Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách suy rộng

Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách suy rộng Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách suy rộng Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách suy rộng luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐẶNG XUÂN SƠN PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐẶNG XUÂN SƠN PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : GS.TSKH Lê Dũng Mưu GS.TSKH Phạm Kỳ Anh XÁC NHẬN NCS ĐÃ CHỈNH SỬA THEO QUYẾT NGHỊ CỦA HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ LUẬN ÁN Người hướng dẫn khoa học Chủ tịch hội đồng đánh giá Luận án Tiến sĩ GS.TSKH Lê Dũng Mưu PGS.TSKH Vũ Hoàng Linh Hà Nội - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác, trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án hoàn toàn trung thực chưa công bố công trình khác Hà nội, ngày tháng năm Nghiên cứu sinh Đặng Xuân Sơn LỜI CẢM ƠN Bản luận án hồn thành Bộ mơn Giải tích, Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, hướng dẫn GS TSKH Lê Dũng Mưu GS TSKH Phạm Kỳ Anh Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy bảo hướng dẫn tận tình suốt thời gian tác giả làm nghiên cứu sinh Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thành viên nhóm Xêmina liên quan Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Viện nghiên cứu cao cấp Tốn đóng góp nhiều ý kiến quý báu thời gian tác giả tham dự Xêmina Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, ban giám hiệu Trường THPT chuyên Trần Phú Hải Phòng giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Bản luận án khơng thể hồn thành khơng có thơng cảm, chia sẻ giúp đỡ người thân gia đình tác giả Tác giả thành kính dâng tặng q tinh thần lên bậc sinh thành toàn thể gia đình thân u với lịng trân trọng biết ơn sâu sắc MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Bảng kí hiệu Bảng chữ viết tắt Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Toán tử chiếu 1.2 Bài toán điểm bất động 1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.4 Bài toán cân Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI SUY RỘNG 2.1 Nghiệm chung toán điểm bất động ánh xạ giả co chặt toán cân 2.2 Bất đẳng thức biến phân tập nghiệm chung toán bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động ánh xạ bán co 2.3 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung ánh xạ bán co 15 15 16 17 22 28 28 38 52 Chương BÀI TỐN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG 3.1 Bài tốn chấp nhận tách suy rộng liên quan đến toán cân điểm bất động 3.2 Bài tốn tìm cực trị hàm khoảng cách tập nghiệm toán cân tách 64 Kết luận kiến nghị 89 64 75 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 91 Tài liệu tham khảo 92 BẢNG KÍ HIỆU R tập số thực N tập số tự nhiên N∗ tập số nguyên dương ∅ tập rỗng A⊂B A tập B B tích Descartes hai tập A B x∈A phần tử x thuộc tập A x∈ /A phần tử x không thuộc tập A ∃x tồn x ∀x với x Rn không gian Euclide n−chiều H không gian Hilbert thực x chuẩn vectơ x x, y tích vơ hướng hai vectơ x y argmin{f (x) : x ∈ C} phần tử cực tiểu hàm f C argmax{f (x) : x ∈ C} phần tử cực đại hàm f C NC (x) nón pháp tuyến ngồi C x ∂f (x) vi phân hàm f x PC (x) hình chiếu x lên C {xn } dãy vectơ xn xn −→ x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn dãy {xn } hội tụ yếu tới x x lim sup giới hạn lim inf giới hạn A∗ toán tử liên hợp A Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T V IP (C, F ) toán bất đẳng thức biến phân Sol(C, F ) tập nghiệm toán V IP (C, F ) EP (C, f ) toán cân Sol(C, f ) tập nghiệm toán cân EP (C, f ) ✷ kết thúc chứng minh BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT VIP toán bất đẳng thức biến phân EP toán cân SEP toán cân tách CFP toán chấp nhận lồi GCFP toán chấp nhận lồi suy rộng SFP toán chấp nhận tách MSSFP toán chấp nhận tách đa tập hợp SFPP toán điểm bất động tách MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Nhiều