Một số phương pháp giải bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG TUẤN ANH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên nghành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Một số ký hiệu viết tắt Lời nói đầu Các kiến thức Bài toán bất đẳng thức biến phân 10 2.1 Phát biểu tốn ví dụ 10 2.2 Sự tồn tính chất tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 15 2.2.1 Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 15 2.2.2 Tính chất nghiệm toán 19 Một số hàm đánh giá 3.1 3.2 Các loại hàm đánh giá 23 23 3.1.1 Định nghĩa 23 3.1.2 Các hàm đánh giá cho toán VI(K,F) 24 Một số thuật toán lặp giải bất đẳng thức biến phân 35 Kết luận Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy GS TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam) trực tiếp hướng dẫn, bảo, động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn thầy, Khoa Tốn - Tin, phịng Đào tạo khoa học Quan hệ quốc tế, bạn sinh viên lớp cao học toán K2, trường Đại học Khoa học tạo điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích, động viên tác giả suốt q trình học cao học hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp phản hồi từ phía thầy, cô, bạn để luận văn hồn thiện cách tốt Tơi xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 10-2010 Tác giả Hoàng Tuấn Anh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Một số ký hiệu viết tắt Rn |β| x := y ∀x ∃x x x, y A⊂B A⊆B A∪B A∩B A≡B A×B AT VI N CP t.ư không gian Euclide n-chiều trị tuyệt đối số thực β x định nghĩa bẳng y với x tồn x chuẩn véc tơ x tích vơ hướng hai véc tơ x, y tập A tập thực tập B tập A tập tập B A hợp với B A giao với B A trùng với B tích Đề hai tập A B ma trận chuyển vị ma trận A toán bất đẳng thức biến phân toán bù phi tuyến tương ứng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Bất đẳng thức biến phân toán quan trọng toán học ứng dụng Do tốn nhiều người quan tâm nghiên cứu Trong hướng nghiên cứu này, phương pháp giải đề tài quan trọng Mục đích luận văn tập trung giới thiệu trình bày tốn bất đẳng thức biến phân, số tính chất tập nghiệm bất đẳng thức biến phân Đặc biệt sâu vào việc giới thiệu phương pháp giải cho lớp toán Luận văn bao gồm chương Chương 1: Các kiến thức giải tích lồi tốn tử đơn điệu, chương nhắc lại trình bày khái niệm, định lý, tính chất dùng để nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân chương sau Chương 2: Bài toán bất đẳng thức biến phân, chương trình bày định nghĩa tốn bất đẳng thức biến phân ví dụ Đồng thời trình bày tồn tính chất tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều Rn Chương 3: Các hàm đánh giá bản, trình bày số khái niệm ví dụ hàm đánh giá dùng để giải bất đẳng thức biến phân, đồng thời trình bày số phương pháp lặp để giải toán bất đẳng thức biến phân Thái Nguyên, tháng 10-2010 Tác giả Hồng Tuấn Anh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức Trong chương này, trình bày kiến thức tập lồi, hàm lồi, kiến thức sử dụng phần sau Do chương có tính chất phụ trợ nên kết có khơng chứng minh, chi tiết xem thêm tài liệu [1], [2], [3], [4] Định nghĩa 1.1 Cho hai điểm a, b ∈ Rn Tập tất điểm x = (1 − λ)a + λb với ≤ λ ≤ gọi đoạn thẳng (đóng) nối a b, ký hiệu [a, b] Tập C ⊂ Rn gọi lồi chứa đoạn thẳng nối hai điểm thuộc nó; nói cách khác, (1 − λ)a + λb ∈ C với a, b ∈ C ≤ λ ≤ Định lí 1.1 Tập lồi đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với số phép lấy tổ hợp tuyến tính Tức là, A B hai tập lồi Rn tập sau tập lồi: A ∩ B = {x : x ∈ A, x ∈ B} λA + βB = {x = αa + βb : a ∈ A, b ∈ B} Định nghĩa 1.2 Một tập hợp lồi mà giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng gọi tập lồi đa diện Cụ thể hơn, tập lồi đa diện tập hợp điểm x ∈ Rn nghiệm hệ Ax ≥ b, đó, A ma trận m × n b ∈ Rn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.3 Tập M Rn gọi nón (đỉnh gốc) nếu: x ∈ M, λ > =⇒ λx ∈ M Nón M gọi nón lồi M tập lồi Định nghĩa 1.4 Cho tập lồi A ⊆ Rn , hàm số f : A −→ R ∪ {+∞} gọi hàm lồi A, f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ A, ≤ λ ≤ Hàm f gọi lồi chặt A f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ A, < λ < Hàm f gọi lõm (lõm chặt) A −f lồi (lồi chặt) A Hàm f gọi hàm tựa lồi A, với λ ∈ R tập mức {x ∈ A : f (x) ≤ λ} tập lồi Hàm f gọi hàm tựa lõm A −f hàm tựa lồi A Định lí 1.2 Cho f hàm lồi tập A f hàm lồi tập B Lúc hàm sau lồi A ∩ B : λf + βf , với λ, β ≥ M ax(f, g) Định nghĩa 1.5 Cho tập lồi A ⊆ Rn , hàm số f : A −→ R ∪ {+∞} gọi hàm lồi mạnh A tồn số ρ > (hằng số lồi mạnh) cho với x, y ∈ A, λ ∈ [0; 1] ta có bất đẳng thức: f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)ρ x−y Định lí 1.3 Nếu f hàm lồi mạnh khả vi tập lồi đóng K ⊆ Rn thì: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f (x) − f (y), x − y ≥ ρ x−y Với x0 ∈ K , tập mức K0 = {x ∈ K : f (x) ≤ f (x0 )} bị chặn Tồn điểm x∗ ∈ K cho f (x∗ ) = min{f (x) : x ∈ K} Định nghĩa 1.6 Cho hàm f : K −→ [−∞, +∞] với K ⊆ Rn , ta gọi tập domf = {x ∈ K : f (x) < +∞} epif = {(x, α) ∈ S × Rn : f (x) ≤ α} miền hữu dụng tập đồ thị hàm f Hàm f gọi hàm thường domf = ∅ f (x) > −∞ với x ∈ K Định nghĩa 1.7 Cho hàm lồi thường f Rn , vectơ p ∈ Rn gọi gradient f điểm x0 p, x − x0 + f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ Rn Tập tất gradient f x0 gọi vi phân f điểm x0 ký hiệu ∂f (x0 ) Hàm f gọi khả vi phân x0 ∂f (x0 ) = ∅ Định lí 1.4 Cho f : Rn −→ Rn hàm lồi thường Khi đó, f có x0 vectơ gradient (tức ∂f (x0 ) chứa phần tử) f khả vi x0 Định nghĩa 1.8 Cho M tập không gian Rn Tập M gọi tập compact Rn dãy {xn } ⊂ M chứa dãy hội tụ tới x0 ∈ M Tập M ⊆ Rn tập compact M tập bị chặn đóng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.9 Ma trận M ∈ Rn×n gọi ma trận đối xứng M T = M Định nghĩa 1.10 Cho ma trận M ∈ Rn×n với phần tử mij (x) : i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , n hàm số xác định tập S ⊂ Rn , nửa xác định dương S với x ∈ S , ta có v T M (x)v ≥ 0, ∀v ∈ Rn Ma trận M (x) ∈ Rn·n xác định dương S với x ∈ S , ta có v T M (x)v > 0, ∀v = 0, v ∈ Rn Ma trận M (x) ∈ Rn·n xác định dương mạnh S với x ∈ S , ta có v T M (x)v ≥ α v , α > 0.