SỰ tồn tại và PHÂN rã NGHIỆM của hệ PHƯƠNG TRÌNH CAMASSA – HOLM có NHỚT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỖ THỊ THỦY SỰ TỒN TẠI VÀ PHÂN RÃ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH CAMASSA - HOLM CĨ NHỚT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TỐN HỌC HÀ NỘI-2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỖ THỊ THỦY SỰ TỒN TẠI VÀ PHÂN RÃ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH CAMASSA - HOLM CĨ NHỚT Chun ngành: Tốn Giải tích (Phương trình vi phân tích phân) Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Thị Trang HÀ NỘI-2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài luận văn Thạc sĩ "Sự tồn phân rã nghiệm hệ phương trình Camassa-Holm có nhớt", chun ngành Tốn giải tích hồn thành hướng dẫn TS Phạm Thị Trang thân tác giả Trong q trình nghiên cứu hồn thiện luận văn, tác giả kế thừa phát triển kết nhà khoa học với biết ơn trân trọng Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Học viên Đỗ Thị Thủy LỜI CẢM ƠN Trong thời gian nghiên cứu hồn thành luận văn mình, em nhận nhiều giúp đỡ nhiệt tình từ tập thể cá nhân Em xin chân thành cảm ơn thầy cô Bộ môn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội trang bị cho em kiến thức quý báu, giúp đỡ tạo điều kiện cho em trình học tập trình hồn thiện luận văn Với lòng kính trọng biết ơn sâu sắc, em xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS Phạm Thị Trang, người trực tiếp hướng dẫn, bảo nhiệt tình giúp đỡ em suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln động viên giúp đỡ học tập sống Mặc dù thân cố gắng thời gian thực trình độ hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp nhân văn quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện phát triển Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Học viên Đỗ Thị Thủy Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các không gian hàm 1.2 Số hạng phi tuyến 1.3 Biến đổi Fourier 10 1.4 Một số bất đẳng thức thường dùng 11 Sự tồn nghiệm hệ Camassa-Holm có nhớt 14 2.1 Sự tồn nghiệm hệ Camassa-Holm có nhớt 14 2.2 Tính quy nghiệm hệ Camassa-Holm có nhớt 25 Sự phân rã nghiệm hệ Camassa-Holm có nhớt 30 3.1 Sự phân rã nghiệm hệ VCHE có nhớt tồn khơng gian: tốc độ phân rã không 30 3.2 Sự phân rã nghiệm hệ VCHE có nhớt tồn khơng gian: tốc độ phân rã 38 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 54 Mở đầu Lí chọn đề tài Các phương trình hệ phương trình học chất lỏng xuất mô tả chuyển động chất lỏng khí nước, khơng khí, dầu mỏ, điều kiện tương đối tổng quát Chúng xuất nghiên cứu nhiều tượng quan trọng khoa học hàng khơng, khí tượng học, cơng nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, Một lớp hệ phương trình quan trọng học chất lỏng hệ phương trình Navier-Stokes (viết tắt NS) Hệ phương trình Navier-Stokes miêu tả dòng chảy chất lỏng khí có dạng: ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t), ∂t ∇ · u = 0, u = u(x, t) hàm vectơ vận tốc, p = p(x, t) hàm áp suất, ν > hệ số nhớt, f ngoại lực Mặc dù đưa lần vào năm 1822, có hàng ngàn báo sách viết hệ phương trình Navier-Stokes, nhiên hiểu biết nghiệm hệ phương trình q khiêm tốn, nói riêng nghiệm hệ không gian ba chiều tốn lớn kỷ Chính vậy, hướng nghiên cứu quan tâm gần nghiên cứu biến thể hệ phương trình Navier-Stokes, xuất điều kiện vật lý định Một số hệ phương trình Camassa-Holm có nhớt (viết tắt VCHE) có dạng sau   vt + u · ∇v + v · ∇uT + ∇π = ν∆v,     u − α2 ∆u = v, (1)  ∇ · v = 0,      v(x, 0) = v0 (x) Hệ phương trình VCHE xuất nghiên cứu mơ hình nước nơng, dựa nguyên lý biến phân định lý trung bình Lagrange (xem [5, 10, 14]) Trong [8], VCHE xây dựng biến thể hệ phương trình Navier-Stokes vận tốc “lọc”, thỏa mãn định lý Kelvin mở rộng tính lưu thơng chất lỏng Vì vậy, hệ (1) coi dạng hệ phương trình Navier-Stokes-α, đó, α tham số lọc Khi α = ta hệ NavierStokes cổ điển Do đó, nghiệm hệ phương trình Camassa-Holm có nhớt có mối quan hệ mật thiết với nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes ([11]) Vì lý trên, việc nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ Camassa-Holm có nhớt có ý nghĩa quan trọng, mặt lý thuyết thực tiễn, thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Khi xét hệ Casmassa-Holm miền bị chặn thỏa mãn điều kiện biên Dirichlet hay điều kiện biên tuần hồn, có nhiều kết tồn nhất, tính quy nghiệm tồn tại, tính chất tập hút toàn cục ([12, 14], ) Khi tốn xét khơng gian, người ta quan tâm đến việc đánh giá tốc độ phân rã (decay rate) nghiệm Mặc dù đặt từ năm 1934 J Leray báo tảng tồn nghiệm hệ Navier-Stokes ([13]), chủ đề nghiên cứu cách hệ thống từ năm 1980 sau Schonbek đề xuất phương pháp phân tách Fourier (Fourier Splitting Method) ([15]) Từ đến nay, chủ đề nghiên cứu thời quan trọng phương trình học chất lỏng Vì vậy, chúng tơi chọn vấn đề làm đề tài nghiên cứu luận văn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tồn phân rã nghiệm hệ Camassa-Holm có nhớt tồn khơng gian Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu tồn tính quy nghiệm yếu khơng gian Rn , n = 2, 3, • Nghiên cứu phân rã nghiệm hệ Camassa-Holm có nhớt tồn khơng gian hai trường hợp: tính phân rã khơng vận tốc ban đầu v0 ∈ L2 (Rn ) đánh giá tốc độ phân rã v0 ∈ H m (Rn ) ∩ L1 (Rn ), m ≥ Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hệ Camassa-Holm có nhớt tồn khơng gian • Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn phân rã nghiệm hệ Camassa- Holm có nhớt Phương pháp nghiên cứu • Phương pháp xấp xỉ Galerkin • Phương pháp phân tách Fourier • Phương pháp qui nạp Dự kiến đóng góp luận văn Trình bày kết tồn phân rã nghiệm hệ Camassa-Holm có nhớt thời gian vô Nội dung luận văn gồm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trình bày kiến thức sở cần thiết cho việc trình bày chương sau biến đổi Fourier, khơng gian hàm dùng để nghiên cứu phương trình học chất lỏng Chương Sự tồn nghiệm hệ Camassa-Holm có nhớt Trình bày kết tồn nhất, tính qui nghiệm hệ Camassa-Holm có nhớt tồn không gian Rn , n = 2, 3, Chương Sự phân rã nghiệm hệ Camassa-Holm có nhớt Trình bày kết phân rã nghiệm hệ Camassa-Holm có nhớt tồn khơng gian hai trường hợp: vận tốc ban đầu v0 ∈ L2 (Rn ) vận tốc ban đầu v0 ∈ H m (Rn ) ∩ L1 (Rn ), m ≥ Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày kiến thức không gian hàm, phép biến đổi Fourier, số kí hiệu bất đẳng thức cần dùng để nghiên cứu hệ phương trình VCHE không gian n chiều 1.1 Các không gian hàm Để nghiên cứu hệ Camassa-Holm, ta cần sử dụng không gian hàm sau (xem, chẳng hạn [18]) 1/p Kí hiệu Lp (Ω) không gian vectơ Lebesgue n chiều với chuẩn φ p p |φ(x)| dx = Ω Đặc biệt, p = ta có khơng gian Hilbert L2 (Ω) với tích vơ hướng u, v = uvdx Ω Ta kí hiệu W m,p (Rn ) = {u = (u1 , , un ) ∈ Lp | Dβ u ∈ Lp , |β| ≤ m} không gian Sobolev n chiều với chuẩn u m,p |uk |pm,p :=  1/p n , |uk |m,p :=  k=1 1/p  Rn |Dβ uk |p   |β|≤m Đặc biệt, p = 2, đặt H m = W m,2 (Rn ) Như vậy, L2 = H Ký hiệu Lpσ , Hσm bao đóng Σ = {φ ∈ C0∞ (Ω) | ∇ · φ = 0} với chuẩn Lp H m tương ứng; (Hσm ) không gian đối ngẫu Hσm Kết hợp với (3.20) ta có bất đẳng thức dạng r φ(r) ≤ C + C φ(s) (e + s)−n/2 ln−1 (e + s)ds, với φ = (e + r)n/2 E (ξ, r) dξ Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta Rn r n/2 E (ξ, r) dξ ≤ C exp C (e + r) Rn (e + s)−n/2 ln−1 (e + s)ds ≤    C n >   C ln(e + r) n = 2, hay E (ξ, r) dξ ≤ Rn    C(e + r)−n/2 n >   C(e + r)−n/2 ln(e + r) n = Trong trường hợp n = 2, lại thay đánh giá vào (3.21), ta (e + r)n/2 E (ξ, r) dξ r ≤C + C Rn (e + s)−n/2 ln(e + s) E (ξ, s) dξ ds Rn Áp dụng bất đẳng thức Gronwall lần ta có r n/2 E (ξ, r) dξ ≤ C exp (e + r) Rn C(e + s)−2 ln(e + s) ds ≤ C, hay, n = ta có E (ξ, r) dξ ≤ C (e + r)−n/2 Rn Áp dụng định lý Plancherel ta điều phải chứng minh Tiếp theo đánh giá tốc độ phân rã cho chuẩn H v cách sử dụng lập luận tương tự định lý trước 42 Định lý 3.4 Cho v nghiệm VCHE (1) với Ω = Rn , ứng với v0 ∈ Hσ1 ∩ L1 (Rn ) Nghiệm thỏa mãn tốc độ phân rã 2 ∇v(t) ≤ C(1 + t)−1−n/2 , đó, số phụ thuộc vào điều kiện ban đầu, số chiều không gian số VCHE (ν, α) Chứng minh Nhân hai vế VCHE (1) với ∆v ỏp dng bt ng thc Hăolder ta cú 1d v dt 2 + ν ∆v 2 ≤C u n ∇v ∆v 2n n−2 Áp dụng bất đẳng thức Sobolev, Hệ 2.1 kết định lý trước, ta 1d ∇v dt 2 2 + ν ∆v ≤ C(t + 1)−n/2 ∆v 2 Chọn t đủ lớn để C(t + 1)−n/2 < ν/2 , d ∇v dt 2 + ν ∆v 2 ≤ Tiếp theo, ta áp dụng phương pháp phân tách Fourier tương tự định lý trước Chọn B(ρ) hình cầu có bán kính ρ ρ2 = f / (νf ) f hàm dương, không giảm chọn sau Áp dụng Định lý Plancherel ta d ξv dt 2 + νρ2 ξ v 2 ≤ νρ4 |v| ξ B(ρ) Áp dụng B 3.2 kt hp vi bt ng thc Hăolder Định lý 3.3 ta có t |v| ≤ C u(s) 1+ ∇v(s) ds t t 12 ds ≤C + u(s) 0 43 2 ∇v 2 ds t ≤C + t (1 + s)−n/2 ∇v 2 ds Suy d ξv dt t 2 + νρ2 ξ v 2 (1 + s)−n/2 ∇v ≤ Cνρ4+n + t 2 ds Nhân hai vế bất phương trình với f chọn f = (1 + t)n/2+2 , ta d (1 + t)n/2+2 ξ v dt t 2 (1 + s)−n/2 ∇v ≤C 1+t 2 ds Lấy tích phân hai vế theo t, cận từ đến r, sau áp dụng định lý Plancherel ta có r (1 + r) n/2+2 ∇v 2 (1 + s)−n/2 ∇v (s) ≤ C(1 + r) + C (1 + r) 2 ds, hay r (1 + r)n/2 ∇v 2 ≤ C(1 + r)−1 + C (1 + s)−n/2 ∇v (s) 2 ds Áp dụng bất đẳng thức Gronwall suy r (1 + r) n/2 ∇v 2 −1 ≤ C(1 + r) (1 + s)−n ds exp ≤ C(1 + r)−1 , hay ∇v (r) 2 ≤ C(1 + r)−n/2−1 Hệ 3.2 Cho v nghiệm VCHE (1) với Ω = Rn , ứng với điều kiện ban đầu v0 ∈ L2σ ∩ L1 (Rn ) Khi đó, |F(v)| ≤ C, |F(u)| ≤ C, đó, số phụ thuộc vào điều kiện ban đầu, số chiều không gian số VCHE 44 Chứng minh Kết hợp Bổ đề 3.2 với Định lý 3.3 3.4 ta kết cần chứng minh Hệ 3.3 Cho v nghiệm VCHE (1) với Ω = Rn , ứng với điều kiện ban đầu v0 ∈ Hσ1 ∩ L1 (Rn ) Khi đó, v(t) 2 ≤ C(1 + t)−n/2 , đó, số phụ thuộc vào điều kiện ban đầu, số chiều không gian số VCHE Chứng minh Theo Định lý 3.3 ta có 2 u(t) + α2 ∇u(t) 2 ≤ C(1 + t)−n/2 (3.22) Mặt khác, theo Hệ 2.1, ∇u 2 + 2α2 ∇2 u 2 + α ∇3 u 2 = ∇v 2 Kết hợp với Định lý 3.4, suy ∇2 u(t) 2 ≤ C(1 + t)−n/2−1 Cùng với (3.22) ta v(t) 2 = u(t) 2 + 2α2 ∇u(t) 2 + α4 ∆u(t) 2 ≤ C(1 + t)−n/2 Bây chứng minh tốc độ phân rã nghiệm không gian tổng quát Trước tiên, ta cần bổ đề sau Bổ đề 3.3 Cho ∇m w (0) < ∞ Nếu w thỏa mãn bất đẳng thức lượng 1d ∇m w dt 2 + ν ∇m+1 w 45 2 ≤ C(1 + t)γ , |w (ξ, t)| ≤ C(1 + t)β , với |ξ|2 < d , ν (1 + t) ∇m w 2 ≤ C (1 + t)−m−n/2+2β + (1 + t)γ+1 Chứng minh Ta lại thực phân tách Fourier Đặt B(ρ) = {ξ ∈ Rn : |ξ| ≤ ρ} Áp dụng Định lý Plancherel ta có 1d m ξ w dt 2 + νρ2 ξ m w 2 w2 dξ + C(1 + t)γ ≤ νρ2m+2 B(ρ) Chọn ρ2 = d , ν (1 + t) với d đủ lớn, nhân hai vế với (1 + t)d , sau đó, áp dụng điều kiện |w (ξ, t)| ≤ C(1 + t)β ta d (1 + t)d ξ m w dt 2 ≤ C (1 + t)−m−1+d+2β−n/2 + (1 + t)γ+d Lấy tích phân theo t, kết hợp định lý Plancherel ta điều phải chứng minh Áp dụng bổ đề trên, ta đánh giá tốc độ phân rã v H m sau Định lý 3.5 Cho v nghiệm VCHE (1) với Ω = Rn , ứng với điều kiện ban đầu v0 ∈ HσK ∩ L1 (Rn ) Khi đó, với m ≤ K ∇m v(t) 2 ≤ C(1 + t)−m−n/2 Chứng minh Các trường hợp m = 0, Hệ 3.3 Định lí 3.4 tương ứng Để chứng minh trường hợp lại, trước tiên tìm bất 46 đẳng thức phù hợp với Bổ đề 3.3, sau sử dụng phương pháp quy nạp để đánh giá tốc độ phân rã Cho M ≤ K , nhân hai vế VCHE (1) với ∆M v lấy tích phân phần ta 1d ∇M v dt 2 + ν ∇M +1 v 2 ≤ IM,0 + JM,0 , M IM,0 = m=0 M −1 JM,0 = m=0 M m ∇m u · ∇M +1 v, ∇M −m v , M −1 m ∇M +1 v · ∇m u, ∇M −m v Áp dụng bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức Sobolev, Hệ 2.1, bất đẳng thức Cauchy ta có M ∇m u IM,0 = C ∇M −m v n m=0 ≤C v 2 ∇M +1 v ∇M +1 v 2n n−2 + C ∇v 2 ∇M v M 2 ∇m−1 v +C ∇M +1−m v 2 + m=2 2 ν ∇M +1 v Tương tự, ta có M −1 ∇M +1 v JM,0 ≤ ∇m u n ∇M −m v m=0 ≤C v 2 ∇M +1 v + C ∇v 2 ∇M v M −1 ∇m−1 v +C 2 ∇M +1−m v 2n n−2 2 + m=2 2 ν ∇M +1 v Suy 1d ∇M v dt 2 + ν ∇M +1 v 2 ≤C v 2 ∇M +1 v + C ∇v 2 ∇M v 2 M ∇m−1 v +C m=2 47 2 ∇M +1−m v (3.23) Phần lại chứng minh thực phương pháp quy nạp, đó, trường hợp sở Định lý 3.4 Hệ 3.3 Giả thiết quy nạp phân rã ∇m v(t) 2 ≤ C(1 + t)−m−n/2 với m < M Ta cần chứng minh với m = M Với giả thiết quy nạp trên, (3.23) trở thành d ∇M v dt 2 + ν ∇M +1 v 2 ≤ C(1 + t)−n/4 ∇M +1 v + C(1 + t) −1−n/2 M ∇ v 2 2 (3.24) −M −n + C(1 + t) Chọn t đủ lớn cho C(1 + t)−n/4 ≤ ν/2, (3.24) trở thành d ∇M v dt ν ∇M +1 v 2 ≤ C(1 + t)−1−n/2 ∇M v Áp dụng tính bị chặn ∇M v 2 ≤ C sau áp dụng Bổ đề 3.3 ta tốc độ 2 + 2 + C(1 + t)−M −n phân rã ∇M v 2 ≤ C(1 + t)−M −n/2 + C(1 + t)−n/2 + C(1 + t)−M −n+1 ≤ C(1 + t)−n/2 Thay ràng buộc vào (3.24) lại sử dụng Bổ đề 3.3, tiếp tục thực liên tiếp vậy, ta có điều phải chứng minh Tiếp theo, tính tốn tốc độ phân rã cho đạo hàm theo biến thời gian nghiệm Ta cần bổ đề sau Bổ đề 3.4 Cho P ≥ v nghiệm VCHE (1) với Ω = Rn , ứng với điều kiện ban đầu v0 ∈ Hσ1 ∩ L1 (Rn ) Nếu ∂tp ∇m v 2 ≤ C(1 + t)−2p−m−n/2 , 48 với p < P m = 0, ∂tP v (ξ) ≤ C(1 + t)−P ∀ |ξ|2 ≤ d , ν (1 + t) đó, số phụ thuộc vào điều kiện ban đầu, số chiều không gian số VCHE Chú ý 3.1 Ta thấy kết luận cho P = Hệ 3.2 Chứng minh Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp t d dt t f (t, s) ds = f (t, t) + 0 ∂f (t, s) ds, ∂t cho (3.17) ta P −1 ∂tP F P 2P −t|ξ|2 (v) = (−1) |ξ| e −|ξ|2 F (v0 ) + P −1−p p ∂t ψ (ξ, t) p=0 t −|ξ|2 + P −(t−s)|ξ|2 e ψ (ξ, s) ds Bây giờ, ta thực đánh giá ψ , tương tự chứng minh Bổ đề 3.2, sử dụng giả thiết bổ đề Ta có ∂tp ψ (ξ, t) = ∂tp A + ∂tp B + ∂tp C, đó, ∂tp A = ∂tp ξj F (uj v) j p C |ξ| ∂tl v ≤ ∂tp−l v l=0 ≤ C(1 + t)−p−n/2−1/2 , ∂tp B = ∂tp F uj ∇vjT j 49 p C ∂tl v ≤ ∂tp−l ∇v l=0 ≤ C(1 + t)−p−n/2−1/2 , ∂tp C = ∂tp ξF (π) ≤ ∂tp A + ∂tp B ≤ C(1 + t)−p−n/2−1/2 Với ý |v| ≤ C (Hệ 3.2) điều kiện |ξ| < d/ ν (1 + t) ta điều phải chứng minh Bây giờ, ta chứng minh kết tổng quát tính phân rã nghiệm hệ VCHE liệu ban đầu thuộc vào HσK ∩ L1 (Rn ) Định lý 3.6 Cho v nghiệm VCHE (1) với Ω = Rn , ứng với v0 ∈ HσK ∩ L1 (Rn ) Khi đó, với m + 2p ≤ K ∂tp ∇m v(t) 2 ≤ C(1 + t)−2p−m−n/2 , đó, số phụ thuộc vào điều kiện ban đầu, số chiều không gian số VCHE Chứng minh Chứng minh thực tương tự chứng minh Định lý 3.5 Trước tiên, tìm bất đẳng thức có dạng phù hợp với Bổ đề 3.3, sau sử dụng phương pháp quy nạp để thiết lập phân rã Chọn P M cho M + 2P ≤ K Đạo hàm ∂tP hai vế VCHE (1), sau nhân với ∂tP ∆M v tích phân phần ta d ∂ P ∇M v dt t 2 + ν ∂tP ∇M +1 v 50 2 ≤ IM,P + JM,P , P M IM,P = p=0 m=0 P M −1 p=0 m=0 ∂tp ∇m u · ∂tP ∇M +1 v, ∇M −m ∂tP −p v , M −1 m P p JM,P = M m P p ∂tP ∇M +1 v · ∇∂tp ∇m−1 u, ∂tP −p ∇M −m v , với M>0 M = P J0,P = p=0 P p ∂tP v · ∇∂tp u, ∂tP −p v Áp dụng bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức Sobolev, Hệ 2.1 bất đẳng thức Cauchy ta có, với M > P M ∂tp ∇m u IM,P = C n ∂tP −p ∇M −m v p=0 m=0 P ∂tp v ≤C ∂tP −p ∇M +1 v p=0 P ∂tP ∇M +1 v 2n n−2 P ∂tp ∇v +C 2 ∂tp ∇m−1 v ∂tP −p ∇M +1−m v + p=0 m=2 P 2 ∂tP −p ∇M v p=0 M +C ν ∂ P ∇M +1 v t ∂tP ∇M +1 v ∂tp ∇m u ∂tP −p ∇M −m v n p=0 m=0 P ∂tp v ∂tP −p ∇M +1 v p=0 P 2 , M −1 JM,P ≤ C ≤C P ∂tp ∇v +C ∂tp ∇m−1 v 2 2 ∂tP −p ∇M v p=0 M −1 +C 2n n−2 ∂tP −p ∇M +1−m v p=0 m=2 + ν ∂tP ∇M +1 v M = P ∂tp v I0,P + J0,P ≤ C 2 p=0 51 ∂tP −p ∇v + ν ∂ P ∇v t 2 2 , Suy ra, M > ta có đánh giá + ν ∂ P ∇M +1 v t ∂tp v ∂tP −p ∇M +1 v d ∂ P ∇M v dt t 2 P ≤ C p=0 P 2 P ∂tp ∇v +C ∂tp ∇m−1 v 2 ∂tP −p ∇M v p=0 M +C 2 2 ∂tP −p ∇M +1−m v (3.25) , p=0 m=2 M = d ∂P v dt t 2 ν + ∂ P ∇v t P 2 2 ∂tp v ≤C ∂tP −p ∇v p=0 (3.26) Bây bắt đầu sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh định lý, với trường hợp sở Định lý 3.5 Chọn P ≤ K/2 giả thiết quy nạp phân rã ∂tp ∇m v 2 ≤ C(1 + t)−2p−m−n/2 , (3.27) cho p < P m cho 2p + m ≤ K Ta phải chứng minh phân rã với p = P với m thỏa mãn 2P + m ≤ K Đầu tiên, ta chứng minh tốc độ phân rã với p = P m = Áp dụng giả thiết quy nạp vào (3.26) ta được: d ∂P v dt t 2 + ν ∂ P ∇v t 2 P −1 ≤C v 2 ∂tP ∇v + C ∇v 2 ∂tP v ∂tp v +C p=1 ≤ C(1 + t)−n/2 ∂tP ∇v 2 + C(1 + t)−1−n/2 ∂tP v 2 2 ∂tP −p ∇v 2 + C(1 + t)−2P −1−n Chọn t đủ lớn cho C(1 + t)−n/2 ≤ ν/4 chuyển số hạng bên phải sang phía bên trái, ta có d ∂P v dt t 2 + ν ∂ P ∇v t 2 ≤ C(1 + t)−1−n/2 ∂tP v 52 2 + C(1 + t)−2P −1−n (3.28) Áp dụng tính bị chặn ∂tP v 2 ≤ C , sau kết hợp Định lý 3.3 với Bổ đề 3.4 ta tốc độ phân rã ∂tP v 2 ≤ C(1 + t)−2P −n/2 + C(1 + t)−n/2 + C(1 + t)−2P −n ≤ C(1 + t)−n/2 Thay đánh giá vào (3.28) lại tiếp tục thực thêm số lần liên tiếp, ta phân rã (3.27) p = P m = Đây trường hợp sở cho lập luận quy nạp Kết hợp với Định lý 3.5, ta giả thiết phân rã (3.27) với m ≤ M + p < P m < M p = P chứng minh phân rã m = M p = P Áp dụng giả thiết quy nạp cho (3.25) ta có: d ∂tP ∇M v dt 2 ν ∂tP ∇M +1 v + + C(1 + t)−n/2−1 ∂tP ∇M v 2 2 ≤ C(1 + t)−n/2 ∂tP ∇M +1 v 2 + C(1 + t)−2P −M −n Chọn t đủ lớn cho C(1 + t)−n/2 ≤ ν/4 chuyển số hạng vế trái sang vế phải ta có: d ∂ P ∇M v dt t 2 + −n/2−1 ≤ C(1 + t) ν ∂ P ∇M +1 v t ∂tP ∇M v 2 + C(1 + t) (3.29) −2P −M −n Áp dụng Định lý 3.3 Bổ đề 3.4 ta tốc độ phân rã ∂tP ∇M v 2 ≤ C(1 + t)−2P −M −n/2 + C(1 + t)−n/2 + C(1 + t)−2P −M −n+1 ≤ C(1 + t)−n/2 Sau đó, ta lại thay bất đẳng thức vào (3.29) tiếp tục áp dụng Định lý 3.3 Bổ đề 3.4 Sau số lần liên tiếp thực vậy, ta thu tốc độ phân rã tối ưu Định lý chứng minh 53 Kết luận Trong luận án này, chúng tơi trình bày kết nghiên cứu tồn phân rã nghiệm hệ phương trình Camassa- Holm có nhớt sau tồn khơng gian Rn với n = 2, 3,   vt + u · ∇v + v · ∇uT + ∇π = ν∆v,     u − α2 ∆u = v,  ∇ · v = 0,     v(x, 0) = v (x) Các kết đạt bao gồm Trình bày chi tiết kết tồn nhất, tính qui nghiệm hệ Camassa- Holm có nhớt tồn khơng gian Rn với n = 2, 3, Trình bày kết phân rã nghiệm hệ Camassa- Holm có nhớt tồn khơng gian hai trường hợp: chứng minh tính phân rã khơng nghiệm vận tốc ban đầu v0 ∈ L2 (Rn ) đánh giá tốc độ phân rã nghiệm vận tốc ban đầu v0 ∈ Hσm ∩ L1 (Rn ), m ≥ 0, n = 2, 3, Ngoài kết luận văn, có số hướng nghiên cứu khác liên quan đến nghiệm hệ Camassa-Holm có nhớt như: nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thông qua nghiên cứu tập hút xét hệ miền bị chặn không bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré, nghiên cứu tốc độ phân rã nghiệm kiện ban đầu không nằm L1 (Rn ), ∗ (v ) nằm Hσm (Rn ) có đặc trưng phân rã (decay charater) rm chứng minh kết cho hệ phương trình khác học chất lỏng 54 Tài liệu tham khảo [1] C T Anh, Cơ sở lý thuyết Hệ động lực vô hạn chiều, Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội, 2012 [2] C T Anh, Hệ động lực học chất lỏng, Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội, 2017 [3] Anh, Cung The; Trang, Pham Thi Decay rate of solutions to 3D NavierStokes-Voigt equations in H m spaces Appl Math Lett 61 (2016), 1-7 [4] C Bjorland and M.E Schonbek, On questions of decay and existence for the viscous Camassa-Holm equations, Ann Inst H Poinca é Anal Non Linéaire, 25 (2008), 907-936 [5] R Camasa, D.D Holm, An integrable shallow water equation with peaked solitons, Phys Rev Lett 71 (11) (1993) 1661-1664 [6] S Chen, C Foias, D.D Holm, E Olson, E.S Titi, S Wynne, The CamasaHolm equations and turbulence, Quantifying Uncertainty in Models of Complex