vấn đề khoa học kĩ thuật khơi phục ảnh, xử lý tín hiệu nhiều toán như: tối ưu, bất đẳng thức biến phân, giải hệ phương trình, cân bằng, (xem [10,29,31] tài liệu tham chiếu đây) đưa việc giải toán chấp nhận lồi (CFP - Convex Feasibility Problem) sau đây: N ∗ Tìm điểm x ∈ Ci , i=1 Ci , i = 1, 2, , N tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert khơng gian Banach Bài tốn CFP Cauchy đề cập từ kỉ 19 nhận quan tâm nghiên cứu rộng rãi hai thập niên gần lý thuyết thuật toán Đây toán tổng quát tốn giải tích, tốn học tính tốn tốn ứng dụng Bài toán chấp nhận lồi thu hút quan tâm nhiều nhà toán học từ năm 30 kỷ trước, nay, vấn đề thời sự, tính lý thú mặt toán học đặc biệt phạm vi ứng dụng rộng rãi toán lĩnh vực xử lý tín hiệu, khơi phục ảnh, lý thuyết tối ưu, kĩ thuật y sinh lý thuyết xấp xỉ [29] Một số tác giả tiêu biểu hướng nghiên cứu Bauschke Borwein [10], Butnariu, Censor, Reich [15], Dạng đơn giản tốn CFP tìm điểm chung tập lồi đóng cho trước Trong trường hợp kĩ thuật phổ biến giải tốn CFP sử dụng phép chiếu lên tập lồi với số phương pháp phương pháp chiếu xoay vòng (tuần tự), phương pháp chiếu lặp song song (đồng thời), phương pháp lặp khối, Tuy nhiên, thực tế thường tập Ci không cho dạng y − yk : y ∈ C = argmin λk F (z k ), y − z k + y − y k : y ∈ C tk = argmin λk f (z k , y) + = PC (y k − λk F (z k )) Hệ 3.5 Cho C Q hai tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H1 , H2 A : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn với toán tử liên hợp A∗ Giả sử F : C −→ H1 giả đơn điệu C L-liên tục Lipschitz C thỏa mãn lim sup F (xk ), y − y k ≤ F (x), y − y với dãy {xk }, {y k } hội k−→∞ tụ yếu tới x Xét dãy {xk }, {y k }, {z k } {tk } cho    y k = PC (xk + δk A∗ (PQ (Axk ) − Axk )),       z k = PC (y k − λk F (y k )),   tk = PC (y k − λk F (z k )),       xk+1 = αk u0 + (1 − αk )tk ∀k ≥ 0, {δk } ⊂ [a, b] với a, b ∈ 0, A +1 , {λk } ⊂ [c, d] ⊂ 0, , {αk } ⊂ L ∞ αk = ∞ Khi dãy {xk } {y k } hội tụ mạnh đến (0, 1), lim αk = 0, k−→∞ k=0 nghiệm toán min{ x − u0 : x ∈ C, F (x), y − x ≥ ∀y ∈ C, Ax ∈ Q} Từ Định lý 3.2 f = 0, ta thu thuật tốn tìm cực trị hàm khoảng cách tập nghiệm toán chấp nhận tách Hệ 3.6 Cho C Q hai tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H1 , H2 A : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn với toán tử liên hợp A∗ Với x0 ∈ C bất kỳ, xét dãy lặp {xk }, {y k }, {z k } {tk } cho   y k = PC (xk + δk A∗ (PQ (Axk ) − Axk )),  xk+1 = αk u0 + (1 − αk )y k ∀k ≥ 0, {δk } ⊂ [a, b] với a, b ∈ 0, A +1 , {αk } ⊂ (0, 1), lim αk = 0, k−→∞ ∞ αk = ∞ Khi dãy {xk } {y k } hội tụ mạnh đến nghiệm k=0 85 toán min{ x − u0 : x ∈ C, Ax ∈ Q} Để minh họa Định lý 3.2, ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3.1 Đặt H1 = R4 , H2 = R2 xét toán tử tuyến tính bị chặn A : R4 −→ R2 cho A(x) = (x1 + x3 + x4 , x2 + x3 − x4 )T , ∀x = (x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 Ta dễ dàng kiểm tra toán tử liên hợp A∗ : R2 −→ R4 A cho A∗ (y) = (y1 , y2 , y1 + y2 , y1 − y2 )T , y = (y1 , y2 )T ∈ R2 Xét C = {(x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 : x2 + x3 − x1 ≥ −1} song hàm f : C × C −→ R cho f (x, y) = x1 −x2 −x3 −y1 +y2 +y3 , ∀x = (x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ C, y = (y1 , y2 , y3 , y4 )T ∈ C Dễ dàng kiểm tra f (x, ·) lồi khả vi phân C f (x, x) = với x ∈ C Ngoài f giả đơn điệu C thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz C với số c1 = c2 = Dễ thấy tập nghiệm toán cân EP (C, f ) Sol(C, f ) = {(x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 : x2 + x3 − x1 = −1} Tiếp theo, xét tập Q = {(u1 , u2 )T ∈ R2 : u1 + u2 = 2} Tập nghiệm Γ toán SEP sau: Γ = {x = (x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ Sol(C, f ) : A(x) ∈ Q} = {x = (x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 : x2 + x3 − x1 = −1, (x1 + x3 + x4 ) + (x2 + x3 − x4 ) = 2} = {x = (x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 : x2 + x3 − x1 = −1, x1 + x2 + 2x3 = 