Cơ sở mahler trong không gian các hàm liên tục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ VÂN KHÁNH CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực sau q trình tích lũy kiến thức lớp Cao học khóa 15 Lời xin gửi lời cảm ơn sâu sắc lời tri ân đến Thầy hướng dẫn tôi, PGS.TS Mỵ Vinh Quang, thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi nhiều để luận văn hồn thành Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành Thầy Cơ Khoa Tốn - Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Thầy Cô tham gia giảng dạy, quản lý lớp học, truyền đạt cho nhiều kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Ngồi tơi chân thành cảm ơn Anh Chị Khoa Sư phạm Khoa học Tự Nhiên Trường Đại Học Sài Gòn tạo nhiều điều kiện thuận lợi động viên tơi suốt q trình thực luận văn Cảm ơn đồng nghiệp, bạn bè động viên giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2008 Nguyễn Thị Vân Khánh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Không gian hàm liên tục C( Zp Cp ) không gian Banach với chuẩn xác định   f  Max f  x  , x  Z P ; f  C  Z P  CP  Có kết đẹp  x Mahler nói rằng: “Tập đa thức dạng   ; n  0,1, 2,  sở trực chuẩn n C( Zp Cp )” Quả thực, cịn hạn chế chun mơn nghiên cứu kết cảm thấy hấp dẫn Thực đề tài giúp tập làm quen với phương pháp nghiên cứu Toán học hết phát triển tư thân Mục đích nghiên cứu: Mục tiêu luận văn giới thiệu kết Mahler, đồng thời chúng tơi tìm tịi ứng dụng hệ số Mahler số trường hợp cụ thể, mỡ rộng kết Mahler cho không gian hàm liên tục hai biến C(ZpxZp Cp) Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu luận văn hàm không gian C( Zp Cp ) Tuy nhiên không tập trung vào việc xây dựng hàm liên tục Cp, phạm vi nghiên cứu chúng tơi tìm tịi cách biểu diễn hàm qua sở Mahler Cấu trúc luận văn: Luận văn bao gồm chương Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương này, trình bày số kiến thức để nghiên cứu chương sau Chương 2: CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC C(ZPCP) Trong chương này, chứng minh định lý Kaplansky, định lý quan trọng để xây dựng sở Mahler Đặc biệt nghiên cứu sở trực giao, trực chuẩn tính chất nó, để từ hiểu rõ việc xây dựng sở trực chuẩn Mahler không gian hàm liên tục C(Zp Cp), nghiên cứu tính chất kết liên quan đến sở Mahler, hệ số Mahler Chương 3: HỆ SỐ MAHLER CỦA MỘT SỐ HÀM CƠ BẢN Chương chúng tơi trình bày cách biểu diễn hệ số Mahler qua vài hàm hàm số mũ, hàm exp, hàm sin, hàm cos, hàm p-adic Gamma, tổng vô hạn hàm liên tục, hàm lũy thừa Ngồi cuối chương chúng tơi có mở rộng sở cơng thức tính hệ số Mahler không gian hàm liên tục hai biến C(ZpxZp Cp) Người thực Nguyễn Thị Vân Khánh Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Chương chúng tơi trình bày số kiến thức để người đọc dễ dàng nắm bắt chương sau, nhiên chứng minh số kết sử thường xuyên chương sau, kết chưa chứng minh độc giả dễ dàng tìm thấy mục phần tài liệu tham khảo 