Cơ sở vanderput cho không gian các hàm liên tục trên p

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Tp HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THANH DŨNG CƠ SỞ VANDERPUT CHO KHƠNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN ¢ p LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Tp Hồ Chí Minh - 2011 LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành nhờ q trình tích lũy kiến thức lâu dài trường ĐHSP Quy Nhơn lớp cao học Tốn, chun ngành Đại số Lý thuyết số khóa 19 trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh Đầu tiên tơi xin tỏ lịng tơn kính biết ơn sâu sắc tới thầy PGS TS Mỵ Vinh Quang, người trực tiếp hướng dẫn tơi suốt q trình thực đề tài Phương pháp làm việc thầy nghiêm minh, khoa học đạt hiệu cao Thầy đọc thảo đưa nhận xét sắc đáng cách trình bày giúp luận văn rõ ràng, mạch lạc Chân thành cảm ơn qúy thầy, khoa Tốn – Tin học; khoa Giáo dục trị trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh; q thầy, khoa Tốn – Tin học trường ĐHKHTN Tp Hồ Chí Minh tận tâm truyền thụ kiến thức tảng giúp tơi hồn thành luận văn Cảm ơn Ban giám hiệu; quý thầy, cơng tác phịng KHCN Sau đại học trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh tạo điều kiện tốt cho tơi hồn thành khóa học suốt trình làm luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn Ban giám hiệu, thầy cô tổ Tốn – Tin học trường THPT Ngơ Gia Tự; gia đình, bè bạn tạo điều kiện thuận lợi vật chất lẫn tinh thần cho suốt q trình học tập Tp Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011 Nguyễn Thanh Dũng MỤC LỤC CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN p: số nguyên tố ¥ : tập hợp số tự nhiên ¥ * : tập hợp số nguyên dương ¢ : tập hp cỏc s nguyờn Ô : hp cỏc s hữu tỉ ¡ : tập hợp số thực £ : tập hợp số phức ¢ p : vành cỏc s nguyờn p adic Ô p : trng s p adic Ê p =Ô p p : giỏ tr tuyt i p adic Ô p : giá trị tuyệt đối p – adic £ γ n= n − n _ {xn }n : dãy chuẩn x [a ] : phần nguyên số nguyên a [a ] p : phần nguyên p – adic a W: kết thúc phép chứng minh p p MỞ ĐẦU Các số p – adic mô tả lần bời Kurt Hensel vào năm 1897, trăm năm qua chúng bước thâm nhập vào nhiều ngành toán học như: Lý thuyết số, Hình học đại số, Tơpơ đại số, Giả tích Vật lý đặc biệt Vật lý lượng tử Bộ mơn tốn học nghiên cứu hàm với biến số số p – adic gọi giải tích p – adic Khơng gian hàm liên tục ¢ p , C ( ¢ p → £ = f ∞ max { f ( x) p } p ) , không gian Banach với chuẩn , ∀x ∈ ¢ p , ∀f ∈ C ( ¢ p → £ p )  x Mahler tập đa thức dạng   , n = 0,1, 2, lập thành sở trực giao n C (¢ p → £ p ) , gọi sở Mahler Cơ sở có nhiều ứng dụng việc nghiên cứu hàm liên tục ¢ p Theo hướng nghiên cứu này, Vanderput đưa sở trực giao khác C (¢ p → £ p ) bao gồm hàm địa phương có nhiều ứng dụng Bởi vậy, chúng tơi chọn đề tài “ Cơ sở Vanderput cho không gian hàm liên tục ¢ p ” vơi mục đích tiếp tục làm rõ thêm số kết sở Mục đích luận văn xây dựng sở Vanderput cho không gian hàm liên tục ¢ p Nghiên cứu mở rộng số tính chất sở Đồng thời, xây dựng ứng dụng sở để biểu diễn hàm liên tục tập ¢ p Luận văn giới thiệu đầy đủ, chi tiết cách xây dựng tính chất sở Vanderput Chúng tơi cố gắng tìm tịi để đưa ứng dụng sở việc nghiên cứu hàm liên tục, khả vi liên tục ¢ p ; hàm thỏa điều kiện Lipchitz cấp a dương Cấu trúc luận văn gồm chương Chương 1: Các kiến thức Chương giới thiệu kiến thức dùng cho chương sau như: trường số p - adic, khơng gian hàm liên tục ¢ p , sở trực giao, trực chuẩn không gian Chương 2: Cơ sở Vanderput cho không gian hàm liên tục ¢ p Chương chương luận văn, trình bày đầy đủ, chi tiết cách xây dựng sở Vanderput tính chất Trình bày đặc trưng hệ số Vanderput lớp hàm khả vi liên tục Đưa cơng thức tính tích phân Volkenborn theo sở Cuối mở rộng kết Vanderput cho không gian hàm liên tục hai biến C ( ¢ p × ¢ p → £ Tp Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011 Tác giả Nguyễn Thanh Dũng p ) Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương này, nêu cách xây dựng trường số p – adic Đồng thời đưa khái niệm hàm liên tục, không gian hàm liên tục; sở trực giao – trực chuẩn không gian; nêu chứng minh chi tiết tính chất chúng mà sử dụng chương 1.1 Trường số p – adic Để xây dng trng cỏc s p adic Ô p v £ p , trước hết ta cần khái niệm giá trị tuyệt đối trường 1.1.1.Định nghĩa Cho K trường, ánh xạ : K → ¡ gọi giá trị tuyệt đối K nếu: 1) x ≥ 0, ∀x ∈ K ; x = ⇔ x = 2) xy= x y , ∀x, y ∈ K 3) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ K Nếu thỏa điều kiện 3’) x + y ≤ max { x , y } , ∀x, y ∈ K gọi giá trị tuyệt đối phi - Acsimét Ví dụ Trờn trng s hu t Ô , giỏ tr tuyệt đối thông thường giá trị tuyệt đối trờn trng Ô Vớ d Trờn trng s hu t Ô , ta cú mt s giỏ tr tuyt đối phi – Acsimét 0, x = 1) Giá trị tuyệt đối tầm thường x =  1, x 2) Vi x Ô , ta ký hiệu ord p ( x) số mũ p phân tích x thành tích thừa số nguyên tố, với quy ước ord p (0) = ∞ Khi đó, hàm định x=0 0,  = x p  ord p ( x ) , x Ô , x p  giá trị tuyệt đối phi – Acsimột trờn trng Ô l mt giỏ tr tuyt đối trường K Ta định nghĩa hàm d : K × K → ¡ sau: Cho d ( x, y ) = x − y , ∀x, y ∈ K Do giá trị tuyệt đối K nên ta kiểm tra d mêtríc K (K, d) khơng gian mêtríc, gọi khơng gian mêtríc sinh giá trị tuyệt đối 1.1.2 Định nghĩa Cho , hai giá trị tuyệt đối trường K Ta nói hai giá trị tuyệt đối tương đương nếu: {xn } dãy Côsi theo {xn } dãy Côsi theo Chú ý rằng: {xn } dãy Côsi theo giá trị tuyệt đối   xm − xn  , nghĩa là:  →  ⇔ ( ∀ε > 0, ∃no ∈ ¥ : ∀n, m > no , xm − xn < ε )  m , n →+∞ 1.1.3 Định lý Oxtropxki Mọi giá trị tuyệt i khụng tm thng trờn Ô u tng ng vi giá trị tuyệt đối p (p số nguyên tố đó) tương đương với giá trị tuyệt đối thụng thng trờn Ô 1.1.4 nh lý Cho l giá trị tuyệt đối phi – Acsimét trường K Khi đó, x ≠ y x± y = max { x , y } Chứng minh Trước hết ta chứng minh x − y = max{ x , y } Khơng tính tổng qt, ta giả sử x > y Khi đó, x − y ≤ max{ x , y } = x hay x + y ≤ x (1) Mặt khác, x = y + ( x − y )) ≤ max{ x − y , y } Nếu max{ x − y , y } = y x ≤ y , trái giả thiết Do max{ x − y , y } = x − y hay x ≤ x − y (2) Từ (1) (2) suy x − y = x = max{ x , y } Cuối ta chứng minh x + y = x = max{ x , y } Ta có x + y = x − (− y ) = max{ x , − y } = max{ x , y } W 1.1.5 Trường số p adic Ô Xột p p ord ( x ) giá trị tuyệt đối p – adic trờn Ô= ; x p ( ) p , x Ô Ký hu S l tt c p cỏc dóy Cụsi Ô theo p Trờn S xét quan hệ tương đương ~ cho sau: {xn },{ yn } Ô ,{xn } ~ { yn } ⇔ lim( xn − yn ) = n S= Ký hiu Ô= p ~ nhõn cho ¤ p {{x }:{x } Cosi ¤ theo } Ta trang bị hai phép toán cộng n n p để trở thành trường Phép cng: x= {xn }, y= { yn } Ô p , x + y= {xn + yn } Phép nhân: ∀= x {xn }, = y { yn } Ô p , x.= y {xn yn } Ta chứng minh với hai phép toán cho trờn Ô P l mt trng vi: Phn t khụng:= {= xn 0} Phần tử đơn vị:= xn 1} {= Phần tử đối: x = {xn } − x ={− xn } Phần tử nghịch đảo: Với {xn } ≠ Ta có xn :/ suy ∃N > cho ∀n > N , xn p = a ≠ 0, n ≤ N Khi dãy { yn } , với yn = , l mt dóy Cụsi Ô theo  xn , n > N p , {xn }.{ yn } = Tức phần tử nghịch đảo {xn } phần tử { yn } Xột : Ô Ô p , ( x)= {xn = x}, x Ô , ta chứng minh θ đơn cấu trường Do đó, ta cú th coi Ô Ô p Vi= x {xn } Ô p , ta nh ngha x = lim xn p Kiểm tra mt chun trờn Ô p n ( Hn na, mi dóy Cụsi Ô , p ) u hi t ( Ô p ) , tc ( ¤ , p , ) mở rộng (Ô , ) p tin trỡnh by, ta cng ký hiu giỏ tr tuyt i Ô { p p } Ký hiệu ¢ p = x Ô p : x p Khi ú,  p l vnh ca trng Ô p Hơn nữa, ∀x ∈ ¢ p , ∃ai ∈ {0,1, , p − 1} , x = ao + a1 p + L + an p + L = n ∞ ∑a n =0 n pn Nếu x Ô p , x p > thỡ ∃m ∈ ¥ , p m x ≤ hay= x′ p m x ∈ ¢ p Do đó, ∃ai ∈ {0,1, , p − 1} p ∞ cho x′ = ∑ p Suy x = i i =0 cho x = ∞ ∑ a p Nói cách khác: với i i= −m ∞ ∑ a p , i i= m i i xÔ p luụn tn ti {0,1, , p − 1} x p = pm Trong Ô p , ta nh ngha: { Hỡnh cu mở tâm a bán kính r tập B ( a, r ) = x Ô p / x − a p < r { } Hình cầu đóng tâm a bán kính r tập B ( a, r ) = x Ô p / x a p ≤ r { Mặt cầu tâm a bán kính r tập S ( a, r ) = x Ô p / x a p =r } } Từ định nghĩa cho thấy ¢ p = B ( 0,1) Mt khỏc, vỡ tụpụ trờn Ô p tôpô cảm sinh từ chuẩn phi – Acsimét nên có vài tính chất khác lạ Cụ th: 1) Mi hỡnh cu, mt cu Ô 2) Hai hỡnh cu Ô p p u l vừa đóng vừa mở rời lồng vào 3) Mi hỡnh cu, mt cu Ô 4) ¤ p p có vơ số tâm, vơ số ban kính có số đếm hình cầu, mặt cầu = a= f (0)  f n (0) o  f (1) = a + a = f (1) o  n M   f n ( p n − 1) = ao + a1 + L + a n = f ( p n − 1) p −1  Giả sử g : ¢ p → £ hàm thỏa g (0) = f (0), , g ( p n − 1) = f ( p n − 1) Khi đó, rõ ràng p f n ≡ g Tức f n 3) Với g = p n −1 ∑b e j =0 j j ∈ Vn , ta có +∞   f − fn ∞ = ∑ a je j j = pn  ∞  n p −1  g f (b j − a j )e j + − = ∑  ∞ j =0  suy f − f n ∞ ≤ g − f ∞ +∞ ∑ae j j = pn j ∞ Tức f n xấp xỉ tốt f Vn 4) Với n ∈ ¥ * , ta có= an f (n) − f (n _) Do đó, Max { ao , a1 , , an }= max { f (0) , f (1) − f (1_) , , f ( n) − f ( n _) } = max { f (0) , f (1) , , f (n) }.W 2.3 Tính tích phân Volkenborn qua hệ số Vanderput Trước hết ta nhắc lại định nghĩa tích phân Volkenborn 2.3.1 Định ngha Cho K l mt trng cha Ô p Hàm f ∈ C ( ¢ p → K ) gọi khả tích (khả tích Volkenborn) tồn giới hạn lim p n →+∞ −n p n −1 ∑ f (k ) Khi đó, giới hạn gọi tích phân k =0 Volkenborn hàm f ký hiệu ∫ ¢p f ( x)dx = lim p n →+∞ −n p n −1 ∑ f (k ) k =0 Nhận xét Cho f ∈ C ( ¢ p → K ) Với x ∈ ¢ p ,  n −1  = f ( n ) lim f (k )  ∑ ∑  n→ x = n 0=  n∈¥  k (= Sf )( x) x −1 hàm liên tục thỏa ( Sf )( x + 1) −= ( Sf )( x) f ( x= ), Sf (0) f (0) Hơn nữa, f ∈ C1 ( ¢ p → K ) Sf ∈ C1 ( ¢ p → K ) f ≤ Sf ≤ p f Khi đó, f ∈ C1 ( ¢ p → K ) , ta có lim p −n n →+∞ p n −1 f (0) + f (1) + L + f ( p n − 1) f (k ) = lim n →+∞ pn ∑ k =0 Sf ( p n ) − Sf (0) = lim = ( Sf )′(0) n →+∞ pn Do vậy, C1 - hàm khả tích Có nhiều cách để tính tích phân Volkenborn Trong phần chúng tơi đưa cơng thức tính tích phân Volkenborn qua hệ số Vanderput 2.3.2 Định lý Ta có khẳng định sau: 1) ∫ ¢p ∫ eo ( x)dx = ¢p [log p n] en ( x)dx = p − s ( n )−1 với n ∈ ¥ * , s (n) = 2) Cho f ∈ C ( ¢ p → £ ∫ ¢p p m −1 f ( x)dx= ao + lim m →+∞ ∑a n =1 n p ) +∞ có khai triển theo sở Vanderput f = ∑ an en Khi đó, n =0 p − s ( n )−1 Chứng minh Trước hết ta thấy en ∈ C1 ( ¢ p → £ 1) Ta có = ∫ eo ( x)dx ¢p p m −1 p m −1 lim p = p ∑ lim = p−m pm ∑ eo ( j ) lim= −m Với n ∈ ¥ , theo định nghĩa 2.3.1 Xét tổng p ) , ∀n ∈ ¥ −m m →+∞ m →+∞ =j 0=j * −m p ∫ ¢p m →+∞ en ( x)dx = lim p m →+∞ −m p m −1 ∑ e ( j) j =0 n en (0) + en (1) + L + en ( p m − 1) en ( j ) = ∑ pm j =0 p m −1 Do n ∈ ¥ * nên n = bo + b1 p + L + bs ( n ) p s ( n ) Với x ∈ {0,1,, p m − 1} , n < x x = bo + b1 p + L + bs ( n ) p s ( n ) + bs ( n )+1 p s ( n )+1 + L + bpm −1 p m−1 ,0 ≤ bi ≤ p − (*) Suy tập {0,1,, p m − 1}, m ≥ có tất p m− s ( n )−1 phần tử x có dạng (*) Vì ta được: p −m Suy = ∫ en ( x)dx ¢p en (0) + en (1) + L + en ( p m − 1) p m− s ( n )−1 en ( j ) p − s ( n )−1 = = = ∑ m m p p j =0 p m −1 p m −1 lim p = = p − s ( n )−1 p − s ( n )−1 ∑ en ( j ) lim −m m →+∞ m →+∞ j =0 2) Theo tính tốn câu (1), ta được: f (0) + f (1) + L + f ( p m − 1) +∞  en (0) + L + en ( p m − 1)  = p ∑ f ( j) = an  ∑  pm pm j 0= n   −m p m −1  en (0) + L + en ( p m − 1)  = ∑ an   pm n =0   p m −1 + L + p −1  en (0) + L + en ( p m − 1)  = ao + ∑ an   pm pm n =1   m  en (0) + L + en ( p m − 1)  = ao + ∑ an   pm n =1   p m −1 = ao + p m −1 ∑a n =1 Do đó, f ∈ C ( ¢ p → £ p n p − s ( n )−1 ) ∫ ¢p f ( x)dx= ao + lim m →+∞ p m −1 ∑a n =1 n p − s ( n )−1 W 2.4 Đặc trưng hệ số Vanderput cho số lớp hàm Cho K trường với giá trị tuyệt đối , S tập K Tập S gọi tập lồi n n i =1 i =1 ∑ λi xi ∈ S x1 , x2 , , xn ∈ S λ1 , , λn ∈ K , λi ≤ 1, ∑ λi = Từ định nghĩa ta nhận thấy, S hình cầu mở S tập lồi Vận dụng khái niệm ta chứng minh bổ đề quan trọng sau: 2.4.1 Bổ đề Cho f ∈ C (¢ p → £ p ) , B hình cầu ¢ p , S hình cầu £ p Giả sử Φ1 f (n= , n _) Khi đó, Φ1 f= ( x, y ) f (n) − f (n _) ∈ S, n−n_ f ( x) − f ( y ) ∈ S , ( x, y ∈ B , x ≠ y ) x− y ( n ∈ ¥ , n, n _ ∈ B ) Chứng minh Do ¥ dày đặc ¢ p , f liên tục S đóng £ p nên cần chứng minh bổ đề trường hợp x, y ∈ B ∩ ¥ Với x, y ∈ B ∩ ¥ , x ≠ y Gọi z phần chung x y (nghĩa với x =ao + a1 p +L y =bo + b1 p +L Nếu x − y p < p − n < (nghĩa ao = bo , , an−1 = bn−1 , an ≠ bn ) z = ao + a1 p + L + an−1 p n −1 ; x − y p = z = Khi { } z ∈ B, z < x, z < y max z − x p , z − y p = x− y p Φ1 f ( x, y ) = Φ1 f ( x, z ) x−z z−y + Φ1 f ( z , y ) x− y x− y có dãy z t1= Do z < x nên = < t2 < L < tn x với ti ∈ B cho (ti ) _ = ti −1 Ta Φ1 f ( x, z ) = n ∑λ Φ i =2 i f (ti − ti −1 ) , λi = ( x − z ) −1 (ti − ti −1 ) Mặt khác,  λi = ( x − z ) −1 (ti − ti −1 ) = x − z −1 ti − ti −1 ≤ 1, ∀i = 2, n p  p n  ∑ λi =  i =2 t ∈ B ∩ ¥ , ∀i =1, n  i Vì S tập lồi nên Φ1 f ( x, z ) = n ∑λ Φ i =2 i f (ti − ti −1 ) ∈ S Lập luận tương tự ta Φ1 f ( z , y ) ∈ S Khi đó, ta có  Φ f ( x, z ), Φ f ( z , y ) ∈ S   x−z z−y < 1, cho f ( x) − f ( y ) p  f ( x) − f ( y ) = Suy p Φ1 f ∞ sup  x− y  { Theo (2), sup an p } p n / n ∈ ¥ ≤ p Φ1 f Ngược lại, giả sử sup n an p f ( x) − f ( y ) x− y ≤ M x − y p hay cho sup n an p n Khi đó, f ∈ Lipa ( ¢ p → £ n =0 { sup an p p ) } n a < +∞ Nhắc lại N (¢ p → K ) ={ f ∈ C1 (¢ p → K ) : f ′ = 0} 2.4.4 Định lý (Đặc trưng hệ số Vanderput cho lớp hàm N (¢ p → £ p ) ) Cho hàm f ∈ C (¢ p → £ p ) +∞ có khai triển theo sở Vanderput f = ∑ an en Khi đó, điều kiện sau tương đương: n =0 1) f ∈ N ( ¢ p → £ 2) lim an n →∞ p p ) n=0 3) lim an (n − n _) −1 = n →∞ Chứng minh (1 ⇒ 2) : Do f ∈ N ( ¢ p → £ p ) nên với a ∈ ¢ lim x →a p , ta có f ( x) − f (a) = x−a Với x, y ∈ ¢ p , f liên tục nên  f ( x) − f ( y ) f ( x) − f ( y )  f ( x) − f (a ) lim lim = lim  lim= =  x →a x →a y →a x− y x− y x−a   x →a y →a Suy lim n →∞ f (n) − f (n _) −1 = Khi đó, n − n _ p > p −1n nên n−n_ p −1 an Vậy lim an n →∞ p p n ≤ an p n−n_ −1 p hay p −1 an p n≤ f (n) − f (n _) n−n_ n = (2 ⇒ 3) : Với n ∈ ¥ * , ta có an (n − n _) −1 = p Do đó, lim an n →∞ p an p n−n_ n = lim an (n − n _) −1 = n →∞ −1 p ≤ an p n (3 ⇒ 1) : Giả sử lim an (n − n _) −1 = Khi đó, ∀ε > 0, ∃M > 0, ∀n > M ta có n →∞ f (n) − f (n _) n−n_ 0, ∃δ > 0, ∀n, n _ ∈ B(a, δ ) ta có n−n_ f (n) − f (n _) ∈ B ( L, ε ) n−n_ Theo bổ đề 2.4.1, f ( x) − f ( y ) ∈ B ( L, ε ) , ∀x, y ∈ B (a, δ ), x ≠ y x− y Nghĩa là, lim x →a y →a Cho hàm f ( x) − f ( y ) = L Vậy f C1 - hàm W x− y f ∈ C (¢ p → £ p ) Khi đó, ∆f : ¢ p → £ ∆f ( x= ) f ( x + 1) − f ( x), ∀x ∈ ¢ p p hàm cho công thức Tiếp theo ta đưa cơng thức tính hệ số ∆f theo hệ số Vanderput f 2.4.6 Định lý (Đặc trưng hệ số Vanderput cho lớp hàm ∆f ) Cho hàm f ∈ C (¢ p → £ p ) có khai triển theo +∞ +∞ n =0 n =0 sở Vanderput f = ∑ an en Khi đó, ∆f = ∑ bnen Trong đó, a1 , n =  bn = an+1 − an − a ps , n = ap s − 1( s ∈ ¥ , a ∈ {2,3, , p})  an+1 − an , trường hợp lại Chứng minh Với x ∈ ¢ p , ta có ∆f ( x)= f ( x + 1) − f ( x)= +∞ ∑ b e ( x) đó, n =0 n n bo = ∆f (0)  * bn = ∆f (n) − ∆f (n _), ∀n ∈ ¥ Với n = , ta có bo = ∆f (0) =f (0 + 1) − f (0) =f (1) − f (1_) = a1 Với n ≠ , ta có bn = ∆f (n) − ∆f (n _) = [ f (n + 1) − f (n)] − [ f (n _ + 1) − f (n _)] = = { f (n + 1) − f [(n + 1) _ ]} − [ f (n) − f (n _)] − { f (n _ + 1) − f [(n + 1) _ ]} a − a − { f (n _ + 1) − f [ (n + 1) _ ]} n +1 n Ta xét hai trường hợp: Nếu= n ap s − với a ∈ {2,3, , p} , s ∈ ¥ * khai triển p – adic n n = ( p − 1) + ( p − 1) p + L + ( p − 1) p s −1 + (a − 1) p s Suy ra, n _ = ( p − 1) + ( p − 1) p + L + ( p − 1) p s −1 = p s − ⇒ n _ + =p s s ap , < a < p suy (n + 1) _ = n + = s +1 0= ( ps ) _  p , a = p Do đó, f (n _ + 1) − f [ (n + 1)= _ ] f ( p s ) − f ( p s ) = _  a p s Vậy nên bn = an+1 − an − a p s Nếu n ∉ {0; ap s − 1/, a ∈ {2;3; ; p}, s ∈ ¥ *} khai triển p – adic n n = ao + a1 p + L + as p s , s ∈ ¥ Vì n ∉ {0; ap s − 1/, a ∈ {2;3; ; p}, s ∈ ¥ *} nên tồn k = 0, s cho ak < p − Khơng tính tổng qt ta chọn k số để ak < p − Khi n = ( p − 1) + ( p − 1) p + L + ( p − 1) p k −1 + ak p k + L + as p s = (ak + 1) p k + L + as p s − Suy n + = (ak + 1) p k + L + as p s Từ ta n _ = (ak + 1) p k + L + as −1 p s −1 − n _ + 1= (ak + 1) p k + L + as −1 p s −1 (n + 1) _ = (ak + 1) p k + L + as −1 p s −1 Do đó, f (n _ + 1) − f [ (n + 1) _ ] = Vậy nên = bn an+1 − an W 2.5 Cơ sở Vanderput cho không gian C ( p ì  p Ê p ) Trờn £ p - không gian hàm liên tục C ( p ì  p Ê p ) ta định nghĩa = f ∞ Max Khi đó, ∞ { f ( x, y ) p } / ( x, y )  p ì  p , f C ( p ì  p Ê p ) chuẩn phi – Acsimet Hơn nữa, C ( p ì  p Ê p ) cũn khơng gian Banach 2.5.1 Mệnh đề ( C (¢ p ì  p Ê p ), ) £ p - không gian Banach Chứng minh Với { f n }n dãy Côsi ( C ( p ì  p Ê p ), ∀ε > 0, ∃no ∈ ¥ , ∀m, n > no , f m − f n ∞ < { } Suy max f m ( x, y ) − f n ( x, y ) p / ( x, y )  p ì  p < f m ( x, y ) − f n ( x, y ) p < ε ε ∞ ) , ta có: ε , , ( x, y )  p ì  p Điều có nghĩa { f n ( x, y )}n dãy Côsi £ p Do đó, { f n ( x, y )}n hội t Xột hm f : p ì p Ê ( x, y ) p a lim f n ( x, y ) n →+∞ n →+∞ Ta chứng minh f liên tục f n ( x, y )  → f ( x, y ) Hay ta có đó, ∃mo ∈ ¥ , ∀n > mo , f n ( x, y ) − f ( x, y ) p < ε Khi đó, với n, m > max{no , mo } ta { f ( x, y ) − f ( x, y ) / ( x, y )  ì  } ≤ max { f ( x, y ) − f ( x, y ) + f ( x, y ) − f ( x, y ) = f n − f ∞ max n p p n m p m p p / ( x, y ) ∈ ¢ p ì  p } = max  + =  ε 2 2 Suy { f n }n hội tụ vể f ∈ ( C ( p ì  p Ê p ), ) W Với cặp n, m ∈ ¥ ta định nghĩa enm= ( x, y ) en ( x)em ( y ), ∀( x, y ) ∈ ¢ p × ¢ p Khi đó, en hàm liên tục ¢ p nên enm liên tục Hơn nữa, chúng tạo thành sở trực chuẩn C ( p ì  p Ê p ) 2.5.2 Định lý (Cơ sở vanderput cho C ( p ì  p Ê p ) ) Hệ {enm / n, m ∈ ¥ } lập thành sở trực chuẩn khơng gian C (¢ p ì  p Ê p ) trờn Ê p Chứng minh Trước hết ta chứng minh {enm / n, m ∈ ¥ } hệ trục chuẩn Với n, m ∈ ¥ ta có: { max { e ( x) enm ∞ max en ( x)em ( y ) p / ( x, y ) ∈ ¢ p × ¢ p = = n p } } ( y ) p / ( x, y )  p ì  p em= {e= 1,= n; j 1, m} hệ trực giao Thật vậy, với λij ∈ £ p , {en }n sở trực ij / i chuẩn C (¢ p → £ p ) nên ∑λe ≥ ∑λ ij ij n i 1, n =i 1,= j =1, m ∞ Suy ∑λe ≥ λnm ij ij i =1, n j =1, m ∞ p e em ∞ im i en ∞ em ∞ tức là, ∞ ∑λe ∞ ≥ λnm ij i ≥ λnm ij ij i =1, n j =1, m ∑λ e i =1, n ∞ p enm ∞ p en ∞ Theo định lý 1.3.3, {e= 1,= n; j 1, m} tập hợp trực giao Do đó, theo định lý 1.3.3, ij / i {enm / n, m ∈ ¥ } tập trực giao {enm / n, m ∈ ¥ } Cuối ta chứng minh hệ sinh Với hm liờn tc f C ( p ì  p → £ p ) , cố định biến y coi f hàm theo biến x Khi đó, {en }n sở C (¢ p → £ p ) nên tồn số ao , a1 , ∈ £ +∞ p cho f = ∑ a j ( y )e j j =0 Lại do, {en }n sở C (¢ p → £ p ) nên có aoj , a1 j , ∈ £ = f +∞ +∞ p cho +∞ = aij ei e j ∑∑ ∑a e =j 0=i i ,=j ij ij Vậy {enm / n, m ∈ ¥ } sở trực chun ca C ( p ì  p Ê p ) W Ta biết, ∀f ∈ C (  p ì  p Ê p ) f = +∞ ∑a m ,n =0 e Tiếp theo ta đưa công thức mn mn tính hệ số amn 2.5.3 Định lý Vi f C (  p ì  p → £ p ) , f ( x, y ) = aoo = = aon  amo = a= mn +∞ ∑a m ,n =0 e ( x)en ( y ) Khi đó, mn m f (0,0) f (0, n) − f (0, n _), ∀n > f (m,0) − f (m _,0), ∀m > f (m, n) − f (m _, n _), ∀m, n > Chứng minh Vì f hàm liên tục nên cố định biến y f hàm liên tục theo biến x Do đó, = f ( x, y ) +∞ +∞ ( y )e ( x ) ∑a= a ( y )e ( x) + ∑ amn ( y )em ( x) , đó, mn m on o m 0= m aon ( y ) = f (0, y )  ( y ) f (m, y ) − f (m _, y ), ∀m > amn= Với n, aon ( y ) = f (0, y ) nên aon ( y ) hàm liên tục, có biểu diễn +∞ aon ( y ) = ∑ boi ei , đó, i =0 = f (0,0) boo a= on (0)  b0i aon (i ) − aon (i= _) f (0, i ) − f (0, i _), ∀i > = +∞ Suy aon ( y )= f (0,0)eo ( y ) + ∑ [ f (0, i ) − f (0, i _) ] ei ( y ) i =1 Cố định m > 1, với n, = amn ( y ) f (m, y ) − f (m _, y ) nên amn ( y ) hàm liên tục, suy +∞ amn ( y ) = ∑ cmj e j ( y ) đó, j =0 = f (m,0) − f (m _,0) cm a= mn (0)  = j _) f (m, j ) − f (m _, j _), ∀j > ( j ) amn (= cmj amn= +∞ Suy amn ( y ) = [ f (m,0) − f (m _,0)] eo ( y ) + ∑ [ f (m, j ) − f (m _, j _)] e j ( y ) j =1 Tóm lại ta +∞ = f ( x, y ) aon ( y )eo ( x) + ∑ amn ( y )em ( x) m =1 +∞ = f (0,0)eo ( x)eo ( y ) + ∑ [ f (0, i ) − f (0, i _) ] eo ( x)ei ( y ) + Nói cách khác i =1 +∞  +∞  + ∑ [ f (m,0) − f (m _,0)] em ( x)eo ( y ) + ∑ [ f (m, j ) − f (m _, j _)] em ( x)e j ( y )  m 1= j   = f ( x, y ) f (0,0)eo ( x)eo ( y ) + +∞ +∞ + ∑ [ f (0, n) − f (0, n _)] eo ( x)en ( y ) + ∑ [ f (m,0) − f (m _,0)] em ( x)eo ( y ) + n 1= m +∞ +∞ + ∑∑ [ f (m, n) − f (m _, n _)] em ( x)en ( y ) m 1= n = Vậy ta chứng minh aoo = = aon  amo = a= mn f (0,0) f (0, n) − f (0, n _), ∀n > f (m,0) − f (m _,0), ∀m > f (m, n) − f (m _, n _), ∀m, n > W KẾT LUẬN Luận văn giải vấn đề sau: 1) Trình bày đầy đủ chi tiết kết Vanderput sở trực chuẩn cho không gian hàm liên tục ¢ p 2) Xây dựng đặc trưng hệ số Vanderput cho lớp hàm khả vi liên tục lớp hàm thỏa điều kiện Lipchitz cấp a ¢ p 3) Đưa cơng thức tính tích phân Volkenborn cho lớp hàm khả vi liên tục ¢ p theo hệ số Vanderput 4) Mở rộng kết Vanderput khơng gian hàm liên tục hai biến C (¢ p ì  p Ê p ) Do thi gian có hạn nên luận văn chưa xây dựng ánh xạ đạo hàm hàm khả vi liên tục ¢ p tính chất nó; chưa xây dựng sở Vanderput cho không gian C n (¢ p → £ p ) , tiếp tục nghiên cứu vấn đề thời gian tới có điều kiện Mặc dù làm việc cách nghiêm túc, cần mẫn song có lẽ khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong q thầy – góp ý thêm Xin chân thành cảm ơn! Tp Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011 Người thực Nguyễn Thanh Dũng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Fernando Gouvêa, p – adic numbers an introduction, Springer, 1997 [2] Mahler, p – adic numbers and their functions, Cambrige tracts in mathematics 76, Cambridge University Press, 1980 [3] Neal Koblitz, p – adic numbers, p – adic analysis, and zeta – functions, Springer, 1973 [4] Neal Koblitz, p – adic integral transforms on compact subgroups of £ p , Pacific journal of mathematics, Vol 120, No 1, 1985 [5] Stany De Smedt, The VanDerPut base for C n - functions, Buletin of Belgian Mathematical Society – Simon Stevin 1(1994), 85 – 86 [6] W.H.Schikhof, Ultrametric calculus, Cambridge University Press, 1984 ... 2: CƠ SỞ VANDERPUT CHO KHƠNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN ? ?p Chương giới thiệu cụ thể, chi tiết cách xây dựng sở Vanderput cho không gian hàm liên tục ¢ p , C ( ¢ p Ê C ( p ì  p Ê p p ); sở Vanderput. .. tiết kết Vanderput sở trực chuẩn cho không gian hàm liên tục ¢ p 2) Xây dựng đặc trưng hệ số Vanderput cho l? ?p hàm khả vi liên tục l? ?p hàm thỏa điều kiện Lipchitz c? ?p a ¢ p 3) Đưa cơng thức... gian hàm liên tục ¢ p , sở trực giao, trực chuẩn không gian Chương 2: Cơ sở Vanderput cho không gian hàm liên tục ¢ p Chương chương luận văn, trình bày đầy đủ, chi tiết cách xây dựng sở Vanderput