ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN DŨNG NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN DŨNG NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ▼ë ➤➬✉ ✸ ✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✻ ✶✳✶✳ P❤➳t ❜✐Ó✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✶✳✷✳ ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✸✳ ▼ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❞➱♥ ➤Õ♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ✶✳✸✳✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✸✳✷✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✶✳✸✳✸✳ ✷ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜ï ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✷✵ ✷✳✶✳ ➜✐Ĩ♠ ❜✃t ➤é♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✷✳✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✷✳✸✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ✸ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❞ù❛ ✈➭♦ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ✸✸ ✸✳✶✳ ❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ✭●❛♣ ❢✉♥❝t✐♦♥✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ✸✳✶✳✶✳ ❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❆✉s❧❡♥❞❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✸✳✶✳✷✳ ❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❋✉❦✉s❤✐♠❛ ✸✳✶✳✸✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺ ❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❦❤➠♥❣ r➭♥❣ ❜✉é❝ ✭ ❉ ✲ ●❛♣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✮ ✳ ✳ ✹✵ ✸✳✷✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❞ù❛ tr➟♥ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸ ✸✳✷✳✶✳ ❚❤✉❐t ❣✐➯✐ t♦➳♥ ❞ù❛ tr➟♥ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ γcd (.) ✸✳✷✳✷✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❞ù❛ tr➟♥ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❋✉❦✉s❤✐♠❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸ γc (.) ✳ ✳ ✳ ✹✹ ❑Õt ❧✉❐♥ ✹✼ ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✹✽ ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ▼ë ➤➬✉ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➢ỵ❝ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ré♥❣ r➲✐ tr♦♥❣ ♥❤✐Ị✉ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ♥❤➢ ❦✐♥❤ tÕ✱ ❦ü t❤✉❐t✱ ✈❐♥ trï ❤ä❝✱ ✈❐t ❧ý t♦➳♥✳ ●➬♥ ➤➞②✱ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ✈í✐ r➭♥❣ ❜✉é❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭❝ß♥ ❣ä✐ ❧➭ r➭♥❣ ❜✉é❝ ❝➞♥ ❜➺♥❣✮ ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét ➤Ị t➭✐ ➤➢ỵ❝ ♥❤✐Ị✉ ♥❣➢ê✐ q✉❛♥ t ứ ì trò q trọ ủ ó tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt t♦➳♥ ❤ä❝ ✈➭ tr♦♥❣ ø♥❣ ❞ô♥❣ t❤ù❝ tÕ✳ ▼ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ q✉❛♥ trä♥❣ ❝đ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧➭ ✈✐Ö❝ ①➞② ❞ù♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐✳ ❈ã r✃t ♥❤✐Ò✉ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥❤➢✿ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ t♦➭♥ ❝ơ❝ ❞ù❛ tr➟♥ ✈✐Ư❝ ❝❤✉②Ĩ♥ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈Ị ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❞ù❛ tr➟♥ ❦ü t❤✉❐t ❤➭♠ ❝❤➽♥✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❞ù❛ tr➟♥ ❝➳❝❤ t✐Õ♣ ❝❐♥ ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ➤é♥❣✳✳✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ♥❤➺♠ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ❣✐➯✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❞ù❛ tr➟♥ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ✸ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ✶ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ị ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✱ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ✈➭ ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❞➱♥ ➤Õ♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ✷ sÏ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ t❤✉❐t t♦➳♥ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝❤♦ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ ♠➭ ❝ơ t❤Ĩ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ✸ sÏ ➤➢❛ r❛ ❝➳❝ t❤✉❐t ❣✐➯✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❞ù❛ ✈➭♦ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳✳ ❈➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ❞ù❛ tr➟♥ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❆♥s❧❡♥❞❡r ✈➭ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❋✉❦✉s❤✐♠❛✳ ✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ❇➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❝đ❛ ●❙✳ ▲➟ ❉ị♥❣ ▼➢✉✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ ♥❤✃t ➤Õ♥ ❚❤➬② ✈Ị ❝➠♥❣ t➳❝ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ❝ï♥❣ ✈í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ tr♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ t➳❝ ❣✐➯ ❤ä❝ ❝❛♦ ❤ä❝ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❚r♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣✱ t➳❝ ❣✐➯ ➤➲ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ sù q✉❛♥ t➞♠ ❣✐ó♣ ➤ì ✈➭ ệt tì ủ P ỗ P ị P Pợ ❚r➬♥ ❱ị ❚❤✐Ư✉✱ ❚❙✳ ◆❣✉②Ơ♥ ❚❤Þ ❚❤✉ ❚❤đ②✱ ❝ï♥❣ ♥❤✐Ị✉ ❚❤➬②✱ ❈➠ ❝➠♥❣ t➳❝ t➵✐ ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❍ä❝✱ ❱✐Ö♥ ❈➠♥❣ ◆❣❤Ö ❚❤➠♥❣ ❚✐♥✱ ❚r➢ê♥❣ ➤➵✐ ❤ä❝ s➢ ♣❤➵♠ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✳ t➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ ➤Õ♥ ❝➳❝ ❚❤➬②✱ ❝➳❝ ❈➠✳ ❳✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❚❙✳ ◆❣✉②Ơ♥ ❚❤Þ ❚❤✉ ❚❤đ② ➤➲ ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ ❣✐ó♣ ➤ì t➳❝ ❣✐➯ r✃t ♥❤✐Ị✉ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ trì ọ t tỏ ò ết ➡♥ tí✐ ❝➳❝ ❚❤➬②✱ ❈➠ ❣✐➳♦ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❇●❍ tr➢ê♥❣ ❈❛♦ ➤➻♥❣ s➢ ♣❤➵♠ ➜➝❦▲➝❦✱ ❇❈◆ ❦❤♦❛ ❚ù ◆❤✐➟♥✱ ➤➲ t➵♦ ♥❤✐Ị✉ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ tr♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ t➳❝ ❣✐➯ ❤ä❝ ❝❛♦ ❤ä❝✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ ❛♥❤ ❝❤Þ✱ ❝➳❝ ❜➵♥ ❤ä❝ ✈✐➟♥ ❝❛♦ ❤ä❝✱ ❜➵♥ ❜❒✱ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣✱ ❝➳❝ ọ trò ệt ọ trò r ị ❈➮♠ ◆❤✉♥❣ ✈➭ ◆❣✉②Ơ♥ ❚❤Þ ❚❤➵❝❤ ❚❤➯♦✱ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì t➳❝ ❣✐➯ r✃t ♥❤✐Ị✉ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② sÏ ❦❤➠♥❣ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ♥Õ✉ t❤✐Õ✉ sù t❤➠♥❣ ❝➯♠✱ ❝❤✐❛ s❰ ✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✈➭ sù ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ❦Þ♣ t❤ê✐ ❝đ❛ ❣✐❛ ➤×♥❤✳ ❳✐♥ ❣ư✐ tí✐ ❣✐❛ ➤×♥❤ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ✈➭ s➞✉ s➽❝✳ ❚➳❝ ❣✐➯ P❤➵♠ ❱➝♥ ❉ò♥❣ ✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭➤➢ỵ❝ ✈✐Õt t➽t ❧➭ ✲ ❱■P✮ ❧➭ ♠ét ❝➠♥❣ ❝ơ ♠➵♥❤✱ ➤➢ỵ❝ sư ❞ơ♥❣ tr♦♥❣ ♥❤✐Ị✉ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ❝đ❛ t♦➳♥ ❤ä❝ ø♥❣ ❞ơ♥❣✳ ◆❤✐Ị✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈Ị ❧ý t❤✉②Õt tè✐ ➢✉✱ ❦✐♥❤ tÕ ✈➭ ✈❐t ❧ý t♦➳♥ ➤Ò✉ ❞➱♥ ➤Õ♥ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ✶✳✶✳ P❤➳t ❜✐Ó✉ t t P ề t ì tứ ợ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤➢ s❛✉✿ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✳ ✈➭ ➳♥❤ ①➵ ✭ ❳❡♠ ❬✼❪✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✮ ❈❤♦ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ x∗ ❝ñ❛ Rn F : K −→ Rn ✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➢ỵ❝ ❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭ t×♠ K V IP (K; F )✱ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ s❛♦ ❝❤♦✿ x∗ ∈ K, F (x∗ ), x − x 0, x K ợ ữ ể ✈➭ ❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭ ✭✶✳✶✮ x∗ t❤á❛ ♠➲♥ ✭✶✳✶✮ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ V IP (K; F ) SOL − V IP (K; F ) ✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❙❛✉ ➤➞②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❧✉➠♥ ❣✐➯ sư r➺♥❣ F ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ➳♥❤ ①➵ ✶✳✷✳✶✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ❇r♦✇❡r✮ ❈❤♦ F : K −→ K ❇ỉ ➤Ị ✶✳✷✳✷✳ ❣✐❛♥ ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ ✈➭ K tô❝ tr➟♥ ✶✳✷✳ K ❧➭ ❧✐➟♥ tơ❝✱ t❤× F ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✮ ❈❤♦ K ⊂ Rn ❝♦♠♣❛❝t ✈➭ ❧å✐✱ ♣❤➯✐ ❝ã ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✳ K ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ ủ Rn ó ỗ x Rn ✱ ❝ã ❞✉② ♥❤✃t y ∈ K ✱ s❛♦ ❝❤♦✿ x − y = inf x − η ✭✶✳✷✮ K ể tỏ ợ ọ ì ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ❝ñ❛ ① ❧➟♥ K ✈➭ t❛ ✈✐Õt✿ y = P rK x ❈❤ó ý r➺♥❣✿ P rK x = x, ∀x ∈ K ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❈❤♦ ηk ∈ K ❧➭ ♠ét ❞➲② ❝ù❝ t✐Ó✉ ❤ã❛✱ tø❝ ❧➭ ηk t❤á❛ ♠➲♥✿ lim ηk − x = d = inf η − x k→∞ ✭✶✳✸✮ η∈K ❚õ q✉② ❧✉❐t ❤×♥❤ ❜×♥❤ ❤➭♥❤✱ t❛ ❝ã✿ x+y =2 x + y , x, y ∈ Rn + x − ηh − x − (ηk + ηh ) + x−y ➳♣ ❞ơ♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t❤×✿ ηk − ηh = x − ηk ✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✭✶✳✹✮ ❉♦ K ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ ♥➟♥✿ (ηk + ηh ) ∈ K, ✈➭ d2 ≤ x − (ηk + ηh ) , ✈× ✈❐②✿ ηk − ηh ≤ x − ηk + x − ηh − 4d2 , ✈➭ tõ ✭✶✳✸✮ t❛ ❦Õt ❧✉❐♥ r➺♥❣✿ lim ηk − ηh = k→∞ ❉♦ ➤ã✱ ❝ã ♠ét ❣✐➳ trÞ y∈K s❛♦ ❝❤♦ lim ηk = y k→∞ ◆❣♦➭✐ r❛✱ x − y = lim x − ηk = d k→∞ ➜Ó t❤✃② ② ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✱ ❝❤Ø ❝➬♥ q✉❛♥ s➳t r➺♥❣ ❜✃t ❦ú ✷ ❣✐➳ trÞ ♠➲♥ ✭✶✳✷✮ t❤× ❝ã t❤Ĩ ➤➢❛ ✈➭♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ✭✶✳✹✮ t❤❛② ✈Þ trÝ ❝đ❛ y, y ∈ K t❤á❛ ηk , ηh ✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❝❤♦ t❤✃② y−y =2 x−y +2 x−y − x − (y + y ) 2 ≤ 4d2 − 4d2 = 0, ❤❛②✿ ✷ y=y ➜Þ♥❤ ❧ý ❣✐❛♥ ✶✳✷✳✸✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✮ ❈❤♦ K ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ Rn ✱ t❤× y = P rK x ❧➭ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝đ❛ ① ❧➟♥ K ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐✿ y ∈ K : y, η − y ≥ x, η − y ∀η ∈ K ✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✭✶✳✺✮ • ❍➭♠ ♥➭② ❝ã t❤Ĩ ❦❤➠♥❣ ❦❤➯ ✈✐ ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❝ã t❤Ĩ ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠✱ ❤♦➷❝ ❦❤➠♥❣ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ư♠✳ ➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② ❝❤♦ t❛ ♠ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤Ĩ ❤➭♠ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✶✳✶✳ ✭ ❳❡♠ ❬✼❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý rỗ O Rn A (.) ❦❤➯ ✈✐✳ K ⊂ Rn ❧➭ t❐♣ ♠ë ❦❤➠♥❣ rỗ ột t ó K O sử ãf : O ì K ãx f (., ) (x, y) −→ f (x, y) ∈ R ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ O × K tå♥ t➵✐ ✈➭ ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ ị O ì K g : O −→ R ∪ {+∞} ❜ë✐✿ g(x) ≡ supf (x, y) ∀x ∈ O y∈K ❈❤♦ x∈O ❧➭ ♠ét ✈❡❝t➡ ❝❤♦ tr➢í❝✱ ✈➭ t❐♣✿ M(x) ≡ {y ∈ K|g(x) = f (x, y)} ●✐➯ sö✿ ❚å♥ t➵✐ ♠ét N (x) ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛ x s❛♦ ❝❤♦ M(x) = ∅ ∀x ∈ N (x) ●✐➯ sư t❤➟♠✿ M(x) ❜Þ ❝❤➷♥✳ x∈N (x) ❑❤✐ ➤ã✱ ❤❛✐ ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ s❛✉ ➤➞② ❧➭ ➤ó♥❣✿ ✭✐✮ g(.) ❦❤➯ ✈✐ t➵✐ x ✈➭ t❛ ❝ã✿ g (x; d) = sup x f (x, y), d y∈M(x) ✭✐✐✮ ◆Õ✉ M(x) = {y(x)}✱ t❤× g(.) ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ t➵✐ x ✈➭ g(x) = x f (x, y(x)) ✸✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✸✳✶✳✷✳ ❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❋✉❦✉s❤✐♠❛ ❈❤ó ý r➺♥❣ ♥Õ✉ ❝é♥❣ t❤➟♠ ♠ét ❤➭♠ ❧â♠ ♠➵♥❤ ✈➭♦ ❤➭♠ ụ t tì t ợ ột õ ➤ã ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ù❝ ➤➵✐ ❤➭♠ ❧â♠ ♠➵♥❤ tr➟♥ t❐♣ K ❧✉➠♥ tå♥ t➵✐ ✈➭ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠✳ γA (.) ❜➺♥❣ ✈✐Ư❝ ❉ù❛ tr➟♥ q✉❛♥ s➳t ♥➭②✱ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❝❤✉➮♥ ❤ã❛ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ t❤➟♠ ♠ét ❤➭♠ ❜❐❝ ❤❛✐ ❧â♠ ♠➵♥❤ s❛✉✿ y −→ − c x−y 2 ✈➭♦ ❤➭♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✿ y −→ F (x), x − y , tr♦♥❣ ➤ã c > 0✳ ❇ë✐ ✈❐②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ➤➢❛ ✈➭♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ s❛✉ ➤➞②✿ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✸✳✶✳✷✳ F ✭ ❳❡♠ ❬✼❪✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✶✮ ❈❤♦ tr➢í❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ t❐♣ ♠ë V IP (K, F )✱ ✈í✐ O ⊃ K ✱ c > 0✳ ❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❋✉❦✉s❤✐♠❛ ❝❤✉➮♥ ❤ã❛ ❝ñ❛ V IP (K, F )✱ ❣ä✐ c (.) ợ ị ĩ s ọ x ∈ O✱ ➤➷t✿ γc (x) := sup F (x), x − y − y∈K c x−y 2 ❚❛ ❝ã✿ < c1 < c2 =⇒ γc1 (.) ≥ γc2 (.) γc (x) ≥ ∀x ∈ K ➜Ó ➤➡♥ ❣✐➯♥✱ t❛ ➤➷t✿ ϕc (x, y) := F (x), x − y − c x−y 2 ∀(x, y) ∈ O × Rn ✸✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✭✸✳✷✮ ❑❤✐ ➤ã✿ γc (x) := sup ϕc (x, y) x O yK K ó rỗ ♥➟♥ tå♥ t➵✐ ♠ét ✈❡❝t➡ ❞✉② ♥❤✃t ❝❤♦ ❤➭♠ ❧â♠ ♠➵♥❤ yc (x) ∈ K s❛♦ ϕc (x, ) ➤➵t ❣✐➳ trÞ ❧í♥ ♥❤✃t t➵✐ yc (x) tr➟♥ K γc (x) := sup ϕc (x, y) = ϕc (x, yc (x)) y∈K ❚❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞②✿ ➜Þ♥❤ ❧ý ị ý rỗ ✈➭ ❝❤♦ F : O −→ Rn O ⊂ Rn ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ K ⊂ Rn ❧➭ ♠ét t❐♣ ➤ã♥❣✱ t rỗ O JF (x) O ⊃ K✳ ●✐➯ sư ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❏❛❝♦❜✐ ❝đ❛ ❤➭♠ ❋ ✈➭ c > ❑❤✐ ➤ã✱ ❜è♥ ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ s❛✉ ➤➞② ❧➭ ➤ó♥❣✿ ✭✐✮ ∀x ∈ O✿ yc (x) = PK (x − F (x)) c ✭✐✐✮ γc (.) ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ K ✈➭ ❦❤➠♥❣ ➞♠ tr➟♥ K ✳ ✭✐✐✐✮ [γc (x∗ ) = ✈➭ x∗ ∈ K] ⇐⇒ x∗ ∈ SOL − V IP (K, F )✳ ✭✐✈✮ ◆Õ✉ F ∈ C (O) t❤× γc ∈ C (O)✱ ✈➭ t❛ ❝ã✿ γc (x) = F (x) + [JF (x) − c]T (x − yc (x)) ∀x ∈ O ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ • ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✭✐✮✳ ❚❛ ❝ã✿ ϕc (x, y) ≡ F (x), x − y − = F (x) 2c − c c x−y x − F (x) − y, c ∀(x, y) ∈ O × Rn x − F (x) − y c ✸✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✭✸✳✸✮ F (x) = 2c 2 x − F (x) − y c c − ◆❤í r➺♥❣✿ ∀x ∈ O : γc (x) := sup ϕc (x, y) = ϕc (x, yc (x)) y∈K ❚ø❝ ❧➭✿ γc (x) = F (x) 2c = F (x) 2c 2 c + sup − y∈K x − F (x) − y c c − inf y∈K = ϕc (x, yc (x)) = F (x) 2c x − F (x) − y c 2 c − x − F (x) − yc (x) , c c = x − F (x) − yc (x) c ❤❛② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ c inf y∈K x − F (x) − y c ❱× ✈❐②✿ yc (x) = PK x − F (x) c •• ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ (ii) ❇✐Ĩ✉ t❤ø❝✿ ❝❤♦ t❤✃② r➺♥❣ yc (x) = PK x − F (x) c yc (.) ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ O✳ ❱× ✈❐②✱ ❞♦ γc (x) = ϕc (x, yc (x))✱ γc (.) ❝ị♥❣ ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ O✱ ✈➭✿ γc (x) = F (x), x − yc (x) − ➜✐Ò✉ ♥➭② ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ c x − yc (x) (ii)✳ • • • ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ (iii)a ●✐➯ sö✿ γc (x∗ ) = ✈➭ x∗ ∈ K ✸✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ♥➟♥ ❉♦✿ γc (x∗ ) = =⇒ F (x∗ ), x∗ − yc (x∗ ) = c ∗ x − yc (x∗ ) ❚❤❡♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tè✐ ➢✉ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ✿ ≥ ✭✸✳✹✮ γc (x∗ )✱ t❛ ❝ã✿ sup ϕc (x∗ , y) = ϕc (x∗ , yc (x∗ )), y∈K s✉② r❛✿ F (x∗ ) + c[yc (x∗ ) − x∗ ], x − yc (x∗ ) ≥ ∀x ∈ K ❚❤❛② x = x∗ ✱ t❛ ➤➢ỵ❝✿ F (x∗ ) + c[yc (x∗ ) − x∗ ], x∗ − yc (x∗ ) ≥ 0, tø❝ ❧➭✿ F (x∗ ), x∗ − yc (x∗ ) − c x∗ − yc (x∗ ) ≥ 0, ❝ï♥❣ ✈í✐ ✭✸✳✹✮✱ s✉② r❛✿ c ∗ x − yc (x∗ ) ❚õ ➤ã ❝❤♦ ≤ x∗ = yc (x∗ ) ❞♦ (i)✱ t❛ ❝ã ➤➢ỵ❝✿ x∗ = PK x∗ − F (x∗ ) c ❚❤❡♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ PK t❛ ❝ã PK (x) = xˆ✱ ♥➟♥ y − xˆ, (ˆ x − x) ≥ ∀y ∈ K ➳♣ ❞ơ♥❣ ✭✸✳✺✮ ✈í✐✿ x ≡ x∗ − F (x∗ ) ✈➭ xˆ ≡ x∗ , c t❛ ➤➢ỵ❝✿ y − x∗ , (x∗ − x∗ + F (x∗ )) ≥ ∀y ∈ K, c ✸✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✭✸✳✺✮ tø❝ ❧➭✿ c ➜✐Ò✉ ♥➭② ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ y − x∗ , F (x∗ ) ≥ ∀y ∈ K >0 ∗ x ∈ SOL − V IP (K, F )✳ • • • ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ (iii)b ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ ❣✐➯ sư x∗ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ V IP (K; F ) ▲ó❝ ♥➭②✱ râ r➭♥❣✿ γc (x∗ ) = sup F (x∗ ), x∗ − y − y∈K = sup − F (x∗ ), y − x∗ − y∈K ❚õ ➤ã ❝❤♦ t❤✃② c ∗ x −y c ∗ x −y ≤0 2 ≤ ≤0 ∗ γc (x ) = 0✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢ỵ❝ (iii) ã ã ãã ứ (iv) ị ý ✸✳✶✳✶✱ t❛ ➤➢ỵ❝ ➤✐Ị✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✷ ❱✐Ư❝ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ V IP (K, F ) ➤➢ỵ❝ q✉② ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ s❛✉✿ γc (x) ✭✸✳✻✮ y∈K ❈ù❝ t✐Ĩ✉ t♦➭♥ ❝ơ❝ ❝đ❛ q✉② ❤♦➵❝❤ ✭✸✳✻✮ ✈í✐ ❣✐➳ trÞ ♠ơ❝ t✐➟✉ ❜➺♥❣ ✵ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ V IP (K, F ) ❉Ü ♥❤✐➟♥✱ t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣✱ t❛ sÏ q✉❛♥ t➞♠ ➤Õ♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤đ ➤Ĩ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ q✉② ❤♦➵❝❤ ✭✸✳✻✮ trë t❤➭♥❤ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❱í✐ V IP (K, F ) x ∈ K ✱ t❛ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝➳❝ ♥ã♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ s❛✉✿ TKc (x) ≡ TK (x) ∩ [−TK (yc (x))] ✈➭ c TK,F (x) ≡ TKc (x) ∩ {−F (x)}∗ , ✸✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn tr♦♥❣ ➤ã {−F (x)}∗ ≡ {d ∈ Rn |F (x)T d ≤ 0} ❚❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧ý✿ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✶✳✹✳ ✭ ❳❡♠ ❬✼❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✮ ❈❤♦ F : O ⊃ K −→ Rn ①➵ C (O) ✈í✐ O ❧➭ K ⊂ Rn ❧➭ t❐♣ ♠ë✱ ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ ✈➭ ➳♥❤ c > ●✐➯ sö ① ❧➭ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❞õ♥❣ ❝đ❛ ✭✸✳✻✮✳ ❇❛ ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ s❛✉ ➤➞② ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿ ✭✐✮ x∗ ∈ SOL − V IP (K, F ) ✭✐✐✮ c (x∗ ) ⊂ {F (x∗ )}⊥ TK,F ✭✐✐✐✮ c d ∈ TK,F c JK,F (x∗ )d ✸✳✶✳✸✳ ∈ c −[TK,F (x∗ )]∗ =⇒ F (x∗ ), d = ✭✸✳✼✮ ❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❦❤➠♥❣ r➭♥❣ ❜✉é❝ ✭ ❉ ✲ ●❛♣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✮ ë ♣❤➬♥ tr➟♥ t❛ ➤➲ t❤✃② ✈✐Ö❝ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➢ỵ❝ q✉② ✈Ị ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ❝ã r➭♥❣ ❜✉é❝✳ ❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ s❛✉ ➤➞② ❝❤♦ ♣❤Ð♣ q✉② ✈✐Ö❝ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ị ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ❦❤➠♥❣ r➭♥❣ ❜✉é❝✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✸✳✶✳✺✳ Rn ✈➭ K ⊂ Rn ✭ ❳❡♠ ❬✼❪✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✷✮ ❈❤♦ tr➢í❝ ➳♥❤ ①➵ ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣✳ ❱í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❱■P✭❑✱❋✮✱ ➤➢ỵ❝ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ < c < d✳ F : Rn −→ ❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❉ ❝ñ❛ γcd (.)