tính tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình navier-stokes

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGÔ VĂN GIANG TÍNH TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 Thái Nguyên, năm 2011 H −1  L p Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn • R = (−∞; +∞) • R + = [0; +∞) • R n < ., . > ||. || • C([a; b], R n ) [a; b] R n • C(U) = {u : U → R | u • C( ¯ U) = {u ∈ C(U) | u • C k (U) = {u : U → R | u • C k ( ¯ U) = {u ∈ C k (U) | D α u |α| ≤ k u ∈ C k ( ¯ U) D α u ¯ U α, |α| ≤ k • L 2 ([a, b], R m ) [a, b] R m • C ∞ (U) = {u : U → R | u = ∩ ∞ k=0 C k (U) C ∞ ( ¯ U) = ∩ ∞ k=0 C k ( ¯ U) • C c (U), C k c (U), , C(U), C k (U), , • L p (U) = {u : U → R | u u L p (U) < ∞ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn u L p (U) = (  U |u| p dx) 1 p (1 ≤ p < ∞) • L ∞ (U) = {u : U → R | u u < ∞ u L p (U) = ess sup U |u|. • L p loc (U) = {u : U → R | u ∈ L p (V ) V ⊂⊂ U • H k (U), W k p (k = 1, 2, 3 ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn R n n = 2 n = 3 R n u(x, t) = (u i (x, t)), i = 1, 2, , n p(x, t) x ∈ R n t > 0 ∂u i ∂t + n  j=1 u j ∂u i ∂x j = νu i − ∂p ∂x i + f i (x, t) (x ∈ R n , t > 0, i = 1, 2, , n), u = (u 1 , u 2 , , u n ), div u = n  i=1 ∂u i ∂x i = 0 (x ∈ R, t > 0). u(x, 0) = u o (x). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn u o (x) div u o = 0, f i (x, t) ν Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn u, v ∈ L 1 loc (U) α v α u  U uD α φdx = (−1) |α|  U vφdx φ ∈ C ∞ c (U). D α u = v. α u Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 ≤ p ≤ ∞ W k p u : U → R α, |α| ≤ k D α u L p (U) p = 2 H k (U) = W k 2 (U) (k = 1, 2, ) H 0 (U) = L 2 (U) u ∈ W k p (U) u W k p := (  |α|≤k  U |D α u| p dx) 1/p (1 ≤ p < ∞) u W k p :=  |α|≤k ess sup U |D α u| (p = ∞). C ∞ c (U) H k (U) H k 0 (U) H k 0 (U) u ∈ H k (U) D α u = 0 ∂U |α| ≤ k −1 |u| = u L 2 (Ω) ∇u L 2 (Ω) = (  Ω n  i=1 |D i u| 2 dx) 1/2 u. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn H −1 H 1 0 (U) H −1 (U) f ∈ H −1 (U) f H 1 0 (U) f ∈ H −1 (U) f H −1 (U) = sup{< f, u > |u ∈ H 1 0 (U), u H 1 0 (U) ≤ 1}. <, > f ∈ H −1 (U) u ∈ H 1 0 (U) H −1 f ∈ H −1 (U) f 0 , f 1 , , f n L 2 (U) < f, v >=  U f 0 v + n  i=1 f i v x i dx (v ∈ H 1 0 (U)). f H −1 (U) = inf{(  U n  i=0 |f i | 2 dx) 1/2 |f f 0 , , f n ∈ L 2 (U)}. L p (0, T ; X) u : [0, T ] → X u L p (0,T ;X) := (  T 0 u(t) p dt) 1/p < ∞ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Chữỡng 2 Nghiằm yáu cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes 2.1 Mởt số bĐt ng thực ữợc lữủng nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes Chúng ta xt Rd , d = 2 hoc d = 3 l têp m b chn cừa lợp C l , l 2 ừ lợn Hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes s ữủc viát dữợi dÔng: du + Au + B(u, u) = f dt (2.1) u(0) = u0 (2.2) Trong chữỡng ny chựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh Navier-Stokes bơng phữỡng phĂp xĐp x... ; D(A)) v thọa mÂn u(t) 1/2 2 1 2 + T 1 1/2 1 0 2 |Au(s)|2 ds C (3.28) vợi 0 t T 34 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.2 Sỹ duy nhĐt cừa nghiằm mÔnh cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes 3.2.1 Sỹ duy nhĐt nghiằm trong trữớng hủp 2 chiãu nh lỵ 3.2.1 Cho R2 l têp m, b chn, cừa lợp C 2 Cho f L2 (0, T ; V ) Hai nghiằm thuởc L2 (0, T ; V ) Cw (0, T ; H) cừa du... iãu sau Ơy t 1 um (t1 )dt1 X1 t Tứ hai số hÔng