2} = {(α, 3α − 4, − 2α, β)T : α, β ∈ R} 86 Lấy x = (α, 3α − 4, − 2α, β)T ∈ Γ bất kỳ, ta có x = = ≥ α2 + (3α − 4)2 + (3 − 2α)2 + β 13 2(7α − 9)2 + β2 + 7 13 = x∗ , T −1 , , ,0 7 Chọn x0 = (−6, 8, −11, 7)T ∈ C u0 = 0, αk = x∗ = , δk = 0.2, λk = k+2 3k + , ε = 10−8 Ta có kết kết tính tốn Bảng 3.1 2k + Bảng 3.1: Ví dụ 3.1 với αk = 3k + , δk = 0.2, λk = ε = 10−8 k+2 2k + Số bước lặp k xk1 xk2 xk3 xk4 −6.00000 8.00000 −11.00000 7.00000 −0.50000 3.70000 −4.70000 3.50000 0.68889 2.53778 −2.51556 2.33333 1.07556 1.91511 −1.58956 1.75000 1.21890 1.52378 −1.10488 1.40000 ··· ··· ··· ··· ··· 35895 1.28572 −0.14262 0.42837 0.00020 35896 1.28572 −0.14262 0.42837 0.00020 35897 1.28572 −0.14262 0.42837 0.00019 35898 1.28572 −0.14262 0.42837 0.00019 Ta thấy nghiệm xấp xỉ sau 35898 bước lặp x35898 = (1.28572, −0.14262, 0.42837, 0.00019)T xấp xỉ tốt cho nghiệm x∗ = 87 −1 , , ,0 7 T Kết luận chương Trong chương này, kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường-gần kề cho tốn cân bằng, phương pháp lặp Mann để tìm nghiệm toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến tốn cân điểm bất động Đóng góp chương đề xuất thuật tốn để giải tốn tìm cực trị hàm khoảng cách tập nghiệm toán cân tách 88 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong luận án, đề xuất phương pháp giải vài lớp toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến tốn cân khơng gian Hilbert thực Các kết mà luận án thu sau: Xây dựng thuật tốn giải tốn tìm điểm chung tập điểm bất động họ ánh xạ giả co chặt với tập nghiệm toán cân Xây dựng thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm chung toán bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động ánh xạ bán co Đề xuất thuật toán song song để giải toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ bán co Xây dựng thuật tốn tìm nghiệm tốn chấp nhận tách suy rộng liên quan đến toán cân điểm bất động Đưa thuật tốn giải tốn tìm cực trị hàm khoảng cách tập nghiệm toán cân tách Một số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: Nghiên cứu thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm tốn tìm nghiệm chung toán điểm bất động ánh xạ giả co chặt toán cân Nghiên cứu thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến toán cân điểm bất động 89 Nghiên cứu thuật toán song song giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến ánh xạ bán co 90 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Anh P.N., Son D.X (2011), "A new method for a finite family of pseudocontractions and equilibrium problems", Journal of Applied Mathematics and Informatics., 29, pp 1179-1191 (SCOPUS) Dinh B.V., Son D.X., Anh T.V (2017), "Extragradient-Proximal Methods for Split Equilibrium and Fixed Point Problems in Hilbert Spaces", Vietnam J Math., 45 (4), pp 651-668 (SCOPUS) Son D.X (2018), "An algorithm for solving a class of bilevel split problems involving pseudomonotone equilibrium problem", Afrika Matematika DOI :10.1007/s13370-018-0614-0 (SCOPUS) Hieu D.V., Son D.X., Anh P.K., Muu L.D (2018), "A two-step extragradientviscosity method for variational inequalities and fixed point problems", Acta Math Vietnam DOI: 10.1007/s40306-018-0290-z (SCOPUS) Anh T.V., Muu L.D., Son D.X (2018), "Parallel algorithms for solving a class of variational inequalities over the common fixed points set of a finite family of demicontractive mappings", Numer Funct Anal Optim DOI: 10.1080/01630563.2018.1485695 (SCIE) 91 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hữu Điển (2014), Giáo Trình Giải Tích Lồi Ứng Dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [2] Acedo G.L., Xu H.K (2007), "Iterative Methods for Strict SseudoContractions in Hilbert Spaces", Nonlinear Anal., 67, pp 2258-2271 [3] Aoyama K., Kimura Y., Takahashi W., Toyoda M (2007), "Approximation of common fixed points of a coutable family of nonexpansive mappings in Banach space", Nonlinear Anal 67 (8), pp 2350-2360 [4] Anh P.K., Anh T.V., Muu L.D (2017), "On bilevel split pseudomonotone variational inequality problems with applications", Acta Math Vietnam., 42 (3), pp 413-429 [5] Anh P.K., Hieu D.V (2016), "Parallel hybrid iterative methods for variational inequalities, equilibrium problems, and common fixed point problems", Vietnam J Math., 44 (2), pp 351-374 [6] Anh P.N (2013), "A hybrid extragradient method extended to fixed point problems and equilibrium problems", Optimization 62 (2), pp 271-283 [7] Anh T.V (2017), "An extragradient method for finding minimum-norm solution of the split equilibrium problem", Acta Math Vietnam., 42 (4), pp 587-604 92 [8] Anh T.V (2017), "A parallel method for variational inequalities with the multiple-sets split feasibility problem constraints", J Fixed Point Theory Appl., 19 (4), pp 2681-2696 [9] Anh T.V., Muu L.D (2016), "A projection-fixed point method for a class of bilevel variational inequalities with split fixed point constraints", Optimization 65 (6), pp 1229-1243 [10] Bauschke H.H., Borwein J.M (1996), "On projection algorithms for solving convex feasibility problems", SIAM Review 38, pp 367-426 [11] Bauschke H.H., Combettes P.L (2011), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer, New York [12] Baiocchi C., Capelo A (1984), Variational and Quasivariational Inequalities Applications to Free Boundary Problems, Wiley, New York [13] Blum E., Oettli W (1994), "From optimization and variational inequalities to equilibrium problems", Math Student 63, pp 123-145 [14] Buong N (2017), "Iterative algorithms for the multiple-sets split feasibility problem in Hilbert spaces", Numer Algorithms 76 (3), pp 783-798 [15] Butnariu D., Censor Y., Reich S (Editors) (2001), Inherently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and Their Applications, Elsevier Science Publishers, Amsterdam, The Netherlands [16] Byrne C (2004), "A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction", Inverse Probl 20 (1), pp 103-120 [17] Byrne C (2002), "Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem", Inverse Probl 18 (2), pp 441-453 [18] Byrne C., Censor Y., Gibali A., Reich S (2012), "The split common null point problem", J Nonlinear Convex Anal 13 (4), pp 759-775 [19] Cegielski A (2015), "General method for solving the split common fixed point problem", J Optim Theory Appl 165 (2), pp 385-404 93 [20] Cegielski A., Al-Musallam F (2016), "Strong convergence of a hybrid steepest descent method for the split common fixed point problem", Optimization 65 (7), pp 1463-1476 [21] Ceng L.C., Petrusel A., Lee C., Wong M.M (2009), "Two Extragradient Approximation Methods for Variational Inequalities and Fixed Point Problems of Strict Pseudo-Contractions", Taiwanese Journal of Mathematics, 13, pp 607-632 [22] Ceng L.C., Schaible S., Yao J.C (2008), "Implicit iteration scheme with perturbed mapping for equilibrium problems and fixed point problems of finitely many nonexpansive mappings", J Optim Theory Appl 139 (2), pp 403-418 [23] Censor Y., Segal A (2009) "The split common fixed point problem for directed operators", J Convex Anal 16, pp 587-600 [24] Censor Y., Bortfeld T., Martin B., Trofimov A (2006), "A unified approach for inversion problems in intensity-modulated radiation therapy", Phys Med Biol 51, pp 2353-2365 [25] Censor Y., Gibali A., Reich S (2011), "The subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert space", J Optim Theory Appl 148 (2), pp 318-335 [26] Censor, Y., Gibali, A., Reich, S (2011), "Strong convergence of subgradient extragradient methods for the variational inequality problem in Hilbert space", Optim Meth Softw 26(4-5), pp 827-845 [27] Censor Y., Elfving T (1994), "A multiprojection algorithm using Bregman projections in a product space", Numer Algorithms (2), pp 221-239 [28] Censor Y., Elfving T., Kopf N., Bortfeld T (2005), "The multiple-sets split feasibility problem and its applications for inverse problems", Inverse Probl 21 (6), pp 2071-2084 94 [29] Combettes P.L (1996), "The convex feasibility problem in image recovery", in, P.Hawkes(Ed.), Advances in Imaging and Electron Physics, Academic Press, New York 95, pp 155-270 [30] Combettes P.L., Hirstoaga S.A (2005), "Equilibrium programming in Hilbert spaces", J Nonlinear Convex Anal (1), pp 117-136 [31] Daniele P., Giannessi F., and Maugeri A (2003), Equilibrium Problems and Variational Models, Kluwer [32] Eslamian M., Eslamian P (2016), "Strong convergence of a split common fixed point problem", Numer Funct Anal Optim 37 (10), pp 1248-1266 [33] Eslamian M., Saadati R., Vahidi J (2017), "Viscosity iterative process for demicontractive mappings and multivalued mappings and equilibrium problems", Comp Appl Math 36, pp 1239-1253 [34] Facchinei F., Pang, J.S (2003), Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementary Problems, NewYork: Springer-Verlag [35] Fan K (1972), "A minimax inequality and applications", in: O Shisha, Inequality III, Proceeding of the Third Symposium on Inequalities Academic Press, New York [36] Goebel K., Kirk W.A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Studies in Advanced Math, vol 28 Cambridge University Press, Cambridge [37] He Z (2012), "The split equilibrium problems and its convergence algorithms", J Inequal Appl 2012:162, DOI:10.1186/1029-242X-2012-162 [38] Hieu D.V (2017), "An explicit parallel algorithm for variational inequalities", Bull Malys Math Sci Soc DOI:10.1007/s40840-017-0474-z [39] Hieu D.V (2015), "A parallel hybrid method for equilibrium problems, variational inequalities and nonexpansive mappings in Hilbert space", J Korean Math Soc 52 (2), pp 373-388 95 [40] Hieu D.V (2016), "Parallel extragradient-proximal methods for split equilibrium problems", Math Model Anal., 21 (4), pp 478-501 [41] Hieu, D.V., Anh P.K., Muu L.D (2017), "Modified hybrid projection methods for finding common solutions to variational inequality problems", Comput Optim Appl., 66, pp 75-96 [42] Hieu D.V., Muu L.D., Anh P.K (2016), "Parallel hybrid extragradient methods for pseudomonotone equilibrium problems and nonexpansive mappings", Numer Algorithms, 73 (1), pp 197-217 [43] Konnov I.V (2000), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer, Berlin [44] Kraikaew R., Saejung S (2014), "Strong convergence of the Halpern subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert spaces", J Optim Theory Appl 163 (2), pp 399-412 [45] Liu B., Qu B., Zheng N (2014), "A successive projection algorithm for solving the multiple-sets split feasibility problem", Numer Funct Anal Optim 35 (11), pp 1459-1466 [46] Maingé, P.E (2008), "A hybrid extragradient-viscosity method for monotone operators and fixed point problems", SIAM J Control Optim 47 (3), pp 1499-1515 [47] Mann W.R (1953), "Mean value methods in iteration", Proc Amer Math Soc 4, pp 506-510 [48] Martinez-Yanes C., Xu H.K (2006), "Strong Convergence of the CQ Method for Fixed Point Processes", Nonlinear Anal 64 (11), pp 2400-2411 [49] Moudafi A (1999), "Proximal point algorithm extended to equilibrium problems", J Nat Geom 15, pp 91-100 [50] Moudafi A (2011), "Split monotone variational inclusions", J Optim Theory Appl 150 (2), pp 275-283 96 [51] Moudafi A (2010), "The split common fixed-point problem for demicontractive mappings", Inverse Probl 26 (5), ID: 055007 [52] Muu L.D (1984), "Stability property of a class of variational inequality", Optimization 15 (3), pp 347-351 [53] Muu L.D., Oettli W (1992), "Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria", Nonlinear Anal 18, pp 1159-1166 [54] Nadezhkina N., Takahashi W (2006), "Weak convergence theorem by an extragradient method for nonexpansive mappings and monotone mappings", J Optim Theory Appl 128, pp 191-201 [55] Nikaido H., Isoda K (1955), "Note on noncooperative convex games", Pac J Math 5, pp 807-815 [56] Opial Z (1967), "Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings", Bull