Bao lồi đa thức và xấp xỉ đại số các hàm liên tục trên đĩa

Mở đầu Giả sử K là tập con compact của n C / , ta gọi bao lồi đa thức của K là tập compact K bao gồm các điểm n Ca / sao cho với mọi đa thức P trên n C / thì )(max)( zPaP Kz .Tập con K đợc gọi là lồi đa thức nếu KK = .Tập con đóng D của n C / đợc gọi là lồi đa thức địa phơng tại Da nếu tồn tại lân cận compact U của a sao cho DU là lồi đa thức. Năm 1972, Harvey và Wells [12] đã chứng minh mọi đa tạp hoàn toàn thực là lồi đa thức địa phơng. Một vấn đề đợc đặt ra tự nhiên là nghiên cứu tính lồi đa thức địa phơng của hợp hai đa tạp hoàn toàn thực, đặc biệt sau khi De Paepe chỉ ra vấn đề này là có quan hệ mật thiết với bài toán xấp xỉ đều đại số các hàm liên tục trên đĩa bởi các đại số con hữu hạn sinh của nó. Trong tập hợp các bài [6], [7], . De Paepe, O'Farrell và Pascal Thomas đã chứng minh cho một số trờng hợp đặc biệt. Năm 1999, Nguyễn Quang Diệu đã chứng minh cho một số trờng hợp của hợp hai đồ thị hoàn toàn thực tiếp xúc tại 0 trong 2 C / và hợp của hai đồ thị hoàn toàn thực nằm trên siêu mặt giải tích thực. Trên cơ sở các kết quả trên, trong các công trình [5], [10], De Paepe và Nguyễn Quang Diệu, .đã giải quyết đợc một số bài toán xấp xỉ đều đại số các hàm liên tục trên đĩa bởi một đại số con sinh bởi hai phần tử của nó. Mục đích của luận văn là tập trung nghiên cứu về tính chất lồi đa thức của hợp hai đồ thị hoàn toàn thực trong 2 C / .Từ đó nghiên cứu một vài bài toán xấp xỉ trên đĩa của đại số các hàm phức liên tục. Đặc biệt luận văn sẽ trình bày một số lời giải của một vài bài toán xấp xỉ đang đợc quan tâm hiện nay. Với mục đích trên luận văn đợc viết thành hai chơng sau Chơng 1. Trình bày các kết quả và khái niệm cơ bản cần dùng trong luận văn và các kết quả nghiên cứu về tính chất lồi đa thức địa phơng của hợp hai đồ thị hoàn toàn thực trong 2 C / . 1 Chơng 2. Trình bày một số kết quả về xấp xỉ đại số các hàm liên tục trên đĩa bởi một đại số con sinh bởi hai phần tử của nó. Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh. Nhân đây tác giả xin đ- ợc gửi lời biết ơn chân thành tới TS. Nguyễn Quang Diệu ngời đã dày công h- ớng dẫn tác giả trong học tập và hoàn thành luận văn. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới TS. Đinh Huy Hoàng, PGS -TS. Trần Văn Ân với các chỉ dẫn có giá trị, và xin đợc gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Sau đại học, các học viên trong lớp Cao học 8- Toán những ngời đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Vinh, ngày 20 tháng 11 năm 2002 Kiều Phơng Chi 2 Chơng 1 Bao Lồi đa thức 1.Một số khái niệm mở đầu. A.Một vài kí hiệu. Ta kí hiệu D là đĩa chứa 0 trong mặt phẳng phức, )(DP là đại số các hàm chứa tất cả các giới hạn đều của các đa thức trên D và )(DC là đại số các hàm phức liên tục trên D .Với mỗi 0>r và n CM / , ta gọi MrBM r = ),0( , trong đó }:{),0( rzCzrB n /= . Cho )(, DCgf , gọi ];,[ Dgf là đại số chứa tất cả các giới hạn đều trên D của các đa thức hai biến f và g . B.Các khái niệm và kết quả mở đầu. 1.1.Định nghĩa.(a) Đa tạp thực trong n C / đợc gọi là hoàn toàn thực tại Mz , nếu không gian tiếp xúc của M tại z là hoàn toàn thực, nghĩa là }0{ = MiTMT zz . (b)Tập hợp con S của n C / gọi là hoàn toàn thực nếu nó đợc chứa trong một đa tạp hoàn toàn thực. 1.2.Ví dụ.[2](a) n R / là đa tạp hoàn toàn thực trong n C / . (b) Cho }:))(), .,(,{( 1 DzzfzfzM n = , trong đó i f là các hàm thuộc lớp 1 C trên D . Khi đó M là một đa tạp hoàn toàn thực nếu với mỗi Da thì .0)( 1 = n i i a z f 1.3.Định nghĩa.(a) Cho X là một không gian metric compact. Một độ đo trên X là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên )( XC . Nếu à là một độ đo trên X ta đặt = àà fdf :)( , ).(XCf 3 à gọi là độ đo dơng nếu nó là một phiếm hàm không âm. (b) Cho A là một đại số đều trên X , A M là không gian các ideal cực đại của A và A M . Độ đo biểu diễn của là độ đo dơng à trên X sao cho = à fdf )( với mọi .Af (c)Ta gọi độ đo à là trực giao với tập con S của )( XC nếu = 0 à fd với mọi Sf và kí hiệu S à . 1.4.Định lý(Riez - Banach)[1]. Cho L là không gian tuyến tính con của )( XC và )(XCg . Nếu với mọi độ đo à trên X L à kéo theo g à thì g nằm trong bao đóng của L . Đặc biệt, nếu L à kéo theo 0 = à thì L trù mật trong )( XC . 1.5. Định lý (Stone-Weierstrass)[1]. Cho A là đại số con chứa hàm hằng và tách các điểm của )( XC . Nếu Af kéo theo Af thì A trù mật trong )( XC Để chứng minh định lý này ta cần các khái niệm và mệnh đề sau 1.6 Định nghĩa. Cho W là không gian véc tơ thực, S là tập con của W, khi đó điểm Sp đợc gọi là điểm cực biên của S nếu ),( 2 1 21 ppp += Spp 21 , . 21 ppp == Nhận xét. Nếu S là tập lồi và p là điểm cực biên của S, khi đó 10 và 21 )1( ppp += suy ra . 21 ppp == 1.7.Mệnh đề. Cho B là một không gian Banach thực và * B là không gian liên hợp của nó với tôpô yếu *. Giả sử K là tập con compact khác rỗng của * B . Khi đó K có một điểm cực biên. Chứng minh. Cho }{ n L là tập con đếm đợc trù mật của B .Với * By , đặt )()( nn LyyL = . Xác định 4 )(sup 11 xLl Kx = . Từ K là tập compact và 1 L liên tục suy ra tồn tại Kx 1 sao cho 111 )( lxL = .Đặt )(sup 22 xLl = trên tất cả Kx sao cho 11 )( lxL = . Dễ thấy sup đợc lấy trên một tập compact đợc chứa trong K , vì vậy tồn tại Kx 2 sao cho 222 )( lxL = và .)( 121 lxL = Tiếp tục quá trình trên , ta thu đợc một dãy ., 21 xx trong K sao cho với mỗi n , 11 )( lxL n = , , .,)( 22 lxL n = nnn lxL = )( , và )(sup 11 xLl nn ++ = trên K với 11 )( lxL = , , .,)( 22 lxL = nn lxL = )( . Gọi x là điểm giới hạn của dãy }{ n x . Khi đó Kx .Từ ini lxL = )( với n đủ lớn ta có ii lxL = )( với mọi i. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng x là điểm cực biên của K . Thật vậy, cho ),( 2 1 21 yyx += Kyy 21 , . Ta thu đợc ))()(( 2 1 )( 211111 yLyLxLl +== Từ ,1,)( 11 = jlyL j 2 ta có 12111 )()( lyLyL == .Từ đây suy ra 212 )( lyL và 222 )( lyL . Tơng tự nh trên ta có 22212 )()( lyLyL == . Tiếp tục quá trình này, ta thu đợc )()( 21 yLyL kk = với mọi k . Do }{ n L trù mật trong B suy ra 21 yy = .Vì vậy x là điểm cực biên của K. Ta gọi )(XC R / là đại số các hàm thực liên tục trên X và cho A đại số con chứa hàm hằng của nó, ta có định lý sau. 5 1.8. Định lý(Stone-Weierstrass cho hàm thực). Nếu A tách các điểm của X, thì A trù mật trong X. Chứng minh. Cho = / àà :))(({ * XCK R A và }1 à . Khi đó theo định lý Banach-Alaoglu ta có K là tập lồi, compact của * ))(( XC R / . Khi đó K có điểm cực biên . Trừ khi }0{ = K , ta có thể giả thiết 1 = và từ 1 A ta có = .01 d Với 21 xx , chọn g A sao cho )()( 21 xgxg sao cho 10 << g . Khi đó . )1( )1( )1()1( g g g g g ggg +=+= Mặt khác .1)1()1( ===+=+ ddggdgg Nh vậy là tổ hợp lồi của g g và )1( )1( g g là các phần tử thuộc K .Vì vậy = g g .Từ đây suy ra g là một hàm hằng, điều này mâu thuẫn với )()( 21 xgxg . Do đó }0{ = K , vì vậy à * ))(( XC R / và à A kéo theo 0 = à .Theo định lý Banach-Riez ta có điều cần chứng minh. Chứng minh Định lý 1.5. Ta có )()()( XiCXCXC RR // += . Đặt }:{Re AffA o = Do Af thì Af nên Aff i f = )( 2 1 Im và .)( 2 1 Re Afff += Từ đó suy ra )(XCAA Ro / = và oo iAAA += . Do o A chứa hằng số thực và tách các điểm của X nên theo định lý 1.8 ta có )( XCA Ro = . Từ đó =+= oo AiAA )()()( XCXiCXC RR =+ // . Định lý đợc chứng minh. 6 1.9.Định lý (Runge)[11]. Cho K là tập compact trong mặt phẳng phức với phần bù liên thông. Khi đó mọi hàm giải tích trong một lân cận của K đều có thể xấp xỉ đều trên K bởi các đa thức. 1.10.Định lý (Mergelyan)[11]. Cho K là tập compact của mặt phẳng phức với phần bù liên thông. Khi đó mọi hàm liên tục trên K và chỉnh hình trên phần trong của nó có thể xấp xỉ đều trên K bởi các đa thức. Định lý sau đây là sự mở rộng hoàn hảo của định lý Runge 1.11.Định lý (Oka-Weil)[1]. Cho X là tập compact lồi đa thức của n C / . Khi đó mọi hàm chỉnh hình trên lân cận của X đều có thể xấp xỉ đều bởi các đa thức trên X. 1.12.Định nghĩa.[11] Cho X là một không gian metric compact và A là đại số đều trên X . Điểm Xx gọi là điểm đỉnh nếu tồn tại Af sao cho 1)( = xf và 1)( < yf với mọi }{\ xXy . Hàm f thoả mãn các điều kiện trên gọi là đỉnh tại x . Tập con đóng E của X gọi là tập đỉnh nếu tồn tại Af sao cho 1)( = xf với mọi Ex và 1)( < yf với mọi EXy \ . 1.13. Định nghĩa [14]. Hàm u xác định trên một tập mở n C/ nhận giá trị trong ),[ + đợc gọi là đa điều hoà dới nếu (a) u là hàm nửa liên tục trên (b) Với mỗi z và n Cw / thì hàm )( twzut + là điều hoà dới trên miền các xác định của nó. 1.14.Mệnh đề.[14] Hàm )( 2 Cu là đa điều hoà dới nếu và chỉ nếu 0. )( 1, 2 = kj n kj kj ww zz zu , n Cwz / , . 1.15.Định nghĩa.[14] Miền chỉnh hình n C/ đợc gọi là miền Runge nếu mọi hàm chỉnh hình trên đều có thể xấp xỉ đợc bởi các đa thức trên một tập con compact bất kỳ của . 2. Bao lồi đa thức và các tính chất cơ bản. 7 Các khái niệm và kết quả sau đóng vai trò trung tâm của luận văn. 2.1.Định nghĩa. Giả sử K là tập con compact và V là tập con đóng của n C / . a) Bao lồi đa thức của K là tập compact ,)(max)(:{ tpzpCzK Kt n /= với mọi đa thức }p . Tập K đợc gọi là lồi đa thức nếu KK = b) V gọi là lồi đa thức địa phơng tại Vz , nếu tồn tại một lân cận compact của z trong n C / sao cho V là lồi đa thức. c) V gọi là lồi đa thức địa phơng (viết gọn là LPC) nếu nó lồi đa thức địa phơng tại mọi điểm thuộc V. 2.2.Định lý.Giả sử K là tập compact của n C / .Không gian các ideal cực đại của )(KP là bao lồi đa thức K của K. Chứng minh.Giả sử = 1 }{ nn p là dãy các đa thức hội tụ đều tới )(KPf .Từ định nghĩa bao lồi đa thức ta thu đợc K nm K nm pppp vói mọi m, n. Do đó = 1 }{ nn p hội tụ đều tới một thác triển f của f trên K .Khi đó, với mỗi Kx ánh xạ CKP x / )(: )(xff là một đồng cấu phức.Vì vậy ta có thể nhúng K vào không gian các ideal cực đại của P(K) theo đồng nhất x với x . Ngợc lại, mỗi đồng cấu phức của P(K) là một ánh xạ định giá x của một n Cx / [11]. Do x là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên P(K) nên )()( KK xx pppxp == với mọi đa thức p, nghĩa là Kx .Vì vậy ta có thể đồng nhất mỗi đồng cấu phức với một Kx . 8 Từ đó suy ra định lý đợc chứng minh. Định lý trên đã mô tả đợc cấu trúc của bao lồi đa thức và định lý sau đây là một dấu hiệu tốt để nhận biết tập con của C / là lồi đa thức. 2.3.Định lý[11]. Tập con compact K của C / là lồi đa thức khi và chỉ khi phần bù của nó là liên thông. 2.4.Định lý[14]. Cho K là tập compact trong n C / . Khi đó )(sup)(:{ tuzuCzK Kt n /= với mọi u là hàm đa điều hoà dới trên n C / } . Kết quả trên cho ta biết đợc mối liên hệ giữa bao lồi chỉnh hình, tập giả lồi và bao lồi đa thức, có thể tìm thấy các điều này trong [14] 2.5.Định lý [8]. Cho X là tập con compact của n C / , p là một đa thức, là thành phần bị chặn của )(\ XpC . Nếu , thì ) )(( )( 11 XpXp = Nhận xét. Cho các tập 1:{ 1 =/= zCzX và }0)Im( z và 0)Im(:{ 2 =/= zCzX và }1)Re(1 z . Dễ dàng kiểm tra đợc 1 X và 2 X là các tập con lồi đa thức của C / , nhng theo định lý 2.3 thì 21 XX không lồi đa thức bởi vì nó không liên thông. Định lý sau đây đa ra một dấu hiệu để kiểm tra tính chất lồi đa thức của hợp hai tập lồi đa thức trong . n C / Có thể tìm thấy định lý này trong [5]. 2.6.Định lý(Bổ đề Kallin). Giả sử rằng: (1) 1 X và 2 X là các tập con lồi đa thức của n C / ; 9 (2) 1 Y và 2 Y là các tập con lồi đa thức của C / sao cho 0 là điểm biên của cả 1 Y và 2 Y ,và }0{ 21 = YY ; (3) p là một đa thức sao cho 11 )( YXp và 22 )( YXp ; (4) )()0( 21 1 XXp là lồi đa thức . Khi đó 21 XX là lồi đa thức. Chứng minh. Đặt 21 XXX = và 21 YYY = .Từ các điều kiện của 1 Y và 2 Y ta có Y là một tập lồi đa thức và 0 là điểm đỉnh đối với P(Y), nghĩa là tồn tại một hàm )(YPh sao cho 1)0( = h và 1)( < yh với mọi }0{\Yy . Giả sử Xx và à là độ đo biểu diễn của x đối với P(X) trên X , nghĩa là à là độ đo dơng trên X sao cho = à fdxf )( .Từ ) )(() ( XpXp suy ra Yxp )( . Bây giờ giả sử }0{\)( 1 Yxp . Xét hàm số xác định nh sau: 0)( = zg nếu 2 Yz và 1)( = zg nếu }0{\ 1 Yz . Khi đó g là hàm liên tục trên Y và chỉnh hình trên phần trong của Y. Theo định lý Mergelyan , có thể xấp xỉ g bởi các đa thức trên Y, hay )(YPg . Đặt pgG = . Khi đó, với mọi đa thức P ta có àà dGPGdPxGxPxP X NNNN == .)().()( 1 Lấy căn bậc N ta có 1 )( X PxP , vì vậy 11 XXx = . Hoàn toàn tơng tự nếu }0{\)( 2 Yxp thì 22 XXx = . Nếu 0)( = xp , theo định lý 2.5 tacó XpXpXp == )0() )0(( )0( 111 . Vì vậy .Xx Từ đó ta có XX = . Định lý sau đây ngời ta thờng gọi là dạng Stout của bổ đề Kallin, đây là một định lý mà ta sẽ dùng nhiều trong chơng sau để giải các bài toán xấp xỉ. 2.7.Định lý (Stout). Giả sử rằng: 10