1.1 Chuẩn trường: 1.1.1 Định nghĩa: Cho K trường, ta nói chuẩn K ánh xạ : K  R  thỏa điều kiện sau i) x  K , x  x   x  ii) x , y  K , x.y  x y iii) x, y  K , x  y  x  y Ví dụ: Trường số hữu tỉ Q với giá trị tuyệt đối thông thường chuẩn Q 1.1.2 Định nghĩa: Cho chuẩn trường K, thoả điều kiện mạnh iii) iii)’ x, y  K , x  y  Max  x , y  ta nói chuẩn phi-Archimedean Ví dụ: Trên trường số hữu tỉ Q ta có số chuẩn phi-Archimedean sau 1 0 Chuẩn tầm thường: x   neáu x  neáu x  0 neáu x   ord p  x  Chuẩn p-adic: x p    ( p số nguyên tố ) neá u x     p  Trong Nếu x = ord p     Nếu x  Z \ 0 ord p  x  số mũ p phân tích x thành thừa số nguyên tố Ví dụ: x = 50 = 52.2 ord5  50   a b Nếu x  Q \ 0 , giả sử x  ; a, b  Z , b  0,  a, b   , ord p  x   ord p  a   ord p  b  Ví dụ: x 32 9  ord3    ord3    ord3      4 1.1.3 Định lý Oxtropxki: Mọi chuẩn không tầm thường Q tương đương với chuẩn p (p số nguyên tố đó) tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thơng thường Q 1.1.4 Tính chất: Cho chuẩn trường K phần tử đơn vị K Ta có tính chất sau x  K ,  x  x 1 x  K \ 0 , x 1  x Chứng minh: Ta có x  K ,  x   x  x    x   x  x Vậy  x  x 2 Ta có  12  , mà  2 Vậy  Ta có x 1 x  x 1 x   , mà x  (vì x ≠ 0) Vậy x 1  x ª 1.1.5 Nguyên lý tam giác cân: Cho chuẩn phi-Archimedean trường K  Nếu x  y x  y  Max x , y  Chứng minh:   Khơng tính tổng qt ta giả sử x  y  Max x , y  y Theo tính phi-Archimedean ta có x  y  y (*) Mặt khác y  x   x  y   Max  x  y , x  Nếu Max  x  y , x   x y  x , trái giả thiết Vậy Max  x  y , x   x  y  y  x  y (**) Từ (*) (**) ta có x  y  y  Max  x , y  Hiển nhiên x  y  x    y   Max  x ,  y   Max  x , y  ª 1.2 Các trường số p –adic: 1.2.1 Xây dựng trường Qp: Từ định lí Oxtropxki, ta thấy chuẩn không tầm thường Q tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường, chuẩn phi-Archimedean p Mặt khác, ta biết làm đầy đủ Q theo chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường ta trường số thực R Vậy làm đầy đủ Q theo p ta trường mà ta gọi trường số p-adic QP Cụ thể cách xây dựng sau Gọi S tập hợp dãy Cauchy hữu tỉ theo hệ tương đương sau:  xn  p , S ta định nghĩa quan yn   lim  x n  yn   n Ta gọi QP tập hợp lớp tương đương theo quan hệ trang bị cho QP hai phép toán cộng nhân sau:  x   y    x  y  x .y    x y  n n n n n n n n Khi dễ dàng chứng minh (QP, +, ) trường gọi trường số p-adic Chuẩn QP xác định sau:   Qp     xn ;  p  lim xn n p Nếu   xn p  , ngược lại   M  N :  p  xn p ; n  M Trường số hữu tỉ Q xem trường QP nhờ ánh xạ nhúng a  a   Tập hợp Z P  x  QP : x p  vành QP gọi vành số nguyên p-adic Với x  Qp , giả sử x p  p m ; m  Z , ta hồn tồn chứng minh x  biểu diễn dạng x    i pi ;   i  p Biểu diễn gọi biểu i  m diễn p-adic phần tử x  Qp Khi x  Z p x có biểu diễn p-adic  x    i pi ;   i  p i0 1.2.2 Xây dựng trường CP: Ta biết trường số thực R khơng đóng đại số, bao đóng đại số R trường số phức C Làm đầy đủ Q theo p ta trường QP Giống R, QP đầy đủ khơng đóng đại số Ký hiệu QP bao đóng đại số QP, chuẩn p QP mỡ rộng thành chuẩn QP sau Với   QP  phần tử đại số QP Gọi Irr(,QP, x) đa thức nhận  làm nghiệm Giả sử Irr  ,QP , x   x n  an1 x n1   a1 x  a0 Ta định nghĩa  p  n a0 p dễ dàng chứng minh mở rộng p p chuẩn QP , chuẩn QP, nghĩa x p  x p ; x  QP Trường QP đóng đại số lại khơng đầy đủ theo Nếu tiếp tục làm đầy đủ QP theo p p vừa xây dựng ta trường số phức p-adic, ký hiệu C p  QP  Q Trường số phức C p có vai trò tương tự trường số phức C giải tích phức thơng thường 1.2.3 Tính chất vành số nguyên p-adic ZP: Vành số nguyên p-adic có tính chất sau Tập số nguyên p-adic Zp vành trường Qp Zp tập Compact Zp đầy đủ Tập số tự nhiên N trù mật Zp Tập số nguyên Z trù mật Zp 1.2.4 Tính chất trường QP va CP : Trường Qp Cp có tính chất sau Qp tập Compact địa phương Qp đầy đủ tách Tập số hữu tỉ Q trù mật Qp Cp đóng đại số, đầy đủ Compact địa phương 1.3 Dãy chuỗi CP: 1.3.1 Định nghĩa: Dãy a0 ,a1 ,  Cp gọi hội tụ đến a  CP lim an - a p  , ký hiệu n  lim an = a Dãy khơng hội tụ gọi dãy phân kỳ n  n  i0 n0 Tổng Sn =a0 + a1 + + an =  gọi tổng riêng thứ n chuỗi  an   n0 n0 Nếu có lim Sn =S  CP ta nói chuỗi  an hội tụ viết  an  S n  Trong trường số phức thông thường ta biết dãy an  hội tụ thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy   0, N : m, n  N  am  an   , nhiên với tính chất phi-Archimedean đầy đủ trường p-adic Cp tiêu chuẩn hội tụ chuỗi dãy đơn giản hơn, mệnh đề sau cho ta thấy điều 1.3.2 Mệnh đề: Trong trường p-adic Cp ta có Dãy an  hội tụ   0, N : n  N  an1  an p    Chuỗi  an hội tụ lim an  n  n0 Chứng minh: (  ) Hiển nhiên (  ) Giả sử an   CP thỏa   0, N : n  N  an1  an p   Ta chứng minh an  hội tụ Thật vậy, ta có  p  N , an  p  an  an  p  an  p 1  an  p 1   an 1  an  Max an  p  an  p 1 , , an 1  an p p p  an  p  an   p Vậy an  hội tụ   n Chuỗi  an hội tụ  dãy Sn   n0 i 1  nN hội tụ  lim  Sn 1  Sn    lim an  n  n  ª 1.3.3 Mệnh đề :   n n0 n0 j 0 Trong Cp cho hai chuỗi  an  bn , đặt cn   a j bn  j ; n  0,1,2,  Ta có        Nếu  an  bn hội tụ chuỗi  cn hội tụ   an    b n    cn n0 n0 n0  n0  n   n0 p  () Ta có 1, a, , an ,  dãy nội suy p-adic J  lim sup a n  p  a n   lim sup a n J  J  nN p nN J J p ap 1  p J  lim a p    lim a p  J  J  p Vậy a  C  p () Theo giả thiết ta có a  C   a  p  Khi ta tìm p J    cho a  p   Theo bổ đề 3.3.1.4 ta có a p    J 1 với p   Max  , p 1 J  an p  an  an p J p J  a p    J 1   (với n đủ lớn) p J J   sup a n  p  a n   J 1  0 p nN Vậy 1, a, , an ,  dãy nội suy p-adic ª 3.3.1.8 Định nghĩa: Với dãy nội suy p-adic 1, a, , a n ,  , ta nói ax  C  Zp  Cp  hàm nội suy từ dãy 1, a, , a n ,  3.3.1.9 Tính chất: Hàm ax có tính chất sau a x  CP ; x  Z p , a  CP a x  y  a x a y ; x , y  Z p , a  CP a  x   a x  ; x  Z p , a  CP 1  ab  a  x  a x b x ; x  Z p , a  CP x y  a x y ; x , y  Z p , a  CP 3.3.2 Định lý (hệ số Mahler hàm ax):  n x Cho a  CP , a x    a  1   ; x  Z p n0 n Chứng minh: m m  m n n m n m m  N , a m   a   1   Cmn  a  1    a  1      a  1   n0 n0  n  n0 n  Do tập số tự nhiên trù mật Zp nên với x  Zp , tồn dãy x k   N cho lim x k  x k    xk   n x     a  1   n  n  n0 Vì ax liên tục  a x  lim a x  lim   a  1  k  k  n k n0  n  x x  a   a  1   Vậy n0 n ª 3.4 Hàm p-adic Gamma: 3.4.1 Xây dựng hàm p-adic Gamma: 3.4.1.1 Định nghĩa: Cho n  2,3,  , ta định nghĩa  n! p   j 1 j  n  j,p  1 3.4.1.2 Tính chất:  n!p p    n  p s ps !   n!   n  j; s  N p p j1  n  j,p  1 3.4.1.3 Định lý Wilson tổng quát: Nếu p  2,n  Z,s  N ps 1   n  j  1  mod p  s j  n  j,p  1 3.4.1.4 Định lý:   Nếu p  dãy a n     1  n! p dãy nội suy p-adic n Chứng minh: Ta có a n  ps  a n p     n  ps  1 j  n  p s  j     n  j      n  j     ps 1 j  n p 1 j  n  n  j n  p s j1  p mà  p s 1 n  j n  p s j    n  j     mod p s  (theo định lý Wilson) j  a n  ps  a n  p   mod p s   a n  p s  a n p   lim sup a n  ps  a n s   n N ps p 0  Vậy a n     1  n! p dãy nội suy p-adic n ª 3.4.1.5 Định nghĩa:   Với dãy nội suy p-adic a n     1  n! p , ta nói  p  C  Zp  Cp  thỏa n  p  n    1  n! p ; n  N hàm p-adic Gamma n 3.4.1.6 Tính chất hàm p-adic Gamma: Hàm p-adic Gamma  p có tính chất sau  x x p  1 neáu x p  1 x  Z p ,  p  x  1  hp  x   p  x  h p  x    x, y  Z p ,  p  x    p  y  p  x  y p  p    1;  p 1  1;  p     p  x  p  1; x  Z p Với n  N , giả sử n có biểu diễn p-adic n  a0  a1 p   as p s ; as  Đặt Sn  a0  a1   as ta có i)  p  n  1   1 ii)  p p n   1 iii) n !   1 iv) p !   1   p    n 3.4.1.7 Bổ đề: n 1 s n! n 1 n  n   p   p ! p   pn ! p p n 1 ! p p n  Sn n1 s j 0 p  n    1 j   p     p  p1   p   p n 1 p 1 s  p  pj  j 0 n Nếu f : Z p  C p hàm bị chặn a n      j0   f  n  n0 n j n   f  j  xn xn  exp  x   an ;x  E n! n! n0 Chứng minh: Ta có   n0 xn xn hội tụ E     ,  N :  n  N   n! n! Lại có f hàm bị chặn nên tồn M > cho f  x   M xn xn Xét chuỗi  f  n  có f  n   M n! n! n0   Vậy chuỗi  f  n  n0 xn hội tụ n! Theo mệnh đề 1.3.3 ta có xn  x   xn f n exp   x   f  n       n! n 0 n! n 0 n! n0 n  x  f  j x j  j! n  j   n  j !  n  n n j     1 n j n n j j !  n  j ! n0 j 0      1 f  j n0 j0 xn n! xn f  j j !  n  j ! n!   n  xn n j  n       1   f  j   n0  j 0  j  n!  xn   an n! n0  Vậy  f  n  n0  xn xn  exp  x   an n! n! n0 ª 3.4.2 Định lý (hệ số Mahler hàm p-adic Gamma):  j ;  n  N Nếu hàm p-adic Gamma  p ; p  có biểu diễn Mahler    x xp   xp  p  x  1   an   ; x  Zp exp  x     b n x n hệ số Mahler  p p   x n0 n0 n  có dạng an   1 n 1 n!b n ; n  N Chứng minh: x n p 1  x mp j x  E, xeùt g  x     p  n  1     p  mp  j  1 n! j m   mp  j! n0  mà  p  mp  j  1   1   p  mp  j  1   1  mp  j! mp  j1  mp  j   p   mp  j    p  !p   mp  j1  mp  j! (vì j < p ) m m!p Ta có p 1  gx    j m  p 1   j m   p  mp  j  1  mp  j!  1 x mp j    m!p x  1 j m  mp  j1 m p 1  mp  j p 1   j m   1 mp  j1  mp  j! m!pm mp j x  mp  j!  xp     p  m! mp 1 m  1 j xj Lại có  x p exp   p   x p     p    m0 m!  m  p m mp  x    1        p   m! m0   x p   p p 1    x  p  g  x      exp  j   p      x  p  p 1  j j j    1 x j    1 x   exp      p  j     x  p  p 1 j   x  p   x p  g   x    exp   x   exp    p   p  1 x j      x n0   Xét hàm f : Zp  Cp xác định f  x    p  x  1 Ta có f  x    an   n n Theo định lý 2.6.2 ta có an    1 n j j n   f  j ; n  N j Rõ ràng f hàm bị chặn nên theo bổ đề 3.4.1.7 ta có  x   exp   x   an n! n0 n    f n n0  x  n! n     p  n  1  x  n0   x p   x p  g  x    exp    p  1 x n!   n   x p   x p xn    1 an   exp  x  exp    p  1 x n! n0     n    1 n 1 n0  an n xp   xp x  exp  x   n! p  1 x    xp   xp Theo giả thiết exp  x     bn x n p   x n0   bn   1 n 1 Vậy an   1 ª an ; n  N n! n 1 n!bn ; n  N 3.5 Tổng vô hạn hàm liên tục : 3.5.1 Xây dựng hàm tổng vô hạn: 3.5.1.1 Mệnh đề:  n   j 0  Nếu dãy an  dãy nội suy p-adic Sn   a j  dãy nội suy p-adic Chứng minh: Do an  dãy nội suy p-adic nên tồn hàm liên tục f  C  Z p  C p  cho f  n   an ; n  N Vì ZP tập Compact nên f liên tục ZP M cho f  x  p  M ; x  Z P Xét tập n  1, n  2, , n  p J  ,dễ thấy hệ thặng dư đầy đủ theo modul pJ Lấy  k  J phân hệ thặng dư theo modul pk, ta pk lớp, ký hiệu Vi ; i  0,1, , p k  , lớp có pJ-k phần tử Lấy Vi bất kỳ; i  0,1, , p k  m0  Vi ta có  am    am  am   p J k am mVi mVi p p   Max am  am0 , p J  k am0   Max f  m   f  m0  p , p J  k mà p f  m0  p J k p 1    p J k p f  m0  p p p     0 M  J  k  Lại có m  m0  mod p   m  m0 k k p 1 k      0  p k   f  m   f  m0  p   (vì f liên tục ZP) J  Chọn k    , J   k    J  k    2  Vậy Max f  m   f  m0  p , p J k p  J  f  m0  p  0 Ta có Sn  pJ  Sn  an 1   an  pJ p p   J     am  Max   am ; i  1,2, p k   0 Vi mVi  mVi p  p J   sup Sn  pJ  Sn  0 p nN  n   j 0  Vậy Sn   a j  dãy nội suy p-adic ª 3.5.1.2 Hệ quả: Cho f  C  Zp  Cp  , ta có Sfn n 0  3.5.1.3 Định nghĩa: Sf0     f n 1 Sn   f  j j   n  1 dãy nội suy p-adic Với dãy nội suy p-adic Sfn n  , ta gọi Sf  C  Zp  Cp  thỏa Sf  n   Sf ; n  N  n tổng vô hạn f Nhận xét: Ta có tập số tự nhiên N trù mật Zp  x  Zp , x n   N : lim x n  x n  Sf liên tục  lim Sf  x n   Sf  x  n  x n 1 Ta có Sf  x   lim Sf  x n   lim Sx  lim  f  j n  n  n n  j x 1 Vậy Sf  x    f  j; x  Zp j 3.5.2 Định lý (hệ số Mahler hàm tổng vô hạn):  x n0   Cho f  C  Zp  Cp  , giả sử f có biểu diễn Mahler f  x    an   ; x  Z p , n  x n 1   Sf có biểu diễn Mahler Sf  x    an 1   n  x n0   Nói cách khác Sf có biểu diễn Mahler Sf  x    bn   ; x  Zp n  b0   bn  an 1; n  hệ số Mahler Sf có dạng  Chứng minh: Ta có b0  Sf    x x 1 J0 J0 Lại có Sf  x  1  Sf  x    f  j  f  j  f  x  ; x  Zp   x  x  1  x  f  x    an    Sf  x  1  Sf  x    bn     bn   n0 n0 n  n  n0  n    x    x     x   x   b n    b     n     bm 1   n0 m  n   n   n 1  n  1 m   bn  an 1; n  ª 3.6 Hệ số Mahler hàm lũy thừa:   x n 0   Với số tự nhiên m, giả sử ta có biểu diễn Mahler x m   anm   ; x  Z p Ta n có kết sau a00  1; a0 m  an  m, n  anm  n  m n j n m  j j 0  j an,m 1  n  anm  an 1,m  ; n  n anm    1 n! anm ; n, m  N Chứng minh:  x  x  x       Với m = ta có x              a00  an  0 n  x Với m  0; n  tất đa thức   ; i  không chứa hệ số tự i    x  x  x  x m     a1m     anm     a0 m  0 1  n Với n > m hiển nhiên anm  n Theo định lý 2.6.2 ta có x ta có anm    1 m n j j 0   x n 0   n m  j  j Theo định lý 2.6.4 ta có x m   an ,m   ; x  Z p n Ta có x m1  x.x m nên hệ số Mahler xm+1 an,m1  n  anm  an 1,m  ; n  Nếu n = 0, hiển nhiên 0!  a0 m ; m  N Bây ta chứng minh n! anm ; n  quy nạp theo m Với m = an   n ! an ; n  Giả sử ta có n! anm ; n  Ta cần chứng minh n! an ,m1 ; n  Với n  , theo kết chứng minh ta có an,m1  n  anm  an 1,m  Theo giả thiết quy nạp ta có n! anm  n  1! an 1,m  n! n  anm  an 1,m  hay n ! an ,m 1 ; n  Vậy n! anm ; n, m  N ª 3.7 Cơ sở Mahler khơng gian hàm liên tục C( ZP x ZP  CP ): 3.7.1 Không gian hàm liên tục C( ZP x ZP  CP ): 3.7.1.1 Chuẩn C( ZP x ZP  CP ): Trên không gian vectơ hàm liên tục C( ZP x ZP  CP ) ta định nghĩa chuẩn sau: f     Max f ( x , y ) p ; x , y  Z p ; f  C  Z p xZ p  C p  Dễ dàng chứng minh  chuẩn phi-Archimedean 3.7.1.2 Định lý:  C( Z xZ P P  CP ),   không gian Banach Cp Chứng minh: Lấy  fn nN  C  Z p xZ p  C p  dãy Cauchy, ta có   0, N  : m, n  N  fn ( x , y )  fm ( x, y) p   ; x , y  Z p Mặt khác Cp đầy đủ n   f  x , y   C p : fn ( x , y )   f  x, y    '  0, N '  : n  N '  fn ( x , y )  f ( x , y ) p   ' Chọn M  Max N , N ' ta có  m, n  M  fn ( x , y )  f ( x , y ) p  Max fn ( x , y)  fm ( x , y ) p , fm ( x , y )  f ( x , y ) p  Max  ,  '   fn nN hội tụ Vậy C( ZP x ZP  CP ) không gian Banach Cp ª  3.7.2 Cơ sở Mahler C( ZP x ZP  CP ): 3.7.2.1 Định lý:  x   y Các hàm      Z p  x, y  ; m, n  N sở trực chuẩn C(ZP x ZP  CP) m n  Chứng minh:  x   y Trước tiên ta chứng minh      Z p  x, y  ; m, n  N tập trực chuẩn m n  Xét f  x, y   a ij i  0, m j  0, n  x  y      C  Z p xZ p  C p  i  j Trước tiên ta cố định biến y, xem f hàm liên tục theo biến x,  x        , i  0,1, , m tập trực giao C( ZP  CP ), theo định lý 2.4.5 ta có i a ij i  0, m j  0, n  x  y      i  j m  n   a i 0 ij  j 0 p  n  y  x  y          amj     j    i  p  j 0  j   p x   m p  y  y  n  Cũng theo định lý 2.4.5 với hàm  amj   ,   , j  0,1, , n tập trực j 0  j  j   n  y  y giao, ta có  amj    amn p   j 0  jp n p  a ij i  0, m j  0, n  x  y      amn i  j p  x  y      m n  p p  x   y Vậy theo định lý 2.4.5      Z p  x, y  ; m, n  N tập trực giao m n  Lại có   x   y     x   y    x   y      Max      ; x, y  Z p   Max      ; x, y  Z p   1; m, n  N m n     m   n  p    m  p  n  p   x   y Vậy      Z p  x, y  ; m, n  N tập trực chuẩn m n  Bây ta chứng minh hàm liên tục C( ZP x ZP  CP ) biểu diễn  x   y dạng tổ hợp tuyến tính      Z p  x, y  ; m, n  N m n  Xét f  C  Z p xZ p  C p  ( x , y )  Z p xZ p , ta cố định biến y, xem f hàm liên tục theo biến x,  x  m0   theo định lý 2.5.3 ta có a0 , a1 ,  C p : f ( x , y )   am  y    m    x  y Tương tự với hàm liên tục am  y  ta có am , am1 ,  C p : f ( x , y )    amn     m0 n0  m n Vậy hàm liên tục C( ZP x ZP  CP ) biểu diễn dạng tổ hợp  x   y tuyến tính      Z p  x, y  ; m, n  N Khi theo định lý Kaplansky, rõ ràng m n   x   y không gian sinh     ; m, n  N trù mật C( ZP x ZP  CP ) m n   x   y Từ chứng minh theo định lý 2.4.8 ta có      Z p  x, y  ; m, n  N m n  sở trực chuẩn C( ZP x ZP  CP ) ª 3.7.2.2 Định lý (hệ số Mahler):  x  y  Nếu f  C( ZP x ZP  CP ) có biểu diễn Mahler f ( x , y )   amn     m ,n  m n m n amn     1 i0 j 0 m  n i  j  m n     f  i , j  ; m, n  N  i  j  Chứng minh:  x  y  Ta có f ( x , y )   amn     , cố định biến y, xem f hàm liên tục m ,n  m n theo biến x, theo định lý 2.6.2 ta có hệ số Mahler f m amn  y     1 i0 m i m   f  i, y  ; n  N i Cũng theo định lý 2.6.2 với hàm liên tục amn  y  , hệ số Mahler hàm amn  y  n   1 j 0 Vậy amn ª n m n n n j  n  m m i  m  m  n i  j  n   m    amn  j     1     1   f  i, j      1     f  i, j  j 0 i 0 j 0  j  j  i0 i  j  i  m  n  i  j m n  m n     1     f  i , j  ; m, n  N i0 j 0  i  j  n j KẾT LUẬN Luận văn giải vấn đề sau Trình bày đầy đủ chi tiết kết Mahler sở trực chuẩn khơng gian hàm liên tục C(ZPCP) Tìm biểu diễn Mahler số hàm liên tục ZP hàm số mũ, hàm exp, hàm sin, hàm cos, hàm p-adic Gamma, tổng vô hạn hàm liên tục hàm lũy thừa Mở rộng kết Mahler không gian hàm liên tục hai biến C(ZPxZP CP) Tuy nhiên thời gian có hạn nên chúng tơi chưa tìm hệ số Mahler hàm cụ thể C(ZPxZP CP), hy vọng tiếp tục nghiên vấn đề thời gian tới Mặc dù cố gắng nhiều luận văn khó tránh khỏi nhiều thiếu sót, kính mong Thầy Cơ độc giả bảo lượng thứ Xin chân thành cảm ơn Tp Hồ chí Minh, tháng năm 2008 Người thực Nguyễn Thị Vân Khánh TÀI LIỆU THAM KHẢO Barsky, D (1981), On Morita’s p-adic Gamma function, Math Proc Camb Philos Soc, 89, pp 23-27 Koblitz, N (1977), P-adic numbers, p-adic analysis and zeta-functions, Springer Verlag Koblitz, N (1980), P-adic : a short course on recent work, Cambridge University Press Mahler, K (1958), An interpolation series for a continuous function of a p-adic variable, J.Reine und Angew.Math., 199, pp 23-34 Schikhof, W.H (1984), Ultrametric calculus, an introduction to p-adic analysis, Cambridge University ... HỆ SỐ MAHLER CỦA MỘT SỐ HÀM CƠ BẢN Chương chúng tơi trình bày cách biểu diễn hệ số Mahler số hàm liên tục hàm số mũ, hàm exp, hàm sin, hàm cos, hàm p-adic Gamma, tổng vô hạn hàm liên tục hàm lũy... Định lý : Trong trường số p-adic Cp, ta có kết sau C  p ,  không gian Banach co không gian mở C p coo trù mật co Chương 2: CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC C ( ZP  CP ) Trong chương... chương Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức để nghiên cứu chương sau Chương 2: CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC C(ZPCP) Trong chương này,