Cơ sở mahler trong không gian các hàm liên tục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ VÂN KHÁNH CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực sau q trình tích lũy kiến thức lớp Cao học khóa 15 Lời xin gửi lời cảm ơn sâu sắc lời tri ân đến Thầy hướng dẫn tôi, PGS.TS Mỵ Vinh Quang, thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi nhiều để luận văn hồn thành Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành Thầy Cơ Khoa Tốn - Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Thầy Cô tham gia giảng dạy, quản lý lớp học, truyền đạt cho nhiều kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Ngồi tơi chân thành cảm ơn Anh Chị Khoa Sư phạm Khoa học Tự Nhiên Trường Đại Học Sài Gòn tạo nhiều điều kiện thuận lợi động viên tơi suốt q trình thực luận văn Cảm ơn đồng nghiệp, bạn bè động viên giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2008 Nguyễn Thị Vân Khánh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Không gian hàm liên tục C( Z p Cp ) không gian Banach với chuẩn xác định f Max f x , x Z P ; f C Z P CP Có kết đẹp Mahler nói rằng: “Tập đa thức dạng C( Zp Cp )” Quả thực, hạn chế chuyên môn nghiên cứu kết cảm thấy hấp dẫn Thực đề tài giúp tập làm quen với phương pháp nghiên cứu Tốn học hết phát triển tư thân Mục đích nghiên cứu: Mục tiêu luận văn giới thiệu kết Mahler, đồng thời chúng tơi tìm tòi ứng dụng hệ số Mahler số trường hợp cụ thể, ngồi chúng tơi mỡ rộng kết Mahler cho không gian hàm liên tục hai biến C(ZpxZp Cp) Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu luận văn hàm không gian C( Zp Cp ) Tuy nhiên không tập trung vào việc xây dựng hàm liên tục Cp, phạm vi nghiên cứu chúng tơi tìm tịi cách biểu diễn hàm qua sở Mahler Cấu trúc luận văn: Luận văn bao gồm chương Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức để nghiên cứu chương sau Chương 2: CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC C(ZP CP) Trong chương này, chứng minh định lý Kaplansky, định lý quan trọng để xây dựng sở Mahler Đặc biệt nghiên cứu sở trực giao, trực chuẩn tính chất nó, để từ hiểu rõ việc xây dựng sở trực chuẩn Mahler không gian hàm liên tục C(Z p Cp), nghiên cứu tính chất kết liên quan đến sở Mahler, hệ số Mahler Chương 3: HỆ SỐ MAHLER CỦA MỘT SỐ HÀM CƠ BẢN Chương trình bày cách biểu diễn hệ số Mahler qua vài hàm hàm số mũ, hàm exp, hàm sin, hàm cos, hàm p-adic Gamma, tổng vô hạn hàm liên tục, hàm lũy thừa Ngoài cuối chương chúng tơi có mở rộng sở cơng thức tính hệ số Mahler khơng gian hàm liên tục hai biến C(Z pxZp Cp) Người thực Nguyễn Thị Vân Khánh Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Chương chúng tơi trình bày số kiến thức để người đọc dễ dàng nắm bắt chương sau, nhiên chứng minh số kết sử thường xuyên chương sau, kết chưa chứng minh độc giả dễ dàng tìm thấy mục phần tài liệu tham khảo 1.1 Chuẩn trường: 1.1.1 Định nghĩa: Cho K trường, ta nói chuẩn K ánh xạ : K R thỏa điều kiện sau i) x K , x x x ii) x , y K , x y x y iii) x , y K , x y x y Ví dụ: Trường số hữu tỉ Q với giá trị tuyệt đối thông thường chuẩn Q 1.1.2 Định nghĩa: Cho chuẩn trường K, thoả điều kiện mạnh iii) iii)’ x , y K , x y Max x , y ta nói chuẩn phi-Archimedean Ví dụ: Trên trường số hữu tỉ Q ta có số chuẩn phi-Archimedean sau Chuẩn tầm thường: x neáu x neáu x 0 Chuẩn p-adic: x p p neáu x ( p số nguyên tố ) ord p x neáu x Trong Nếu x = ordp Nếu x Z \ ord p x số mũ p phân tích x thành thừa số nguyên tố Ví dụ: x = 50 = ord5 50 Nếu x Q \ , giả sử x ord p x a b ; a, b Z , b 0, a, b 1, ord p a ord p b Ví dụ: x 1.1.3 Định lý Oxtropxki: Mọi chuẩn không tầm thường Q tương đương với chuẩn (p số nguyên tố đó) tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường Q 1.1.4 Tính chất: Cho chuẩn trường K phần tử đơn vị K Ta có tính chất sau x K, x x 1 x K\ 0,x1 x Chứng minh: Ta có x K , x 2x xx x2 x2 p Vậy x x Ta có 12 , mà Vậy 1 Ta có x x x x 1, mà x (vì x ≠ 0) Vậy x 1 x ª 1.1.5 Nguyên lý tam giác cân: Cho chuẩn phi-Archimedean trường K Nếu x y x y Max x , y Chứng minh: Khơng tính tổng qt ta giả sử x Theo tính phi-Archimedean ta có x y Mặt khác y x x y Max x Nếu Max x y , x x y Vậy Max x y , x x y Từ (*) (**) ta có x y Hiển nhiên x y x y Max x , y y (*) y,x x , trái giả thiết x y (**) y y y y Max x , y Max x , y Max x , y ª 1.2 Các trường số p –adic: 1.2.1 Xây dựng trường Qp: Từ định lí Oxtropxki, ta thấy chuẩn không tầm thường Q tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường, chuẩn phi-Archimedean p Mặt khác, ta biết làm đầy đủ Q theo chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường ta trường số thực R Vậy làm đầy đủ Q theo p ta trường mà ta gọi trường số p-adic QP Cụ thể cách xây dựng sau Gọi S tập hợp dãy Cauchy hữu tỉ theo tương đương sau: x n y n lim x n yn p , S ta định nghĩa quan hệ n Ta gọi QP tập hợp lớp tương đương theo quan hệ trang bị cho QP hai phép toán cộng nhân sau: xn y n x n yn xn yn x n yn Khi dễ dàng chứng minh (QP, +, ) trường gọi trường x Qp Khi số p-adic Chuẩn Q Nếu Trường số hữu tỉ Q xem trường QP nhờ ánh xạ nhúng a Tập hợp Z P nguyên p-adic Với x Q x QP : k k Lấy k J phân hệ thặng dư theo modul p , ta p lớp, ký hiệu làVi ; i 0,1, , pk , lớp có p J-k phần tử 0,1, , pk m0 Lấy Vi bất kỳ; i Vi ta có am m Vi p J k mà p Lại có m m0 mod p k f m f m0 p m m0 p p k k k (vì f liên tục ZP) Chọn k J f m f m0 Vậy Max Ta có S S J n p n p sup Sn nN Vậy Sn pJ Sn p J aj n j ª 3.5.1.2 Hệ quả: Cho f C Z p Cp , ta có Sn 3.5.1.3 Định nghĩa: Với dãy nội suy p-adic Sfn n , ta gọi Sf C Z p Cp thỏa Sf n Sfn ; n N tổng vô hạn f Nhận xét: Ta có tập số tự nhiên N trù mật Z p Sf liên tục lim Sf x n x Zp, xn N : lim x n Sf x n Ta có Sf x lim Sf x n x Vậy Sf x f j; x Zp j 3.5.2 Định lý (hệ số Mahler hàm tổng vô hạn): Cho f C Z p Cp , giả sử f có biểu diễn Mahler f xa n n Sf có biểu diễn Mahler Sf x Nói cách khác Sf có biểu diễn Mahler hệ số Mahler Sf có dạng b0 Chứng minh: Ta có b0 Sf 0 Lại có Sf x f xa nSf x Sf x n b n n bn an 1; n x ª 3.6 Hệ số Mahler hàm lũy thừa: Với số tự nhiên m, giả sử ta có biểu diễn Mahler có kết sau a00 1; a0 m an0 anm1 a n , m n anm a n 1,m ; n n ! a nm ; n , m N Chứng minh: Với m = ta có x0 1 x Với m 0; n tất đa thức ; i 1đều không x m0 x Với n > m hiển nhiên anm Theo định lý 2.6.2 ta có Theo định lý 2.6.4 ta có xm an ,m Ta có xm x xm Nếu n = 0, hiển nhiên ! Bây ta chứng minh n ! anm ; n quy nạp theo m Với m = an0 n ! an0 ; n Giả sử ta có n ! anm ; n Ta cần chứng minh n ! an ,m ; n Với n 1, theo kết chứng minh ta có a n , m n anm an 1,m Theo giả thiết quy nạp ta có n ! anm n ! an 1,m n ! n anm an 1,m hay n ! an ,m ; n Vậy n ! a nm ; n , m N ª 3.7 Cơ sở Mahler không gian hàm liên tục C( ZP x ZP 3.7.1 Không gian hàm liên tục C( ZP x ZP 3.7.1.1 Chuẩn C( ZP x ZP CP ): CP ): CP ): Trên không gian vectơ hàm liên tục C( ZP x ZP CP ) ta định nghĩa chuẩn sau: Max f ( x , y ) p ; x , y Z p ; f C Z p xZ p Cp f Dễ dàng chứng minh chuẩn phi-Archimedean 3.7.1.2 Định lý: C( ZP xZPCP ), không gian Banach Cp Chứng minh: Lấy fn C Z p xZ p Cp dãy Cauchy, ta có nN 0, N 0: m,nN f n (x , y ) f m (x , y ) p ; x,y Zp Mặt khác Cp đầy đủ f x , y C p : f n (x , y ) n f x,y ' 0, N ' : n N 'f n (x , y ) Chọn M f ( x , y) p ' Max N , N ' ta có m,n M f n (x , y ) f(x,y)p y ) p , f m (x , y ) f ( x , y) p Max Max , ' fn n N hội tụ Vậy C( ZP x ZP CP ) khơng gian Banach Cp ª f n (x , y ) f m (x , 3.7.2 Cơ sở Mahler C( ZP x ZP CP ): 3.7.2.1 Định lý: Chứng minh: Xét i j 0,n Trước tiên ta cố định biến y, xem f hàm liên tục theo biến x, x , i 0,1, ,m tập trực giao C( ZP i a x ij 0,m y i i j j 0,n y Cũng theo định lý 2.4.5 với hàm amj n n giao, ta có j x a ij i j 0,n Vậy theo định lý 2.4.5 Lại có 0,m i y x y m n Vậy x m y n Zp x, Bây ta chứng minh hàm liên tục C( ZP x ZP dạng tổ hợp tuyến tính CP ) biểu diễn x m Xét f C Z p xZ p Cp ( x, y ) Z p xZp , ta cố định biến y, xem f hàm liên tục theo biến x, theo định lý 2.5.3 ta có a , a , C 01 Tương tự với hàm liên tục am y ta có am , am , C p : f ( x , y ) a mn Vậy hàm liên tục C( ZP x ZP tuyến tính CP ) biểu diễn dạng tổ hợp x y m n không gian sinh x m n Từ chứng minh theo định lý 2.4.8 ta có sở trực chuẩn C( ZP x ZP x y CP ) ª 3.7.2.2 Định lý (hệ số Mahler): Nếu f C( ZP x ZP CP ) có biểu diễn Mahler f ( x , y )amn m,n mn Chứng minh: Ta có f ( x , y ) amn m,n theo biến x, theo định lý 2.6.2 ta có hệ số Mahler f amn y1 m i m i Cũng theo định lý 2.6.2 với hàm liên tục amn y , hệ số Mahler hàm ª amn y n j Vậy a mn m i,j i KẾT LUẬN Luận văn giải vấn đề sau Trình bày đầy đủ chi tiết kết Mahler sở trực chuẩn khơng gian hàm liên tục C(ZP CP) Tìm biểu diễn Mahler số hàm liên tục ZP hàm số mũ, hàm exp, hàm sin, hàm cos, hàm padic Gamma, tổng vô hạn hàm liên tục hàm lũy thừa Mở rộng kết Mahler không gian hàm liên tục hai biến C(ZPxZP CP) Tuy nhiên thời gian có hạn nên chúng tơi chưa tìm hệ số Mahler hàm cụ thể C(ZPxZP CP), hy vọng tiếp tục nghiên vấn đề thời gian tới Mặc dù cố gắng nhiều luận văn khó tránh khỏi nhiều thiếu sót, kính mong Thầy Cơ độc giả bảo lượng thứ Xin chân thành cảm ơn Tp Hồ chí Minh, tháng năm 2008 Người thực Nguyễn Thị Vân Khánh TÀI LIỆU THAM KHẢO Barsky, D (1981), On Morita’s p-adic Gamma function, Math Proc Camb Philos Soc, 89, pp 23-27 Koblitz, N (1977), P-adic numbers, p-adic analysis and zeta-functions, Springer Verlag Koblitz, N (1980), P-adic : a short course on recent work, Cambridge University Press Mahler, K (1958), An interpolation series for a continuous function of a p-adic variable, J.Reine und Angew.Math., 199, pp 23-34 Schikhof, W.H (1984), Ultrametric calculus, an introduction to p-adic analysis, Cambridge University ... 1.4.2 Định lý : Trong trường số p-adic Cp, ta có kết sau khơng gian Banach Cp , co không gian mở Cp coo trù mật co Chương 2: CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC C ( ZP CP ) Trong chương... quan đến sở Mahler, hệ số Mahler Chương 3: HỆ SỐ MAHLER CỦA MỘT SỐ HÀM CƠ BẢN Chương chúng tơi trình bày cách biểu diễn hệ số Mahler qua vài hàm hàm số mũ, hàm exp, hàm sin, hàm cos, hàm p-adic... gồm chương Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương này, trình bày số kiến thức để nghiên cứu chương sau Chương 2: CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC C(ZP CP) Trong chương này, chứng