Hàm Green đa phức với hai cực của hình cầu đơn vị trong £n

đại học thái nguyên tr-ờng đại học s- phạm - phạm thị minh hạnh hàm green đa phức với hai cực hình cầu đơn vị Ê n Luận văn thạc sỹ toán học TháI nguyên - 2010 đại học thái nguyên tr-ờng đại học s- phạm - - S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn phạm thị minh hạnh hàm green đa phức với hai cực hình cầu đơn vị Ê n Chuyên ngành: giải tích Mã số: 60.46.01 Luận văn thạc sỹ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: pgs.TS Phạm Hiến Bằng TháI nguyên - 2010 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn LI CM N Bn lun c hon thnh ti Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn di s hng dn tn tỡnh ca PGS.TS Phm Hin Bng Nhõn dp ny tụi xin by t lũng bit n thy v s hng dn hiu qu cựng nhng kinh nghim quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Xin chõn thnh cm n Khoa Sau i hc, Ban ch nhim Khoa Toỏn, cỏc thy cụ giỏo Trng i hc s phm - i hc Thỏi Nguyờn, Vin Toỏn hc v Trng i hc S phm H Ni ó ging dy v to iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v nghiờn cu khoa hc Xin chõn thnh cm n Khoa c bn Trng i hc KTCN - HTN cựng cỏc ng nghip ó to iu kin thun li v thi gian cụng tỏc ti c quan, giỳp tụi yờn tõm hc v hon thnh bn lun ny Bn lun chc chn s khụng trỏnh nhng khim khuyt vỡ vy rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn hc viờn lun ny c hon chnh hn Cui cựng xin cm n gia ỡnh v bn bố ó ng viờn, khớch l tụi thi gian hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Thỏi Nguyờn, thỏng 08 nm 2010 Tỏc gi Phm Th Minh Hnh S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn MC LC Trang M U CHNG MT S KIN THC CHUN B 1.1 Hm iu ho di 1.2 Hm a iu ho di 1.3 Hm a iu ho di cc i 12 1.4 Toỏn t Monge Ampe 14 CHNG HM GREEN A PHC VI HAI CC CA HèNH CU N V TRONG 15 Ên 2.1 Hàm Green đa phức 15 2.2 Hàm Geen đa phức với hai cực hình cầu đơn vị Ê n 18 54 KT LUN TI LIU THAM KHO 55 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn M U Lý chn ti Hm Green a phc úng mt vai trũ rt quan trng lý thuyt th v phc, nú ó c nhiu nh toỏn hc v ngoi nc quan tõm nghiờn cu nh: Siciak, Zaharjuta, Lelong, Klimek, Zeriahi, Dan Coman v t c nhiu kt qu sõu sc v hm Green a phc v xp x cỏc hm chnh hỡnh ú l s tng quỏt hoỏ kt qu ca Siciak- Zaharjuta Ê Ơ v trng hp i s Mt s kt qu v hm Green a phc vi cc logarit trờn a siờu li, ú l s tng quỏt hoỏ ca hm Green a phc vi cc hu hn, ó c nghiờn cu bi Lelong, Klimek, Demailly, Zaharjuta, E Amar , P.J Thomas, Dan Coman Tuy nhiờn nhng cu trỳc ca hm Green a phc vi nhiu cc cũn c bit rt ớt õy chỳng tụi chn ti Hm Green a phc vi hai cc ca hỡnh cu n v Ê n Mc ớch v nhim v nghiờn cu 2.1 Mc ớch nghiờn cu Mc ớch chớnh ca lun l tỡm cụng thc Green a phc ca hỡnh cu n v Ê n vi hai cc 2.2 Nhim v nghiờn cu Lun trung vo cỏc nhim v chớnh sau õy: + Xõy dng cụng thc cho hm Green a phc i vi hỡnh cu n v Ê n vi hai cc cú trng bng + Ch s tn ti ca lỏ ca hỡnh cu (k d ti cỏc cc) bi cỏc a gii tớch nhn i qua mt hoc c hai cc, cho hn ch ca hm Green a phc ti cỏc a ny l iu ho xa cỏc cc S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn + S dng biu thc ca hm Green dc theo mi t ca lỏ, xõy dng cụng thc ca nú trờn ton b hỡnh cu Phng phỏp nghiờn cu: - S dng cỏc phng phỏp ca gii tớch phc kt hp vi cỏc phng phỏp ca gii tớch hm hin i - S dng cỏc phng phỏp ca lý thuyt th v phc - K tha phng phỏp v kt qu ca E Amar v P.J Thomas, Dan Coman B cc ca lun Ni dung lun gm 56 trang, ú cú phn m u, hai chng ni dung, phn kt lun v danh mc ti liu tham kho Chng 1: Trỡnh by mt s kin thc c bn nh: Hm iu ho, hm a iu ho, hm a iu ho di, hm a iu ho di cc tr, hm Green phc, hm Green a phc, toỏn t Monge-Ampere Chng mang tờn Hm Green a phc vi hai cc ca hỡnh cu n v Ê n Ni dung ca chng ny l trỡnh by vic xõy dng cụng thc cho hm Green a phc i vi hỡnh cu n v Ê n vi hai cc cú trng bng nhau, Ch s tn ti ca lỏ ca hỡnh cu (k d ti cỏc cc) bi cỏc a gii tớch nhn i qua mt hoc c hai cc S dng biu thc ca hm Green dc theo mi t ca lỏ, s xõy dng cụng thc ca nú trờn ton b hỡnh cu Cui cựng l phn kt lun trỡnh by túm tt cỏc kt qu t c S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chng MT S KIN THC CHUN B 1.1 Cỏc hm iu ho di 1.1.1 nh ngha Cho W l mt khụng gian mờtric Mt hm u : Wđ [- Ơ , Ơ ) c gi l na liờn tc trờn nu vi mi c ẻ Ă hp {x ẻ W: u(x ) < c } l m Mt hm u c gi l na liờn tc di nu - u l na liờn tc trờn 1.1.2 nh ngha Cho W l mt m ca Ă n , v u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l mt hm na liờn tc trờn khụng trựng - Ơ trờn bt k thnh phn liờn thụng no ca W Hm u nh vy c gi l iu ho di W nu vi mi m compact tng i G ca W v mi hm h ẻ H (G ) ầ C (G ) ta cú u Ê h trờn ả G ị u Ê h trờn G Trong trng hp ny ta vit u ẻ SH (W) nh lý sau cho mt c trng ca hm iu ho di 1.1.3 nh lý Gi s u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l na liờn tc trờn v khụng ng nht - Ơ trờn bt k thnh phn liờn thụng no ca W Khi ú nhng iu kin sau l tng ng (i ) u ẻ SH (W) (ii ) Nu B (a, r ) é W, thỡ S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn u (x ) Ê r m - 2L (P (y - a, x - a )u (y );a, r ) vi mi x ẻ B (a, r ) ; (iii ) Nu B (a, r ) é W, thỡ u(a ) Ê L (u;a, r ) ; (iv ) Nu B (a, r ) é W, thỡ u(a ) Ê A(u;a, r ) Hn na, tớnh iu ho di l mt tớnh cht a phng, tc l u ẻ SH (W) v ch nú l iu ho di mt lõn cn ca mi im ca W Chng minh (i ) (ii ) : gi s u ẻ SH (W) v B (a, r ) é W Theo [K2], Mnh 2.3.3 tr37 tn ti mt dóy gim {u j } cỏc hm liờn tc trờn ả B (a, r ) hi t ti u ả B (a,r ) Theo [K2] (nh lý 2.2.6 tr30), tn ti mt dóy cỏc hm {u j } ẻ H (B (a, r )) ầ C (B (a, r )) cho U j ả B (a ,r ) = u j T ú u Ê U j B (a, r ) vi mi j ẻ Ơ Rừ rng, dóy {U j } l gim Ly x ẻ B (a, r ) p dng nh lý hi t n iu Lebesgue, ta cú u (x ) Ê lim U j (x ) = lim r m - 2L (P (y - a, x - a )u j (y );a, r ) jđ Ơ jđ Ơ = r m - 2L(P (y - a, x - a) lim u j (y );a, r ) jđ Ơ Gi s (ii ) c tho t x = a ta c (iii ) (iii ) (iv ) suy trc tip t [K2], h qu 2.1.3 tr24 Trc kt thỳc chng minh nh lý, chỳng ta cn kt qu sau, c xem nh l nguyờn lý cc i ca hm iu ho di S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.4 nh lý Gi s W l mt m liờn thụng b chn ca Ă m v u ẻ SH (W) Khi ú hoc u l hng hoc vi mi x ẻ W ớù ỹ ùù ù ù u (x ) < sup ỡ lim sup u (y )ùý ùù z ẻ ả Wù ùù yy ẻđWz ùỵ ù ợù Chng minh Nh trờn, ta cú th ch rng u tho iu kin (iv ) nh lý 1.1.3 Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s rng v phi ca bt ng thc trờn nh hn Ơ t u (x ) (x ẻ W) ùớù ùù v(x ) = ỡ lim sup u (y ) (x ẻ ả W) ùù y đ x ùùợ y ẻ X Khi ú v l na liờn tc trờn, v ú nú t cc i, gi M l giỏ tr cc i ca v W t A = {x ẻ W: u(x ) = M } Ta s chng minh rng nu A ặ, thỡ A = W Rừ rng A l úng W vỡ u l na liờn tc trờn Nu a ẻ A v B (a, r ) é W thỡ B (a, r ) é A Thc vy, nu iu ú khụng xy thỡ tn ti mt im b ẻ B (a, r ) cho u(b) < M Do tớnh na liờn tc trờn ca u suy u < M mt lõn cn ca b Ta cú u(a ) Ê A(u;a, r ) < A(M ;a, r ) = u(a ) iu ú khụng th xy Vy B (a, r ) é A Bi vy A l m, m W liờn thụng nờn ta cú A = W Bõy gi ta quay tr li chng minh nh lý 1.1.3 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chng minh (iv ) ị (i ) : Gi s (iv ) c tho món, G l mt m compact tng i ca W, v h ẻ H (G ) ầ C (G ) cho u Ê h trờn ả G Do [K2] (nh lý 2.2.4 tr30), hm u - h tho (iv ) G T phộp chng minh nguyờn lý cc i ca cỏc hm iu ho di suy rng u - h Ê G tc l u Ê h G T ú u ẻ SH (W) Kt lun cui cựng ca nh lý 1.1.3 suy t chng minh nh lý 1.1.4 v chng minh (iv ) ị (i ) trờn 1.1.5 nh ngha Mt E ca Ă m gi l cc nu cho mt im a E cú mt lõn cn V ca a v mt hm u ẻ SH (V ) cho u(x ) = - Ơ vi x ẻ E ầV 1.2 Hm a iu ho di 1.2.1 nh ngha Cho W l mt m ca Ê n v u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l mt hm na liờn tc trờn v khụng trựng vi - Ơ trờn bt k thnh phn liờn thụng no ca W Hm u c gi l a iu ho di nu vi mi a ẻ W v b ẻ Ê n , hm l a u(a + l b) l iu ho di hoc trựng - Ơ trờn mi thnh phn ca hp {l ẻ Ê : a + l b ẻ W} Trong trng hp ny, ta vit u ẻ P SH (W) ( õy P SH (W) l lp hm a iu ho di W) 1.2.2 nh lý Cho u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l mt hm na liờn tc trờn v khụng trựng - Ơ trờn bt k thnh phn liờn thụng ca Wé Ê n Khi ú u ẻ P SH (W) v ch vi mi a ẻ W v b ẻ Ê n cho {a + l b : l ẻ Ê , l Ê 1}é W, S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... 12 1.4 Toỏn t Monge Ampe 14 CHNG HM GREEN A PHC VI HAI CC CA HèNH CU N V TRONG 15 Ên 2.1 Hàm Green đa phức 15 2.2 Hàm Geen đa phức với hai cực hình cầu đơn vị Ê n 18 54 KT LUN TI LIU THAM KHO...phạm thị minh hạnh hàm green đa phức với hai cực hình cầu đơn vị Ê n Chuyên ngành: giải tích Mã số: 60.46.01 Luận văn thạc sỹ toán học Ng-ời... hm Green a phc vi nhiu cc cũn c bit rt ớt õy chỳng tụi chn ti Hm Green a phc vi hai cc ca hỡnh cu n v Ê n Mc ớch v nhim v nghiờn cu 2.1 Mc ớch nghiờn cu Mc ớch chớnh ca lun l tỡm cụng thc Green