✱ ✈➭ ợ ị ĩ s cd (.) := c (x) − γd (x) ∀x ∈ Rn ❚❛ ❝ã ♥❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ ❤÷✉ Ý❝❤ s❛✉ ➤➞②✿ ✹✵ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✭✸✳✽✮ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✶✳✻✳ ✭ ❳❡♠ ❬✼❪✳ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✮ ∀x ∈ Rn ✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ s❛✉ ❧➭ ➤ó♥❣✿ d−c x − yd (x) 2 ≤ γcd (x) ✭✸✳✾✮ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❚❛ ❝ã✿ (3.8) γcd (x) = sup F (x), x − y − y∈K −sup F (x), x − y − y∈K d x−y (3.2)+T H.2 ≥ F (x), x − yd (x) − − F (x), x − yd (x) + = c x−y 2 c x − yd (x) d x − yd (x) 2 d−c x − yd (x) ✷ ❚❛ ❝ã ❦Õt q✉➯ s❛✉✿ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✶✳✼✳ K ⊂ Rn ✈➭ ✭ ❳❡♠ ❬✼❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✹✮ ❈❤♦ ❧å✐ ➤ã♥❣✳ ❱í✐ < c < d✱ F : Rn −→ Rn ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❉ ❧➭ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ γcd (.) ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ Rn ✱ ❦❤✐ ➤ã✿ γcd (.) ≥ tr➟♥ Rn ✭✐✮ ✭✐✐✮ γcd (x∗ ) = ⇐⇒ x∗ ∈ SOL − V IP (K, F ) ✭✐✐✐✮ ◆Õ✉ F ∈ C (Rn ) t❤× ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❉ γcd (.) ❝ò♥❣ ❧➭ C (Rn )✱ ✈➭ t❛ ❝ã✿ γcd (x) = JF (x)T (yd (x) − yc (x)) + c(yc (x) − x) − d(yd (x) − x) ✭✸✳✶✵✮ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ • ❉Ơ ❞➭♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢ỵ❝ (i) ✈➭ (iii) ✈➭ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ ❝đ❛ (ii)✳ • ➜Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ (ii)✱ ❣✐➯ sư✿ γcd (x∗ ) = ❚❤❡♦ ❜ỉ ➤Ị ✸✳✶✳✻✱ t❛ ❝ã✿ x∗ = yd (x∗ ) ✹✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ➜✐Ò✉ ♥➭② ❝❤♦ t❤✃②✿ x∗ ∈ K ✈➭ γd (x∗ ) = 0, ❜ë✐ ✈×✿ γd (x∗ ) = ϕd (x∗ , yd (x∗ )) = F (x∗ ), x∗ − yd (x∗ ) ì t (iii) ủ ị ý ✸✳✶✳✸✱ x∗ d ∗ x − yd (x∗ ) ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ = V IP (K, F ) ✷ ❱í✐ x∗ ∈ Rn ✱ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝➳❝ ♥ã♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ s❛✉✿ TKcd := TK (yd (x)) ∩ [−TK (yc (x))] ✈➭ cd TK,F := TKcd (x) ∩ {−F (x)}∗ ❚❛ ❝ã ❦Õt q✉➯✿ ➜Þ♥❤ ❧ý tơ❝ ✈➭ ●✐➯ sư ✸✳✶✳✽✳ ✭ ❳❡♠ ❬✼❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✺✮ ❈❤♦ K ⊂ Rn x F : Rn −→ Rn ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣✱ ✵❁❝❁❞✳ ❧➭ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❞õ♥❣ ❝đ❛ γcd (.) tr➟♥ Rn ❇❛ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿ ✭✐✮ ✭✐✐✮ x∗ ∈ SOL − V IP (K, F )✳ cd TK;F (x∗ ) ⊂ {F (x∗ )}⊥ ✭✐✐✐✮ cd d ∈ TK;F (x∗ ) cd JFT (x∗ )d ∈ [TK;F (x∗ )]∗ =⇒ F (x∗ ), d = ✹✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✭✸✳✶✶✮ ✸✳✷✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❞ù❛ tr➟♥ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❱í✐ ❝➳❝ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳✱ ❦❤➯ ✈✐ t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ V IP (K; F ) ➤➲ ➤➢ỵ❝ ➤Ị ❝❐♣✱ t❛ t❤✃② ❝ã t❤Ĩ ❞ï♥❣ ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ❧➷♣✱ t❤❡♦ ❤➢í♥❣ ❣✐➯♠ ➤Ó ❣✐➯✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ➜Ó ❝ã t❤Ĩ ❧➭♠ ➤➢ỵ❝✱ t❛ sÏ ❣➷♣ ✈í✐ ♠ét sè ✈✃♥ ề ó í ụ ã ệ ị trị ủ ì ế ã tí ế ì ế K c (x) ò ❤á✐ ♣❤➯✐ tÝ♥❤ ➤Õ♥ K✳ ❱✐Ư❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❧➟♥ γc (x) γcd (x) K✳ ✈➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ❚rõ ♣❤✐ K γcd (x) ❝đ❛ ♥ã ➤ß✐ ❤á✐ ♣❤➯✐ ➤❛ ❞✐Ư♥ ✭tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭②✱ ❝ã t❤Ĩ ➤➢ỵ❝ tÝ♥❤ t♦➳♥ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐➯✐ ♠ét q✉✐ ❤♦➵❝❤ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ❧å✐ ❝❤➷t✦✮✱ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ✈✐Ư❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❣✐➳ trÞ ❤➭♠ ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ➤ß✐ ❤á✐ ♣❤➯✐ ❧➭♠ ♠ét t❤đ tơ❝ ❧➷♣ ➤✐ ❧➷♣ ❧➵✐ ✈➠ ❤➵♥✳ ✸✳✷✳✶✳ ❚❤✉❐t ❣✐➯✐ t♦➳♥ ❞ù❛ tr➟♥ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ γcd (.) ❚❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❦✐Õ♠ t❤❡♦ t✐❛ ❞ù❛ ✈➭♦ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❉✿ ❆▲●❖✲✶ ❈❤♦✿ x0 ∈ Rn , < c < d, m2 > 0, p > ❇➢í❝ ✶✿ ➜➷t ❇➢í❝ ✷✿ ◆Õ✉ ✈➭ m1 ∈ (0, 1) k = xk ❧➭ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❞õ♥❣ ❝đ❛ ❇➢í❝ ✸✿ ❚×♠ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ xk+ γ(.)