Tính tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình navier stokes

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  - NGƠ VĂN GIANG TÍNH TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 Thái Nguyên, năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ö❝ ❧ö❝ ▼ö❝ ❧ö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ởt số ỵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ▼ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✶✳✶ ✶✳✷ ✶✳✸ ✼ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✶✳✶ ✣↕♦ ❤➔♠ ②➳✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✶✳✷ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ✶✳✶✳✸ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H −1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✶✳✹ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤ư t❤✉ë❝ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ▼ët sè ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✷✳✶ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤② ✈ỵ✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✷✳✷ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❍♦❧❞❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✶✳✷✳✸ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥ë✐ s✉② ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ Lp ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✶✳✷✳✹ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ●r♦♥✇❛❧❧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✶✳✷✳✺ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❙t♦❦❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✶✳✸✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✶✳✸✳✷ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✶✳✹ ✶✳✺ ❚♦→♥ tû ❙t♦❦❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✹✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✹✳✷ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝❤♦ sè ❤↕♥❣ ♣❤✐ t✉②➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✷ ◆❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr rts ởt số t tự ữợ ❧÷đ♥❣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ❙ü tỗ t ữỡ tr rts ✸ ◆❣❤✐➺♠ ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ✸✳✶ ✸✳✷ ỹ tỗ t ữỡ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ✷✾ ✸✳✶✳✶ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✷ ❝❤✐➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵ ✸✳✶✳✷ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✸ ❝❤✐➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ❙ü ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲ ❙t♦❦❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺ ✸✳✷✳✶ ❙ü ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✷ ❝❤✐➲✉ ✳ ✳ ✸✺ ✸✳✷✳✷ ❙ü ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✸ ❝❤✐➲✉ ✳ ✳ ✸✻ ❑➳t ❧✉➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✹✵ ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ởt số ỵ ã R = (; +∞) ✿ t➟♣ ❝→❝ sè t❤ü❝✳ • R+ = [0; +∞) ✿ t➟♣ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠✳ • Rn ✿ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤ü❝ ♥ ❝❤✐➲✉ ✈ỵ✐ ỵ t ổ ữợ < , > ✈➔ ❝❤✉➞♥ ✈❡❝tì ❧➔ || || ✳ • C([a; b], Rn ) ✿ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ [a; b] ✈➔ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr➯♥ Rn ✳ • C(U ) = {u : U → R | u ❧✐➯♥ tư❝⑥✳ • C(U¯ ) = {u ∈ C(U ) | u ❧✐➯♥ tư❝ ✤➲✉⑥✳ • C k (U ) = {u : U → R | u ❧➔ ❧✐➯♥ tư❝ ❦❤↔ ✈✐ ❦ ❧➛♥⑥✳ • C k (U¯ ) = {u ∈ C k (U ) | Dα u ❧➔ ❧✐➯♥ tư❝ ✤➲✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ |α| ≤ k ⑥✳ ¯ ) t❤➻ Dα u t❤→❝ tr✐➸♥ ❧✐➯♥ tư❝ tỵ✐ U¯ ✈ỵ✐ ♠å✐ ✤❛ ❝❤➾ ❉♦ ✤â✿ ♥➳✉ u ∈ C k (U sè α, |α| ≤ k ✳ • L2 ([a, b], Rm )✿ t➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤ ❜➟❝ ❤❛✐ tr➯♥ [a, b] ✈➔ ❧➜② ❣✐→ trà tr♦♥❣ Rm ✳ k ∞ ¯ • C ∞ (U ) = {u : U → R | u ❦❤↔ ✈✐ ✈æ ❤↕♥⑥ = ∩∞ k=0 C (U )✱ C (U ) = k ¯ ∩∞ k=0 C (U ) ã Cc (U ), Cck (U ), , ỵ ❤✐➺✉ ❝→❝ ❤➔♠ tr♦♥❣ C(U ), C k (U ), , ợ ã Lp (U ) = {u : U → R | u ❧➔ ✤♦ ✤÷đ❝ ▲❡❜❡s❣✉❡✱ u Lp (U ) < ∞⑥✳ ✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚r♦♥❣ ✤â u Lp (U ) |u|p dx) p =( U (1 ≤ p < ∞)✳ • L∞ (U ) = {u : U → R | u ❧➔ ✤♦ ✤÷đ❝ ❧❡❜❡s❣✉❡✱ u < ∞⑥✳ ❚r♦♥❣ ✤â u Lp (U ) = ess sup |u| U • Lploc (U ) = {u : U → R | u ∈ Lp (V ) ợ V U ã H k (U ), Wpk (k = 1, 2, ) ỵ ổ S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ð ✤➛✉ ❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔♦ ♥➠♠ ✶✽✷✷✱ ❝❤♦ ✤➳♥ ♥❛② ✤➣ ❝â r➜t ♥❤✐➲✉ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈✐➳t ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② t✉② ♥❤✐➯♥ ♥❤ú♥❣ ❤✐➸✉ ❜✐➳t ❝õ❛ t❛ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② ❝á♥ q✉→ ❦❤✐➯♠ tè♥✳ ▼✉è♥ ❤✐➸✉ ✤÷đ❝ ❤✐➺♥ t÷đ♥❣ sâ♥❣ ❞➟♣ s❛✉ ✤✉ỉ✐ ❝♦♥ t➔✉ ❝❤↕② tr➯♥ t ữợ tữủ ộ ổ s❛✉ ✤✉ỉ✐ ♠→② ❜❛② ❦❤✐ ❜❛② tr➯♥ ❜➛✉ trí✐✳✳✳❝❤ó♥❣ t❛ ✤➲✉ ♣❤↔✐ t➻♠ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✳ ❉♦ ♥❤✉ ❝➛✉ ❝õ❛ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ❈æ♥❣ ♥❣❤➺ ♠➔ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❝➔♥❣ trð ♥➯♥ t❤í✐ sü ✈➔ ❝➜♣ t❤✐➳t✳ ❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ♠ỉ t↔ sü ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ ❝õ❛ ❝❤➜t ❧ä♥❣ tr♦♥❣ Rn ✭n = ❤♦➦❝ n = 3✮✳ ❚❛ ❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ ❝❤➜t ❧ä♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ♥➨♥ ✤÷đ❝ ❧➜♣ ✤➛② Rn ✳ ❚❛ ✤✐ t➻♠ ♠ët ❤➔♠ ✈❡❝tì ✈➟♥ tè❝ u(x, t) = (ui (x, t)), i = 1, 2, , n ✈➔ ❤➔♠ →♣ s✉➜t p(x, t)✱ ①→❝ ✤à♥❤ t↕✐ ✈à tr➼ x ∈ Rn ✈➔ t❤í✐ ❣✐❛♥ t > 0✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ♥❤÷ s❛✉✿ ∂ui + ∂t n uj j=1 ∂ui ∂p = ν ui − + fi (x, t) ∂xj ∂xi (x ∈ Rn , t > 0, i = 1, 2, , n), u = (u1 , u2 , , un ), n div u = i=1 ∂ui = (x ∈ R, t > 0) ∂xi ❱ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉ u(x, 0) = uo (x) ✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ð ✤➙②✱ ❤➔♠ ✈❡❝tì uo (x) ❧➔ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ✈ỉ ❤↕♥ ✈ỵ✐ div uo = 0, fi (x, t) ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❤➔♠ ✤➣ ❜✐➳t ❜✐➸✉ t❤à ❝→❝ ❧ü❝ t→❝ ✤ë♥❣ ❜➯♥ ♥❣♦➔✐✱ ν ❧➔ ởt số ữỡ ỗ ❜❛ ❝❤÷ì♥❣ ✈➔ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ❈ư t❤➸ ❧➔ ❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ◆❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✳ ❈❤÷ì♥❣ ✸✿ ◆❣❤✐➺♠ ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲st♦❦❡s✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ tỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä sü ❦➼♥❤ trå♥❣ ✈➔ ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s tợ t P r ữớ t t ữợ t ú ✤ï tæ✐ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ❝❤õ ♥❤✐➺♠ ❑❤♦❛ ❙❛✉ ✤↕✐ ❤å❝✱ ❇❛♥ ❝❤õ ♥❤✐➺♠ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✕ ❚r÷í♥❣ ✣❍ ❙÷ ♣❤↕♠ ✕ ✣❍ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ❝ị♥❣ ❝→❝ t❤➛② ❣✐→♦✱ ❝ỉ ❣✐→♦ ✤➣ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❦❤♦→ ❤å❝✱ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ỡ ỗ ❜↕♥ ❝ị♥❣ ❧ỵ♣ ❝❛♦ ❤å❝ ❚♦→♥ ❑✶✼ ✤➣ ❧✉ỉ♥ q✉❛♥ t➙♠✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ ✈➔ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤÷ì♥❣ ✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ❜ë ✈➲ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈✱ ♠ët sè ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❙t♦❦❡s✱ t♦→♥ tû ❙t♦❦❡s ✈➔ ♠ët sè ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➲ sè ❤↕♥❣ ♣❤✐ t✉②➳♥✳ ✶✳✶ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔② tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈✱ ♣❤➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐➳t ❝â t❤➸ ①❡♠ tr♦♥❣ ❬✺❪✳ ✶✳✶✳✶ ✣↕♦ ❤➔♠ ②➳✉ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ●✐↔ sû u, v ∈ L1loc(U ) ✈➔ α ❧➔ ♠ët ✤❛ ❝❤➾ sè✳ ❚❛ ♥â✐ r➡♥❣ v ❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ②➳✉ ❝➜♣ α ❝õ❛ u ♥➳✉ uDα φdx = (−1)|α| U vφdx U ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❤➔♠ t❤û φ ∈ Cc∞ (U ) ❑➼ ❤✐➺✉ Dα u = v ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✷✳ ✭❚➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ✤↕♦ ❤➔♠ ②➳✉✮✳ ▼ët ✤↕♦ ❤➔♠ ②➳✉ ❝➜♣ α u tỗ t t ữủ ởt ❝→❝❤ ❞✉② ♥❤➜t ✭s❛✐ ❦❤→❝ tr➯♥ ✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn t➟♣ ❝â ✤ë ✤♦ ❦❤æ♥❣✮✳ ✶✳✶✳✷ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳ ❈è ✤à♥❤ ≤ p ≤ ∞ ✈➔ ❝❤♦ ❦ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ➙♠✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ Wpk ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ tê♥❣ ✤à❛ ữỡ u : U R s ợ ộ ✤❛ ❝❤➾ sè α, |α| ≤ k ✱ ✤↕♦ ❤➔♠ D u tỗ t tở Lp (U ) ú ỵ p = t õ H k (U ) = W2k (U ) (k = 1, 2, ) ổ rt ú ỵ r H (U ) = L2 (U )✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺✳ ◆➳✉ u ∈ Wpk (U )✱ t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ♥â ❧➔ u Wpk |Dα u|p dx)1/p (1 ≤ p < ∞) := ( |α|≤k U ✈➔ u Wpk ess sup |Dα u| (p = ∞) := U |α|≤k ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✻✳ ❇❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ Cc∞(U ) tr♦♥❣ H k (U ) ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ H0k (U )✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ t❛ ❝♦✐ H0k (U ) ♥❤÷ ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ u ∈ H k (U ) s❛♦ ❝❤♦ Dα u = tr➯♥ ∂U ✈ỵ✐ ♠å✐ |α| ≤ k ú t ỵ |u| = u L2 (Ω) ✳ ❈❤✉➞♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t n ∇u L2 (Ω) |Di u|2 dx)1/2 =( i=1 s ữủ ỵ u ✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✶✳✶✳✸ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H −1 ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✼✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ H01(U ) ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ H −1 (U )✱ tù❝ ❧➔ f ∈ H −1 (U ) ♥➳✉ f ❧➔ ♠ët ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ H01 (U )✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✽✳ ◆➳✉ f ∈ H −1(U ) t❤➻ f H −1 (U ) = sup{< f, u > |u ∈ H01 (U ), u H01 (U ) ≤ 1} ❚❛ ✈✐➳t ✤➸ ❦➼ ❤✐➺✉ ❣✐→ trà ❝õ❛ f ∈ H −1 (U ) tr➯♥ u H01 (U ) ỵ trú H −1✮ ✭✐✮ ●✐↔ t❤✐➳t f ∈ H −1 (U ) õ tỗ t f , f , , f n tr♦♥❣ L2 (U ) s❛♦ ❝❤♦ n < f, v >= f i vxi dx (v ∈ H01 (U )) f v+ U i=1 ✭✐✐✮ ❍ì♥ ♥ú❛✱ n f H −1 (U ) |f i |2 dx)1/2 | f = inf{( U i=0 t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✐✮ ✈ỵ✐ f , , f n ∈ L2 (U )} ✶✳✶✳✹ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤ư t❤✉ë❝ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✵✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Lp (0, T ; X) ỗ tt ữủ u : [0, T ] → X ✈ỵ✐ T u Lp (0,T ;X) u(t) p dt)1/p < ∞ := ( ✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ym = 1✳ ❚ø X1 ❧➔ ❝♦♣❛❝t ②➳✉✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ sû r➡♥❣ ym ❤ë✐ tư ②➳✉ tr♦♥❣ X1 tỵ✐ ②✳ ❚ø ♣❤➨♣ ♥❤ó♥❣ X1 → X0 ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t ♥➯♥ ym ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tỵ✐ ② tr♦♥❣ X0 ✳ ❚ø ym r❛ y = 0✳ ◆❤÷♥❣ ym 0 ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ ♥➯♥ ym ≥ → y −1 ❤ë✐ tư tỵ✐ ✵ s✉② ≥ ✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❧➔ ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ ❱➟② t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✹✳ ❈❤♦ um ❧➔ ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ Lp (0, T ; X1)✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ dum dt ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ Lp2 (0, T ; X0 )✱ < p1 , p2 < tỗ t ởt um um ❤ë✐ tö tr♦♥❣ Lp1 (0, T ; X0 ) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Lp1 (0, T ; X1 ) ❧➔ t→❝❤✱ ♣❤↔♥ ✭ ✣è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ Lp1 (0, T ; X1 ) ❧➔ Lp1 (0, T ; X1 ) tr♦♥❣ ✤â p1 + p1 = 1, X1 ố X1 õ tỗ t ✶ ❞➣② ❝♦♥ ❝õ❛ um ❤ë✐ tö ②➳✉ tr♦♥❣ Lp1 (0, T ; X1 ) ❈❤ó♥❣ t❛ ❣✐↔ sû r➡♥❣ um ❤ë✐ tö ②➳✉ tr♦♥❣ Lp1 (0, T ; X1 ) tỵ✐ ✵✳ ▼✉è♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sû ❤ë✐ tư ❧➔ ♠↕♥❤ tr♦♥❣ Lp1 (0, T ; X0 )✳ ❈❤ó♥❣ t❛ sû ❞ö♥❣ ❜ê ✤➲ ✭✷✳✶✳✸✮✱ t❛ ❝â x T ✈➔ tø ❱ỵ✐ um p1 X1 p1 X1 x +C x p1 X−1 , ∀x ∈ X1 , >0 ❧➔ ❜à ❝❤➦♥✳ > t❛ ❝â T um p1 X0 ≤ p1 X0 T dt ≤ sup um m p1 X1 T um dt + C p1 X−1 dt ❙✉② r❛ um ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tr♦♥❣ Lp1 (0, T ; X0 )✳ ◆➳✉ I ⊂ [0, T ] t❤➻ ❞➣② I um (s)ds ❤ë✐ tư ②➳✉ tỵ✐ ⊆ X1 ✳ ●å✐ χI ❧➔ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ■✱ ❦❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ∀L ∈ X1 ✱ χI (s)L ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ Lp1 (0, T ; X1 ) ✈➔ < um , χI L >= < um (s), L > ds =< I um (s)ds, L > I ✷✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ❤ë✐ tư tỵ✐ ✵✳ ❚ø ♣❤➨♣ ♥❤ó♥❣ X1 → X0 ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t ♥➯♥ t❛ ❜✐➳t r➡♥❣ I um (s)ds ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ tỵ✐ ∈ X0 t dum t1 ds ds✳ ❈❤♦ t ∈ [0, T ]✱ t❛ ❝â um (t) − um (t1 ) = um (t) = t um (t1 )dt1 + t t− ❈❤♦ (s − t + ) t− dum ds ds ❙û ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❍♦❧❞❡r t❛ ❝â t t− dum |s − t + | ds X1 ds p2 + trữợ p2 p2 (s − t + ) ) ( ≤ ( p2 t p2 t− 1 ≤( ) p2 p2 + ❚r♦♥❣ ✤â t T t− dum ds ( p2 ) p2 dum ds p2 ) p2 p2 ≤c = 1✳ > ❝❤å♥ um s❛♦ ❝❤♦ c X−1 ≤ + p2 < 2✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â ✤✐➲✉ s❛✉ ✤➙② t um (t1 )dt1 X−1 t− ❚ø ❤❛✐ sè ❤↕♥❣ ❜➯♥ ✈➳ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➲✉ ❤ë✐ tư tỵ✐ ✵ ❦❤✐ m → ∞ s✉② r❛ um (t) X−1 ỹ tỗ t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳✶✳ ◆❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❧➔ ♠ët ❤➔♠ u ∈ L2 (0, T ; V ) ∩ Cw (0, T ; H) t❤ä❛ ♠➣♥ < du dt ∈ L1loc (0, T, V ) ✈➔ du , v > +ν((u, v)) + b(u, u, v) = (f, v), ∀v ∈ V dt u(0) = u0 ✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Cw (0, T ; H) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝õ❛ L∞ (0, T ; H) ỗ tử (u(t), h) ❧➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝ ✈ỵ✐ ∀h ∈ H ✷✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ỵ r ỗ t t t ởt ữỡ tr rts ợ u0 ∈ H, f ∈ L2 (0, T ; V )✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ du dt ∈ L (0, T ; V ) ✈ỵ✐ d = 3, du dt ∈ L2 (0, T ; V ) ✈ỵ✐ d = 2, ✈➔ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t |u(t)|2 + ν u(s) ds ≤ |u(t0 )|2 + t t0 < f (s), u(s) > ds, t0 ≤ t0 ≤ t ≤ T ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ um (t) ữỡ tr r ợ gm = Pm f, u0m = Pm u0 ❚ø ❜ê ✤➲ ✭✷✳✶✳✶✮ ✈➔ ✭✷✳✶✳✹✮ ❝❤ó♥❣ t❛ ❣✐↔ sû r➡♥❣ um ❧➔ ♠ët ❞➣② ❝♦♥ ❝õ❛ um ❤ë✐ tö ②➳✉ tr♦♥❣ L2 (0, T ; V )✱ ♠↕♥❤ tr♦♥❣ L2 (0, T ; H) ✈➔ tr♦♥❣ C(0, T ; V ) tỵ✐ u✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ du dt ✳ L (0, T ; V ) tỵ✐ dum dt ❤ë✐ tử tr v V tũ ỵ ổ ữợ ợ t t ✤÷đ❝✿ t (um (t), v) + ν t ((um (s), v))ds + t0 b(um (s), um (s), Pm v)ds t0 t = (um (t0 ), v) + < f (s), Pm v > ds t0 ❚ø um ❤ë✐ tö ②➳✉ ✈➲ u tr♦♥❣ L2 (0, T ; V ) ♥➯♥ ❝â t❤➸ tr➼❝❤ r❛ ♠ët ❞➣② ❝♦♥ ❝õ❛ um ✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ sû um (t0 ) ❤ë✐ tư ②➳✉ tỵ✐ u(t0 ) tr♦♥❣ ❱ ✈ỵ✐ t0 ∈ [0, T ] \ E ✱ ❊ ❧➔ t➟♣ ❝â ✤ë ✤♦ ❜➡♥❣ ❦❤æ♥❣✳ ❧✐♠ um (t0 ) = u(t0 )✱ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tr♦♥❣ ❍✱ t0 ∈ E ❇➙② ❣✐í t❛ ❝â t lim m→∞ t ((um (s), v))ds = t0 ((u(s), v))ds t0 ✈➔ t b(u(s), u(s), v)ds lim b(um (s), um (s), Pm v) = m→∞ t0 ✷✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn t ≥ t0 , t, t0 ∈ E ✱ t (u(t), v) − (u(t0 ), v) + ν t ((u(s), v))ds + t0 b(u(s), u(s), v)ds t0 t = < f (s), v > ds t0 ✣✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ②➳✉ ❝õ❛ u(t) tr♦♥❣ H ❜ð✐ V ❧➔ trò ♠➟t tr♦♥❣ ❍ ✈➔ supt∈[0,T ] |u(t)| ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ✤➙②✿ |um (t)|2 + ν t um (s) t0 t ds ≤ |um (t0 )|2 + < f (s), um (s) > ds t0 ●✐↔ sû t0 ∈ E ✱ ❝❤✉②➸♥ q✉❛ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❦❤✐ m → ∞ ❝õ❛ ✈➳ ♣❤↔✐ t❛ ✤÷đ❝ |u(t0 )|2 + t < f (s), u(s) > ds t0 ❚❛ ❧↕✐ ❝â lim(am + bm ) ≥ lim am + lim bm ✈➔ ♥➳✉ xm → x ②➳✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❳ t❤➻ x ≤ lim xm ✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ✤÷đ❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ s❛✉✿ |u(t)|2 + ν t u(s) t0 ds ≤ |u(t0 )|2 + t < f (s), u(s) > ds, t0 ✈ỵ✐ t0 ∈ E, t ≥ t0 du/dt ∈ L2 (0, T ; V ) ợ t õ ữợ ữủ s |A−1/2 B(u, u)| ≤ c|u| u ✭ (A−1/2 B(u, u), v) = b(u, u, A−1/2 v) = −b(u, A−1/2 v, u) s✉② r❛ |A−1/2 B(u, u), v| ≤ c|u| u |v|✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ um ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ L2 (0, T ; V ) ✈➔ L∞ (0, T ; H) s✉② r❛ A−1/2 B(um , um )✮ ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ L2 (0, T ; V ) ✷✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤÷ì♥❣ ✸ ◆❣❤✐➺♠ ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ rts ỹ tỗ t ữỡ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❈❤♦ um ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ●❛❧❡r❦✐♥ dum + νAum + Pm B(um , um ) = Pm f dt ✭✸✳✶✮ um (0) = Pm u0 ✭✸✳✷✮ ổ ữợ ợ um t ữủ 1d |um |2 + ν dt ❚ø λ1 |um |2 ≤ um 2 um = (f, um ) ≤ |f |2 νλ1 + |um |2 2νλ1 t❛ ❝â 1d |um |2 + ν dt um |f |2 ν = (f, um ) ≤ + 2νλ1 um ❙✉② r❛ d |um |2 + ν dt ✈➔ t❛ ❝â um |f |2 ≤ , νλ1 t t um ν ds ≤ |u0 |2 + 0 ✭✸✳✸✮ |f |2 ds νλ1 ✭✸✳✹✮ ✷✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ⑩♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ●r♦♥✇❛❧❧ t❛ ✤÷đ❝ t −νλ1 t |um (t)| ≤ |u0 | e e−νλ1 (t−s) + |f |2 ds νλ1 ổ ữợ ợ Aum t ữủ 1d dt um ✭✸✳✻✮ +ν|Aum |2 + b(um , um , Aum ) = (f, Aum ) ❈❤ó♥❣ t❛ s➩ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❣❤✐➺♠ ♠↕♥❤ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr♦♥❣ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✷ ❝❤✐➲✉ ✈➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✸ ❝❤✐➲✉✳ ✸✳✶✳✶ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✷ ❝❤✐➲✉ ●✐↔ sû f ∈ L∞ (R+ , H) ✈➔ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✭✸✳✼✮ |f | = sup |f (t)| t0 ìợ ữủ tr t❤➔♥❤ t |f |2∞ t, um (s) ds ≤ |u0 | + νλ1 ν |um (t)|2 ≤ |u0 |2 + ✭✸✳✽✮ |f |2∞ ν λ21 ✭✸✳✾✮ ❚➼❝❤ ♣❤➙♥ ✭✸✳✸✮ ❣✐ú❛ t ✈➔ t + τ ✈➔ sû ❞ư♥❣ ✭✸✳✾✮ t❛ ✤÷đ❝ t+τ um (s) ds ≤ |u0 |2 + ν t |f |2∞ (τ + ) νλ1 νλ1 ✭✸✳✶✵✮ ❉♦ λ ❧➔ ✤♦ ✤÷đ❝ ▲❡❜❡s❣✉❡ tr➯♥ R ♥➯♥ t❛ ✤÷đ❝ |u0 |2 |f |2∞ λ({s ∈ [t, t + τ ]| um (s) ≥ ρ}) ≤ ( + (τ + ))ρ−2 ν νλ1 νλ1 √ 2 √ ❈❤♦ ρ = 2[( |uν0 | + |fνλ|∞1 (τ + νλ1 ))]1/2 / τ ✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤♦ t❤➜② λ{s|s ∈ [t, t + τ ], um (s) ≥ ρ} ≤ τ ✸✵ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❉♦ ✤â tr♦♥❣ ♠é✐ õ tỗ t ởt tớ t0 ∈ [t, t + τ ] s❛♦ ❝❤♦ um (t0 ) 2 |u0 |2 |f |2∞ ≤ [ + (τ + )] τ ν ν λ1 νλ1 ✭✸✳✶✶✮ ✣→♥❤ ❣✐→ ✈➳ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ✭✸✳✻✮ t❛ ❝â |f |2∞ ν |(f, Aum )| ≤ |Aum | + ν ✈➔ sû ❞ư♥❣ ✭✶✳✾✮ ✈ỵ✐ s1 = 1/2, s2 = 1/2, s3 = ✤→♥❤ ❣✐→ sè ❤↕♥❣ b(um , um , Aum ) t❛ ✤÷đ❝ ✭✸✳✶✷✮ |b(um , um , Aum )| ≤ c|um |1/2 um |Aum |3/2 ◆➯♥ ✭✸✳✻✮ trð t❤➔♥❤ 1d um dt − ◆❤➙♥ ✈ỵ✐ e ν |f |2∞ ν c + ν|Aum | = |Aum | + + |Aum |2 + |um |2 um , ν ν d |f |2∞ c 2 ✭✸✳✶✸✮ um + ν|Aum | = + |um |2 um dt ν ν t c |u |2 t0 ν m um ds d − [ um e dt t❛ ✤÷đ❝ t c |u |2 t0 ν m um ds 2|f |2∞ − ]≤ e ν t c |u |2 t0 ν m um ds ❚➼❝❤ ♣❤➙♥ ✷ ✈➳ t❛ ✤÷đ❝ um 2 ≤ um (t0 ) e t c |u |2 t0 ν m um ds 2|f |2∞ + (t − t0 )e ν t c |u |2 t0 ν m um ds , ✭✸✳✶✹✮ ✈ỵ✐ ≤ t0 ≤ t ❇➙② ❣✐í t❛ ✤→♥❤ ❣✐→ ♠ơ ❝õ❛ ❤➔♠ ❡✱ sû ❞ư♥❣ ✭✸✳✾✮✱ ✭✸✳✶✵✮ t❛ ❝â c c |f |2∞ |f |2∞ 2 2 |u | u ds ≤ [|u | + ][|u | + (t − t + )] m m 0 ν3 ν4 ν λ21 νλ1 νλ1 ◆➳✉ t0 ✤÷đ❝ ❝❤å♥ tr♦♥❣ [t − τ, t] ✭❣✐↔ sû t ≥ τ ✮ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✸✳✶✶✮ t❤➻ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â um (t) 2|f |2∞ B ≤ Ae + τe ν B ✸✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚r♦♥❣ ✤â ❆ ❧➔ ✈➳ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ✭✸✳✶✶✮ ✈➔ ❇ ❧➔ c |f |2∞ |f |2∞ 2 [|u | + ][|u | + (τ + ) 0 ν4 ν λ21 νλ1 νλ1 ❇➙② ❣✐í ❣✐↔ sû r➡♥❣ τ ≤ νλ1 ✳ ❚❤➻ t❛ ✤÷đ❝✱ ✈ỵ✐ t ≥ τ um (t) 2 |u0 |2 2|f |2∞ 2|f |2∞ νc4 (|u0 |2 + ν|f2|λ∞2 )2 ≤( [ + ] + )e τ ν ν λ1 ν λ1 ✭✸✳✶✺✮ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳✶✳ ❈❤♦ m ≥ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥✳ ❈❤♦ u0 ∈ H, f ∈ L∞(R, H)✱ um ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ●❛❧❡r❦✐♥ dum + νAum + Pm B(um , um ) = Pm f dt um (0) = Pm u0 õ tỗ t ởt số ✤ë❝ ❧➟♣ ✈ỵ✐ ν, λ1 , |u0 | s❛♦ ❝❤♦ sup νλ1 t um (t) ≤ ρ20 ✭✸✳✶✻✮ 0 õ tỗ t ởt u ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s du + νAu + B(u, u) = f dt u(0) = u0 , ✸✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ∞ t❤ä❛ ♠➣♥ u ∈ L∞ loc (0, T ; V ) ∩ Lloc (0, T ; D(A)) ∩ L (0, T ; H) ∩ L (0, T ; V )✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ sup νλ1 t um (t) + 0 ✈➔ u0 ∈ V ✳ ✣→♥❤ ❣✐→ ✭✸✳✻✮ ✤÷đ❝ | (f, Aum ) |< | f |2 v | Aum |2 + v ✣→♥❤ ❣✐→ sè ❤↕♥❣ b(um , um , Aum ) ✈➔ sû ❞ư♥❣ ✭✶✳✾✮ ✈ỵ✐ s1 = 1✱ s2 = 21 ✱ s3 = | b(um , um , Aum ) |≤ c um 3 ✭✸✳✷✶✮ | Aum | ❚ø ✭✸✳✻✮ ❝â 1d dt um v | f |2 +v | Aum | ≤ | Aum | + +c v ν |f |2 c ≤ |Aum | + + ν ν um um | Aum | ❙✉② r❛ d dt um |f |2 c +ν|Aum | ≤ + ν ν um ✭✸✳✷✷✮ ✸✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ●✐↔ sû um (0) + T ν c−1/2 1/2 ν λ1 |f (t)|2 dt ≤ ✭✸✳✷✸✮ ❚❤➻ ∀ ≤ t ≤ T t❛ ❝â um ❱➻ tø ✭✸✳✷✸✮ s✉② r❛ ♥➯♥ um (t) ❚ø 1/2 1/2 < c−1/2 ν λ1 1/2 < c−1/2 ν λ1 ✳ ❚ø → ν|Aum |2 − c ν3 um ≥ νλ1 ≥ νλ1 um (1 − ν|Aum |2 − ✭✸✳✷✹✮ um (t) ❧➔ ❤➔♠ trì♥ ✈ỵ✐ t ✤õ ♥❤ä✳ < c−1/2 ν λ1 um (t) um (0) 1/2 < c1/2 ν λ1 c ν3 um c ν λ1 um − c ν3 um > ❱➻ um ) ❚ø ✭✸✳✷✷✮ t❛ ❝â um (t) ≤ ν t |f | ds+ um (0) 2 ≤ ν T 1/2 |f | ds+ um (0) c−1/2 ν λ1 ≤ ❈❤✉②➸♥ q✉❛ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ✷ ✈➳ ❦❤✐ m −→ t ữủ ỵ R3 ❧➔ t➟♣ ♠ð✱ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ ❧ỵ♣ C 2✳ ❑❤✐ õ tỗ t ởt số C > s ❝❤♦✱ ✈ỵ✐ u0 ∈ V ✈➔ f ∈ L2 (0, T ; H) t❤ä❛ ♠➣♥ u0 1/2 ν λ1 + T 1/2 ν λ1 |f (t)|2 dt ≤ √ C ✭✸✳✷✺✮ ❑❤✐ õ tỗ t ởt u(t) ữỡ tr du + νAu + B(u, u) = f dt ✭✸✳✷✻✮ u(0) = u0 ✭✸✳✷✼✮ u(t) ∈ L∞ (0, T ; V ) ∩ L2 (0, T ; D(A)) ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ u(t) 1/2 ν λ1 + T 1/2 νλ1 |Au(s)|2 ds ≤ √ C ✭✸✳✷✽✮ ✈ỵ✐ ∀ ≤ t ≤ T ✸✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✳✷ ❙ü ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ✸✳✷✳✶ ❙ü ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ủ ỵ R2 ❧➔ t➟♣ ♠ð✱ ❜à ❝❤➦♥✱ ❝õ❛ ❧ỵ♣ C 2✳ ❈❤♦ f ∈ L2 (0, T ; V )✳ ❍❛✐ ♥❣❤✐➺♠ t❤✉ë❝ L2 (0, T ; V ) ∩ Cw (0, T ; H) ❝õ❛ du + νAu + B(u, u) = f dt ✭✸✳✷✾✮ u(0) = u0 ∈ H ✭✸✳✸✵✮ ♣❤↔✐ trò♥❣ ♥❤❛✉✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ❧➔ u1 , u2 ✳ ✣➦t w = u1 − u2 ✳ ❚ø ✭✸✳✷✾✮ t❛ s✉② r❛ du1 + νAu1 + B(u1 , u1 ) = f dt ✈➔ du2 + νAu2 + B(u2 , u2 ) = f dt ❚rø ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❛ ✤÷đ❝ dw + νAw + B(u1 , w) + B(w, u2 ) = 0, dt ✭✸✳✸✶✮ ✭✈➻ B(u1 , w) + B(w, u2 ) = B(u1 , u1 − u2 ) + B(u1 − u2 , u2 ) = B(u1 , u1 ) − B(u2 , u2 )✮✳ ❚ø ✭✸✳✸✵✮ t❛ s✉② r❛ w(0) = u1 (0) − u2 (0) = u0 − u0 = ổ ữợ ợ w t❛ ✤÷đ❝ < dw , w > +ν w dt + b(w, u2 , w) = 0, ✭✸✳✸✸✮ ✸✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✭✈➻ b(u1 , w, w) = 0✮✳ ❚❛ ❝â ✤→♥❤ ❣✐→ s❛✉ b(w, u2 , w) ≤ c|w| w ❈❤ó♥❣ t❛ t❤➜② < dw dt , w d 2 dt |w| >= 1d |w|2 + ν w dt u2 ∈ L1 (0, T )✳ ❚ø ✭✸✳✸✸✮ t❛ ✤÷đ❝ ≤ c|w| w u2 ⑩♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤② t❛ ❝â c|w| w u2 ≤ 21 (2ν w + c2 2ν u2 |w|2 )✳ ❉♦ ✤â t❛ ✤÷đ❝ d c2 |w|2 ≤ u2 |w|2 dt 2ν ❚❤❡♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ●r♦♥✇❛❧❧ t❛ s✉② r❛ c2 |w(t)|2 ≤ |w(0)|2 e 2ν t u2 (s) ds ❚ø |w(0)| = ♥➯♥ w = 0✳ ❱➟② u1 ≡ u2 ✳ ✸✳✷✳✷ ❙ü ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ỵ R3 t➟♣ ♠ð✱ ❜à ❝❤➦♥✱ ❝õ❛ ❧ỵ♣ C 2✳ ❈❤♦ f ∈ L2 (0, T ; H), u0 ∈ V ✳ ❍❛✐ ♥❣❤✐➺♠ t❤✉ë❝ L2 (0, T ; D(A)) ∩ Cw (0, T ; V ) ❝õ❛ ✭✸✳✷✾✮ ✭✸✳✸✵✮ ♣❤↔✐ trò♥❣ ♥❤❛✉✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✸ ❝❤✐➲✉ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✷ ❝❤✐➲✉ ✈➔ t❛ ❝ơ♥❣ ❝â ✭✸✳✸✸✮ < dw , w > +ν w dt + b(w, u2 , w) = ❚❛ ❝â ✤→♥❤ ❣✐→ s❛✉ b(w, u2 , w) ≤ c|w| w u2 1/2 |Au2 |1/2 ⑩♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤② t❛ ❝â c|w| w u2 1/2 1/2 |Au2 | ≤ (2ν w 2 c2 + u2 |w|2 |Au2 |) 2ν ✸✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚ø ✤â s✉② r❛ d c2 |w|2 ≤ u2 |w|2 |Au2 | dt 2ν ❚❤❡♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ●r♦♥✇❛❧❧ t❛ s✉② r❛ c2 |w(t)|2 ≤ |w(0)|2 e 2ν t u2 (s) |Au2 (s)|ds ❚ø u2 ∈ L2 (0, T ; D(A)) ∩ Cw (0, T ; V ) ♥➯♥ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❧➔ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❉♦ ✤â tø |w(0)| = ♥➯♥ w = 0✳ ❱➟② u1 ≡ u2 ✳ ❱➟② t❛ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ sü ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s tr♦♥❣ ❝↔ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ú ỵ ự ♠✐♥❤ tr➯♥ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ♥➳✉ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ u1 , u2 ❝â ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉✱ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ♠↕♥❤ t❤➻ t❛ ✈➝♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ ❝❤ó♥❣ ❧❛ trị♥❣ ♥❤❛✉✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❝↔ ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ t❤➻ ✈➜♥ ✤➲ ✈➝♥ ❝á♥ ✤➸ ♥❣ä✳ ✸✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❑➳t ❧✉➟♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ởt số t q ỡ sỹ tỗ t↕✐ ✈➔ ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✳ ◗✉❛ ✤â ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ s❛✉✿ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔✿ ✲ ❚r➻♥❤ ❜➔② ởt số t tự ữợ ữủ q õ ự sỹ tỗ t ữỡ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✳ ✲ ❚r➻♥❤ ❜➔② ✈➲ sü ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✱ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ♠↕♥❤ ✈➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ t❤➻ t❛ ✈➝♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ sü ❞✉② ♥❤➜t t✉② ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✷ ♥❣❤✐➺♠ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ t❤➻ ✈➜♥ ✤➲ ✈➝♥ ❝á♥ ✤❛♥❣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣ ♠ët ❧➛♥ ♥ú❛ tỉ✐ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❜➔② tä sü ❦➼♥❤ trå♥❣ ✈➔ ❧á♥❣ t ỡ s s tợ ữớ t P ❚r➼✱ ♥❣÷í✐ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐ó♣ ✤ï ✈➔ t↕♦ ♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ tæ✐ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ✸✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ P✳❈♦♥st❛♥t✐♥ ❛♥❞ ❈✳❋♦✐❛s✱ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s ✱ t❤❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❈❤✐❝❛❣♦ Pr❡ss✱ ✶✾✽✽✳ ❬✷❪ ❖✳❆ ▲❛②②③❤❡♥s❦❛②❛✱ ❚❤❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ t❤❡♦r② ♦❢ ✈✐s❝♦✉s ✐♥❝♦♠✲ ♣r❡ss✐❜❧❡ ❋❧♦✇ ✱ ✶✾✻✸✳ ❬✸❪ ❘✳ ❚❡♠❛♠✱ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s ❛♥❞ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❛♥❛❧✲ ②s✐s✱ ❙■❆▼✱ P❤✐❧❛❞❡❧♣❤✐❛✱ ✶✾✽✸✳ ❬✹❪ ❈✳❋♦✐❛s✱ ❖✳▼❛♥❧❡②✱ ❘✳❘♦s❛✱ ❘✳❚❡♠❛♠✱ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s ❛♥❞ t✉r❜✉❧❡♥❝❡ ✱ ❈❛♠❜r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✱ ✷✵✵✹✳ ❬✺❪ ❘✳❆✳❆❞❛♠s✱ ❙♦❜♦❧❡✈ ❙♣❛❝❡s ✱ ❆❝❛❞❡♠✐❝ Pr❡ss✱ ✶✾✼✺✳ ✸✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn