Không gian các hàm liên tục

Mở đầu Giải tích hàm là một ngành toán học đợc bắt đầu xây dựng cách đây năm, sáu m- ơi năm, nhng hiện nay hầu nh đã đợc xem là ngành toán học cổ điển. Nó đã đúc kết những kết quả của nhiều ngành toán học riêng rẽ và trở thành tiền đề để phát triển và nghiên cứu những ngành toán học hiện đại. Không gian các hàm là một trong những đối tợng nghiên cứu cơ bản của giải tích hàm. Nó đóng vai trò hết sức quan trọng trong việc nghiên cứu giải tích và giúp chúng ta có điều kiện nghiên cứu sâu hơn về lý thuyết hàm. Để tìm hiểu chi tiết về không gian các hàm, khóa luận nghiên cứu một số tính chất của không gian các hàm liên tục. Nhiệm vụ của khóa luận là dựa vào các khái niệm và tính chất cơ bản của không gian các hàm liên tục để tìm hiểu kỹ về đặc trng của không gian các hàm. Với mục đích đó, khóa luận đợc chia làm 5 mục Đ0. Một số khái niệm cơ bản Mục này giới thiệu một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong khóa luận. Đ1. Không gian các ánh xạ Trong mục này chúng tôi trình bày định nghĩa không gian các ánh xạ, một số bổ đề quan trọng để từ đó xây dựng tôpô trên không gian các ánh xạ. Đ2. Không gian các hàm liên tục Mục này sẽ nghiên cứu cách trang bị tôpô cho không gian tuyến tính con của không gian các ánh xạ và tìm hiểu các tính chất của chúng. Đ3. Xấp xỉ hàm liên tục bởi các đa thức ở mục này trình bày vấn đề về xấp xỉ đều một hàm liên tục bởi một dãy các đa thức. Đ4. Tiêu chuẩn compact trong không gian các hàm liên tục 1 Mục này trình bày tiêu chuẩn để một tập con của không gian các hàm liên tục là compact tơng đối. Khóa luận này đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn trực tiếp của PGS.TS. Đinh Huy Hoàng. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Đinh Huy Hoàng và các thầy giáo trong tổ Giải tích cùng khoa Toán đã tận tình hớng dẫn giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa luận này. Do năng lực và phơng pháp nghiên cứu khoa học của bản thân có hạn chế nên sự trình bày và nội dung của khóa luận chắc chắn còn gặp nhiều khiếm khuyết. Rất mong nhận đợc sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của thầy cô giáo và các bạn. Vinh 20 - 4 - 2005 Tác giả Đ0. Một số khái niệm cơ bản 2 Trong mục này, sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong khóa luận. 0.1. Định nghĩa. Một tôpô trên X là một họ T các tập hợp con của X thỏa mãn các điều kiện sau: c 1 ) T, X T. c 2 ) A, B T thì A B T. c 3 ) Nếu A i T, i I thì Ii i A T. Cặp (X, T) đợc gọi là không gian tôpô. 0.2. Lân cận của một điểm. Cho một điểm x của không gian tôpô (X, T), tập hợp con U X đợc gọi là một lân cận của x, nếu tồn tại một tập hợp V T sao cho x V U. 0.3. Cơ sở lân cận của một điểm. Giả sử là họ tất cả các lân cận của điểm x thuộc không gian tôpô X. Họ u đợc gọi là cơ sở lân cận của điểm x nếu với mỗi B đều tồn tại U u sao cho U B. 0.4. Định nghĩa. Cho E là một không gian vectơ trên trờng K. Một tôpô T trên E gọi là tơng thích với cấu trúc đại số của E nếu các phép toán đại số trong E liên tục theo T, tức là nếu: Hàm f(x, y) = x + y là hàm liên tục của hai biến x và y. Nói rõ hơn, với mỗi lân cận W của x + y đều tồn tại các lân cận U x và U y của x, y tơng ứng sao cho U x + U y W. Hàm g( , x) = .x là hàm liên tục theo hai biến và x. Nói rõ hơn, với mỗi lân cận V của .x đều tồn tại số > 0 và lân cận U của x sao cho nếu | ' - | < và x' U thì '.x' V. Một không gian tuyến tính E trên đó có một tôpô tơng thích với cấu trúc đại số đợc gọi là một không gian vectơ tôpô. 3 0.5. Tập hợp lồi. Tập con A của không gian vectơ E đợc gọi là tập hợp lồi nếu với mọi x A, y A ta đều có x + à y A, khi 0, à 0 và + à = 1. 0.6. Tập hợp cân. Tập hợp con A của không gian vectơ E đợc gọi là tập hợp cân nếu với mọi x A, ta đều có x A khi | | 1. 0.7. Tập hợp tuyệt đối lồi. Tập con A của không gian vectơ E đợc gọi là tuyệt đối lồi nếu nó đồng thời lồi và cân, nghĩa là với mọi x A, y A ta đều có x + à y A khi | à | + | | 1. 0.8. Tập hút. Tập con A của không gian vectơ E đợc gọi là tập hút nếu với mọi x E đều tồn tại > 0 sao cho x à A, với mọi à sao cho | à | . 0.9. Tập bị chặn. Cho E là không gian vectơ tôpô, một tập con A E gọi là tập bị chặn nếu với mỗi lân cận U của O E, đều tồn tại > 0 sao cho tA U, với mọi t sao cho |t| . 0.10. Tập compact. Cho X là một không gian tôpô, tập con A X gọi là compact nếu mọi phủ mở của A đều có phủ con hữu hạn. 0.11. Tập compact tơng đối. Cho X là một không gian tôpô, tập con A X gọi là compact tơng đối nếu A compact. 0.12. Định nghĩa. Giả sử E là không gian vectơ tôpô. Khi đó E đợc gọi là không gian lồi địa phơng nếu điểm gốc O E có một cơ sở lân cận bao gồm các tập lồi. 0.13. Định lý. Giả sử V là một họ tùy ý các tập con tuyệt đối lồi và hút của không gian tuyến tính E. Khi đó tồn tại trên E một tôpô lồi địa phơng yếu nhất tơng thích với cấu trúc đại số của E sao cho mỗi tập con của V là một lân cận của điểm gốc. Một cơ sở lân cận trong tôpô ấy đợc tạo nên bởi các tập có dạng: ni 1 V i , > 0, V i V với i = 1, 2, ., n; n = 1, 2, . Đ1. Không gian các ánh xạ Giả sử T là tập bất kỳ, E là không gian định chuẩn trên trờng K (K = hoặc ). Ký hiệu E T là tập tất cả các ánh xạ từ T vào E. Ta đã biết E T là không gian tuyến tính 4 trên trờng K, với phép cộng hai ánh xạ và phép nhân vô hớng với một ánh xạ thông thờng. Vấn đề đặt ra là trang bị tôpô cho E T và nghiên cứu tính chất của không gian này. Giả sử S là họ các tập con nào đó của T còn = {B(O, ): > 0}, trong đó B(O, ) là hình cầu mở tâm O bán kính trong E. Ta viết B thay cho B(O, ). Đặt W(S, B ) = {f E T : f(S) B } trong đó S S , B . 1.1. Bổ đề. Với mỗi S S, B tập W(S, B ) là tuyệt đối lồi. Chứng minh. W(S, B ) là tập lồi. Với mọi f, g W(S, B ) ta có f(S) B , g(S) B . Với mọi [0, 1] ta có ( f + (1- )g)(S) = ( f)(S) + (1- )g(S) = f(S) + (1- )g(S) B + (1- )B B . Do đó f + (1- )g W(S, B ). Vậy W(S, B ) là tập lồi. Với mọi K, | | 1, vì B là tập cân nên B B , với mọi K, | | 1. Do đó nếu f W(S,B ) thì f(S) B B với mọi mà | | 1 hay f W(S,B ) với mọi K, | | 1. Từ đó suy ra W(S, B ) là tập hợp cân. Vậy W(S, B ) là tuyệt đối lồi. 1.2. Bổ đề. Giả sử S S sao cho với mọi f E T tập f(S) là bị chặn. Khi đó với mọi B tập W(S, B ) là tập hút. Chứng minh. Với mọi f E T và với mọi B , vì B là lân cận của O trong E và f(S) bị chặn trong E nên tồn tại > 0 sao cho f(S) B , với mọi thỏa mãn | | > hay f W(S, B ) = W(S, B ). Do đó f W(S, B ) với mọi K mà | | > . Vậy W(S, B ) là tập hút. 5 1.3. Định lý. Giả sử S là họ các tập con của T sao cho với mọi S S và với mọi f E T , tập f(S) bị chặn. Khi đó họ {W(S, B ): S S, B } sinh ra một tôpô trên E T và E T với tôpô đó là không gian lồi địa phơng. Chứng minh. Theo Bổ đề 1.1, Bổ đề 1.2, Định lý 0.13, họ {W(S,B ): S S, B } sinh ra tôpô T trên E T sao cho (E, T ) là không gian lồi địa phơng. 1.4. Định nghĩa. Giả sử {f n } là dãy các hàm trong E T , f E T và S T. a) Ta nói {f n } hội tụ tới f tại từng điểm trên S nếu với mọi x S đều có f n (x) f(x). Khi đó ta viết f n f trên S. b) Ta nói {f n } hội tụ tới f trên S và viết f n f trên S nếu Sx sup ||f n (x) - f(x)|| 0 khi n . 1.5. Định lý. 1) Nếu S là họ tất cả các tập con hữu hạn trong T thì họ {W(S, B ): S S, B } sinh ra tôpô lồi địa phơng T trên E T và f n f trong E T theo tôpô T khi và chỉ khi f n f trên S với mọi S S. 2) Giả sử T là một không gian tôpô, S là tập tất cả các tập con compact của T và X là không gian tuyến tính con của E T gồm các ánh xạ liên tục từ T vào E. Khi đó họ {W(S, B ): S S, B } sinh ra tôpô lồi địa phơng T trên X và f n f trong X theo tôpô T khi và chỉ khi f n f trên mọi S S. Chứng minh. 1) Với mọi S S và với mọi f E T , vì S - hữu hạn nên f(S) là tập bị chặn. Do đó theo Định lý 1.3 họ {W(S, B ): S S, B } sinh ra tôpô T và (E T , T) là không gian lồi địa phơng. Khi đó, họ tất cả các tập có dạng là giao hữu hạn của các tập W(S, B ) với S S, B lập thành một cơ sở lân cận tại điểm O E T . 6 Giả sử {f n } E T , f E T sao cho f n f theo tôpô T. Khi đó với mọi x T, tập {x} S. Với mọi > 0, W({x}, B ) + f là lân cận của f. Do đó tồn tại n 0 sao cho f n f + W({x}, B ), n n 0 hay là ||f n (x) - f(x)|| < , n n 0 . Từ đó f n (x) f(x). Nh vậy f n f tại từng điểm trên T. Ngợc lại, giả sử f n f trên T và U là T lân cận bất kỳ của f. Khi đó có thể giả thiết U có dạng: U = f + m i 1 = W(S i , i B ), S i S, i B , i = m,1 . Đặt S = m i 1 = S i , = mi ,1 min = i , vì các S i hữu hạn nên có thể viết S = {x 1 , .,x k }. Từ f n f trên T suy ra tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho với mọi n n 0 ta có ||f n (x) - f(x)|| < , x S. Do đó f n (x) - f(x) B , x S, n n 0 , hay f n (x) f(x) + B , x S, n n 0 . Từ đó suy ra f n (S) f(s) + B i B , i = m,1 . Do đó f n f + W(S, i B ) f + W(S i , i B ), i = m,1 , n n 0 hay f n f + m i 1 = W(S i , i B ) = U, n n 0 . Vì thế f n f theo tôpô T. 2) Với mọi S S và với mọi f E T , vì S compact và f liên tục nên f(S) là tập compact trong E. Do đó f(S) là tập bị chặn. Theo Định lý 1.3, họ {W(S, B ): S S, B } 7 sinh ra tôpô lồi địa phơng T trên X. Khi đó họ tất cả các giao hữu hạn của các tập dạng W(S, B ) với S S, B lập thành một cơ sở lân cận tại O trong X. Giả sử {f n } X, f X và f n f trên S, với mọi S S. Lấy bất kỳ lân cận U của f có dạng f + m i 1 = W(S i , i B ). Đặt S = m i 1 = S i . Khi đó, S là tập compact nên S S và vì thế f n f trên S. Từ đó suy ra tồn tại n 0 N sao cho Sx sup ||f n (x) - f(x)|| < i mi , .,1 min 2 1 = . Do đó f n (S) - f(S) B , n n 0 , = i mi , .,1 min 2 1 = hay f n - f W(S, B ) m i 1 = W(S i , i B ), n n 0 Nh vậy f n f + m i 1 = W(S i , i B ) = f + U, n n 0 . Vì thế f n f theo tôpô T. Ngợc lại, giả sử f n f theo T và S S. Khi đó với mọi > 0 ắt tồn tại n 0 sao cho f n f + W(S, B ), n n 0 . Do đó f n (x) - f(x) B , x S, n n 0 . Từ đó suy ra Sx sup ||f n (x) - f(x)|| , n n 0 , nghĩa là f n f trên S. 8 Đ2. Không gian các hàm liên tục Trong mục này ta sẽ nghiên cứu cách trang bị tôpô cho một số không gian tuyến tính con của không gian các ánh xạ và tìm hiểu các tính chất của chúng. Các kết quả trong mục này và các mục sau đợc hệ thống lại trong các tài liệu tham khảo và chứng minh chi tiết. 2.1. Không gian các hàm bị chặn Cho A là một tập và F là một K - không gian định chuẩn. Kí hiệu F (A) = {f F A : f - bị chặn, tức f(A) bị chặn trong F} Với mọi f, g F (A), mọi K, x A, đặt (f + g)(x) = f(x) + g(x) ( f)(x) = f(x) F (A) cùng với hai phép toán này lập thành một không gian tuyến tính con của F A . Đặt ||f|| = Ax sup ||f(x)|| Khi đó ta đợc một chuẩn trên F (A) gọi là chuẩn sup. 2.1.1. Định lý. Nếu F là không gian Banach thì F (A) là không gian Banach. Chứng minh. Giả sử {f n } là một dãy Cauchy trong F (A) ta cần chứng minh {f n } hội tụ tới hàm f F (A). Tức cần chứng minh tồn tại f F (A) và ||f n - f|| 0 khi n . Vì {f n } là một dãy Cauchy trong F (A) nên với mọi > 0 tồn tại n 0 , với mọi m, n n 0 ta có ||f n - f m || < . Điều này tơng đơng với Ax sup ||f n (x) - f m (x)|| < . 9 Từ đó suy ra ||f n (x) - f m (x)|| < , x A, m, n. (1) Do đó, với mọi x A, {f n (x)} là một dãy Cauchy trong không gian Banach F. Vì F là Banach nên tồn tại n lim f n (x) = f(x) F, x A. Trong (1) cố định và n n 0 , cho m ta đợc ||f n (x) - f(x)|| , x A, n n 0 . (2) Đặc biệt || 0 n f (x) - f(x)|| , x A. Vì thế ||f(x)|| || 0 n f (x)|| + || 0 n f || + , x A. Do đó f bị chặn hay f F (A). Từ (2) ta có ||f n - f|| , n n 0 . Suy ra ||f n - f|| 0 khi n hay f n f. 2.2. Không gian các hàm liên tục. Cho X là một không gian tôpô và F là một không gian định chuẩn. Ký hiệu C F (X) = {f : X F, f - liên tục và bị chặn}. Khi đó, C F (X) là không gian vectơ con của F (X). Thật vậy, với mọi , à K, với mọi f, g C F (X). Cần chứng minh f + à g C F (X). Nghĩa là ta phải chứng minh ( f + à g) là liên tục và bị chặn. Với mọi f, g C F (X), với mọi , à K, ta có ||f(x)|| ||f||, x A ||g(x)|| ||g||, x A Do đó ||( f + à g)(x)|| = || f(x) + à g(x)|| | | ||f(x)|| + | à | ||g(x)|| | | ||f|| + | à | ||g||, x A. Vì thế ( f + à g) là hàm bị chặn. Vì f và g liên tục trên A nên f + à g cũng liên tục trên A. Vậy ( f + à g) C F (X). Nếu X là không gian tôpô compact thì mọi ánh xạ liên tục trên X đều bị chặn. Do vậy, trong trờng hợp này C F (X) = C F (X), là tập tất cả các ánh xạ liên tục từ X vào F. 10