bản vá phÊi cừa bĐt ng thực ãu hởi tử tợi 0 khi m suy ra um (t) X1 0 2.2 Sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes nh nghắa 2.2.1 Nghiằm yáu cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes l mởt hm u L2 (0, T ; V ) Cw (0, T ; H) thọa mÂn < du dt L1 (0, T, V ) v loc du , v > +((u, v)) + b(u, u, v) = (f, v), v V dt u(0) = u0 Khổng gian Cw (0,... H) suy ra A1/2 B(um , um )) l b chn trong L2 (0, T ; V ) 28 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chữỡng 3 Nghiằm mÔnh cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes 3.1 Sỹ tỗn tÔi nghiằm mÔnh cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes Cho um l nghiằm cừa hằ Galerkin dum + Aum + Pm B(um , um ) = Pm f dt (3.1) um (0) = Pm u0 (3.2) NhƠn vổ hữợng (3.1) vợi um ta ữủc 1d |um |2 + 2 dt Tứ 1 |um... cừa phữỡng trẳnh Stokes nh lỵ 1.3.1 Cho l têp m, b chn Khi õ vợi mội f L2()n, > 0 tỗn tÔi duy nhĐt nghiằm yáu cừa phữỡng trẳnh Stokes (1.1)-(1.3) 13 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn nh lỵ 1.3.2 Cho l têp m, b chn cừa lợp C 2 Khi õ vợi mội f L2 ()n , > 0 tỗn tÔi duy nhĐt nghiằm u H 2 () V, p H 1 () cừa phữỡng trẳnh Stokes (1.1)-(1.3) Hỡn nỳa, u H 2 ()... v) = ((u, v)) úng vợi u D(A), v V nh lỵ 1.4.3 ToĂn tỷ Stokes l tỹ liản hủp nh lỵ 1.4.4 Nghch Êo cừa toĂn tỷ Stokes, A1, l toĂn tỷ compact trong H Chựng minh Cho f H, A1 f = u trong õ u l nghiằm duy nhĐt thuởc H 2 () V = D(A) cừa phữỡng trẳnh Stokes (xem [1]) Ta  biát A1 : H V l b chn Ta cõ K = A1 l ỡn Ănh, copact v tỹ liản hủp vẳ < A1 f, g >=< A1 f, AA1 g >=< AA1 f, A1 g >=< f, A1 g > Do... cĂc hm liản tửc yáu : (u(t), h) l hm liản tửc vợi h H 26 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn nh lỵ 2.2.2 (Leray) Tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt nghiằm yáu cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes vợi u0 H, f L2 (0, T ; V ) Hỡn nỳa, 4 du dt L 3 (0, T ; V ) vợi d = 3, du dt L2 (0, T ; V ) vợi d = 2, v cõ bĐt ng thực t 1 |u(t)|2 + 2 1 u(s) ds |u(t0 )|2 + 2 t 2 t0 < f (s), u(s)... rơng hm gm (t) liản tửc trản oÔn [0, T], nhên giĂ tr trong V Tứ wj V , iãu ny Êm bÊo cho hm : [0, T ] Rn l liản tửc Tứ nh lỵ cừa phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng ta biát rơng (2.8), (2.9) cõ nghiằm duy nhĐt (t) xĂc nh vợi t l lƠn cên cừa t = 0 20 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hÔng b(wk , wl , wj ) vợi mội k cố nh l phÊn xựng vợi l v j, tực l b(wk , wl... 1 , u0 v thọa mÂn um (t) 1 sup (3.18) 0t1/1 Chuyn qua giợi hÔn ta ữủc nh lỵ 3.1.2 Cho l têp m, b chn cừa lợp C 2 Cho u0 H, f L (R+ , H) Cho T > 0 Khi õ tỗn tÔi mởt nghiằm u cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes du + Au + B(u, u) = f dt u(0) = u0 , 32 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn thọa mÂn u L (0, T ; V ) L2 (0, T ; D(A)) L (0, T ; H) L2 (0, T ; V ) loc... Chúng ta  chựng minh ữủc iãu sau Ơy Bờ ã 2.1.1 Cho m m u0 m j (t)wj , gm (t) = 0 j wj = j=1 j=1 GiÊ sỷ (2.13),(2.14) úng thẳ nghiằm m um (t) = j (t)wj j=1 cừa hằ Galerkin (2.4),(2.5) l tỗn tÔi v duy nhĐt trản [0, T ] Hỡn nỳa, dÂy um l b chn ãu trong L (0, T ; H) v trong L2 (0, T ; V ) DÂy dum dt 4 l b chn ãu trong L 3 (0, T ; V ) Bờ ã 2.1.2 Cho um l dÂy cĂc hm thọa mÂn T um (s) 2 V ds M (2.17) . NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGÔ VĂN GIANG TÍNH TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán