tính chính quy của nghiệm của phương trình monge-ampere phức trong miền lồi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRƢƠNG THÚY NGA TÍNH CHÍNH QUI CỦA NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG MIỀN LỒI Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Chƣơng 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1. Hàm đa điều hoà dưới 4 1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại 11 1.3. Toán tử Monge-Ampère phức 16 Chƣơng 2. TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG MIỀN LỒI 27 2.1. Tính chính qui của nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền siêu lồi 29 2.2. - 1 C ước lượng trong miền lồi 32 2.3. , - 2 C a ước lượng và tính chính quy địa phương của toán tử Monge- Ampère. 35 2.4. Tính chính quy của nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong miền lồi 41 2.5. Tính chính quy của nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong đa đĩa 44 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bài toán Dirichlet cho các toán tử Monge-Ampère phức thường được xét trên những miền trơn, giả lồi chặt trong n  . Đối với những toán tử này, sự tồn tại của các nghiệm liên tục yếu đã được Bedford và Taylor chứng minh năm 1976, sự tồn tại của các nghiệm trơn đã được chứng minh bởi L. Caffarelli, J. J. Kohn, L. Nirenberg, và J. Spruck năm 1985; và N. V Krylov năm 1994. Tuy nhiên, ở đây không giả thiết gì về tính chính quy của biên. Theo hướng nghiên cứu trên chúng tôi chọn đề tài: “Tính chính quy của nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong miền lồi”. Cụ thể là đối với các 2 C - hàm đa điều hòa dưới trơn, xét phương trình Monge-Ampère phức det( ) ij u y= , ở đây 2 / , , 1, , i j i j u u z z i j n     . (*) Vấn đề đặt ra ở đây là chỉ ra sự tồn tại C  - nghiệm đa điều hòa dưới u của phương trình (*) trong W với lim ( ) 0 z uz   = , trong đó W là một miền lồi, bị chặn trong n  , y là C  - hàm trong W sao cho 0y > và 1/ n Dy bị chặn. Trong trường hợp đa đĩa, chúng ta sẽ chỉ ra sự tồn tại của C  - nghiệm đa điều hòa dưới trong P của phương trình (*) sao cho lim ( ) ( ) z u f z z z  = với zP , trong đó R là một đa đĩa trong n  , y là C  - hàm trong P sao cho 0y > và 2 1/ n D y bị chặn và f là 1,1 C - hàm trên biên P sao cho f là điều hòa dưới trên mỗi đĩa giải tích được nhúng trong P . Đề tài có tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc nghiên cứu tính chính quy của nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong miền lồi. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: - Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực trị, toán tử Monge-Ampère. - Trình bày một số kết quả về tính chính quy của nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong miền lồi. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu - Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của giải tích hàm hiện đại, các phương pháp của lý thuyết thế vị phức. - Kế thừa phương pháp và kết quả của Zbigniew Blocki. 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên cứu về tính chính quy của nghiệm của phương trình Monge-Ampère trong miền lồi. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Sở Giáo dục và Đào tạo Lạng Sơn, Trường THPT Cao Lộc - Lạng Sơn cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2012 Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chƣơng 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm đa điều hoà dƣới 1.1.1. Định nghĩa. Cho W là một tập con mở của n  và ) :,u        là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với  trên bất kỳ thành phần liên thông nào của W . Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a  và n b   , hàm ()u a bll+a là điều hoà dưới hoặc trùng  trên mỗi thành phần của tập hợp { } : abll    . Trong trường hợp này, ta viết ()u PSH . ( ở đây ()WPSH là lớp hàm đa điều hoà dưới trong W ). 1.1.2. Định lý. Cho ) :,u        là một hàm nửa liên tục trên và không trùng  trên bất kỳ thành phần liên thông của n   . Khi đó ()u PSH khi và chỉ khi với mỗi a  và n b   sao cho { } : , 1abl l l     , ta có ( ) ( ; , )u a l u a b , trong đó 2 0 1 ( ; , ) ( ) 2 it l u a b u a e bdt p p =+  . Ngoài ra, tính đa điều hoà dưới là một tính chất địa phương. Chứng minh. Phần thứ nhất suy ra trực tiếp từ định nghĩa của hàm đa điều hoà dưới vì ( ; , ) ( ;0,1)l u a b L v= , trong đó ( ) ( )v u a bll=+ . Phần thứ hai là hiển nhiên, vì tính điều hoà dưới là tính chất địa phương. Một số tính chất quan trọng của hàm đa điều hoà dưới có thể được suy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 ra từ kết quả tiếp theo. Tương tự như trường hợp của hàm điều hoà dưới, ta gọi nó là Định lý xấp xỉ chính cho hàm đa điều hoà dưới. 1.1.3. Định lý. Cho W là một tập con mở của n  và ()u PSH . Nếu 0e > sao cho e    , thì ()uC ee l     PSH  Hơn nữa, u e l* đơn điệu giảm khi e giảm, và 0 lim ( ) ( )u z u z e e l  *= với mỗi z  . Phép chứng minh giống như chứng minh của Định lý xấp xỉ chính cho các hàm điều hoà dưới. Trước tiên ta cần Bổ đề sau: 1.1.4. Bổ đề. Cho n   là một tập mở và 1 () loc uL . Giả sử a  , n b   , và { } : , 1abl l l     . Khi đó ( ( ;., ) )( ) ( ; , )l u b a l u a b ee cc* = * . (1.1) Chứng minh. Vế trái của (1.1) bằng 2 0 1 ( ) ( ) ( ) 2 n it u a e b dt d p e w c w l w p      +-          . và do Định lý Fubini, nó bằng vế phải của (1.1). Bây giờ chúng ta có thể chứng minh định lý. Chứng minh. Do [9], Mệnh đề 2.5.2 ()i , ()uC ee l     . Định lý 1.1.2 kết hợp với Bổ đề trên, suy ra ()u ee l  PSH . Sử dụng lập luận đó như trong [9], Bổ đề 2.5.3, đối với mỗi biến riêng, ta có thể chứng minh (bằng quy nạp theo j ) ước lượng sau : 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , , , , , ) ( , , , , , ) n j j n j j n C u I d e l w w w w l w w w w - - + - +   , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 trong đó 1 1 1 ( , , , , , ) j j n I w w w w -+ = 1 2 1 2 1 1 1 1 ( , , , , , ) ( ) ( ) j j j j n n j C u z z z z de w e w e w e w c w l w ++ + + + +  , với 21 0 ee và 1 1 ( , , ) n z z z e    . Từ đó ta có 12 ( )( ) ( )( ) ( )u z u z u z ee ll    . Phần còn lại của chứng minh cũng như trong [9], Định lý 2.5.5. Bây giờ chúng ta sẽ nêu vài hệ quả của định lý xấp xỉ chính. 1.1.5. Hệ quả. Cho W và  W là những tập mở trong n  và k  , tương ứng. Nếu ()u PSH và :f     là một ánh xạ chỉnh hình, thì ufo là đa điều hoà dưới trong  W . 1.1.6. Hệ quả. Nếu W là một tập con mở trong n  , thì 1 ( ) ( ) ( ) ( ). loc L      PH PSH SH 1.1.7. Hệ quả. Cho W là một tập con mở trong n  , và :u   là một hàm số. Khi đó ()u PH khi và chỉ khi u và u- là đa điều hoà dưới trong W  Vì hàm đa điều hoà dưới là điều hoà dưới nên ta có thể phát biểu vài tính chất khác: 1.1.8. Hệ quả. Nếu , ( )uvPSH và uv= hầu khắp nơi trong W , thì uv . 1.1.9. Hệ quả. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 bị chặn, tức là nếu W là một tập con mở liên thông bị chặn của n  và ()u PSH , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z  , ( ) sup lim sup ( ) y y u z u y w w      < . 1.1.10. Định nghĩa. Tập hợp n E   được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm aE đều có một lân cận V của a và một hàm ()uV PSH sao cho { } : ( )E V z V u z      . 1.1.11. Hệ quả. Các tập đa cực có độ đo (Lebesgue) không. Tính đa điều hoà dưới có thể được đặc trưng dưới dạng đạo hàm suy rộng. 1.1.12. Định lý. Nếu n   là mở và ()u PSH  thì với mỗi 1 ( , , ) n n b b b , 2 ,1 0 n jk jk k j u bb zz =     trong W , theo nghĩa của đạo hàm suy rộng, tức là ( ) ( ) , ( ) 0u z L z b b d zjl W     , với hàm không âm 0 ()Cj   tùy ý. Ngược lại, nếu 1 () loc vL sao cho với mọi z  , mọi 1 ( , , ) n n b b b , 2 ,1 0 n k j jk k j v bb zz =     trong W (1.2), theo nghĩa phân bố, thì hàm 0 lim( )uv e e c  =* được xác định tốt, đa điều hoà dưới trong W , và bằng v hầu khắp nơi trong W . Chứng minh. Cho ()u PSH và uu ee c=* với 0e > . Lấy một hàm không âm 0 ()Cj   và một véc tơ 1 ( , , ) n n b b b . Định lý hội tụ trội Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Lebesgue kết hợp với tích phân từng phần và Định lý xấp xỉ chính suy ra ()uz W   ( ) ,L z b bj  ()dzl = 0 lim e ()uz e W   ( ) ,L z b bj  ()dzl 0 lim e = W   ( ) ,Lu z b b e  ()zj ()dzl  0. Phần đầu tiên của định lý được chứng minh. Giả sử 1 () loc vL và (1.2) được thoả mãn. Đặt vv ee c=* với 0e > . Khi đó 0v trong W , theo ý nghĩa suy rộng. Do [9], Định lý 2.5.8, tồn tại duy nhất hàm điều hoà dưới u trên W trùng với v hầu khắp nơi và 0 limuv e e = . Định lý Fubini và (1.2) suy ra W  ( ) ,Lv z b b e ()zj ()dzl  0, với mọi n b   , 0 ()C e j   , 0j  . Bởi vậy ( ) , 0Lv z b b e  , với mọi z e  , n b   , và do đó ()v ee PSH . Khi 12 vv ee < nếu 12 ee< , thì hàm giới hạn u là đa điều hoà dưới. 1.1.13. Hệ quả. Cho W là một tập con mở trong n  . Một hàm 2 ()uC là đa điều hoà trong W nếu và chỉ nếu uTo là điều hoà trong 1 ()T - W với mỗi đẳng cấu - tuyến tính : nn T  . 1.1.14. Định lý. Cho W là một tập con mở trong n  . Khi đó ()i Họ ()WPSH là nón lồi, tức là nếu ,ab là các số không âm và , ( )uvPSH , thì ()uvab  PSH . ()ii Nếu W là liên thông và { } () j j u  PSH  là dãy giảm, thì [...]... chớnh quy na liờn tc trờn u * l a iu ho di trong W 1.1.15 H qu Cho W l mt tp m trong Ê n v w l mt tp con m thc s khỏc rng ca W Nu u ẻ P SH (W , v ẻ P SH (w) , v lim v(x ) Ê u (y ) ) xđ y vi mi y ẻ ả w ầ W, thỡ cụng thc ớ max { , v } trong w ù u w= ù ỡ ù u trong W\ w ù ợ xỏc nh mt hm a iu ho di trong W Cho W l mt tp con m trong Ê n Ta núi rng mt ỏnh x chnh hỡnh f : Wđ Ê m l khụng suy bin trong W nu trong. .. (u * o f ) hu khp ni trong W ) Cng vy (u o f )*,(u * o f ) ẻ P SH (W Do ú theo H qu 1.1.8, (u o f )* = (u * o f ) trong W 1.1.17 nh lý Cho W l mt tp con m ca Ê n (i ) Cho u, v l cỏc hm a iu ho trong W v v > 0 Nu f : Ă đ Ă l li, thỡ vf (u / v ) l a iu ho di trong W ) (ii ) Cho u ẻ P SH (W , v ẻ P SH (W , v v > 0 trong W Nu f : Ă đ Ă l ) li v tng dn, thỡ vf (u / v ) l a iu ho di trong W (iii ) Cho u,... MONGE-AMPẩRE PHC TRONG MIN LI Xột phng trỡnh Monge-Ampốre phc det (u ij ) = y , trong ú u ij = (2.1) ả 2u , i, j = 1, , n l cỏc C 2 - hm a iu hũa di trn ả ziả z j Ni dung chớnh ca chng ny l trỡnh by cỏc kt qu sau: nh lý 2.4.1 Gi s W l mt min li, b chn trong Ê n Gi s rng y l hm C Ơ trong W sao cho y > 0 v Dy 1/ n b chn Khi ú, tn ti mt nghim C Ơ - a iu ho di u ca (2.1) trong W vi zlim u (z ) = 0 đ ảW Trong trng... (2.2) Trong [2], Bedford v Taylor cng ó chng minh nguyờn lý so sỏnh sau õy, kộo theo tớnh duy nht nghim ca bi toỏn Dirichlet (2.2) trong mt min b chn tựy ý ca Ê n 2.1.2 Mnh Gi s W l mt min b chn trong Ê n Nu u, v l cỏc hm a iu hũa di trong W, liờn tc trờn W sao cho u Ê v trờn ả W v Mu Mv trờn W thỡ u Ê v trong W S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 29 http://www.lrc-tnu.edu.vn Kt qu chớnh quy. .. sau õy ó c chng minh trong [2]: 2.1.3 nh lý Cho W= B l hỡnh cu Euclid trong Ê n Gi s f l C 1,1 trờn ả B v y 1/ n l C 1,1 trờn B (tc l nú l C 1,1 bờn trong B v o hm cp hai b chn trong ú ) Khi ú nghim ca (2.2) l C 1,1 trong B Hn na, vi B Âé B tựy ý, chỳng ta cú D 2u Ê C, B' ú C ch ph thuc vo n , D 2 f ảB D 2 y 1/ n , B , dist( B Â ả B ) v bỏn , kớnh ca B nh lý sau õy ó c chng minh trong [6] 2.1.4 nh... [2]) Bedford v Taylor [2] ó gii quyt bi toỏn Dirichlet cho toỏn t M trong min gi li cht Kt qu ny c tng quỏt cho lp cỏc min siờu li trong [3] (xem thờm [4]) Nhc li rng mt min c gi l siờu li nu nú cú hm vột cn a iu hũa di, b chn Núi riờng, tt c cỏc min li, b chn u l siờu li 2.1.1 nh lý Cho W l mt min siờu li, b chn trong Ê n Gi s rng y l hm khụng õm, liờn tc v b chn trong W f liờn tc trờn ả W sao cho... kt qu ú khi y 1/ n l dng v Lipschitz trong W (xem nh lý 2.4.2) chng minh nh lý 2.4.1, chỳng ta cn C 1, C 2 v C 2,a - c lng ni suy cho cỏc nghim ca phng trỡnh (2.1) Trong trng hp phc C 1 - c lng c trỡnh by trong mc 2.2 (nh lý 2.2.1), trong khi vi trng hp thc iu ú l tm thng, bi vỡ i vi bt k hm li trờn W, trit tiờu trờn ả W, ta cú Du (x ) Ê - u (x ) dist (x , ả W) Trong mc 2.3, da vo cỏc phng phỏp ca... dng tớnh b chn trờn ca D u v Dy 1/ n Trong chng minh ca nh lý trờn, chỳng ta s dng khỏi nim v nghim tng quỏt ca phng trỡnh (2.1) c gii thiu trong [2] Cỏc nghim t c trong cỏc nh lý 2.4.1 v 2.5.2 l duy nht, ngay c i vi cỏc hm a iu hũa di, liờn tc S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 28 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.1 Tớnh chớnh quy ca nghim ca bi toỏn Dirichlet trong min siờu li Nu u l mt hm a iu... thỡ u v trong G; zđ x (v ) u l hm cc i Chng minh (i ) ị (ii ) : Cho v l mt hm a iu ho di cú tớnh cht: vi mi e > 0 tn ti mt tp compact K é W sao cho u - v - e trong W\ K Gi s rng u(a ) - v(a ) = h < 0 ti mt im a ẻ W Bao úng ca tp hp ớ ù ù ù z ẻ W: u (z ) < v(z ) + h ỹ ù E = ỡ ý ù 2ù ù ù ợ ỵ l tp con compact ca W Bi vy cú th tỡm c tp m G cha E v compact tng i trong G Theo (i ) ta cú u v + h trong G... z ù yẽ F ù ợ l a iu ho di trong W Nu u l a iu ho v b chn trong W\ F , thỡ u l a iu ho trong W Nu W l liờn thụng, thỡ W\ F cng liờn thụng 1.2 Hm a iu ho di cc i 1.2.1 nh ngha Cho W l mt tp con m ca Ê n v u : Wđ Ă l hm a iu ho di Ta núi rng u l cc i nu vi mi tp con m compact tng i G ca W, v vi mi hm na liờn tc trờn v trờn G sao cho v ẻ P SH (G ) v v Ê u trờn ả G , u cú v Ê u trong G Ký hiu M P SH (W l . Monge-Ampère phức 16 Chƣơng 2. TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG MIỀN LỒI 27 2.1. Tính chính qui của nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền siêu lồi 29 2.2 lượng trong miền lồi 32 2.3. , - 2 C a ước lượng và tính chính quy địa phương của toán tử Monge- Ampère. 35 2.4. Tính chính quy của nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong miền lồi. đích nghiên cứu Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc nghiên cứu tính chính quy của nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong miền lồi. 2.2. Nhiệm vụ nghiên