banach spaces: properties and applications, in Theory and Applications of Nonlinear Operators of Accretive and Monotone Type", A G Kartosator, Ed., Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Dekker, New York, NY, USA 178, pp 15-50 [10] Alber Ya.I (2000), New Results in Fixed Point Theory, Preprint, Technion [11] Alber Ya.I., Ryazantseva I (2006), Nonlinear Ill-posed Problems of Monotone Type, Springer, Dordrecht [12] Anh P.K., Chung C.V (2009), "Parallel iterative regularization methods for solving systems of ill-posed equations", Appl Math Comput 212, pp 542 550 [13] Anh P.K., Chung C.V (2011), "Parallel regularized Newton method for nonlinear ill-posed equations", Numer Algorithms 58(3), pp 379-398 [14] Anh P.K., Dzung V.T (2013), "Parallel iteratively regularized Gauss-Newton method for systems of nonlinear ill-posed equations", Inter J Computer Math., 90 (11), pp 2452-2461 [15] Anh P.K., Chung C.V (2014), "Parallel hybrid methods for a finite family of relatively nonexpansive mappings", Numer Funct Anal Optim., 35 (6), pp 649-664 [16] Anh P.K., Dzung V.T (2010), "Parallel iterative regularization algorithms for large overdetermined linear systems", Inter J Comput Meth., (4), pp 525 537 [17] Anh P.N (2013), "A hybrid extragradient method extended to fixed point problems and equilibrium problems", Optimization 62 (2), pp 271-283 [18] Bakusinskii A.B., Goncharskii A.V (1994), Ill-posed Problems: Theory and Applications, Kluwer, Dordrecht [19] Bauschke H.H., Borwein J.M (1996), "On projection algorithms for solving convex feasibility problems", SIAM Review 38, pp 367– 426 143 [20] Bianchi M., Schaible, S (1996), "Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems", J Optim Theory Appl 90, pp 31-43 [21] Blaschke B., Neubauer A., Schezer O (1997), "On convergence rates for the iteratively regularized Gauss-Newton method", IMA J Numer Anal 17, pp 421-436 [22] Blum E., Oettli W (1994), "From optimization and variational inequalities to equilibrium problems", Math Student 63, pp 123-145 [23] Buong Ng., Dung N.D (2009), "Regularization for a common solution of a system of nonlinear ill-posed equations", Int J Math Anal 3(34), pp 16931699 [24] Buong Ng., Phuong N.T.H (2012), "Convergence rates in regularization for nonlinear ill-posed equations involving m-accretive mappings in Banach spaces", Appl Math Sci 63, pp 3109-3117 [25] Buong Ng., Son P.V (2008), "An explicit iteration method for convex feasibility problems in Hilbert spaces", Appl Math Sci (15), pp 725-734 [26] Burger M., Kaltenbacher B (2006), "Regularizing Newton-Kaczmarz methods for nonlinear ill-posed problems", SIAM J Numer Anal 44, pp 153-182 [27] Butnariu D., Censor Y., Reich S (Editors) (2001), Inherently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and Their Applications, Elsevier Science Publishers, Amsterdam, The Netherlands [28] Bregman L.M (1965), "The method of successive projection for finding a common point of convex sets", Soviet Mathematics Doklady 6, pp 688–692 Translated from the Russian original publication: Doklady Akademii Nauk SSSR 162, pp 487–490 [29] Browder F.E (1967), "Nonlinear functional analysis and nonlinear partial differential equations", Differential Equations and Their Applications, Bratislava 1967, pp 89–113 144 [30] Browder F E (1966), "Nonlinear elliptic functional equations in nonreflexive Banach spaces", Bull Amer Math Soc 72, pp 89-95 [31] Censor Y., Bortfeld T., Martin B., Trofimov A (2006), "A unified approach for inversion problems in intensity-modulated radiation therapy", Phys Med Biol 51, pp 2353-2365 [32] Censor Y., Elfving T., Kopf N., Bortfeld T (2005), "The multiple-sets split feasibility problem and its applications for inverse problems", Inverse Probl 21, pp 2071-2084 [33] Censor Y., Gibali A., Reich S (2012), "A von Neumann alternating method for finding common solutions to variational inequalities", Nonlinear Anal 75, pp 4596-4603 [34] Censor Y., Gibali A., Reich S (2012), "Algorithms for the split variational inequality problem", Numer Algor 59 (2), pp 301-323 [35] Censor Y., Gibali A., Reich S (2011), "The subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert space", J Optim Theory Appl 148, pp 318-335 [36] Censor Y., Gordon D and Gordon R (2001), "Component averaging: An efficient iterative parallel algorithm for large and sparse unstructured problems", Parallel Comput 27, pp 777-808 [37] Chang S.S., Kim J.K., Wang X.R (2010), "Modified block iterative algorithm for solving convex feasibility problems in Banach spaces", J Inequal Appl 2010, ID 2010:869684, DOI:10.1155/2010/869684 [38] Combettes P.L., Hirstoaga S.A (2005), "Equilibrium programming in Hilbert spaces", J Nonlinear Convex Anal (1), pp 117-136 [39] Combettes P.L (1996), "The convex feasibility problem in image recovery", in, P.Hawkes(Ed.), Advances in Imaging and Electron Physics, Academic Press, New York 95, pp 155–270 145 [40] Daniele P., Giannessi F., and Maugeri A (2003), Equilibrium Problems and Variational Models, Kluwer [41] Diestel J (1975), Geometry of Banach Spaces - Selected Topics Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin [42] Dinh B.V., Hung P.G., Muu L.D (2014), "Bilevel optimization as a regularization approach to pseudomonotone equilibrium problems", Numer Funct Anal Optim 35 (5), pp 539–563 [43] Diniz-Ehrhardt M A., Martinez J M (1993), "A parallel projection method for overdetermined nonlinear systems of equations", Numer Algorithms 4, pp 241-262 [44] Duvaut D., Lions J.L (1976), Inequalities in Mechanics and Physics, Springer, Berlin [45] Goebel K, Kirk W.A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Studies in Advanced Math, vol 28 Cambridge University Press, Cambridge [46] Gubin L.G., Polyak B.T., Raik E.V (1967), "The method of projection for finding the common point in convex sets", USSR Comput Math Math Physics 7, pp 1–24 Translated from the Russian original publication at: Zhurnal Vychislitel’noi Matematikii Matematicheskoi Fiziki 7, pp 1211–1228 [47] Halpern B (1967), "Fixed points of nonexpanding maps", Bull Amer Math Soc.73, pp 957-961 [48] Haltmeier M., Kowar R., Leitao A., Scherzer O (2007), "Kaczmarz methods for regularizing nonlinear ill-posed equations I Convergence analysis", Inverse Probl Imaging 1(2), pp 289-298 [49] He Z (2012), "The split equilibrium problems and its convergence algorithms", J Inequal Appl 2012:162, DOI:10.1186/1029-242X-2012-162 [50] Hieu D.V., Anh P.K., Muu L.D (2016), "Modified hybrid projection methods for finding common solutions to variational inequality problems", Comput Optim Appl., DOI: 10.1007/s10589-016-9857-6 146 [51] Hieu D.V (2016), "Weak and strong convergence of subgradient extragradient methods for pseudomonotone equilibrium problems", Commun Korean Math Soc., 31 (4), pp 879-893 [52] Hieu D.V (2016), "Halpern subgradient extragradient method extended to equilibrium problems", Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales - Serie A: Matematicas, DOI :10.1007/s13398-016-0328-9 [53] Hung P.G., Muu L.D (2011), "The Tikhonov regularization extended to equilibrium problems involving pseudomonotone bifunctions", Nonlinear Anal 74, pp 6121-6129 [54] Iiduka H., Takahashi W (2008), "Weak convergence of a projection algorithm for variational inequalities in a Banach space", J Math Anal Appl 339, pp 668-679 [55] Kim T.H., Lee H.J (2008), "Strong convergence of modified iteration processes for relatively nonexpansive mappings in Banach Spaces", Kyungpook Math J 48 , pp 685-703 [56] Kinderlehrer D., Stampacchia G (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York [57] Konnov I.V (2000), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer, Berlin [58] Korpelevich G.M (1976), "An extragradient method for finding saddle points and other problems", Ekonomika i Matematicheskie Metody 12, pp 747756 [59] Lavrentiev M.M (1967), Some Improperly Posed Problems in Mathematical Physics, Springer, New-York [60] Liu X F (2011), "Strong convergence theorems for a finite family of relatively nonexpansive mappings", Vietnam J Math 39 (1), pp 63-69 147 [61] Lu T , Neittaanmaki P , and Tai X.