∀v ∈ Rn Định nghĩa 1.11 Ánh xạ F : K −→ Rn gọi đơn điệu K nếu: [f (x1 ) − f (x2 )]T (x1 − x2 ) ≥ 0, ∀x1 , x2 ∈ K Ánh xạ F : K −→ Rn gọi đơn điệu chặt K nếu: [f (x1 ) − f (x2 )]T (x1 − x2 ) > 0, ∀x1 , x2 ∈ K Ánh xạ F : K −→ Rn gọi đơn điệu mạnh K nếu: [f (x1 ) − f (x2 )]T (x1 − x2 ) ≥ α x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ K Định nghĩa 1.12 Hàm số f xác định K ⊆ Rn gọi liên tục x0 ∈ K với > 0, nhỏ tùy ý, tồn δ > cho x − x0 < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < Hàm số f gọi liên tục K liên tục điểm x0 ∈ K Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.13 Hàm số f gọi liên tục Lipschitz tập K tồn số L > cho |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ L x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ K Định lí 1.5 Giả sử F : K −→ Rn khả vi, liên tục tập K ma trận Jacobi  ∂f1 ∂x1  ∂f2  F (x) =  ∂x  ∂fn ∂x1 ∂f1 ∂x2 ∂f2 ∂x2 ∂fn ∂x2 ∂f1  ∂xn ∂f2  ∂xn    F (x) = (f1 (x), f2 (x), , fn (x))T ∂fn ∂xn nửa xác định dương (xác định dương) Khi đó, F đơn điệu (đơn điệu chặt) Định lí 1.6 Giả sử F : K −→ Rn khả vi, liên tục tập mở chứa K, F (x) xác định dương mạnh Khi F đơn điệu mạnh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Cộng bất đẳng thức trên, ta thu −dT JF (x)T dx ≥ Do đó, JF (x)T dx ∈ (−Tc (x; K))∗ Từ Tc (x; K; F )∗ ⊇ Tc (x; K)∗ dẫn đến JF (x)T thuộc nón −Tc (x; K; F )∗ Cho nên dxT F (x) = Từ (3.12) với z = x, ta thu yc (x) = x Vậy, x ∈ SOL − V I(K; F ) Vậy (c) suy (a) Từ định lý ta có hệ sau: Hệ 3.1 Cho K ⊂ Rn tập lồi đóng F : Ω ⊃ K −→ Rn liên tục, khả vi tập mở Ω Cho c > G ma trận đối xứng xác định dương Vectơ x nghiệm toán V I(K, F ) x điểm dừng toán (3.10) điều kiện (3.11) thỏa mãn Bài toán tối ưu với hàm đánh giá hiệu chỉnh khó giải K khơng phải tập lồi đa diện Do đó, số toán, người ta xấp xỉ tập K tập lồi đa diện theo lý thuyết hàm đánh giá tuyến tính hóa sau: Hàm đánh giá tuyến tính hóa Xét tốn VI(K,F) với tập K xác định sau: K = {x ∈ Rn : gi (x) ≤ 0, i = m} (3.13) với gi (x) hàm lồi, liên tục, khả vi tập mở Ω ⊃ K Như phần trước Ω miền xác định hàm F toán VI(K,F) Ta định nghĩa L(x) = {y ∈ Rn : gi (x) + gi (x)T (y − x) ≤ 0, i = m} Ta thấy tập lồi đa diện Và định nghĩa hàm đánh giá tuyến tính hóa θclin (x) sau: c θclin (x) = supy∈L(x) {F (x)T (x − y) − (x − y)T G(x − y)} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.14) 33 Tương tự định lý (3.3), ta coi (x − c−1 G−1 F (x)) yclin (x) = (3.15) L(x),G Và ta có (y − yclin (x))T [F (x) + cG(yclin (x) − x)] ≥ 0, ∀y ∈ L(x) Bổ đề 3.1 Cho K xác đinh (3.4) với hàm gi (x) lồi, liên tục, khả vi tập mở Ω ⊃ K Cho c > G ma trận đối xứng xác định dương Với x ∈ Ω, K ⊆ L(x): θclin (x) ≥ θc (x) Ta có định lý sau: Định lí 3.5 Cho K xác đinh (3.13) với hàm gi (x) lồi, liên tục, khả vi tập mở Ω ⊃ K Cho c > G ma trận đối xứng xác định dương Nếu x ∈ K θclin (x) = x ∈ SOL − V I(K; F ) Ngược lại, ràng buộc Abadie x θclin (x) = Chứng minh Nếu x ∈ K θclin (x) = θc (x) = (theo bổ đề (3.1)) Do đó, theo (c) định lý (3.3) ta có x ∈ SOL − V I(K; F ) Ngược lại, giả sử x nghiệm toán VI(K,F) ràng buộc Abadie x Từ giả thiết K tập lồi, ta có F (x) ∈ −N (x; K) = T (x; K)∗ Vì ràng buộc Abadie x, ta có T (x; K) = {d ∈ Rn : gi (x)T d ≤ 0, ∀i ∈ I(x)} Do đó, L(x) ⊆ x + T (x; K) Nên (y − x)T F (x) ≥ 0, ∀y ∈ L(x) Điều x = yclin (x) Do đó, θclin (x) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Hàm D - đánh giá Định nghĩa 3.4 Cho ánh xạ F : Rn −→ Rn K tập lồi đóng Rn Cho a, b thỏa mãn b > a > Hàm D-đánh giá toán VI(K,F) xác định sau: θab (x) = θa (x) − θb (x), ∀x ∈ Rn (3.16) θa θb hàm đánh giá hiệu chỉnh định nghĩa Ta có Bổ đề sau: Bổ đề 3.2 (Xem ý 10.3.2 [9], trang 930) Với ∀x ∈ Rn , ta ln có: b−a x − yb (x) G≤ θab (x) (3.17) Định lí 3.6 Cho ánh xạ F : Rn −→ Rn K tập lồi đóng Rn Khi đó, b > a > hàm D-đánh giá θab (x) liên tục Rn (a) θab (x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn (b) θab (x) = ⇐⇒ x ∈ SOL − V I(K, F ) (c) Nếu F liên tục, khả vi Rn , hàm D-gap θab (x) liên tục, khả vi Rn θab (x) = JF (x)T (yb (x)−ya (x))+aG(ya (x)−x)−bG(yb (x)−x) (3.18) Chứng minh Theo nhận xét hàm θc (x) b > a θa (x) ≥ θb (x) Do θa (x) − θb (x) ≥ ⇐⇒ θab (x) ≥ Nên (a) chứng minh Tính chất (c) phần tính chất (b) suy trực tiếp từ định lý 3.3 Để chứng minh hồn chỉnh tính chất (b) , ta giả sử θab (x) = Theo bổ đề (3.2) , ta có x = yb (x) Điều dẫn đến x ∈ K θb (x) = theo phần (c) định lý (3.3) ta có x ∈ SOL − V I(K, F ) Ta định nghĩa, với x ∈ Rn Tab (x; K) = T (yb (x); K) ∩ (−T (ya ; K)) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Tab (x; K; F ) = Tab (x; K) ∩ (−F (x))∗ Từ giả thiết K tập lồi đóng, Tab (x; K) nón lồi đóng chứa vectơ ya (x) − yb (x), Tab (x; K; F ) nón lồi đóng Định lí 3.7 (Xem ý 10.3.2 [9], trang 931) Cho ánh xạ F : Rn −→ Rn K tập lồi đóng Rn Cho b > a > G ma trận đối xứng xác định dương Giả sử x điểm dừng θab Rn Khi mệnh đề sau tương đương (a) x ∈ SOL − V I(K; F ) (b) Tab (x; K; F ) ⊂ F (x)⊥ (c) d ∈ Tab (x; K; F ) =⇒ dT F (x) = T ∗ JF (x) d ∈ −Tab (x; K; F ) 3.2 (3.19) Một số thuật toán lặp giải bất đẳng thức biến phân Thuật toán dùng hàm D-Gap θab (x): Data: x0 ∈ Rn , < a < b, m2 > 0, p > 0, m1 ∈ (0; 1) Bước 1: Gán k := Bước 2: Nếu xk điểm dừng θab (x) DỪNG Bước 3:Tìm nghiệm xk+ toán VI(K; F k ) với F k (x) = F (xk ) + JF (xk )(x − xk ) Nếu tốn khơng tồn nghiệm dk = xk+ − xk (3.20) không thỏa mãn điều kiện θab (xk )T dk ≤ −m2 dk p đặt dk = − θab (xk ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.21) 36 Trong trường hợp cịn lại, ta chuyển qua bước Bước 4: Tìm số nguyên không âm nhỏ ik thỏa mãn với i = ik , θab (xk + 2−i dk ) ≤ θab (xk ) + m1 2−i θab (xk )T dk (3.22) Đặt tk = 2−ik Bước 5: Đặt xk+1 = xk + tk dk k ←− k + 1, trở bước Định lí 3.8 (Xem định lý 10.4.15 [9], trang 965) Cho K ⊂ Rn tập lồi đóng, F liên tục khả vi cấp Cho < a < b {xk } dãy vô hạn tạo từ thuật tốn Khi đó: i) Mọi điểm hội tụ dãy {xk } điểm dừng hàm θab (.) ii) Nếu x∗ điểm hội tụ dãy {xk } thỏa mãn (3.19) x∗ nghiệm toán VI(K;F) Thuật toán hàm đánh giá θc (x): Data: x0 ∈ K, c > 0, m2 > 0, p > 1, m1 ∈ (0; 1) Bước 1: Gán k := Bước 2: Nếu xk điểm dừng tốn (3.1), DỪNG Bước 3: Tìm nghiệm xk+ toán VI(K;F k ) với F k (x) = F (xk ) + JF (xk )(x − xk ), x ∈ Rn đặt dk = xk+ − xk , chuyển qua bước Nếu toán VI(K;F k ) khơng có nghiệm điều kiện θc (xk )T dk ≤ −m2 dk p không thỏa mãn, đặt xk+1 = M (xk ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.23) 37 sang bước Bước 4: Tìm số nguyên không âm nhỏ ik thỏa mãn với i = ik , θc (xk + 2−i dk ) ≤ θc (xk ) − min{−m1 2−i θc (xk )T dk , (1 − m1 )θc (xk )} (3.24) Đặt t = 2−ik xk+1 = xk + tk dk Bước 5: Đặt k ←− k + trở Bước Định lí 3.9 (Xem định lý 10.4.24 [9], trang 977) Cho K ⊂ Rn tập lồi đóng, F khả vi cấp tập mở Ω ⊃ K Cho c > {xk } dãy vơ hạn tạo q trình lặp thuật tốn Khi đó: i) Mọi điểm tụ dãy {xk } điểm dừng hàm θc (.) ii) Nếu x∗ điểm tụ dãy {xk } thỏa mãn (3.2) x∗ ∈ Sol−V I(K; F ) Phương pháp lặp điểm bất động Xét toán (2.1), với K ⊆ Rn tập lồi đóng ánh xạ F : K −→ Rn liên tục K Giả sử ma trận A ∈ Rn×n ma trận đối xứng xác định dương Ở chương II, ta có: nat x∗ ∈ SOL − V I(K, F ) ⇐⇒ FK,A (x∗ ) = với nat FK,A (x) = x − PK (x − F (x)) PK,A phép chiếu lên K xác định ma trận A định nghĩa chương II Khi ta có kết sau: Điểm bất động ánh xạ x −→ PK,A [x − A−1 F (x)] ⇐⇒ Nghiệm toán VI(K,F) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Khi ta có thuật tốn chiếu sau: Data: x0 ∈ K , ma trận A ∈ Rn×n ma trận đối xứng xác định dương Bước 1: Gán k := Bước 2: Nếu xk = PK,A [xk − A−1 F (xk )], DỪNG Bước 3: Đặt xk+1 ≡ PK,A [xk − A−1 F (xk )] k ←− k + 1; trở bước Định lí 3.10 (Xem định lý 12.1.2 [9], trang 1109) Cho F : K −→ Rn , với K tập lồi đóng Rn Giả sử với cặp x, y thuộc K, L µ thỏa mãn (F (x) − F (y))T (x − y) ≥ µ x−y 2 (3.25) F (x) − F (y) 2≤ L x−y (3.26) Nếu L2 λmax (A) < 2µλ2min (A) (3.27) ánh xạ x −→ PK,A [x − A−1 F (x)] ánh xạ co từ K tới K với chuẩn A Hơn nữa, dãy {xk } tạo từ phép lặp hội tụ tới nghiệm tốn (2.1) Nếu A = τ l, điều kiện (3.27) trở thánh L2 τ> 2µ Do đó, cho tốn VI(K,F) với F µ - đơn điệu mạnh liên tục Lipchitz, dãy {xk } xác định bới xk+1 = PK [xk − F (xk ), τ k = 0, 1, 2, hội tụ tới nghiệm toán VI(K,F) vởi điểm bắt đầu x0 ∈ K Khi ta có thuật tốn lặp sau đây: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Phương pháp chiếu với bước lặp biến thiên Data: x0 ∈ K Bước 1: Gán k := Bước 2: Nếu xk = PK [xk − F (xk )], DỪNG Bước 3: Chọn τk > Đặt xk+1 ≡ PK [xk − τk F (xk )] k ←− k + 1; trở bước Định lí 3.11 (Xem định lý 12.1.8 [9], trang 1114) Cho K tập lồi đóng Rn ánh xạ F : K −→ Rn tự K với hệ số c Giả sử SOL − V I(K, F ) = ∅ Nếu < infk τk ≤ supk τk < 2c thuật tốn hội tụ tới nghiệm toán VI(K,F) Thuật toán đạo hàm tăng cường Data: x0 ∈ K , τ > Bước 1: Gán k := Bước 2: Nếu xk ∈ SOL − V I(K, F ), DỪNG Bước 3: Tính xk+ := PK (xk − τ F (xk )), xk+1 := PK (xk − τ F (xk+ ); k ←− k + 1; trở bước Ta có bổ đề sau: Bổ đề 3.3 (Xem ý 12.1.10 [9], trang 1117) Cho K tập lồi đóng Rn ánh xạ F : K −→ Rn giả đơn điệu SOL - VI(K,F) liên tục Lipschitz K với số Lipschitz L > Cho x∗ nghiệm tốn VI(K,F) Khi ta có, với k ∈ N: xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ −(1 − t2 L2 ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên xk+ − xk http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 với = Định lí 3.12 (Xem định lý 12.1.11 [9], trang 1118) Cho K tập lồi đóng Rn ánh xạ F : K −→ Rn giả đơn điệu SOL - VI(K,F) liên tục Lipschitz K với số Lipschitz L > Nếu τ > L1 , dãy {xk } tạo bới phép lặp hội tụ tới nghiệm toán VI(K,F) Phương pháp lặp tổng qt Giả sử ta có tốn VI(K,F): Tìm x∗ ∈ K, K ⊂ Rn cho F (x∗ )T (x − x∗ ) ≥ 0, ∀x ∈ K (3.28) với F : K −→ Rn hàm liên tục, khả tích K ⊂ Rn tập lồi, compact Giả sử tồn hàm trơn g(x, y) : K × K −→ Rn có tính chất: g(x, x) = F (x), ∀x ∈ K ii) Với điểm cố định x, y ∈ K , ma trận x g(x, y) ma trận đối xứng xác định dương THUẬT TOÁN 1)Bước khởi tạo Bắt đầu với x0 ∈ K , gán k := 2) Bước 1: Xây dựng tính tốn Tính xk cách giải bất đẳng thức biến phân i) g(xk , xk−1 )T (x − xk ) ≥ 0, ∀x ∈ K (3.29) 3) Bước 2: Kiểm tra hội tụ Nếu |xk − xk−1 | ≤ ε, với ε > DỪNG Nếu khơng, gán k := k + quay bước Từ giả thiết ma trận tích phân x g(x, y) ma trận đối xứng xác định dương, g(x, y)dx xác định hàm f (x, y) : K × K −→ R thỏa mãn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 với y ∈ K cố định, f (., y) hàm lồi chặt g(x, y) = x f (x, y), tốn bất đẳng thức biến phân (3.29) tương đương với toán M inx∈K f (x, xk−1 ) (3.30) tồn nghiệm xk Có thể dùng phương pháp gần để giải toán (3.30) *Chú ý:Dãy {xk } hội tụ, giả sử xk −→ x∗ k −→ ∞, g(x, y) liên tục nên từ (3.29) ta có F (x∗ )T (x − x∗ ) = g(x∗ , x∗ )T (x − x∗ ) ≥ 0, ∀x ∈ K Do x∗ nghiệm VI(K,F) Định lí 3.13 (Xem định lý [6], trang 7) Giả sử | xg − 21 (x1 , y ) y g(x2 , y ) x g − (x3 , y ) | ρ với G ma trận xác định dương cố định Tại bước k phương pháp chiếu, toán (trong phương pháp lặp tổng quát) giải M inx∈K { xT Gx + (ρF (xk−1 ) − Gxk−1 )T x)} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Định lí 3.14 (Xem định lý [6], trang 10) Giả sử | I − ρG− x F (x)G− | < 1, ∀x ∈ K với ρ > cố định Khi dãy {xk } tạo M inx∈K { xT Gx + (ρF (xk−1 ) − Gxk−1 )T x)} hội tụ tới nghiệm VI(K,F) Phương pháp nới lỏng Trong phương pháp lặp tổng quát , phương pháp nới lỏng tương ứng với cách chọn hàm gi (x, y) = Fi (y1 , , yi−1 , xi , yi+1 , , yn ), với i = 1, 2, , n với điều kiện hội tụ sau: Định lí 3.15 (Xem định lý [6], trang 11) Giả sử tồn γ > cho ∂Fi (x) ≥ γ, ∀i = 1, , n, ∀x ∈ K ∂xi | y g(x, y) | < λγ , < λ < 1, ∀x, y ∈ K điều kiện hội tụ định lý (3.13) thỏa mãn Phương pháp chiếu điều chỉnh Bước khởi tạo: Bắt đầu với x0 ∈ K, k := chọn ρ : o < ρ ≥ L với L số Lipschitz hàm số F bất đẳng thức biến phân ban đầu Bước 1: Xây dựng tính tốn Tính x ¯k−1 ∈ K nghiệm toán bất đẳng thức biến phân sau: (¯ xk−1 + (ρF (xk−1 ) − xk−1 ))T (x − x¯k−1 ) ≥ 0, ∀x ∈ K Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Bước 2: Tính xk bẳng giải : (xk + (ρF (¯ xk−1 ) − xk−1 ))T (x − xk ) ≥ 0, ∀x ∈ K Bước 3: Kiểm tra hội tụ Nếu |xk − xk−1 | ≤ , > DỪNG Nếu không, gán k := k + 1, trở bước Phương pháp chiếu điều chỉnh hội tụ tới nghiệm toán VI(K,F) với K = ∅ khơng cần compact Định lí 3.16 (Xem định lý [6], trang 14) Giả sử F hàm đơn điệu, tức (F (x1 ) − F (x2 ))T (x1 − x2 ) ≥ 0, ∀x1 , x2 ∈ K F hàm Lipschitz liên tục, tức ∃L ≥ cho F (x1 ) − F (x2 ) ≤ L x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ K Khi phương pháp chiếu điều chỉnh hội tụ tới nghiệm VI (K,F) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Kết luận Nội dung luân