Hàm green đa phức và bài toán dirichlet đối với toán tử monge ampère phức

Hàm green đa phức và bài toán dirichlet đối với toán tử monge ampère phức

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN – 2011

CHƯƠNG I : MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Hàm đa điều hoà dưới 5

1.2 Hàm đa điều hoà dưới cực đại 11

1.3 Toán tử Monge-Ampère phức 16

CHƯƠNG II: HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC 23

2.1 Đa tạp siêu lồi và hàm đa điều hòa dưới chấp nhận được 24

2.2 Hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi 26

2.3 Các định lý so sánh đối với lớp các hàm không bị chặn 37

2.4 Hàm Green đa phức và bài toán Dirichlet 43

KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

Monge-Ampère phức (dd c n) đƣợc xác định tốt sao cho với hàm liên tục

tùy ý h trên D, bài toán sau có nghiệm duy nhất:

( )D  ( )D L loc ( )D

P P SH I và độ đo  là liên tục tuyệt đối đối với độ đo Lebesgue Từ đó một số tác giả nhƣ U.Cegrell (1984), U.Cegrell và L.Persson (1992), U.Cegrell và S.Kolodziej (1994), Z.Blocki (1995) đã

cố gắng giải quyết bài toán bỏ qua tính liên tục của mật độ  S.Kolodziej (1996) đã cho điều kiện đủ đối với tính giải đƣợc của bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trên lớp

( )D L loc ( )D

P SH I và giải bài toán Dirichle đối với các độ đo nhƣ thế Đối với các độ đo kỳ dị, tính giải đƣợc của bài toán Dirichlet đã đƣợc giải quyết bởi J.P.Demailly (1987) và P Lelong (1989)

Theo hướng nghiên cứu trên, chúng tôi chọn đề tài "Hàm Green đa

phức và bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức" Ở đây

chúng tôi sẽ trình bày việc giải bài toán Dirichlet (I) đối với độ đo kỳ dị

    liên kết với hàm đa điều hòa dưới chấp nhận được trên D

Đề tài có tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong

và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả về hàm Green đa phức và áp dụng để giải bài toán Dirichlet đối với toán tử

Monge-Ampère phức

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

+ Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère

+ Trình bày một số kết quả về đa tạp siêu lồi và hàm đa điều hoà dưới chấp nhận được, hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi, các định

lý so sánh đối với lớp các hàm không bị chặn

+ Giải bài toán Dirichlet nhờ hàm Green đa phức và toán tử Monge-Ampère

3 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của giải tích hàm hiện đại

- Sử dụng các phương pháp của lý thuyết thế vị phức

- Kế thừa phương pháp và kết quả của Ahmed Zeriahi

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 51 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán

tử Monge-Ampère

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên cứu về Đa tạp siêu lồi và Hàm đa điều hòa dưới chấp nhận được, Hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi, các định lý so sánh đối với lớp các hàm không bị chặn Giải bài toán Dirichlet nhờ hàm Green đa phức

và toán tử Monge-Ampère

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và

nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, Trường THPT Bắc Kạn cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, tháng 08 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dưới

1.1.1 Định nghĩa

Cho W là một tập con mở của £ n và u W® - ¥ ¥: [ , ) là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với - ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông nào của W Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi

a Î W và n

b Î £ , hàm l a u a( + l b) là điều hoà dưới hoặc trùng - ¥

trên mỗi thành phần của tập hợp {l Î £ : a+ l bÎ W} Trong trường hợp này, ta viết u Î P SH( )W (ở đây P SH( )W là lớp hàm đa điều hoà dưới trong W)

1.1.2 Định lý

Cho u W® - ¥ ¥: [ , ) là một hàm nửa liên tục trên và không trùng

- ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông của WÐ £n Khi đó u Î P SH( )W

khi và chỉ khi với mỗi a Î W và b Î £ n sao cho

Ngoài ra, tính đa điều hoà dưới là một tính chất địa phương

Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên từ định nghĩa hàm đa điều hòa dưới vì

l u a b = L v

Điều kiện đủ Giả sử a Î W , n

b Î £ và xét

{ : }

U = l Î £ a + l bÎ W

Khi đó U là tập mở trên £ Đặt v( )l = u a( + l b),l Î U Cần chứng minh v l( ) là điều hòa dưới trên U Muốn vậy chỉ cần chứng tỏ nếu

Từ a + l 0bÎ U nếu có r > 0 sao cho khi l < r thì a+ l 0b+ l bÎ W

Với 0 £ r < r ta có {a+ l 0b+ l rb: l £ 1}Ð W Do đó từ giả thiết

£ ò + , đó là điều phải chứng minh

Một số tính chất quan trọng của hàm đa điều hoà dưới có thể được suy ra từ kết quả tiếp theo Tương tự như trường hợp của các hàm điều

hoà dưới, ta gọi nó là định lý xấp xỉ chính cho các hàm đa điều hoà dưới

dd u là dòng dương đóng song bậc ( )1,1

Chứng minh Các khẳng định (i), (ii), (iii) suy ra từ định nghĩa hàm đa

điều hòa dưới và định lý hội tụ đơn điệu hay định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân trong trường hợp dãy hội tụ đều Ta chứng minh (iv) Chỉ cần chứng tỏ a Î W , b Î £ n sao cho {a + l b:l Î £,l £ 1}Ð W thì

( )

p

q

q p

Với a Î W, chọn dãy { }z n Ð W sao cho z n ® a và u z( )n ® u a*( ) Từ

{z + l b, l £ 1}Ð W nên với n đủ lớn {z n + l b,l £ 1}Ð W Khi đó

( )

p

q

q p

= ìï

W ïïî

u v trong w

là hàm đa điều hòa dưới trên W

Chứng minh Rõ ràng w là nửa liên tục trên trên W Chỉ cần chứng tỏ nếu a Î W, n

2

0

12

2

0

12

i

Chứng minh tương tự cho trường hợp a Î W\ wW, ở đó wW là bao đóng của w lấy trong W Chỉ cần xét trường hợp a Î wWÇ W Khi đó

lim sup ( ) ' ®

ïï

ïïïî

là hàm đa điều hòa dưới trên D

Chứng minh Bởi tính đa điều hòa dưới là tính địa phương nên có thể coi

= ì ï - ¥ ïî

Khi đó u e Î P SH( )D với mọi e > 0 và sup{u e :e > 0}= u trên D \ F Hơn nữa (sup{u e :e> 0} )* = %u trên D Vậy u%Î P SH( )D

với mỗi z Î W và một hằng số M nào đó Khi đó với mỗi e > 0 và mỗi

tập compact K Ð W tồn tại một số tự nhiên j0 sao cho, với j ³ j0,

® Ï

ïïï

ïïïïî y y F z

mở compact tương đối G của W, và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên

G sao cho v Î P SH( )G và v £ u trên ¶G , đều có v £ u trong G

Ký hiệuM P SH( )W là họ tất cả các hàm đa điều hoà dưới cực đại trên W

Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số tính chất tương đương của tính cực đại

1.2.2 Mệnh đề

Cho WÐ £n là tập mở và u W® ¡: là hàm đa điều hoà dưới Khi

đó các khẳng định sau là tương đương:

( )i Với mỗi tập con mở compact tương đối G của W và với mỗi

hàm v Î P SH( )W, nếu lim inf( ( ) ( )) 0,

z u z v z

x

® - ³ với mọi x Î ¶ G , thì

u ³ v trong G ;

( )ii Nếu v Î P SH( )W và với mỗi e > 0 tồn tại một tập compact

K Ð W sao cho u- v ³ - e trong W\ K , thì u ³ v trong W;

(iii) Nếu v Î P SH( )W, G là một tập con mở compact tương đối

của W, và u ³ v trên ¶G thì u ³ v trong G ;

( )iv Nếu v Î P SH( )W, G là một tập con mở compact tương đối của

là tập con compact của W Bởi vậy có thể tìm được tập mở G chứa E và

compact tương đối trong G Theo ( )i ta có

2

u ³ v+ h trong G, điều đó mâu thuẫn với a Î E.

u z v z z G z

là đa điều hoà dưới trong W theo các giả thiết (iii), ( )iv , ( )v , và ( )i

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một lớp quan trọng các hàm cực đại liên tục

Trước hết, chúng ta cần một số định nghĩa Cho W là một miền bị chặn trong £n và f Î C(¶ W) Bài toán Dirichlet suy rộng là tìm một hàm

nửa liên tục trên u W® ¡: sao cho uWÎ M P SH( )W và u¶ Wº f

Cho W là miền bị chặn trong £n và f Î C(¶ W) Ta sẽ ký hiệu

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng yW,f( )z nghiệm của bài toán Dirichlet suy rộng khi W là một hình cầu Euclid

B f z z B z

f z z B

y y

ïïï

= ìï

Î ¶ ïïî

là một nghiệm của bài toán Dirichlet suy rộng đối với tập B và hàm f

Hơn nữa, y là liên tục

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng

0

=

a Giả sử h là nghiệm của bài toán Dirichlet cổ điển đối với B và

f Vì hàm đa điều hoà dưới là điều hoà dưới, nên suy ra y B f, £ h trong

B theo nguyên lý cực đại đối với những hàm điều hoà dưới Do h liên tục trong B , nên ta có (y B f, )* £ h trong B Đặc biệt, điều đó có nghĩa là

,

(y B f)* Î U B f( , ) và như vậy (y B f, )* º y trong B Þ y Î P SH( )B Để hoàn thành chứng minh kết luận thứ nhất của định lý, ta chỉ cần chứng minh (y B f, )* ³ f trên ¶B Ta sẽ chứng minh một tính chất mạnh hơn:

³ với

0

z Î ¶B tùy ý

Thật vậy, lấy z0 Î ¶B và e > 0 Chứng minh sẽ được hoàn thành nếu ta

có thể tìm được một hàm liên tục v B ® ¡: sao cho v B Î U B f( , ) và

= , tức là y liên tục tại

mỗi điểm biên Tính cực đại của y là hiển nhiên Thật vậy, nếu G là

một tập con mở compact tương đối của B , v G ® - ¥ ¥: [ , ) là nửa liên

ïïï

= ìï

Î ïïî

thuộc U B f( , ) suy ra V £ y Đặc biệt, v £ y trong G (điều phải

chứng minh)

Để chứng minh rằng y là liên tục, chỉ cần chứng tỏ nó nửa liên

tục dưới Thật vậy, lấy e > 0 Khi ¶B là compact, y B = f là liên tục

đều Điều đó kết hợp với

nên H y Î P S H B( ( 0,r d- ) ) là lớn nhất trong hai hàm đa điều hoà dưới

Mặt khác, H y = y trong B \ B(0,r - 2 )d Thật vậy, theo định nghĩa

( )

y

H z ta có H z y( ) = y( ),z z Î B \ ( - y + B)

Nếu z Î (B Ç - +( y B)) \ B(0,r- 2 )d , thì ta chọn z0 Î ¶B sao cho

với dV là yếu có thể tích trong Cn gọi là toán tử Monge-Ampère Toán

tử này có thể xem nhƣ độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C W0( ) trên W

0

n c

dd u hội tụ yếu tới độ đo Radon  trên W tức là:

Hơn nữa  không phụ thuộc vào việc chọn dãy  u n nhƣ trên ta ký hiệu: (dd u c )n = m

và gọi là toán tử Monge-Ampère của u

( ) y ( ) + y ( ) + ( )y

¶ dd u c ÙT , = - 1 2q 3 dd u c ÙT,¶ = - 12q 3 uT dd, c ¶

= -( )12q+3 uT, 2i¶ ¶ ¶( )y = 0

Bây giờ ta chứng minh c Ù

dd u T là dương Giả sử u £ M Khi đó với

0

e > đủ bé, u e £ M , u e = u *c e Bởi định lý hội tụ bị chặn của

Lebesgue u T e hội tụ yếu tới uT Do đó ( e )

Nhưng do u e là hàm trơn trên W nên c( e )= c e Ù

dd u T dd u T theo nghĩa thông thường Nhưng u e Î P SH(W Çe) C¥ ( )We nên dd u c e là ( )1,1 -dòng thực dương Vậy c e Ù ³ 0

u P SH L thì dd u c là ( )1,1 -dòng dương, đóng Do đó xác định được ( c )n

dd u là (n n, )-dòng dương, đóng trên W

Vậy ( c )n

dd u là độ đo Borel chính quy trên W Sau này do bất đẳng thức

Chern-Levine-Nirenberg, ( c )n

dd u là độ đo Radon trên W vì với mọi tập

con compact K trong W ta có ( c )n( )< + ¥

1.3.3 Mệnh đề

Giả sử { }m j là dãy các độ đo Radon trên tập mở WÐ ¡ n

hội tụ yếu tới độ đo Radon m Khi đó

a) Nếu G Ð W là tập mở thì m( )G £ liminf j® ¥ m j( )G

b) Nếu K Ð W là tập compact thì m( )K ³ lim supj® ¥ m j ( )K

c) Nếu E compact tương đối trong W sao cho m ¶( )E = 0 thì

® ¥ ® ¥

c) Viết E = intE È ¶E Khi đó

m( ) m(int ) lim m (int ) lim m ( )

( )0

CHƯƠNG II HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC

Chương này trình bày các kết quả về Đa tạp siêu lồi và Hàm đa điều hòa dưới chấp nhận được, Hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi, các định lý so sánh đối với lớp các hàm không bị chặn Giải bài toán Dirichlet nhờ hàm Green đa phức và toán tử Monge-Ampère

Trước tiên chúng ta nhắc lại một số khái niệm cần thiết sẽ sử dụng

ở đây: Giả sử D là một tập con mở của £n và kí hiệu P SH( )D là nón các hàm đa điều hòa dưới u D: ® - ¥ + ¥é , )

êë trên D khác - ¥ trên thành phần bất kì của D Giả sử u Î P SH( )D , cho a Î D và

trong đó 2n-2 là thể tích của hình cầu đơn vị trong £n -1 và

1:2

dd u tại điểm a, hay mật độ của u tại điểm a

Hàm ( )u; :a ® ( )u a; được định nghĩa bởi (*) là nửa liên tục trên trên D, với giá trị trong ¡ + Nếu u a > - ¥( ) thì ( )u a =; 0 Nếu

log

=

u f , trong đó f là hàm chỉnh hình sao cho f a =( ) 0 và khác không trong một lân cận của a, thì (log f a; ) là một số nguyên bằng bội của không điểm của f tại điểm a

2.1 Đa tạp siêu lồi và hàm đa điều hòa dưới chấp nhận được

2.1.1 Định nghĩa

[St] Một đa tạp giải tích phức D được gọi là một đa tạp siêu lồi

nếu tồn tại hàm đa điều hòa dưới  :D ® -êë é 1, 0) sao cho, với mọi

êë được gọi là một hàm đa điều hòa dưới chấp nhận

được trên D nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

êë sao cho S = K Giả sử  : ¡ ® ¡ là

một hàm lồi tăng bất kì thỏa mãn lim ( )

Hàm này hiển nhiên là đa điều hòa dưới trên  và liên tục trên \ K

Ta chứng minh rằng (u a; j)= j, với mọi j Î J Thật vậy, rõ ràng

  , trong đó (u; 0) khối điểm của toán tử Laplace của hàm

điều hòa dưới u tại 0 Bây giờ theo một kết quả của Siu chúng ta suy ra

(u a; j)= (u a; j)

  , với mỗi  Î £n (xem [S])

Cuối cùng, để có được hàm  thỏa mãn các điều kiện của bổ đề, ta chỉ cần đặt:  =  ( )+ u

2.2 Hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi

Trong [Z2], năm 1996, Zeriahi đã giới thiệu hàm Green đa phức tổng quát liên kết với hàm đa điều hòa dưới chấp nhận được trên một đa tạp siêu lồi trong £ n, cùng với một số ứng dụng cho bài toán xấp xỉ nội suy các hàm chỉnh hình Ở đây chúng tôi sẽ trình bày chi tiết hơn các kết

quả nghiên cứu về tính chất của hàm Green đa phức và mối liên hệ của

nó với bài toán Dirichlet suy biến đối với toán tử Monge-Ampère phức

Từ bây giờ trở đi xét D là một đa tạp siêu lồi n chiều, và

u £ trên D và ( ;.)u ³  ( ;.) trên D Hàm G D( ; )z  gọi là hàm Green

đa phức có trọng của D kết hợp với hàm đa điều hòa dưới chấp nhận được 

dd G = , xảy ra theo nghĩa

dòng trên D\ K

Chứng minh Trước hết ta chứng minh rằng P D0( ,)¹ Æ (*) Thật vậy, giả sử  :D ® -êë é 1, 0) là một vét cạn bị chặn của D và giả sử  là một tập mở sao cho A Ð  Chọn c1 và c2 thỏa mãn sup c1 c2



 < < Khi đó,