Tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge Ampere

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––––––––– ĐẶNG HIỀN THƢƠNG TÍNH CHÍNH QUI CỦA NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2 3. Phương pháp nghiên cứu 3 4. Bố cục của luận văn 3 Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1. Hàm đa điều hoà dưới 5 1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại 8 1.3. Toán tử Monge-Ampère phức…………………………………… …9 1.4. Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampere 18 Chƣơng 2: TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE 34 2.1. Giới thiệu 35 2.2. Sự tồn tại của nghiệm tổng quát 37 2.3. Đánh giá đối với đạo hàm cấp hai 39 2.4. Tính 1,1 C - chính qui của nghiệm tổng quát 43 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Với hàm lồi tùy ý u xét độ đo Borel không âm ()Mu sao cho 2 ( ) detM u D udl= Đối với hàm trơn và ngay cả hàm 2,n loc W . Bài toán Dirichlet đối với M là giải được trong trường hợp khá tổng quát: Cho W là miền lồi tùy ý trong n  và ( ) Cj    sao cho nó là lồi trên một cung tùy ý trong  (Ta gọi hàm j như thế là chấp nhận được). Khi đó với độ đo Borel không âm tùy ý m mà ( ) m    bài toán Dirichlet ( ) ( ) ( ) trong u CVX C Mu u m j            =W     =    (*) Có nghiệm duy nhất. ( Điều này đã được J. Rauch và B.A. Taylor chứng minh năm 1977 đối với miền W lồi chặt, ở đó hàm liên tục j là chấp nhận được). Chúng ta sẽ xét độ đo m với y liên tục không âm, trù mật trong W . Ở đây u sẽ luôn ký hiệu là nghiệm của (*) (với dm y l= ), v là nghiệm của bài toán thuần nhất tương ứng: ( ) ( ) ( ) 0 trong v CVX C Mv v j            =W     =    Các kết quả chính qui của nghiệm của (*) đã được một số tác giả nghiên cứu, cụ thể như sau: Cheng, Yau (năm 1977, 1982), Trudinger, Urbas (năm 1983), Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Krylov (năm 1984), Caffarelli, Nirenberg và Spruck (năm 1984), Guan, Trudinger and Wang năm 1999 Theo hướng nghiên cứu trên, chúng tôi chọn đề tài ”Tính chính qui của nghiệm tổng quát của phương trình Monge-Ampere”. Cụ thể, chúng tôi sẽ nghiên cứu tính C 1,1 -chính qui của nghiệm tổng quát của phương trình Monge- Ampere 2 det , 0Du yy , trên miền lồi bị chặn W trong n  với u j= trên  . Trong trường hợp riêng, sẽ chứng minh rằng 1,1 ()uC nếu )i 0j = và ( ) 1/ 1 1,1 () n Cy -  hoặc )ii W là C 1,1 lồi mạnh, ( ) 1/ 1 1,1 1,1 ( ), ( ) n CCjy -     và 0y > trên U  , ở đó U là lân cận của  . 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc nghiên cứu tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge- Ampère. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: - Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère và bài toán Dirichlet cổ điển đối với toán tử Monge-Ampere. - Trình bày một số kết quả của Z.Blocki năm 2003 về tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge-Ampère. S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 3. Phng phỏp nghiờn cu - S dng cỏc phng phỏp ca gii tớch phc kt hp vi cỏc phng phỏp ca lý thuyt th v phc. - S dng phng phỏp v kt qu ca Zbigniew Blocki. 4. B cc ca lun vn Ni dung lun vn gm 50 trang, trong ú cú phn m u, hai chng ni dung, phn kt lun v danh mc ti liu tham kho. Chng 1: Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, hm a iu ho di cc i, toỏn t Monge-Ampốre v bi toỏn Dirichlet c in i vi toỏn t Monge-Ampere. Chng 2: L ni dung chớnh ca lun vn, trỡnh by cỏc kt qu nghiờn cu v tớnh chớnh quy ca nghim tng quỏt ca phng trỡnh Monge-Ampốre. Cui cựng l phn kt lun trỡnh by túm tt kt qu t c. Bn lun vn c hon thnh ti Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn di s hng dn ca PGS.TS Phm Hin Bng, nhõn dp ny tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự h-ớng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin cm n Ban ch nhim Khoa Sau i hc, Ban ch nhim Khoa Toỏn, cỏc thy cụ giỏo Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, Vin Toỏn hc v Trng i hc S phm H Ni ó ging dy v to iu kin thun li cho tụi trong quỏ trỡnh hc tp v nghiờn cu khoa hc. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường THPT Dương Tự Minh Thái Nguyên cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Tác giả Đặng Hiền Thương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chƣơng 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm đa điều hoà dƣới 1.1.1. Định nghĩa. Cho W là một tập con mở của n  và [ ) :,u     là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với  trên bất kỳ thành phần liên thông nào của W . Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a  và n b   , hàm ()u a bll+a là điều hoà dưới hoặc trùng  trên mỗi thành phần của tập hợp { } :abll    . Trong trường hợp này, ta viết ()u PSH . (ở đây ()WPSH là lớp các hàm đa điều hoà dưới trong W ). Tính đa điều hoà dưới có thể được đặc trưng dưới dạng đạo hàm suy rộng. Nhắc lại, nếu 2 ( ), , n u a b    C  thì 0 4 ( ) , ( ( )u a b b u a b l l l = = D +L . Ta có định lý sau: 1.1.2. Định lý. Nếu n   là mở và ()u PSH  thì với mỗi 1 ( , , ) n n b b b , 2 ,1 0 n jk k jk j u bb zz =     trong W , theo nghĩa của đạo hàm suy rộng, tức là ( ) ( ) , ( ) 0u z z b b d zjl W     L , với hàm không âm 0 ()Cj   tùy ý. Ngược lại, nếu 1 () loc vL sao cho với mọi z  , mọi 1 ( , , ) n n b b b , 2 ,1 0 n k j k jk j v bb zz =     trong W (1.1) theo nghĩa suy rộng, thì hàm 0 lim( )uv e e c  =* được xác định tốt, đa điều hoà dưới trong W , và bằng v hầu khắp nơi trong W . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Chứng minh. Cho ()u PSH và uu ee c=* với 0e > . Lấy một hàm không âm 0 ()Cj   và một véc tơ 1 ( , , ) n n b b b . Định lý hội tụ trội Lebesgue kết hợp với tích phân từng phần suy ra ()uz W   ( ) ,z b bjL  ()dzl = 0 lim e ()uz e W   ( ) ,z b bjL  ()dzl 0 lim e = W   ( ) ,u z b b e L ()zj ()dzl  0. Phần đầu tiên của định lý được chứng minh. Giả sử 1 () loc vL và (1.1) được thoả mãn. Đặt vv ee c=* với 0e > . Khi đó 0v trong W , theo nghĩa suy rộng. Do [11], Định lý 2.5.8, tồn tại duy nhất hàm điều hoà dưới u trên W trùng với v hầu khắp nơi và 0 limuv e e = . Định lý Fubini và (1.1) suy ra W  ( ) ,v z b b e L ()zj ()dzl  0, với mọi n b   , 0 ()C e j   , 0j  . Bởi vậy ( ) , 0v z b b e L , với mọi z e  , n b   , và do đó ()v PSH ee . Khi 12 vv ee < nếu 12 ee< , thì hàm giới hạn u là đa điều hoà dưới. 1.1.3. Định lý. Cho W là một tập con mở trong n  . Khi đó ()i Họ ()WPSH là nón lồi, tức là nếu ,ab là các số không âm và , ( )uvPSH , thì ()uv  PSHab . ()ii Nếu W là liên thông và { } () j j u  PSH  là dãy giảm, thì lim ( ) j j uu    PSH hoặc u    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 ()iii Nếu :u   , và nếu { } () j j u  PSH  hội tụ đều tới u trên các tập con compact của W , thì ()u PSH . ()iv Giả sử { } () A u  PSH a a sao cho bao trên của nó sup A uu a a  = là bị chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên * u là đa điều hoà dưới trong W . 1.1.4. Hệ quả. Cho W là một tập mở trong n  và w là một tập con mở thực sự khác rỗng của W . Nếu ()u PSH , ()v  PSH w , và lim ( ) ( ) xy v x u y   với mỗi y w    , thì công thức { } max , \ u v tr ong u tr ong w w w     =   W    xác định một hàm đa điều hoà dưới trong W . 1.1.5. Định lý. Cho W là một tập con mở của n  . ()i Cho ,uv là các hàm đa điều hoà trong W và 0v > . Nếu :f  là lồi, thì ( / )v u vf là đa điều hoà dưới trong W . ()ii Cho ()u PSH , ()v PSH , và 0v > trong W . Nếu :f  là lồi và tăng dần, thì ( / )v u vf là đa điều hoà dưới trong W . ()iii Cho , ( )uv  PSH , 0u  trong W , và 0v > trong W . Nếu [ ) [ ) : 0, 0,f    là lồi và (0) 0f = , thì ( / ) ( )v u v PSHf . 1.1.6. Định lý. Cho W là một tập con mở của n  và { } : ( )F z v z      Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 là một tập con đóng của W  ở đây ()v PSH . Nếu ( \ )uFPSH là bị chặn trên, thì hàm u xác định bởi ( ) ( \ ) () lim sup ( ) ( ) yz yF u z z F uz u y z F         =        là đa điều hoà dưới trong W . Nếu u là đa điều hoà và bị chặn trong \ FW , thì u là đa điều hoà trong W . Nếu W là liên thông, thì \ FW cũng liên thông. 1.2. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại 1.2.1. Định nghĩa. Cho W là một tập con mở của n  và :u   là hàm đa điều hoà dưới. Ta nói rằng u là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact tương đối G của W , và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho ()vG PSH và vu trên G , đều có vu trong G. Ký hiệu ()WM PSH là họ tất cả các hàm đa điều hoà dưới cực đại trên W . Sau đây ta sẽ xem xét một số tính chất tương đương của tính cực đại. 1.2.2. Mệnh đề. Cho n   là mở và :u   là hàm đa điều hoà dưới. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: ()i Với mỗi tập con mở compact tương đối G của W và mỗi ()v PSH , nếu lim sup( ( ) ( )) 0 z u z v z x  , với mọi Gx  , thì uv trong G ; ()ii Nếu ()v PSH và với mỗi 0e > tồn tại một tập compact K  sao cho uv e   trong \ KW , thì uv trong W ; ()iii Nếu ()v PSH , G là một tập con mở compact tương đối của W , và uv trên G thì uv trong G; [...]... Vy y l na liờn tc di (iu phi chng minh) Bõy gi ta s ỏp dng kt qu trờn cho Bi toỏn Dirichlet tng quỏt i vi toỏn t Monge- Ampere: 21 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Cho W l min b chn trong n v f ẻ C(ả W Bi toỏn Dirichlet tng ) quỏt i vi toỏn t Monge- Ampere phc c t ra nh sau: tỡm mt hm na liờn tc trờn u : Wđ sao cho u liờn tc ti mi im ca ả W v cỏc iu kin sau c tha... Radon trờn W tc l: ù ù ỵ lim ũ j (dd cun ) = ũ j d m, " j n n W ẻ C 0 (W ) W Hn na khụng ph thuc vo vic chn dóy un nh trờn, ta ký hiu: (dd c u )n = m v gi l toỏn t Monge- Ampốre ca u Sau õy chỳng ta s xem xột mt vi tớnh cht c bn ca toỏn t Monge- Ampốre, phn cui ca mc ny l nguyờn lý so sỏnh c dựng trong chng 2 1.3.1 Mnh Nu y ẻ C Ơp, p l ( p, p) - dng lp C Ơ trờn tp m Wé Ê n ( ) v T l (q, q) - dũng vi... Monge- Ampốre (dd cu )n = 0 Khi ú u l hm a iu hũa di cc i trong W Chng minh Gi s v ẻ P SH (W v G é W sao cho u v trờn ả G t ) ớ max { (z ), v(z )}, z ẻ G ù u w (z ) = ù ỡ ù u (z ), z ẻ W\ G ù ợ ) ) Khi ú w ẻ P SH (W ầ LƠ (W Hn na zlim inf(u (z ) - w(z )) = 0 v loc đ ảW ũ ( dd cu )n = 0 Vy theo H qu 1.3.8 ta cú u w trờn W Vy u v {u < w } trờn G Do ú u cc i 1.4 Bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge- Ampere. .. iu ho di trong W theo cỏc gi thit (iii ) , (iv ) , (v ) v (i ) 1.3 Toỏn t Monge- Ampốre phc Cho u l a iu ho di trờn min Wé Ê n Nu u ẻ C 2 (W thỡ toỏn t: ) c n (dd u ) ộ ảu ự ỳ := (dd u ) (dd u ) = 4 n !det ờ dV , ờả z ả z ỳ 14444444 44444444 42 3 ờ j k ỳ Ê j ,k Ê n n ở ỷ 1 c c n vi dV l yu cú th tớch trong C n gi l toỏn t Monge- Ampốre Toỏn t ny cú th xem nh o Radon trờn W, tc l phim hm tuyn tớnh... dng (1.12), 1.13) v (1.15) ta c ổ ử h ữ ữ v j (z 0 ) - u (z 0 ) ej2 ỗa - 2n m ỗ ỗ ữ 2(2n + 2) ữ ố ứ > ej2 (a - h(2n + 1)) > 0 Tớnh duy nht c suy ra t H qu 3.7.6 [11] Chng 2 TNH CHNH QUY CA NGHIM TNG QUT CA PHNG TRèNH MONGE- AMPẩRE 34 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Vỡ ... ú w ẻ P SH (W ầ LƠ (W Hn na zlim inf(u (z ) - w(z )) = 0 v loc đ ảW ũ ( dd cu )n = 0 Vy theo H qu 1.3.8 ta cú u w trờn W Vy u v {u < w } trờn G Do ú u cc i 1.4 Bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge- Ampere Trc tiờn chỳng ta xột lp cỏc hm a iu hũa di cc i liờn tc (c gii thiu trong mc 1.2) liờn quan n bi toỏn Dichlet tng quỏt: Cho W l mt min b chn trong Ê n v f ẻ C (ả W Bi toỏn Dirichlet ) c t ra nh . chọn đề tài Tính chính qui của nghiệm tổng quát của phương trình Monge- Ampere . Cụ thể, chúng tôi sẽ nghiên cứu tính C 1,1 -chính qui của nghiệm tổng quát của phương trình Monge- Ampere 2 det. Dirichlet đối với toán tử Monge- Ampere 18 Chƣơng 2: TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA PHƢƠNG TRÌNH MONGE- AMPÈRE 34 2.1. Giới thiệu 35 2.2. Sự tồn tại của nghiệm tổng quát 37 2.3. Đánh giá. toán tử Monge- Ampère và bài toán Dirichlet cổ điển đối với toán tử Monge- Ampere. - Trình bày một số kết quả của Z.Blocki năm 2003 về tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge- Ampère.