tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình navier-stokes

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THÙY DƯƠNG TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM YẾU CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN, 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THÙY DƯƠNG TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM YẾU CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TSKH NGUYỄN MINH TRÍ Thái Ngun - Năm 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cam đoan Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tơi. Các kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai cơng bố trong bất kỳ cơng trình nào khác. Thái Ngun, tháng 6 năm 2014 Tác giả Vũ Thị Thùy Dương i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Một số ký hiệu • C(U) = {u : U → R | u liên tục}. • C( ¯ U) = {u ∈ C(U) | u liên tục đều}. • C k (U) = {u : U → R | u là liên tục khả vi k lần}. • C k ( ¯ U) = {u ∈ C k (U) | D α u là liên tục đều với mọi |α| ≤ k}. Do đó: nếu u ∈ C k ( ¯ U) thì D α u thác triển liên tục tới ¯ U với mọi đa chỉ số α, |α| ≤ k. • L 2 ([a, b], R m ): tập các hàm khả tích bậc hai trên [a, b] và lấy giá trị trong R m . • C ∞ (U) = ∞  k=0 C k (U) = {u : U → R | u là khả vi vơ hạn lần}, và C ∞ ( ¯ U) = ∞  k=0 C k ( ¯ U). • C c (U), C k c (U), ,, ký hiệu các hàm trong C(U), C k (U), , với giá compact. • L p (U) = {u : U → R | u là đo được Lebesgue, u L p (U) < ∞}. Trong đó u L p (U) =   U |u| p dx  1 p (1 ≤ p < ∞). • L ∞ (U) = {u : U → R | u là đo được Lebesgue, u L ∞ (U) < ∞}. Trong đó u L ∞ (U) = ess sup U |u|. • L p loc (U) = {u : U → R | u ∈ L p (V ), với mọi V ⊂⊂ U}. ii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Lời cam đoan i Một số ký hiệu ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Khơng gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Khơng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Đạo hàm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Khơng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Khơng gian H −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.4 Khơng gian phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . 6 1.3 Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy với ε . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 Bất đẳng thức nội suy đối với chuẩn L p . . . . . . . 8 1.3.4 Bất đẳng thức Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.5 Bất đẳng thức Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.6 Bất đẳng thức Hardy - Littlewood . . . . . . . . . . 9 2 Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes 10 2.1 Phương trình Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 iii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Tốn tử Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes . . . . . . . 13 2.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của hệ Navier - Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình Navier - Stokes 17 3.1 Nghiệm yếu chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Điều kiện chính quy của nghiệm yếu thơng qua tiêu chuẩn năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Tài liệu tham khảo 30 iv Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Hệ phương trình Navier-Stokes lần đầu tiên được nghiên cứu vào năm 1822, cho đến nay đã có rất nhiều cơng trình nghiên cứu viết về phương trình này tuy nhiên những hiểu biết của ta về phương trình này còn q khiêm tốn. Muốn hiểu được hiện tượng sóng dập sau đi con tàu chạy trên mặt nước hay hiện tượng hỗn loạn của khơng khí sau đi máy bay khi bay trên bầu trời, chúng ta đều phải tìm cách giải hệ phương trình Navier-Stokes. Do nhu cầu của Khoa học và Cơng nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes ngày càng trở nên thời sự và cấp thiết. Hệ phương trình Navier-Stokes mơ tả sự chuyển động của chất lỏng trong R n (n = 2 hoặc n = 3). Ta giả thiết rằng chất lỏng khơng nén được lấp đầy R n . Ta tìm một hàm vector vận tốc u(t, x) = (u i (t, x)), i = 1, 2, , n và hàm áp suất p(t, x), xác định tại vị trí x ∈ R n và thời gian t > 0, thỏa mãn hệ phương trình Navier-Stokes như sau: ∂u i ∂t + n  j=1 u j ∂u i ∂x j = νu i − ∂p ∂x i + f i (t, x) (x ∈ R n , t > 0, i = 1, 2, , n), u = (u 1 , u 2 , , u n ), div u = n  i=1 ∂u i ∂x i = 0 (x ∈ R, t > 0). Với điều kiện ban đầu u(0, x) = u 0 (x). Ở đây, hàm vector u 0 (x) là hàm khả vi vơ hạn với div u 0 = 0, f i (t, x) là những hàm đã biết biểu thị các lực tác động bên ngồi, ν là một hệ số dương. Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và tài liệu tham khảo. Cụ thể như sau: 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes. Trong chương này trình bày khái niệm phương trình Stokes, tốn tử Stokes, hệ phương trình Navier - Stokes, sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của hệ phương trình Navier - Stokes. Chương 3: Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình Navier- Stokes. Chương này trình bày kết quả chính về tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình Navier - Stokes. Một nghiệm yếu u của hệ phương trình Navier - Stokes gọi là chính quy nếu động năng hoặc năng lượng phân tán là liên tục Holder trái, như một hàm của t với số mũ Holder 1 2 và nửa chuẩn Holder đủ nhỏ, theo [3]. Cuối cùng, tơi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS. TSKH Nguyễn Minh Trí, người đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này. Tơi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn – Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Ngun cùng các thầy, cơ giáo đã giảng dạy khố học, xin chân thành cảm ơn ThS Đào Quang Khải - Phòng Phương trình vi phân đã quan tâm, động viên và giúp đỡ tơi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn này. 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này trình bày sơ bộ về khơng gian Holder, khơng gian Sobolev và một số bất đẳng thức cơ bản. 1.1 Khơng gian Holder Cho U ⊂ R n là một tập mở và 0 < γ ≤ 1. Định nghĩa 1.1.1. (i) Hàm số u : U → R được gọi là liên tục Holder bậc γ nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x −y| γ , x, y ∈ U. Khi γ = 1, hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz. (ii) Nếu u : U → R là bị chặn và liên tục, ta định nghĩa: u C( ¯ U) = sup x∈U |u(x)|. (iii) Nửa chuẩn Holder bậc γ của u : U → R là [u] C 0,γ ( ¯ U) = sup x,y∈U x=y |u(x) − u(y)| |x − y| γ và chuẩn Holder bậc γ là u C 0,γ ( ¯ U) = u C( ¯ U) + [u] C 0,γ ( ¯ U) . 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa 1.1.2. Khơng gian Holder C k,γ ( ¯ U) gồm tất cả các hàm số u ∈ C k ( ¯ U), mà chuẩn u C k,γ ( ¯ U) =  |α|≤k D α u C( ¯ U) +  |α|=k [D α u] C 0,γ ( ¯ U) là hữu hạn. Như vậy, khơng gian C k,γ ( ¯ U) gồm tất cả các hàm số u sao cho các đạo hàm riêng cấp k của nó là bị chặn và liên tục Holder bậc γ. Định lý 1.1.1. Khơng gian Holder C k,γ ( ¯ U) là khơng gian Banach với chuẩn  ·  C k,γ ( ¯ U) . 1.2 Khơng gian Sobolev 1.2.1 Đạo hàm yếu Định nghĩa 1.2.1. Giả sử u, v ∈ L 1 loc (U) và α là một đa chỉ số. Ta nói rằng v là đạo hàm yếu cấp α của u nếu  U uD α φdx = (−1) |α|  U vφdx đúng với mọi hàm thử φ ∈ C ∞ c (U). Ký hiệu D α u = v. Bổ đề 1.2.1. (Tính duy nhất của đạo hàm yếu). Một đạo hàm yếu cấp α của u nếu tồn tại thì được xác định một cách duy nhất (sai khác trên tập có độ đo khơng). 1.2.2 Khơng gian Sobolev Định nghĩa 1.2.2. Cố định 1 ≤ p ≤ ∞ và cho k là số ngun khơng âm. Khơng gian Sobolev W k p (U) là tập tất cả các hàm khả tổng địa phương u : U → R sao cho với mỗi đa chỉ số α, |α| ≤ k, đạo hàm yếu D α u tồn tại và thuộc L p (U). Chú ý: Nếu p = 2 ta có H k (U) = W k 2 (U) (k = 0, 1, 2, ) là khơng gian Hilbert. Chú ý rằng H 0 (U) = L 2 (U). 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... kết quả chính của luận văn là: - Trình bày một số kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes - Trình bày về điều kiện chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes thơng qua các tiêu chuẩn năng lượng Một nghiệm yếu là chính quy khi động năng hoặc năng lượng phân tán thỏa mãn điều kiện liên tục Holder trái, được trình bày chi tiết trong Định lý... http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes Trong chương này trình bày về phương trình Stokes, tốn tử Stokes, hệ phương trình Navier - Stokes, sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của hệ phương trình Navier - Stokes 2.1 Phương trình Stokes ∞ Ta ký hiệu V = {ϕ ∈ (C0 (Ω))n | divϕ = 0} H là bao đóng của V trong L2 (Ω)n 1 V là bao đóng của V trong H0 (Ω)n 1 Ta có V ⊂ H0... hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 3 Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình Navier - Stokes Trong chương này trình bày kết quả về tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình Navier - Stokes thơng qua các bất đẳng thức năng lượng 3.1 Nghiệm yếu chính quy Cho một miền bị chặn Ω ⊂ R3 với biên ∂Ω thuộc lớp C 1,1 và cho một khoảng thời gian [0, T ), 0 < T ≤... u là nghiệm yếu của phương trình Stokes (2.1)-(2.3) nếu u ∈ V và ν((u, v)) = (f, v), ∀v ∈ V 2.1.2 Tính chất Định lý 2.1.1 Cho Ω là tập mở, bị chặn Khi đó với mỗi f ∈ L2 (Ω)n và ν > 0 tồn tại duy nhất nghiệm yếu của phương trình Stokes (2.1)-(2.3) Định lý 2.1.2 Cho Ω là tập mở, bị chặn của lớp C2 Khi đó với mỗi f ∈ L2 (Ω)n và ν > 0 tồn tại duy nhất nghiệm u ∈ H 2 (Ω) ∩ V, p ∈ H 1 (Ω) của phương trình. .. nhất của (3.29) được thỏa mãn với mọi ξ > 0 đủ nhỏ Theo (3.34), điều kiện (3.8) được lập luận tương tự Định lý được chứng minh 28 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kết luận Luận văn trình bày một số kết quả cơ bản về tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes thơng qua các tiêu chuẩn năng lượng Qua đó giới thiệu một số kết quả sau: Các kết quả chính của. .. kiện nhỏ (3.17) và Bổ đề 3.2.3 suy ra tính duy nhất của nghiệm rất yếu u ∈ Ls∗ (0, T ; Lq∗ (Ω)) của (3.1) Từ (3.18) ta chứng minh được tính chất 1 u ∈ L∞ 0, T ; L2 (Ω) ∩ L2 0, T ; H0 (Ω) ˜ (3.23) sao cho u = γ + u ∈ Ls∗ (0, T ; Lq∗ (Ω)) là một nghiệm yếu Do đó u thỏa ˜ mãn bất đẳng thức năng lượng và điều kiện duy nhất của Serrin Vậy u là nghiệm yếu duy nhất có những tính chất trên Để chứng minh (3.23)... một nghiệm yếu u của bài tốn (2.8) - (2.10) thỏa mãn các bất đẳng thức (2.16 - 2.17) sao cho ◦ 2 u ∈ L (0, T ; H 1 ), u ∈ C([0, T ]; L2 ) ∩ C([0, T ]; Ls ) với mọi 1 ≤ s < 2, w ∂u ∈ L2 0, T ; V2−1 + Ls (0, T ; V −1 ) ∩ Lq (0, T ; Lr ) ns ns−2 ∂t nq với 1 ≤ s < ∞, 1 ≤ q < 2 và r = nq + q − 2 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 3 Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ. .. (a, b) × Ω (3.4) Trường hợp s = 2, q = ∞ và s = ∞, q = 3 đều rất khó để giải quy t Nếu ¯ u ∈ L∞ a, b; L3 (Ω) thì u ∈ C ∞ (a, b) × Ω 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3.2 Điều kiện chính quy của nghiệm yếu thơng qua tiêu chuẩn năng lượng Kết quả dưới đây thể hiện tiêu chuẩn chính quy của nghiệm yếu dựa trên 1 t động năng u(t) 2 , t ∈ (0, T ) hoặc năng lượng phân tán 0... = , 0 < ν = 1 Trong trường hợp này ta cần 2 một điều kiện nhỏ trên nửa chuẩn Holder trái địa phương Thật vậy, nếu (0, t), t ∈ (0, T ) là khoảng chính quy lớn nhất của nghiệm yếu u thì u(τ ) 1 2 ≥ c(t − τ )− 4 , 0 < τ < t 1 khơng đủ để suy ra tính 2 chính quy trong trường hợp tổng qt nếu tồn tại khoảng chính quy lớn nhất như trên Hơn nữa, với một vài c = c(Ω) > 0 Do đó (3.6) với α = 1 2c ≤ 1 δ2 t 2... xét nghiệm yếu u của hệ Navier - Stokes ∂ui − ν ui + ∂t 3 uj j=1 ∂ui ∂p + = fi (t, x) ∂xj ∂xi (3.1) (x ∈ R3 ; i = 1, 2, 3; u = (u1 ; u2 ; u3 )) 3 ∂u i div u = = 0; u |∂Ω = 0; u |t=0 = u0 với độ nhớt ν > 0 ∂xi i=1 Định nghĩa 3.1.1 Giả sử u0 ∈ L2 (Ω) và f = divF ; F ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)) σ 1,2 Khi đó trường vector u ∈ L∞ (0, T ; L2 (Ω)) ∩ L2 (0, T ; W0 (Ω)) được gọi là σ nghiệm yếu của hệ phương trình . của hệ phương trình Navier - Stokes. Chương 3: Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình Navier- Stokes. Chương này trình bày kết quả chính về tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương. nhất của nghiệm yếu của hệ Navier - Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình Navier - Stokes 17 3.1 Nghiệm yếu chính quy http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes Trong chương này trình bày về phương trình Stokes, tốn tử Stokes, hệ phương trình Navier - Stokes, sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của hệ phương