2 Nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes
3.2.2 Sü duy nh§t nghi»m trong tr÷íng hñp 3 chi·u
ành lþ 3.2.2. Cho Ω ⊂ R3 l tªp mð, bà ch°n, cõa lîp C2. Cho f ∈
L2(0, T;H), u0 ∈ V. Hai nghi»m thuëc L2(0, T;D(A))∩Cw(0, T;V) cõa (3.29) (3.30) ph£i tròng nhau.
Chùng minh. Ta chùng minh sü duy nh§t cõa nghi»m trong tr÷íng hñp 3 chi·u t÷ìng tü nh÷ trong tr÷íng hñp 2 chi·u v ta công câ (3.33)
< dw
dt, w > +νkwk2 +b(w, u2, w) = 0.
Ta câ ¡nh gi¡ sau b(w, u2, w) ≤ c|w|kwkku2k1/2|Au2|1/2.
Tø â suy ra
d
dt|w|2 ≤ c
2
2νku2k|w|2|Au2|.
Theo b§t ¯ng thùc Gronwall ta suy ra |w(t)|2 ≤ |w(0)|2ec 2 2ν Rt 0ku2(s)k|Au2(s)|ds. Tø u2 ∈ L2(0, T;D(A)) ∩Cw(0, T;V) n¶n t½ch ph¥n l x¡c ành. Do â tø |w(0)| = 0 n¶n w = 0. Vªy u1 ≡ u2.
Vªy ta ¢ chùng minh ÷ñc sü duy nh§t cõa nghi»m m¤nh cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes trong c£ hai tr÷íng hñp l khæng gian 2 chi·u v 3 chi·u.
Chó þ 3.2.3. Theo chùng minh tr¶n ta th§y r¬ng n¸u trong tr÷íng hñp
u1, u2 câ mët nghi»m l nghi»m y¸u, mët nghi»m l nghi»m m¤nh th¼ ta v¨n chùng minh ÷ñc chóng la tròng nhau. Tuy nhi¶n trong tr÷íng hñp c£ hai nghi»m l nghi»m y¸u th¼ v§n · v¨n cán º ngä.
K¸t luªn
Luªn v«n tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ cì b£n v· sü tçn t¤i v duy nh§t nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes. Qua â giîi thi»u mët sè k¸t qu£ sau:
C¡c k¸t qu£ ch½nh cõa luªn v«n l :
- Tr¼nh b y mët sè b§t ¯ng thùc ÷îc l÷ñng nghi»m qua â chùng minh sü tçn t¤i nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes.
- Tr¼nh b y v· sü duy nh§t cõa nghi»m m¤nh cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes, trong tr÷íng hñp mët nghi»m m¤nh v mët nghi»m y¸u th¼ ta v¨n chùng minh ÷ñc sü duy nh§t tuy nhi¶n trong tr÷íng hñp 2 nghi»m l nghi»m y¸u th¼ v§n · v¨n cán ang ÷ñc nghi¶n cùu.
Cuèi còng mët l¦n núa tæi xin ÷ñc b y tä sü k½nh trång v láng bi¸t ìn s¥u sc tîi ng÷íi th¦y PGS.TSKH Nguy¹n Minh Tr½, ng÷íi ¢ tªn t¼nh gióp ï v t¤o måi i·u ki»n º tæi ho n th nh luªn v«n n y.
T i li»u tham kh£o
[1] P.Constantin and C.Foias, Navier-Stokes equations, the University of Chicago Press, 1988.
[2] O.A Layyzhenskaya, The mathematical theory of viscous incom- pressible Flow, 1963.
[3] R. Temam, Navier-Stokes equations and nonlinear functional anal- ysis, SIAM, Philadelphia, 1983.
[4] C.Foias, O.Manley, R.Rosa, R.Temam, Navier-Stokes equations and turbulence, Cambridge University Press, 2004.