✱ ❞õ♥❣✳ ❝đ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ♣❤ô V IP (K; F k )✱ tr♦♥❣ ➤ã✿ F k (x) := F (xk ) + JF (xk )(x − xk ) ∀x ∈ Rn ◆Õ✉ ❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ♥➭♦ ♥❤➢ t❤Õ✱ ❤♦➷❝ ♥Õ✉✿ dk ≡ xk+ − xk ✹✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❦❤➠♥❣ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥✿ γcd (xk )T dk ≤ −m2 dk p , dk = − t❤× ➤➷t γcd (xk ) ❇➢í❝ ✹✿ ❚×♠ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ➞♠ ♥❤á ♥❤✃t ik s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ γcd (xk + 2−i dk ) ≤ γcd (xk ) + m1 2−i ➜➷t ✭✸✳✶✷✮ i = ik ✱ ✈➭ γcd (xk )T dk ✭✸✳✶✸✮ tk ≡ 2−ik ❇➢í❝ ✺✿ ➜➷t xk+1 := xk + tk dk ✱ ✈➭ k ← k + 1✱ s❛✉ ➤ã trë ❧➵✐ ❜➢í❝ ✷✳ ❚❛ ❝ã ợ ệ q ộ tụ s ố ị ý ✸✳✷✳✶✳ ✭ ❳❡♠ ❬✼❪✳ ALGO − 1✿ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✻✮ ❈❤♦ K ⊂ Rn ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣✱ F ∈ C (Rn )✳ ➜➷t < c < d✳ {xk } ❧➭ ❞➲② ✈➠ ❤➵♥ ➤➢ỵ❝ t➵♦ ❜ë✐ ALGO ú ó ỗ ột ể tụ ủ {xk } ❧➭ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❞õ♥❣ ❝đ❛ ❤➭♠ ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ γcd (.)✳ ✭✐✐✮ ◆Õ✉ x∗ ❧➭ ♠ét ➤✐Ĩ♠ tơ ❝đ❛ {xk } s❛♦ ❝❤♦ ✭✸✳✶✶✮ t❤á❛✱ t❤× x∗ ∈ V IP (K; F )✳ ✭✐✐✐✮ ◆Õ✉ {xk } ❝ã ♠ét ➤✐Ĩ♠ tơ ❝➠ ❧❐♣✱ t❤× t♦➭♥ ❜é ❞➲② {xk } sÏ t✐Õ♥ ➤Õ♥ ➤✐Ó♠ ➤ã✳ ✸✳✷✳✷✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❞ù❛ tr➟♥ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❋✉❦✉s❤✐♠❛ γc (.) ❉➢í✐ ➤➞②✱ t❛ ①Ðt t❤✉❐t t♦➳♥ ❞ù❛ tr➟♥ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❋✉❦✉s❤✐♠❛✳ ❉♦ ❤➭♠ γc (.) ❝ã t❤Ó ❦❤➠♥❣ ❧å✐✱ ♥➟♥ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ t❛ ỉ tì ợ ột ể ủ c (.) tr K ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❞ù❛ tr➟♥ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❋✉❦✉s❤✐♠❛✿ ❆▲●❖✲✷ ❈❤♦✿ x0 ∈ K, c > 0, m2 > 0, p > ✈➭ m1 ∈ (0, 1) ❇➢í❝ ✶✿ ➜➷t k = ✹✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❇➢í❝ ✷✿ ◆Õ✉ xk ❧➭ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❞õ♥❣ ❝đ❛ ✭✸✳✻✮✱ ❞õ♥❣✳ ❇➢í❝ ✸✿ ❚×♠ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ xk+ ❝❤♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ♣❤ô V IP (K; F k )✱ tr♦♥❣ ➤ã✿ F k (x) := F (xk ) + JF (xk )(x − xk ) ∀x ∈ Rn ➜➷t✿ dk := xk+ − xk ◆Õ✉ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ♣❤ô V IP (K; F k ) ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ❤♦➷❝ ♥Õ✉ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥✿ γc (xk )T dk ≤ −m2 dk ❦❤➠♥❣ t❤á❛ ♠➲♥✱ t❛ ➤➷t p ✭✸✳✶✹✮ xk+1 := M(xk ) ✈➭ ❝❤✉②Ó♥ s❛♥❣ ❜➢í❝ ✺✳ ❇➢í❝ ✹✿ ❚×♠ sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ♥❤á ♥❤✃t γc (xk + 2−i dk ) ≤ γc (xk ) − min{−m1 2−i ik s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ i = ik ✱ γc (xk )T dk , (1 − m1 )γc (xk )} ✭✸✳✶✺✮ ➜➷t tk := 2−ik ✈➭ xk+1 := xk + tk dk k ←− k + 1✱ s❛✉ ➤ã trë ❧➵✐ ❜➢í❝ ✷✳ ❇➢í❝ ✺✿ ➜➷t ❚❛ ❝ã ➤➢ỵ❝ ❤Ư q✉➯ ❤é✐ tơ s❛✉ ➤è✐ ✈í✐ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✷✳✷✳ F ∈ C (O) ✭ ❳❡♠ ❬✼❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✼✮ ❈❤♦ tr♦♥❣ ➤ã O ∈ Rn ỗ ột ể tụ ủ x K Rn ❧➭ ♠ét t❐♣ ♠ë ❝❤ø❛ ❧➭ ♠ét ❞➲② ✈➠ ❤➵♥ ➤➢ỵ❝ s✐♥❤ r❛ ❜ë✐ ✭✐✐✮ ◆Õ✉ ALGO − ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣✱ K ✱ c > 0✳ ●✐➯ sö {xk } ALGO − {xk } ❧➭ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❞õ♥❣ ❝đ❛ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ γc (.)✳ ❧➭ ♠ét ➤✐Ĩ♠ tơ ❝đ❛ {xk } s❛♦ ❝❤♦ ✭✸✳✼✮ t❤á❛ ♠➲♥✱ t❤× x∗ ∈ V IP (K; F )✳ ✭✐✐✐✮ ◆Õ✉ {xk } ❝ã ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❣✐í✐ ❤➵♥ ❝➠ ❧❐♣✱ t❤× t♦➭♥ ❜é ❞➲② {xk } sÏ t✐Õ♥ ✈Ị ➤✐Ĩ♠ ➤ã✳ ✹✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❚r➟♥ ➤➞② t❛ ✈õ❛ ♥➟✉ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❞ï♥❣ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ➤Ó q✉② ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ò ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉✱ tr♦♥❣ ➤ã sư ❞ơ♥❣ ❤❛✐ ❤➭♠ ❝➡ ❜➯♥ ❧➭ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❆✉s❧❡♥❞❡r ✈➭ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❋✉❦✉s❤✐♠❛✳ ✹✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❑Õt ❧✉❐♥ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧➭ ♠ét ✈✃♥ ➤Ò q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ t♦➳♥ ❤ä❝ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❜ë✐ ♣❤➵♠ ✈✐ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ré♥❣ r➲✐ ❝đ❛ ♥ã✳ ❇➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ♥❤➺♠ ♠ơ❝ ➤Ý❝❤ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ♠ét sè ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❞ù❛ tr➟♥ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❜➭✐ t♦➳♥ ♣❤ơ✳ ❈ơ t❤Ĩ ❧➭ ë ❝❤➢➡♥❣ ✶✱ ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈➭ tr×♥❤ ❜➭② ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ❈❤➢➡♥❣ ✷ ✈➭ ❝❤➢➡♥❣ ✸ ❣✐➭♥❤ ❝❤♦ ✈✐Ư❝ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝❤♦ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ♠➭ ❝ơ t❤Ĩ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣✱ ❝➳❝ t❤✉❐t ❣✐➯✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❞ù❛ tr➟♥ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❆♥s❧❡♥❞❡r ✈➭ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❋✉❦✉s❤✐♠❛✳ ✹✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪ ◆❣✉②Ơ♥ ❚❤Þ ❇➵❝❤ ❑✐♠ ✭✷✵✵✽✮✱ t❤✉②Õt ✈➭ t❤✉❐t t♦➳♥✱ ●✐➳♦ tr×♥❤ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ tè✐ ➢✉✱ ❧ý ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ❇➳❝❤ ❑❤♦❛ ✲❍➭ ◆é✐✳ P ỗ tÝ❝❤ ❧å✐✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❑ü t❤✉❐t✱ ❍➭ ◆é✐✳ ❬✸❪ ▲➟ ❉ò♥❣ ▼➢✉ ✭✶✾✾✽✮✱ ◆❤❐♣ ♠➠♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ tè✐ ➢✉✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❑ü t❤✉❐t✱ ❍➭ ◆é✐✳ ❬✹❪ ❉✳ ❑✐♥❞❡r❧❡❤r❡r ❛♥❞ ●✳ ❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛ ✭✶✾✽✵✮✱ t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t② ❛♥❞ ❚❤❡✐r ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❬✺❪ ●✳ ❈♦❤❡♥ ✭✶✾✽✽✮✱ ❡q✉❛❧✐t✐t❡s✱ ❆♥ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❱❛r✐❛✲ ❆❝❛❞❡♠✐❝ Pr❡ss✳ ❆✉①✐❧✐❛r② ♣r♦❜❧❡♠ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥✲ ❏❖❚❆ ✺✾✱ ✸✷✺✲✸✸✸ ✳ ❬✻❪ ❙✳ ❋❛❝❝❤✐♥❡✐ ❛♥❞ ❏✳ P❛♥❣ ✭✷✵✵✸✮✱ ❋✐♥✐t❡✲❉✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✲ ✐t✐❡s ❛♥❞ ❈♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t② Pr♦❜❧❡♠s✱ ❬✼❪ ❱✱ ❍✳ ◆❣✉②❡♥ ✭✷✵✵✸✮✱ ❙♣r✐♥❣r ✲ ❱❡r❧❛❣✱ ◆❡✇✲❨♦r❦✳ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❊❧❡♠❡♥t❛r② ❛♥❞ ❇❡②♦♥❞✱ ❋❯◆❉P ◆❛♠✉r ✲ ❇❡❧❣✐✉♠✳ ✭ ❇➭✐ ❣✐➯♥❣ tr➢ê♥❣ ❤❒ ❈➬♥ ❚❤➡ ✷✵✵✸ ✮✳ ✹✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN DŨNG NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng... THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ▼ë ➤➬✉ ✸ ✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣... Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✈➭ sù ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ị tờ ủ ì tớ ì ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ✈➭ s➞✉ s➽❝✳ ❚➳❝ ❣✐➯ P❤➵♠ ❱➝♥ ❉ị♥❣ ✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn