Hàm green đa phức và xấp xỉ các hàm chỉnh hình

www.VNMATH.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––– NGUYỄN KIM HOA HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ XẤP XỈ CÁC HÀM CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––– NGUYỄN KIM HOA HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ XẤP XỈ CÁC HÀM CHỈNH HÌNH Chun ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp tơi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - ĐHTN, Trường THPT Chuyên Tuyên Quang đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hồn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009 Tác giả Nguyễn Kim Hoa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƢƠNG HÀM GREEN ĐA PHỨC 1.1 Hàm Green đa phức với cực vô không gian parabolic 1.2 Hàm Green đa phức với cực vô đa tạp đại số 1.3 Các số Lelong hàm đa điều hoà 10 1.4 Hàm Green đa phức với cực logarit đa tạp siêu lồi 11 CHƢƠNG XẤP XỈ CÁC HÀM CHỈNH HÌNH 16 2.1 Bất đẳng thức đa thức đa tạp đại số 16 2.2 Định lí Bernstein - Walsh đa tạp đại số 20 2.3 Tiêu chuẩn đại số đa tạp giải tích 22 2.4 Đa thức trực chuấn đa tạp đại số 29 2.5 Hệ trực chuẩn Bergman miền siêu lồi 33 2.6 Hệ Bergman sở Schauder không gian hàm chỉnh hình 40 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết đa vị phức phát triển từ năm 80 kỷ trước dựa cơng trình Bedford-Taylor, Siciak, Zahaziuta nhiều tác giả khác Đóng vai trị quan trọng lý thuyết hàm Green đa phức hay hàm cực trị toàn cục Hàm Green đa phức với điểm kỳ dị hữu hạn nghiên cứu nhiều tác M.Klimek, J.P Demailly , E.A Poletsky, A Zeriahi, ) Theo hướng quan tâm đến hàm Green đa phức với cực vô không gian parabolic, hàm Green đa phức với cực logarit vô đa tạp đại số đa tạp siêu lồi, đồng thời sử dụng kết đạt cho việc xấp xỉ hàm chỉnh hình Vì chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu: “Hàm Green đa phức xấp xỉ hàm chỉnh hình ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Trình bày kết Zeriahi hàm Green đa phức xấp xỉ hàm chỉnh hình 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu về: - Hàm Green đa phức với cực vô không gian parabolic - Hàm Green đa phức với cực vô đa tạp đại số - Hàm Green đa phức với cực logarit đa tạp siêu lồi - Áp dụng kết đạt để xấp xỉ hàm chỉnh hình Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Phương pháp nghiên cứu Để giải nhiệm vụ đặt ra, đọc tham khảo tài liệu nước, tham khảo học tập chuyên gia lĩnh vực nghiên cứu Đồng thời kế thừa kết phương pháp M.Klimek, J.P Demailly , E.A Poletsky, A Zeriahi, để giải vấn đề nêu Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 52 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số kết quả, tính chất quan trọng Hàm Green đa phức với cực vô khơng gian parabolic Đó khái qt hố tự nhiên định nghĩa hàm cực trị Siciak - Zahariuta £ N Tiếp theo, chúng tơi trình bày nghiên cứu hàm Green đa phức với cực logarit vô đa tạp đại số đa tạp siêu lồi Trong chương 2, chúng tơi trình bày việc mở rộng vài dạng cổ điển lý thuyết đa vị £ N cho trường hợp đa tạp đại số X £ N Chứng minh vài bất đẳng thức đa thức biết giống bất đẳng thức Bernstein –Markov sử dụng chúng để trình bày phép chứng minh tiêu chuẩn địa phương Sadullaev tính đại số đa tạp giải tích Tiếp theo chúng tơi trình bày định lý Berstein- Walsh xấp xỉ đa thức tốt hàm chỉnh hình tập compact khơng đa cực K đa tạp X sử dụng nó, với bất đẳng thức Bernstein-Markov để nghiên cứu đa thức trực chuẩn Đặc biệt, chứng minh K tập compact L - qui, đa thức trực chuẩn làm thành sở Schauder Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com không gian hàm chỉnh hình miền mức hàm Green tương ứng Phần cuối chương này, chúng tơi trình bày việc sử dụng hàm đa phức Green với cực logarit đa trọng đa tạp siêu lồi D để xây dựng hệ trực chuẩn Bergman khơng gian trọng Bergman Sau chúng tơi hệ Bergman sở Schauder thường không gian O (D ) tất khơng gian hàm chỉnh hình miền mức hàm Green tương ứng Hơn nữa, hệ trực chuẩn cho kết xác phép xấp xỉ nội suy hàm chỉnh hình D Đặc biệt, nhận mở rộng cho trường hợp đa phức kết cổ điển Kadampata Zahariuta Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Chƣơng HÀM GREEN ĐA PHỨC Trong chương định nghĩa hai dạng hàm Green đa phức trình bày tính chất quan trọng chúng Cụ thể trình bày vài kết hàm Green đa phức không gian Stein hàm Green đa phức đa tạp siêu lồi 1.1 Hàm Green đa phức với cực vô không gian parabolic 1.1.1 Định nghĩa Giả sử K tập compact £ N Hàm L - cực trị liên kết với K định nghĩa công thức sau: (1.1) lK (z ) = log LK (z ) = sup {v (z );v Ỵ L , v / K £ 0}, z Î £ n , L (£ N ) lớp hàm đa điều hoà u £ N , cho sup {v (x ) - log x : x ẻ Ê Ơ } < + ¥ Hàm gọi hàm L - cực trị Siciak-Zahariuta Bây giả sử X đa tạp giải tích bất khả qui £ N có số chiều n K tập compact không đa cực X Theo Định lí Sadulaev, nghiên cứu chi tiết hn phn 2.3, chỳng ta cú LK ẻ LƠloc (X ) X tập đại số Tất không gian Stein xét giả thiết bất khả qui Những hàm đa điều hồ khơng gian phức nghiên cứu định nghĩa J.P.Demailly ([Dm1]) Về định nghĩa tốn tử Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Monge-Ampère phức không gian phức đề cập tới ([Dm1]) Nguyên lí cực đại đưa E Bedford ([Bd] ) Chúng ta đề cập hai dạng hàm đa điều hoà xác định khơng gian giải tích phức 1.1.2 Định nghĩa Hàm u : X đ [- Ơ , + Ơ ] gi đa điều hồ khơng gian phức X u giới hạn địa phương hàm đa điều hoà phép nhúng địa phương X 1.1.3 Định nghĩa Hàm u gọi đa điều hồ yếu X đa điều hoà đa tạp phức điểm qui X bị chặn lân cận điểm đơn 1.1.4 Định nghĩa Khơng gian Stein X gọi parabolic có dãy vét cạn hàm đa điều hồ di liờn tc g : X đ [- Ơ , + ¥ ] thoả mãn phương trình Monge-Ampère phức nhất, trừ vài tập compact X theo nghĩa dòng, nghĩa tồn R ³ - ¥ cho: (1.2) n (dd cg) = {x Ỵ X ; g (x ) > R } Một hàm gọi vị parabolic X Giả sử E Ð X , kết hợp với E hàm cực trị sau: (1.3) gE (X ) := sup {v (x ); v Ỵ L (X , g ), v / E £ 0}, xỴ X Trong L (X , g) ký hiệu lớp hàm đa điều hoà v X , cho sup {v (x ) - g + (x ); x Ỵ X } < + ¥ Với tập mở khác rỗng cố định U Ð X , ta kết hợp tập E Ð X , dung lượng U , xác định công thức : (1.4) cap (E ;U ) = capg (E ;U ) = exp (- sup {gE (x ); x Ỵ U }) Số hóa bở) n (log u j ;a ) ³ (q j + 1)n (j ;a ) - n > q j n (j ;a ) - n , " a ẻ Aqj , " j ẻ Ơ * Bõy xét hàm sau: fj = c f - u j g j = f - f j = (1 - c ) f + u j - Khi ¶ u j = ¶ (c f ) = f ¶ c D , f j , g j hàm chỉnh hình D theo (2.23), f j , g j Ỵ HW Hơn nữa, g j = u j Dr nên từ (2.26) suy gj Ỵ H q j Như h j Ỵ Hg^ , ta có đồng sau đây: j h j¢(f ) = (2.27) òD (f - % g j )h j e - W d l 2n = ò D % f j h j e - W d l 2n Ta ước lượng f j = c f - u j Áp dụng bất đẳng thức Minkowski's ước lượng (2.23), ta được: (2.28) (ò D fj e - W% 1/ dl 2n ) £ (ò f e dl 2n ) Ds £ (1 + C )t 1/ - W% - qj (ò Ds - qj + C 1t f e Ds f e - W% dl 2n 1/ ) 1/ ) - W% (ò d l 2n , C = C (t , s ) số phụ thuộc vào (t , s ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho (2.27) theo (2.28), cuối ta ước lượng: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 http://www.lrc-tnu.edu.vn ... ĐẦU CHƢƠNG HÀM GREEN ĐA PHỨC 1.1 Hàm Green đa phức với cực vô không gian parabolic 1.2 Hàm Green đa phức với cực vô đa tạp đại số 1.3 Các số Lelong hàm đa điều hoà 10 1.4 Hàm Green đa phức với... Zeriahi hàm Green đa phức xấp xỉ hàm chỉnh hình 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu về: - Hàm Green đa phức với cực vô không gian parabolic - Hàm Green đa phức với cực vô đa tạp... Chƣơng HÀM GREEN ĐA PHỨC Trong chương định nghĩa hai dạng hàm Green đa phức trình bày tính chất quan trọng chúng Cụ thể trình bày vài kết hàm Green đa phức không gian Stein hàm Green đa phức đa tạp