Phenomena, Los Alamos, NM, 1998, Phys D 133 (1-4) (1999) 49-65 [7] J.A Domaradzki, D.D Holm, Navier-Stokes-alpha model, Les equations with nonlinear dispersion 2001 [8] C Foias, D.D Holm, E.S Titi, The Navier-Stokes-alpha model of fluid turulence, Advances in Nonlnear Mathemarics and Science, Phys D 152/153 (2001) 505-519 [9] C Foias, D.D Holm, E.S Titi, The three dimensional viscous Camasa-Holm equations, and their relation to the Navier-Stokes equations and turbulence theory, J Dynam Differential Equation 14 (1) (2002) 1-35 55 [10] D.D Holm, J.E Marsden, T.S Ratiu, The Euler-Poincaré equations and semidirect products with application to continuum theories, Adv Math 137 (1) (1998) 1-81 [11] D.D Holm, E.S Titi, Computational models of turbulence: The lans-α model and the role of global analysis, SIAM News 38 (2005) [12] A.A Ilyin, E.S Titi, Attractors for the two-demensional Navier-Stokes-α model: an -α dependence study, J Dynam Differential Equation 15 (4) (2003) 751-778 [13] J Leray, Essai surle mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace, Acta Math 63 (1934) 193-248 [14] J.E Marsden, S Shkoller, Global well-posedness for the Lagrangian averaged Navier-Stokes (LANS-α) equations on bounded domains, Topological Methods in the Physical Sciences, London, 2000, R Soc Lond Philos Trans Ser A Math Phys Eng Sci 359 (1784) (2001) 1449-1468 [15] M Schonbek, The Fourier splitting method, Advances in Geometric Analysis and Continuum Mechanics, Sanford , CA, 1993, Internat Press, Cambridge, MA,1995,pp 269-274 [16] M Schonbek, L2 decay for weak solutions of Navier-Stokes equations, Arch Rational Mech Anal 88 (3) (1985) 209-222 [17] M Schonbek, M Wiegner, On the decay of higher-order norms of the solutions of Navier-Stokes equations, Proc Roy Soc Edinburgh Sect A 126 (3) (1996) 677-685 [18] R.Temam, Navier-Stokes Equatión Theory and Numẻical Analysis, 2nd edition, Philadelphia [19] Zhao, Caidi; Zhu, Hongjin Upper bound of decay rate for solutions to the Navier-Stokes-Voigt equations in R3 , Appl Math Comput., 256 (2015), 183–191 56 ... 11 Sự tồn nghiệm hệ Camassa- Holm có nhớt 14 2.1 Sự tồn nghiệm hệ Camassa- Holm có nhớt 14 2.2 Tính quy nghiệm hệ Camassa- Holm có nhớt 25 Sự phân rã nghiệm hệ Camassa- Holm có nhớt. .. cứu phương trình học chất lỏng Chương Sự tồn nghiệm hệ Camassa- Holm có nhớt Trình bày kết tồn nhất, tính qui nghiệm hệ Camassa- Holm có nhớt tồn khơng gian Rn , n = 2, 3, Chương Sự phân rã nghiệm. .. này, nghiên cứu tồn tính quy nghiệm hệ phương trình Camassa- Holm có nhớt Rn , n = 2, 3, 2.1 Sự tồn nghiệm hệ Camassa- Holm có nhớt Trước tiên, ta định nghĩa nghiệm yếu hệ phương trình VCHE Định