-C (1992), "A parallel splitting up method for partial differential equations and its application to Navier-Stokes equations", RAIRO Math Model Numer Anal., 26 (6), pp 673-708 [62] Malitsky Yu.V., Semenov V.V (2015), "A hybrid method without extrapolation step for solving variational inequality problems", J Glob Optim 61, pp 193-202 [63] Mann W.R (1953), "Mean value methods in iteration", Proc Amer Math Soc 4, pp 506-510 [64] Mastroeni G (2000), "On auxiliary principle for equilibrium problems", Publ Dipart Math Univ Pisa 3, pp 1244-1258 [65] Moudafi A (2010), "The split common fixed-point problem for demicontractive mappings", Inverse Probl 26 (5), ID: 055007, DOI: 10.1088/02665611/26/5/055007 [66] Moudafi A (2011), "Split monotone variational inclusions", J Optim Theory Appl 150, pp 275-283 [67] Muu L.D, Oettli W (1992), "Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria", Nonlinear Anal 18, pp 1159-1166 [68] Nguyen T.T.V., Strodiot J.J., Nguyen V.H (2014), "Hybrid methods for solving simultaneously an equilibrium problem and countably many fixed point problems in a Hilbert space", J Optim Theory Appl 160 (3), pp 809-831 [69] Noor M.A., Oettli W (1994), "On general non linear complementarity problems and quasi-equilibria", Le Matematiche (Catania) 49, pp 313–331 [70] Peng J.W., Yao J.C (2009), "Some new iterative algorithms for generalized mixed equilibrium problems with strict pseudocontractions and monotone mappings", Taiwanese J Math 13(5), pp 1537-1582 [71] Petrot N., Wattanawitoon K., Kumam P (2010), "A hybrid projection method for generalized mixed equilibrium problems and fixed point problems in Banach spaces", Nonlinear Anal.: Hybrid Syst 4, pp 631-643 148 [72] Quoc T.D., Muu L.D., and Hien N.V (2008), "Extragradient algorithms extended to equilibrium problems", Optimization 57, pp 749-776 [73] Rockafellar R.T (1976), "Monotone operators and the proximal point algorithm", SIAM J Control Optim 14, pp 877–898 [74] Rockafellar R.T (1970), "On the maximality of sums of nonlinear monotone operators", Trans Amer Math Soc 149, pp 75-88 [75] Saeidi S (2010), "Iterative methods for equilibrium problems, variational inequalites and fixed points", Bull Iranian Math Soc 36 (1), pp 117-135 [76] Shehu Y (2011), "Strong convergence theorems for nonlinear mappings, variational inequality problems and system of generalized mixed equilibrium problems", Math Comput Model 54, pp 2259-2276 [77] Su Y., Li M., Zhang H (2011), "New monotone hybrid algorithm for hemirelatively nonexpansive mappings and maximal monotone operators", Appl Math Comput 217(12), pp 5458-5465 [78] Su Y.F., Wang Z.M., Xu H K (2009), "Strong convergence theorems for a common fixed point of two hemi-relatively nonexpansive mappings", Nonlinear Anal 71, pp 5616 - 5628 [79] Takahashi W (2000), Nonlinear Functional Analysis, Yokohama Publishers, Yokohama [80] Takahashi W., Zembayashi K (2009), "Strong and weak convergence theorems for equilibrium problems and relatively nonexpansive mappings in Banach spaces", Nonlinear Anal 70 (1), pp 45-57 [81] Vuong P.T., Strodiot J.J., Nguyen V.H (2012), "Extragradient methods and linesearch algorithms for solving Ky Fan inequalities and fixed point problems", J Optim Theory Appl 155, pp 605–627 [82] Xu H.K (2004), "Viscosity approximation methods for nonexpensive mappings", J Math Anal Appl 289(1), pp 279-291 149 ... HỌC TỰ NHIÊN ———————- ĐẶNG VĂN HIẾU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62460112 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:... số phương pháp giải toán EP không mở rộng trực tiếp toán VIP Hai phương pháp phổ biến giải toán VIP toán EP phương pháp điểm gần kề (PPM - Proximal Point Method) [57] phương pháp chiếu [72] Phương. .. Phương pháp điểm gần kề EGM Phương pháp đạo hàm tăng cường SEGM Phương pháp đạo hàm-đạo hàm tăng cường GM Phương pháp đạo hàm GLM Phương pháp kiểu đạo hàm CFP (GCFP) Bài toán chấp nhận lồi (suy rộng)