Amer Math Soc 73, pp 591-597 [57] Peng J.W (2010), "Iterative Algorithms for Mixed Equilibrium Problems, Strict Pseudocontractions and Monotone Mappings", Journal of Optimization Theory and Applications, 144, pp 107-119 [58] Quoc T.D., Muu L.D., Nguyen, V.H (2008), "Extragradient algorithms extended to equilibrium problems", Optimization 57 (6), pp 749-776 [59] Tada A., Takahashi W (2007), "Weak and strong convergence theorem for nonexpansive mapping and equilibrium problem", J Optim Theory Appl 133, pp 359-370 [60] Takahashi S., Takahashi W (2007), "Viscosity approximation methods for equilbrium problems and fixed point problems in Hilbert space", J Math Anal Appl 331, pp 506-515 [61] Takahashi W., Toyoda M (2003), "Weak convergence theorems for nonexpansive mappings and monotone mappings", J Optim Theory Appl 118, pp 417-428 97 [62] Wang S (2016), "Strong convergence of a regularization algorithm for common solutions with applications", Comp Appl Math 35 (1), pp 153-169 [63] Wang S., Cho Y.J., Qin X (2010), "A New Iterative Method for Solving Equilibrium Problems and Fixed Point Problems for Infinite Family of Nonexpansive Mappings," Fixed Point Theory and Applications 2010, Article ID 165098, 18 pages [64] Wang S., Guo B (2010), "New Iterative Scheme with Nonexpansive Mappings for Equilibrium Problems and Variational Inequality Problems in Hilbert Spaces," Journal of Computational and Applied Mathematics 233, pp 26202630 [65] Wen M., Peng J G., Tang Y.C (2015), "A cyclic and simultaneous iterative method for solving the multiple-sets split feasibility problem.", J Optim Theory Appl 166 (3), pp 844-860 [66] Xu H.K (2002), "Iterative algorithms for nonlinear operators", J London Math Soc 66 (1), pp 240-256 [67] Xu H.K (2006), "A variable Krasnosel’skii–Mann algorithm and the multipleset split feasibility problem", Inverse Probl 22, pp 2021-2034 [68] Xu H.K (2010), "Iterative methods for the split feasibility problem in infinitedimensional Hilbert spaces", Inverse Probl 26 (10), ID: 105018 [69] Yamada I (2001), "The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings", In: Butnariu, D., Censor, Y., Reich, S (eds.) Inherently Parallel Algorithms for Feasibility and Optimization and Their Applications, Elsevier, Amsterdam, pp 473-504 [70] Yao Y., Liou Y.C., Wu Y J (2009), "An Extragradient Method for Mixed Equilibrium Problems and Fixed Point Problems", Fixed Point Theory and Applications DOI: 10.1155/2009/632819 98 [71] Zeidler E (1985), Nonlinear Functional Analysis and its Applications III: Variational Methods and Optimization, Springer-Verlag, New York [72] Zeng L.C., Yao J.C (2006), "Strong convergence theorem by an extragradient method for fixed point problems and variational inequality problems", Taiwanese J Math 10 (5), pp 1293-1303 [73] Zhao J.L., Yang Q.Z (2011), "Self-adaptive projection methods for the multiple-sets split feasibility problem", Inverse Probl 27 (3), ID: 035009 [74] Zhao J.L., Yang Q.Z (2013), "A simple projection method for solving the multiple-sets split feasibility problem", Inverse Probl 21 (3), pp 537-546 [75] Zhao J.L., Zhang Y.J., Yang Q.Z (2012), "Modified projection methods for the split feasibility problem and the multiple-sets split feasibility problem", Appl Math Comput 219 (4), pp 1644-1653 99 ... TẮT VIP toán bất đẳng thức biến phân EP toán cân SEP toán cân tách CFP toán chấp nhận lồi GCFP toán chấp nhận lồi suy rộng SFP toán chấp nhận tách MSSFP toán chấp nhận tách đa tập hợp SFPP toán. .. chấp nhận tách suy rộng toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán chấp nhận tách suy rộng sau đây: • Tìm nghiệm chung toán điểm bất động ánh xạ giả co chặt tốn cân • Bài toán bất đẳng thức biến. .. biến phân tập nghiệm chung toán bất đẳng thức biến phân tốn điểm bất động ánh xạ bán co • Bài toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung ánh xạ bán co • Tìm nghiệm tốn chấp nhận tách suy