Hàm green đa phức và xấp xỉ các hàm chỉnh hình

Header Page of 16 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM NGUYN KIM HOA HM GREEN A PHC V XP X CC HM CHNH HèNH LUN VN THC S TON HC THI NGUYấN - 2009 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM NGUYN KIM HOA HM GREEN A PHC V XP X CC HM CHNH HèNH Chuyờn ngnh: GII TCH Mó s: 60.46.01 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS PHM HIN BNG THI NGUYấN - 2009 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 LI CM N Bn lun c hon thnh ti Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn di s hng dn tn tỡnh ca TS Phm Hin Bng Nhõn dp ny tụi xin by t lũng bit n Thy v s hng dn hiu qu cựng nhng kinh nghim quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Xin chõn thnh cm n Khoa Sau i hc, Ban ch nhim Khoa Toỏn, cỏc thy cụ giỏo Trng i hc s phm - i hc Thỏi Nguyờn, Vin Toỏn hc v Trng i hc S phm H Ni ó ging dy v to iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v nghiờn cu khoa hc Xin chõn thnh cm n Trng i hc S phm - HTN, Trng THPT Chuyờn Tuyờn Quang cựng cỏc ng nghip ó to iu kin giỳp tụi v mi mt quỏ trỡnh hc v hon thnh bn lun ny Bn lun chc chn s khụng trỏnh nhng khim khuyt vỡ vy rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn hc viờn lun ny c hon chnh hn Cui cựng xin cm n gia ỡnh v bn bố ó ng viờn, khớch l tụi thi gian hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Thỏi Nguyờn, thỏng 09 nm 2009 Tỏc gi Nguyn Kim Hoa S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 MC LC Trang M U CHNG HM GREEN A PHC 1.1 Hm Green a phc vi cc ti vụ cựng trờn khụng gian parabolic 1.2 Hm Green a phc vi cc ti vụ cựng trờn a i s 1.3 Cỏc s Lelong i vi hm a iu ho di 10 1.4 Hm Green a phc vi cc logarit trờn a siờu li 11 CHNG XP X CC HM CHNH HèNH 16 2.1 Bt ng thc a thc trờn a i s 16 2.2 nh lớ Bernstein - Walsh trờn a i s 20 2.3 Tiờu chun i s i vi a gii tớch 22 2.4 a thc trc chun trờn a i s 29 2.5 H trc chun Bergman trờn siờu li 33 2.6 H Bergman l mt c s Schauder khụng gian cỏc hm chnh hỡnh 40 KT LUN 50 TI LIU THAM KHO 51 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 M U Lý chn ti Lý thuyt a th v phc c phỏt trin t nhng nm 80 ca th k trc da trờn cỏc cụng trỡnh c bn ca Bedford-Taylor, Siciak, Zahaziuta v nhiu tỏc gi khỏc úng vai trũ quan trng lý thuyt ny l hm Green a phc hay hm cc tr ton cc Hm Green a phc vi nhng im k d hu hn ó c nghiờn cu bi nhiu tỏc gi nh M.Klimek, J.P Demailly , E.A Poletsky, A Zeriahi, ) Theo hng ny chỳng tụi quan tõm n hm Green a phc vi cc ti vụ cựng trờn khụng gian parabolic, hm Green a phc vi cc logarit ti vụ cựng trờn a i s v trờn mt a siờu li, ng thi s dng cỏc kt qu t c cho vic xp x cỏc hm chnh hỡnh Vỡ th chỳng tụi ó chn ti nghiờn cu: Hm Green a phc v xp x cỏc hm chnh hỡnh Mc ớch v nhim v nghiờn cu 2.1 Mc ớch nghiờn cu Trỡnh by cỏc kt qu ca Zeriahi v hm Green a phc v xp x cỏc hm chnh hỡnh 2.2 Nhim v nghiờn cu Lun trung nghiờn cu v: - Hm Green a phc vi cc ti vụ cựng trờn khụng gian parabolic - Hm Green a phc vi cc ti vụ cựng trờn a i s - Hm Green a phc vi cc logarit trờn a siờu li - p dng cỏc kt qu t c xp x cỏc hm chnh hỡnh S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Phng phỏp nghiờn cu gii quyt cỏc nhim v t ra, chỳng tụi ó c tham kho cỏc ti liu v ngoi nc, tham kho v hc cỏc chuyờn gia cựng lnh vc nghiờn cu ng thi k tha cỏc kt qu v phng phỏp ca M.Klimek, J.P Demailly , E.A Poletsky, A Zeriahi, gii quyt cỏc ó nờu trờn B cc ca lun Ni dung lun gm 52 trang, ú cú phn m u, hai chng ni dung, phn kt lun v danh mc ti liu tham kho Chng 1: Trỡnh by mt s kt qu, nhng tớnh cht quan trng nht v Hm Green a phc vi cc ti vụ cựng trờn khụng gian parabolic ú l s khỏi quỏt hoỏ t nhiờn nh ngha ca hm cc tr Siciak - Zahariuta Ê N Tip theo, chỳng tụi trỡnh by nghiờn cu v hm Green a phc vi cc logarit ti vụ cựng trờn a i s v trờn mt a siờu li Trong chng 2, chỳng tụi trỡnh by vic m rng mt vi dng c in ca lý thuyt a th v Ê N cho trng hp ca a i s X ca Ê N Chng minh mt vi bt ng thc a thc ó bit ging nh bt ng thc Bernstein Markov v s dng chỳng trỡnh by mt phộp chng minh mi tiờu chun a phng Sadullaev v tớnh i s ca a gii tớch Tip theo chỳng tụi trỡnh by nh lý Berstein- Walsh v xp x a thc tt nht ca cỏc hm chnh hỡnh trờn mt compact khụng a cc K ca a X v s dng nú, cựng vi bt ng thc Bernstein-Markov nghiờn cu cỏc a thc trc chun c bit, chỳng tụi chng minh rng nu K l compact L - chớnh qui, thỡ cỏc a thc trc chun lm thnh mt c s Schauder S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 khụng gian cỏc hm chnh hỡnh trờn nhng mc ca hm Green tng ng Phn cui cựng ca chng ny, chỳng tụi trỡnh by vic s dng hm a phc Green vi cc logarit a trng trờn mt a siờu li D xõy dng h trc chun Bergman khụng gian trng Bergman no ú Sau ú chỳng tụi ch rng h Bergman ny l mt c s Schauder thng khụng gian O (D ) v tt c cỏc khụng gian cỏc hm chnh hỡnh trờn nhng mc ca hm Green tng ng Hn na, chỳng tụi ch rng h trc chun ny cho mt kt qu chớnh xỏc ca phộp xp x ni suy i vi cỏc hm chnh hỡnh trờn D c bit, chỳng tụi nhn c mt s m rng cho trng hp a phc v mt kt qu c in ca Kadampata v Zahariuta Cui cựng l phn kt lun trỡnh by túm tt kt qu t c S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Chng HM GREEN A PHC Trong chng ny chỳng ta s nh ngha hai dng hm Green a phc v trỡnh by cỏc tớnh cht quan trng ca chỳng C th l trỡnh by mt vi kt qu v hm Green a phc trờn khụng gian Stein v hm Green a phc trờn a siờu li 1.1 Hm Green a phc vi cc ti vụ cựng trờn khụng gian parabolic 1.1.1 nh ngha Gi s K l mt compact ca Ê N Hm L - cc tr liờn kt vi K c nh ngha bi cụng thc sau: (1.1) lK (z ) = log LK (z ) = sup {v (z );v ẻ L , v / K Ê 0}, z ẻ Ê n , ú L (Ê N ) l lp cỏc hm a iu ho di u trờn Ê N , cho sup {v (x ) - log x : x ẻ Ê Ơ } < + Ơ Hm ny c gi l hm L - cc tr Siciak-Zahariuta Bõy gi gi s rng X mt a gii tớch bt kh qui ca Ê N cú s chiu n v K l compact khụng a cc ca X Theo mt nh lớ ca Sadulaev, s c nghiờn cu chi tit hn phn 2.3, chỳng ta cú LK ẻ LƠloc (X ) nu v ch nu X l i s Tt c cỏc khụng gian Stein c xột õy s c gi thit l bt kh qui Nhng hm a iu ho di trờn mt khụng gian phc ó c nghiờn cu v nh ngha bi J.P.Demailly ([Dm1]) V nh ngha ca toỏn t S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 16 Monge-Ampốre phc trờn nhng khụng gian phc chỳng tụi ó cp ti ([Dm1]) Nguyờn lớ cc i õy ó c a bi E Bedford ([Bd] ) Chỳng ta ch cp hai dng ca hm a iu ho di c xỏc nh trờn mt khụng gian gii tớch phc 1.1.2 nh ngha Hm u : X đ [- Ơ , + Ơ ] gi l a iu ho di trờn khụng gian phc X nu u l gii hn a phng ca mt hm a iu ho di mt phộp nhỳng a phng ca X 1.1.3 nh ngha Hm u gi l a iu ho di yu trờn X nu nú l a iu ho di trờn a phc ca nhng im chớnh qui ca X v b chn di mt lõn cn ca mi im n 1.1.4 nh ngha Khụng gian Stein X c gi l parabolic nu nú cú mt dóy vột cn cỏc hm a iu ho di liờn tc g : X đ [- Ơ , + Ơ ] tho phng trỡnh Monge-Ampốre phc thun nht, tr mt vi compact ca X theo ngha dũng, ngha l tn ti R - Ơ cho: (1.2) n (dd cg) = trờn {x ẻ X ; g (x ) > R } Mt hm nh vy s c gi l th v parabolic trờn X Gi s E é X , chỳng ta kt hp vi E hm cc tr sau: (1.3) gE (X ) := sup {v (x ); v ẻ L (X , g ), v / E Ê 0}, xẻ X Trong ú L (X , g) l ký hiu lp hm a iu ho di v trờn X , cho sup {v (x ) - g + (x ); x ẻ X } < + Ơ Vi m khỏc rng c nh U é X , ta kt hp mi E é X , dung lng ca nú i vi U , c xỏc nh bi cụng thc : (1.4) cap (E ;U ) = capg (E ;U ) = exp (- sup {gE (x ); x ẻ U }) S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 10 of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 44 of 16 Khng nh th hai ca b l h qu trc tip ca nh lý phộp chiu i vi li, úng Hk,a,a ca khụng gian Hilbert HW chng minh khng nh th ba, trc tiờn chỳ ý rng nu f ẻ HW tha cỏc iu kin ca B thỡ vi bt k l ẻ C ta cú g - l f ẻ Hk ,a,a , ú g = gk ,a , a Do ú ta cú : g- l f Ê "l ẻ C g , Vỡ g- l f 2 = g + l f - 2Re (g l f ), ú ( .) ký hiu l tớch vụ hng HW , nờn vi l = (1/ f ) (g f ) ( ) ta cú g f = Núi riờng, ta cú g ẻ Hl^ k chng minh khng nh th t, gi s ta ó cho mt h cỏc s phc {l a,a } ; (a, a ) ẻ M k tha (2.18) l a , a gk ,a , a = (a , a )ẻ M k Cho (a, a ) ẻ M k c nh v chỳ ý rng theo nh ngha (2.17), ta cú cỏc tớnh cht sau: D a gk ,a , a (a ) = D b gk ,aa (b) = 0, " (b, b ) ẻ M k , (b, b ) (a, a ) Do ú theo (2.18), ta cú l a ,a = , iu ú chng t h ang xột l c lp tuyn tớnh Vỡ theo nh ngha, s chiu ca khụng gian Hl nhiu nht l bng k S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 44 of 16 39 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 45 of 16 ổnlk (a ) + n ữ ỗ ữ m k = ỗỗ ữ n ữ ố ứ a ẻ Alk ỗ nờn suy h {gk ,a , a ; (a, a ) ẻ M k } l mt c s ca khụng gian Hl^ , m nú l k mt khụng gian cú s chiu l m k Bi vy s chiu ca khụng gian Hl ầ Hl^ l m k + - m k v nh vy h {gk + 1,a , a ; (a, a ) ẻ M k + \ M k } l mt c k k+1 s ca khụng gian Hl ầ Hl^ k k+1 T B 2.5.3, suy vi mi k ẻ Ơ , h {gk + 1,a ,a ; (a, a ) ẻ Mk + \ Mk } l mt c s ca khụng gian H lk ầ H l^k + Vỡ h ny sp th t thnh mt dóy v ỏp dng vo quỏ trỡnh trc chun hoỏ Hilbert - Schmidt tiờu chun ta nhn { } c mt c s trc chun h j ; m k < j Ê m k + ca khụng gian Hl ầ Hl^ Bng cỏch ny ta nhn c mt h trc chun k {h } j j k+1 khụng gian Hilbert HW m ta gi l h trc chun Bergman ca khụng gian Hilbert HW kt hp vi hm chp nhn c j Bõy gi t: p j = lk , qj = lk + nu m k Ê j Ê m k + v k ẻ Ơ T cỏch xõy dng trờn, ta cú cỏc tớnh cht quan trng sau: h j ẻ Hp j ầ Hq^j , " j ẻ Ơ * Hn na, theo (2.16), bt ng thc sau c tho món: p j Ê qj Ê p j + k, " j S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 45 of 16 40 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 46 of 16 2.6 H Bergman l mt c s Schauder khụng gian cỏc hm chnh hỡnh Ta s chng minh rng h trc chun Bergman {h j } c xõy dng j phn trờn l mt c s Schauder khụng gian Frechet O (D ) v mt vi khụng gian trung gian khỏc Xột nhng mc ca hm Green : { } Dr := z ẻ D ; G D (z ; j ) < log r , < r Ê v chỳ ý rng D1 = D Trc tiờn, ta cn bit v dỏng iu tim cn trờn ca h trc chun Bergman 2.6.1 B H trc chun Bergman {h ; j 1} l mt c s trc chun j khụng gian Hilbert HW tha c lng sau: (2.19) ổ1 ữ lim sup ỗỗỗ log h j (z )ữ ữ Ê G D (z ; j ), " z ẻ D ỗố p j jđ + Ơ ứữ Chng minh: Theo cỏch xõy dng, h {h j } l mt h trc chun HW j Ta chng minh nú l ton phn Tht vy, gi s f ẻ HW tha f ^ h j H , vi mi j Vỡ h j ẻ H g^ vi mi j , nờn ta cú f ẻ Hl vi k j mi k ú f trit tiờu ti mi im ca Al vi mi k , ti bc k nlk (a ) = [lk n (j ;a ) - n ] Theo gi thit trờn j , iu ú kộo theo f trit S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 46 of 16 41 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 47 of 16 tiờu ti bc vụ cựng ti mt im ca mi thnh phn ca D Khi ú f trờn D iu ú ó chng minh khng nh u tiờn ca B chng minh c lng (2.19), ta c nh a ẻ D v r > cho B (a, r ) é D Khi ú theo bt ng thc giỏ tr trung bỡnh v h j = 1, " j , ta cú: hj (2.20) B (a , r ) Ê w2n r 2n ũ B (a ,2r ) h j d l 2n Ê W% z sup e = C (r )2 2n w2n r z ẻ B (a ,2r ) ( ) Vi mi s nguyờn j ẻ Ơ * , t u j (z ) = Khi ú n z- a log h j (z ) - logC (r )) + log , z ẻ D ( pj pj r u j l a iu hũa di trờn D , u j Ê trờn B (a, r ) v vỡ n(log h j ;a ) p j n(j ;a ) - n nờn ta cú: (2.21) n(u j ;a ) = n n(log h j ;a ) + n(j ; a ) pj pj Vỡ u j Ê trờn B (a, r ) nờn B Schwarz c in v bt ng thc (2.21) suy ra: (2.21) u j (z ) Ê n (j ;a )log Bõy gi t u (z ) := lim sup jđ + Ơ Theo (2.20), dóy log h j (z ) vi z ẻ D pj {(1 / p )log h j z- a , " z ẻ B (a, r ), " j ẻ Ơ * r j } : j l dóy hm a iu hũa di b chn trờn u a phng trờn D Khi ú kt qu c in ca Lelong ([LI 1]) ó ch rng hm chớnh qui hoỏ na liờn tc trờn u * ca u l a iu hũa di trờn D S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 47 of 16 42 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 48 of 16 Vỡ u (z ) = lim sup u j (z ), vi mi z ẻ B (a, r ) , nờn theo (2.21) ta cú bt ng jđ + Ơ thc: u * (z ) Ê n (j ;a )log (2.21) z- a , " z ẻ B (a, r ) r Cỏc bt ng thc (2.21) v (2.21) kộo theo n (u *;a ) n (j ;a ) v u * Ê trờn B (a, r ) vi mi B (a, r ) é D Bi vy u * Ê GD (.; j ) trờn D W Bc tip theo bao gm cỏc c lng di nhn c trờn h Bergman bi c lng h i ngu ca nú Gi s {h j' } j l h i ngu HW liờn kt vi h {h j } c nh ngha j bi cụng thc sau: h jÂ(f ) := ũ D % f h je - W dl 2n , f ẻ H 2.6.2 B Vi mi j dng tuyn tớnh liờn tc h jÂ: HW đ C cú mt thỏc trin nht thnh dng tuyn tớnh liờn tc h j trờn mi khụng gian O (Dr )(0 < r Ê 1), tha cỏc c lng sau: Vi bt k < t < s < r Ê , tn ti mt hng s C (t , s ) > cho: h (f ) Ê C (t ; s )t * j - pj (ũ Ds 1/ 2 f dl 2n ) , " j 1, " f ẻ O (Dr ) Chng minh: Gi s f ẻ HW , ta vit f = f j + g j , ú f j , gj ẻ H , vi gj ẻ Hqj , v f j nh tựy ý S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 48 of 16 43 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 49 of 16 C nh mt hm c lpC Ơ vi giỏ compact D cho X trờn Dr , vi giỏ D s v Ê c Ê Ta s xõy dng cỏc hm: theo cỏch sau: f j = c f - u j , g j = f - f j , ú u j cn tỡm tha nhng iu kin thớch hp lm iu ú, ta ỏp dng tiờu chun L2 - c lng ca Hormander ([Hor ]) vi trng s y j = W + (2q j + 2)G D (.; j ) Vi mi j ẻ Ơ * , tn ti mt hm u j lp C Ơ trờn D cho: - ả u j = ả (c f ) = f ả c trờn D tha c lng sau: uj e ũ (1 + (2.22) D - ( ) Vỡ supp ả c é Ds / Dt v e (2.23) ũ D uj yj - yj 2 d l 2n Ê z ) t ũ f ảc e - yj d l 2n D 2qj + W e trờn D \ Dt , t (2.22) suy ta cú: - y e j - 2q j - (t , s )) t Ê C f e - W d l 2n , ( ũ Ds (1 + z ) ú C 1( t , s ) l mt hng s ch ph thuc vo t v s - Hn na, t ả u j = ả (c f ) = f ả c trờn D suy a j l chnh hỡnh trờn Dt Gi s a ẻ Dt v r > cho B (a, 2r ) é Dt Khi ú theo bt ng thc giỏ tr trung bỡnh, vi z - a = r ta cú: (2.24) u j (z ) Ê w2n r 2n ũ B (z ,r ) u j d l 2n Ê S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 49 of 16 44 sup B (a ,2r ) e w2n r 2n yj ũ Ds uj e - yj d l 2n http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 50 of 16 Theo (2.22) v (2.24) ta cú: sup log u j (z ) Ê - 2n log r + sup y j (B (a, 2r )) + O (1) (2.25) z- a = r ú O (1) ký hiu l hng s c lp vi r Nh cú cỏc tớnh cht ca hm Green ó c thit lp phn 2, t (2.25) ta cú cỏc c lng sau: (2.26) n (log u j ;a ) (q j + 1)n (j ;a ) - n > q j n (j ;a ) - n , " a ẻ Aqj , " j ẻ Ơ * Bõy gi xột cỏc hm sau: fj = c f - u j g j = f - f j = (1 - c ) f + u j - Khi ú ả u j = ả (c f ) = f ả c trờn D , f j , g j l nhng hm chnh hỡnh trờn D v theo (2.23), f j , g j ẻ HW Hn na, vỡ g j = u j trờn Dr nờn t (2.26) suy gj ẻ H q j Nh vy h j ẻ Hg^ , ta cú ng nht sau õy: j h jÂ(f ) = (2.27) ũD (f - % g j )h j e - W d l 2n = ũ D % f j h j e - W d l 2n Ta s c lng f j = c f - u j p dng bt ng thc Minkowski's v c lng (2.23), ta c: (2.28) (ũ D fj e - W% 1/ dl 2n ) Ê (ũ f e dl 2n ) Ds Ê (1 + C )t 1/ - W% - qj (ũ Ds - qj + C 1t f e Ds f e - W% dl 2n 1/ ) 1/ ) - W% (ũ d l 2n , ú C = C (t , s ) l hng s ch ph thuc vo (t , s ) p dng bt ng thc Cauchy - Schwarz cho (2.27) v theo (2.28), cui cựng ta c c lng: S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 50 of 16 45 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 51 of 16 1/ (2.29) ổ %ữ -q ỗ h jÂ(f ) Ê C 2t j ỗỗũ f e - W ữ , " f ẻ O (Dr ), " j ẻ Ơ * , ữ ữ ỗỗốD ữ ứ s ú C = C (t , s ) l hng s ch ph thuc vo (t , s ) c lng (2.29) ó chng minh rng h j l dng tuyn tớnh liờn tc trờn HW vi tụ pụ sinh bi tụ pụ ca O (Dr ) Vỡ HW l khụng gian trự mt ca O (Dr ) , nờn suy h j cú th c thỏc trin nht thnh dng tuyn tớnh liờn tc trờn O (Dr ) cho nu < r < r Ê , thỡ thỏc trin toỏn t lờn O (Dr ) cm sinh trờn O (Dr ) mt toỏn t ging nh thỏc trin lờn O (Dr ) Gi s ký hiu h j* l s m rng nờu trờn Khi ú t (2.29) d thy h j* tha cỏc c lng ging nh h j B c chng minh W Bõy gi chỳng ta s chng minh kt qu chớnh ca phn ny 2.6.3 nh lý H Bergman {h j ; j 1} l mt c s trc chun ca khụng gian Hilbert HW cho h song trc giao {h j ; h j* }j l mt c s Schauder thụng thng mi khụng gian Frechet O (D r ) (0 < r Ê 1) tha cỏc tớnh cht sau: Tớnh cht ni suy : * fGi s r ẻ (0,1ự ỳ ỷ v f ẻ O (Dr ) , ú vi mi j ẻ N hiu j i= hi* ( f )hi b trit tiờu ti mi im x ẻ Ar bc n r j (x ) j Tớnh cht xp x Gi s r ẻ (0,1ự ỳ ỷ v f ẻ O (Dr ) , ú tớnh cht xp x tim cn sau xy ra: S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 51 of 16 46 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 52 of 16 1/ r j ổ ỗ lim sup ỗỗ f ỗỗ jđ +Ơ ố ữ * ữ ồi = hi ( f )hi ữữữ ữ Ds ứ j Ê s , " s ẻ (0,1) r Dỏng iu tim cn : lim ( h j jđ +Ơ 1/ r j = s , " s ẻ (0,1) ) Ds Tớnh cht ng cu: Nu r ẻ (0,1ự ỳ ỷ v {c j }j l mt dóy cỏc s phc, thỡ ta cú: +Ơ c j h j hi t O (Dr ) lim sup c j 1/ r j jđ + Ơ j=1 Ê r Chng minh : Trc tiờn chỳ ý rng nu f ẻ HW , ta cú khai trin sau: +Ơ f = (2.30) h jÂ( f ) h j O (D ) j=1 Tht vy, theo B 2.6.1, ng nht (2.30) c tha khụng gian HW Do f E Ê w2ar 2a ũ Er f dl 2n Ê C (r )2 f nờn bao hm chớnh tc H W đ O (D ) l tuyn tớnh liờn tc, ú (2.30) xy O (D ) Bõy gi, c nh r ẻ (0,1) Gi s E é Dr v chn < d < t < s < r cho E é Dd Khi ú theo (2.19) v B Hartogs c in, tn ti mt hng s M = M (E , d) > cho: hj r E = sup h j (z ) Ê M d j , " j zẻ E c lng ny kt hp vi cỏc c lng p j Ê qj Ê p j + k, " j v (2.23) kộo theo: S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 52 of 16 47 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 53 of 16 r * j (2.31) h ( f ) hj E dj Ê MC ( t , s ) r j ( ũ f dl 2n ) , " f ẻ O (Dr ), " j Ds t c lng (2.31) ch rng vi mi f ẻ O (Dr ) , chui h j*( f )h j hi t trờn mi compact ca Dr ti mt hm chnh hỡnh trờn Dr , m ta s ký hiu l T ( f ) Theo B 2.6.2 v nh lý Banach - Steinhauss, toỏn t tuyn tớnh T : O (Dr ) đ O (Dr ) l liờn tc trờn khụng gian O (Dr ) Theo (2.30) ta cú T ( f ) = f nu f ẻ HW Vỡ theo B 2.5.1, HW l trự mt O (Dr ) , nờn ta cú: +Ơ f = (2.32) h j* ( f )h j O (Dr ) j=1 iu ny ó chng minh rng h song trc giao {(h , h )} j * j j l mt c s Schauder ca khụng gian O (Dr )(0 < r Ê 1) Khi ú tớnh cht ni suy c suy t (2.32) v h j ẻ Hp j ầ Hq^j , " j ẻ Ơ * Chng minh tớnh cht Gi s r ẻ (0,1) c nh, q ẻ (0, r ) v f ẻ O (Dr ) Theo chng minh phn trc ta cú (2.32) xy Chn d, t , s cho < q < d < t < s < r Khi ú ỏp dng (2.31) vi E = Dq , ta c: +Ơ k (2.33) f- h ( f )h j j=1 Ê CÂf Ê * j j= k+1 Dq +Ơ Ds h j*( f ) h j Dq r (d / t ) j , " k ẻ Ơ j= k+1 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 53 of 16 48 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 54 of 16 ú C  l mt hng s khụng ph thuc k Khi ú t (2.33) vi < q < d < t < r , suy ta cú c lng sau: 1/ r k ổ ỗ lim sup ỗỗ f kđ + Ơ ỗỗ ố k h j*( f )h j j=1 Dq ữ ữ ữ ữ ữ ứ Ê d t Cho d tin ti q v t tin ti r bt ng thc trờn, ta c c lng tớnh cht ca nh lý Chng minh tớnh cht 3: c lng (2.19) ca B 2.6.1 v B Hartogs kộo theo bt ng thc sau: (2.34) lim sup( h j jđ + Ơ Dr ) 1r j Ê r , " r ẻ [0,1] Mt khỏc vỡ h j*(h j ) = vi j bt k , nờn t c lng (2.23) ca B 2.6.1 suy rng nu < t < r < , thỡ ta cú : Ê C Â( t , r )t - pj hj Dr , " j 1, iu ny kộo theo bt ng thc sau xy ra: (2.35) lim inf( h j jđ + Ơ Dr ) 1r j t , " t ẻ [0, r ] c lng (2.34) v (2.35) kộo theo c lng tớnh cht ca nh lý Chng minh tớnh cht 4: Cho {c j }j l mt dóy Ê v r ẻ (0,1ự ỳ ỷ Gi s chui c j h j hi t O (Dr ) ti f ẻ O (Dr ) , ú ta cú c j = h j*( f ) vi j Nh vy c lng cn tỡm c suy t (2.11) Phn o c suy trc tip t c lng ca tớnh cht nh lý c chng minh W 2.6.4 H qu H trc chun Bergman {h j } j tha c lng tim cn sau : S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 54 of 16 49 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 55 of 16 G D (z ; j ) = ( lim sup jđ + Ơ log h j )*(z ), " z ẻ D pj Chng minh: Bt ng thc G D (z ; j ) (lim sup jđ + Ơ log h j )*(z ), " z ẻ D suy pj t B 2.6.1 Ta chng minh bt ng thc ngc li: G D (z ; j ) Ê (lim sup jđ + Ơ log h j )*(z ), " z ẻ D pj Gi s rng vi im a ẻ D no ú bt ng thc sau cựng khụng tho Khi ú theo tớnh na liờn tc trờn, tn ti mt hỡnh cu B (a,2r ) é D cho: lim sup( jđ + Ơ log h j (z ) ) < log r = G D (a; j ), " z ẻ B (a, 2r ) pj Theo B Hartogs, ta cú c lng sau : ( lim sup h j (2.36) jđ + Ơ pj B ( a ,r ) ) < r Gi s f ẻ O (Dr ) Theo nh lý 2.6.3, chỳng ta cú th khai trin hm ny thnh chui nh sau : +Ơ (2.37) f = h j*( f ).h j O (Dr ) j=1 Theo c lng (2.23) v (2.36), chui compact ca h j*( f )h j ny hi t u trờn mi Dr ẩ B (a, r ) v xỏc nh mt hm chnh hỡnh thỏc trin f theo (2.37) Vỡ B (a, r ) ậ Dr , nờn iu ny mõu thun vi Dr l mt W chnh hỡnh ([Hor]) S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 55 of 16 50 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 56 of 16 KT LUN Lun ó trỡnh by: - Nhng tớnh cht quan trng v hm Green a phc vi cc ti vụ cựng trờn khụng gian parabolic - Cỏc kt qu nghiờn cu v hm Green a phc vi cc ti vụ cựng trờn a i s v hm Green a phc vi cc logarit trờn a siờu li - M rng mt vi dng c in ca lý thuyt a th v Ê N cho trng hp ca a i s X ca Ê N Chng minh mt vi bt ng thc a thc ó bit ging nh bt ng thc Bernstein Markov v s dng chỳng trỡnh by mt phộp chng minh tiờu chun a phng Sadullaev v tớnh i s ca a gii tớch - p dng cỏc kt qu t c xp x cỏc hm chnh hỡnh: + Chng minh nh lý Berstein- Walsh v xp x a thc tt nht ca cỏc hm chnh hỡnh trờn mt compact khụng a cc K ca a X v s dng nú nghiờn cu cỏc a thc trc chun + S dng hm a phc Green vi cc logarit a trng trờn mt a siờu li D xõy dng h trc chun Bergman khụng gian trng Bergman no ú Ch rng h trc chun ny cho mt kt qu chớnh xỏc ca phộp xp x ni suy i vi cỏc hm chnh hỡnh trờn D c bit, chỳng tụi nhn c mt s m rng cho trng hp a phc v mt kt qu c in ca Kadampata v Zahariuta S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 56 of 16 51 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 57 of 16 TI LIU THAM KHO [Bd] E Bedford ,The (ddc)non complex spaces with singularities, Lecture Notes in Math, Seminaire P.Lelong-H.Skoda 919(1980-81),293-324 [Dm1] J.P Demailly, Mesures de Monge-Ampốre et Caractộrisation des Varớetộs Algộbriques Affines, Mộmoires de la Sociộte Mathộmatique de France 19 (1985).1-125 [Dm2] J.P Demailly, Mesures de Monge-Ampốre et Mesures Pluriharmomques, Math Zeit 194 (1987), 519-664 [Dm3 ] J.P Demaily, Potential Theory in Several Complex Variables, "JCPAM Summer School on Complex Analysis," Nice France, 1989 [Hor ] L Hormander, Introduction to Complex Analysis in Several Variables North Holland Amsterdam, 1973 [Kl1] M Klimek, Extremal Plurisubharmonic Functions and Invariant Pseudodistances, Bull Soc Math de Fance 113 (1985), 231-240 [Kl2] M Klimek, Pluripotential Theory, Oxford University Press, Londre, 1991 [Ks] C.O Kiselman, Densitộ des Fonctions Plurisousharmoniques, Bull Soc Math de Fance 107 (1979), 295-304 [Ll] P Lelong, fonction de Green Pluricomplexe et Lemmes de Schwarz daus les Espaces de Banach, J Math Pures et Appl 68 (1989).319-347 [Lv] N.Levenberg, Monge-Ampốre Measures Associated to Extrernal Plurisubharnonic Func-tions in Cn, Trans Amer Math Soc 289 (1985),333343 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 57 of 16 52 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 58 of 16 [Ng] T.V Nguyen, Bases Polynomiales Scmi- simples e Espace H(K), Lecture Notes in Math 789 (1980), 370-383 [Ng-Zr] T.V Nguyen and A Zeriahi, Familles de Polynomes Presque Partout Bornộes, Bull Sci Math em e sộrie vol 179 (1983) 81-91 [Rd] W Rudin, A Gcometric Criteram for Algbraic Varieties, Jour Math Meca 17, (1968).671-683 [Sc1] J Siciak, Extremal Plurisubharmonic Functions and Capacities in Ê N Sophia Kokyurokn in Math 14 (1982), 1-97 [Sc2] J Siciak, Families of Polynomials and Determining Measures, Ann Fac Sc de Toulouse IX, (1988), 193-211 [Sd] A Sadullaev, A criterium for the Algebraicity of Analytic Sets, On Holomorphic Functions of Several Complex Variables, Inst Fiz Sibirsk Odtel Akad Nauk SSSR(1976) 107-122 (Russian) [Ste] J.L Stehle, Fonctions Plurisousharmoniques et Convexitộ Holomorphe de ceriavns Fibrộs tques, Lecture Notes in Math Sộminaire P Lelong 474(1973/74), 155-179 [Su] Y.T Siu, Analyticily of Sets Associated to Lelong Numbers and the Extension of Closed Positve Currenis, Invent Math 27(1974), 53-156 [Zh] V.P Zahariuta, Spaces of Anakylic Functions and Complex Potential Theory, Linear Topological Spaces and Complex Analysis, Metu-Tubitak (Ankara,Turkey)1 (1994), 1-13 [Zr] A Zeriahi, Functions de Green Pluricomplexc Púle I Infini sur un Espace de Stein Parabolique, Math Scand 69 (1991), 89-126 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 58 of 16 53 http://www.lrc-tnu.edu.vn ... M U CHNG HM GREEN A PHC 1.1 Hm Green a phc vi cc ti vụ cựng trờn khụng gian parabolic 1.2 Hm Green a phc vi cc ti vụ cựng trờn a i s 1.3 Cỏc s Lelong i vi hm a iu ho di 10 1.4 Hm Green a phc... Green a phc v xp x cỏc hm chnh hỡnh 2.2 Nhim v nghiờn cu Lun trung nghiờn cu v: - Hm Green a phc vi cc ti vụ cựng trờn khụng gian parabolic - Hm Green a phc vi cc ti vụ cựng trờn a i s - Hm Green. .. Chng HM GREEN A PHC Trong chng ny chỳng ta s nh ngha hai dng hm Green a phc v trỡnh by cỏc tớnh cht quan trng ca chỳng C th l trỡnh by mt vi kt qu v hm Green a phc trờn khụng gian Stein v hm Green