văn nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân, tập trung trình bày tính chất tập nghiệm toán phương pháp giải bất đẳng thức biến phân Qua chương, luận văn hoàn thành công việc sau: Tổng hợp định nghĩa, tính chất hàm lồi tập lồi, kiến thức giải tích hàm có liên quan Trình bày chi tiết tốn bất đẳng thức biến phân, định nghĩa, ví dụ, tồn nghiệm tính chất tập nghiệm tốn Trình bày số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân thông qua hàm đánh giá phương pháp lặp Do điều kiện thời gian trình độ nghiên cứu khoa học hạn chế, luận văn chắn có thiếu sót, mong thầy, cô, bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn hồn chỉnh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải, Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà nội 2000 [2] Đỗ Văn Lưu, Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà nội 1999 [3] Lê Dũng Mưu, Nhập môn phương pháp tối ưu, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà nội 1998 [4] Trần Vũ Thiệu, Giáo trình cao học - Cơ sở giải tích lồi, Viện Toán Học, Hà Nội - 2003 Tài liệu tiếng Anh [5] Anna Nagurney, Variational Inequalities, Isenberg School of Management, University of Massachusetts, Amherst, MA 01003, 2002 [6] Anna Nagurney, Variational Inequalities: Algorithms, Isenberg School of Management, University of Massachusetts, Amherst, MA 01003, 2002 [7] David Kinderlehrer - Guido Stampacchia, An Introdution to Variational Inequalities and Their Applications [8] Francisco Fachinei and Jong - Shi Pang, Finite Dimension Variational Inequalities and Complementarity Problem Vol 1, Springer [9] Francisco Fachinei and Jong - Shi Pang, Finite Dimension Variational Inequalities and Complementarity Problem Vol 2, Springer Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 [10] Igor Konnov, Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities [11] Nguyen Van Hien, Variational Inequalities, Lecture I: Elementary and Beyond, Can Tho University, August, 2003 [12] Nguyen Van Hien, Variational Inequalities, Lecture II: Merit/Gap Functions Based Algorithms for VIPs, Can Tho University, July 15, 2003 [13] Nguyen Van Hien, Variational Inequalities, Lecture III: Projection Algorithms for Monotone VIPs, Can Tho University, July 16, 2003 [14] Patrick T Harker - Jong-Shi Pang, Finite-Dimension Variational Inequalities and Nonlinear Complementarity Problem: A Survey of Theory, Algorithms and Applications, 1989 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... thức giải tích hàm có liên quan Trình bày chi tiết toán bất đẳng thức biến phân, định nghĩa, ví dụ, tồn nghiệm tính chất tập nghiệm tốn Trình bày số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân. .. bất đẳng thức biến phân chương sau Chương 2: Bài toán bất đẳng thức biến phân, chương trình bày định nghĩa toán bất đẳng thức biến phân ví dụ Đồng thời trình bày tồn tính chất tập nghiệm tốn bất. .. hướng nghiên cứu này, phương pháp giải đề tài quan trọng Mục đích luận văn tập trung giới thiệu trình bày tốn bất đẳng thức biến phân, số tính chất tập nghiệm bất đẳng thức biến phân Đặc biệt sâu