cơ sở vanderput cho không gian các hàm liên tục trên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Tp. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THANH DŨNG CƠ SỞ VANDERPUT CHO KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN p ¢ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Tp. Hồ Chí Minh - 2011 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành nhờ quá trình tích lũy kiến thức lâu dài ở trường ĐHSP Quy Nhơn và lớp cao học Toán, chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số khóa 19 của trường ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh. Đầu tiên tôi xin tỏ lòng tôn kính và biết ơn sâu sắc tới thầy PGS. TS Mỵ Vinh Quang, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này. Phương pháp làm việc của thầy rất nghiêm minh, khoa học và đạt hiệu quả cao. Thầy cũng đã đọc bản thảo và đưa ra những nhận xét sắc đáng về cách trình bày giúp luận văn được rõ ràng, mạch lạc hơn. Chân thành cảm ơn qúy thầy, cô trong khoa Toán – Tin học; khoa Giáo dục chính trị của trường ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh; quý thầy, cô trong khoa Toán – Tin học trường ĐHKHTN Tp. Hồ Chí Minh đã tận tâm truyền thụ những kiến thức nền tảng giúp tôi hoàn thành luận văn này. Cảm ơn Ban giám hiệu; quý thầy, cô công tác tại phòng KHCN và Sau đại học của trường ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành khóa học cũng như trong suốt quá trình làm luận văn. Cuối cùng, xin cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô trong tổ Toán – Tin học trường THPT Ngô Gia Tự; gia đình, bè bạn đã tạo điều kiện thuận lợi cả về vật chất lẫn tinh thần cho tôi trong suốt quá trình học tập. Tp Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011 Nguyễn Thanh Dũng MỤC LỤC CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN p: số nguyên tố ¥ : tập hợp các số tự nhiên * ¥ : tập hợp các số nguyên dương ¢ : tập hợp các số nguyên ¤ : tập hợp các số hữu tỉ ¡ : tập hợp các số thực £ : tập hợp các số phức p ¢ : vành các số nguyên p – adic p ¤ : trường số p – adic µ p p =£¤ p : giá trị tuyệt đối p – adic trong p ¤ p : giá trị tuyệt đối p – adic trong p £ _ n nn γ = − {} nn x : dãy chuẩn của x []a : phần nguyên của số nguyên a [] p a : phần nguyên p – adic của a W : kết thúc phép chứng minh MỞ ĐẦU Các số p – adic được mô tả lần đầu tiên bời Kurt Hensel vào năm 1897, hơn một trăm năm qua chúng đã từng bước thâm nhập vào nhiều ngành toán học như: Lý thuyết số, Hình học đại số, Tôpô đại số, Giả tích và cả Vật lý đặc biệt là Vật lý lượng tử. Bộ môn toán học nghiên cứu các hàm với biến số là các số p – adic gọi là giải tích p – adic. Không gian các hàm liên tục trên p ¢ , ( ) pp C →¢£ , là một không gian Banach với chuẩn { } ( ) max ( ) , , p pp p f fx x f C ∞ = ∀∈ ∀∈ →¢ ¢£ Mahler đã chỉ ra rằng tập các đa thức dạng , 0,1,2, x n n  =   lập thành một cơ sở trực giao của ( ) pp C →¢£ , gọi là cơ sở Mahler. Cơ sở này đã có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu các hàm liên tục trên p ¢ . Theo hướng nghiên cứu này, Vanderput đã đưa ra một cơ sở trực giao khác của ( ) pp C →¢£ bao gồm các hàm hằng địa phương và cũng có nhiều ứng dụng. Bởi vậy, chúng tôi chọn đề tài “ Cơ sở Vanderput cho không gian các hàm liên tục trên p ¢ ” vơi mục đích tiếp tục làm rõ thêm một số kết quả về cơ sở này. Mục đích chính của luận văn là xây dựng cơ sở Vanderput cho không gian các hàm liên tục trên p ¢ . Nghiên cứu và mở rộng một số tính chất của cơ sở này. Đồng thời, xây dựng các ứng dụng của cơ sở này để biểu diễn các hàm liên tục trên tập p ¢ . Luận văn giới thiệu đầy đủ, chi tiết cách xây dựng cũng như các tính chất cơ bản của cơ sở Vanderput. Chúng tôi đã cố gắng tìm tòi để đưa ra những ứng dụng của cơ sở này trong việc nghiên cứu các hàm liên tục, khả vi liên tục trên p ¢ ; các hàm thỏa điều kiện Lipchitz cấp a dương. Cấu trúc của luận văn gồm 2 chương Chương 1: Các kiến thức cơ bản Chương này giới thiệu các kiến thức cơ bản dùng cho chương sau như: các trường số p - adic, không gian các hàm liên tục trên p ¢ , cơ sở trực giao, trực chuẩn của một không gian. Chương 2: Cơ sở Vanderput cho không gian các hàm liên tục trên p ¢ Chương này là chương chính của luận văn, trình bày đầy đủ, chi tiết cách xây dựng cơ sở Vanderput và các tính chất của nó. Trình bày các đặc trưng của hệ số Vanderput đối với lớp hàm khả vi liên tục. Đưa ra công thức tính tích phân Volkenborn theo cơ sở này. Cuối cùng là mở rộng kết quả của Vanderput cho không gian các hàm liên tục hai biến ( ) pp p C ×→¢¢ £ . Tp. Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011 Tác giả Nguyễn Thanh Dũng Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương này, chúng tôi nêu cách xây dựng các trường số p – adic. Đồng thời đưa ra khái niệm hàm liên tục, không gian các hàm liên tục; cơ sở trực giao – trực chuẩn của một không gian; nêu và chứng minh chi tiết các tính chất cơ bản của chúng mà sẽ được sử dụng trong chương 2. 1.1 Trường các số p – adic Để xây dựng trường các số p – adic p ¤ và p £ , trước hết ta cần khái niệm giá trị tuyệt đối trên một trường. 1.1.1.Định nghĩa Cho K là một trường, ánh xạ : K → ¡ được gọi là một giá trị tuyệt đối trên K nếu: 1) 0, ; 0 0x x Kx x≥ ∀∈ = ⇔ = 2) ., ,xy x y x y K= ∀∈ 3) ,,x y x y xy K+≤+ ∀ ∈ Nếu thỏa điều kiện 3’) { } max , , ,x y x y xy K+≤ ∀ ∈ thì gọi là giá trị tuyệt đối phi - Acsimét. Ví dụ 1 Trên trường số hữu tỷ ¤ , giá trị tuyệt đối thông thường là một giá trị tuyệt đối trên trường ¤ Ví dụ 2 Trên trường số hữu tỷ ¤ , ta có một số giá trị tuyệt đối phi – Acsimét 1) Giá trị tuyệt đối tầm thường 0, 0 1, 0 x x x =  =  ≠  2) Với x∈¤ , ta ký hiệu () p ord x là số mũ của p trong sự phân tích x thành tích các thừa số nguyên tố, với quy ước (0) p ord = ∞ . Khi đó, hàm định bởi () 0, 0 , 1 ,0 p ord x p x xx x p =   = ∀∈   ≠     ¤ là một giá trị tuyệt đối phi – Acsimét trên trường ¤ . Cho là một giá trị tuyệt đối trên trường K. Ta định nghĩa hàm :dK K×→¡ như sau: (,) , ,dxy x y xy K=−∀ ∈ . Do là một giá trị tuyệt đối trên K nên ta kiểm tra được d là một mêtríc trên K và do đó (K, d) là một không gian mêtríc, gọi là không gian mêtríc sinh bởi giá trị tuyệt đối. 1.1.2 Định nghĩa Cho 12 , là hai giá trị tuyệt đối trên trường K. Ta nói rằng hai giá trị tuyệt đối này tương đương nếu: {} n x là dãy Côsi theo 1 khi và chỉ khi {} n x là dãy Côsi theo 2 . Chú ý rằng: {} n x là dãy Côsi theo giá trị tuyệt đối , nghĩa là: , 0 mn mn xx →+∞  −→   ( ) 0, : , , o om n n nm n x x εε ⇔∀ > ∃ ∈ ∀ > − <¥ 1.1.3 Định lý Oxtropxki Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường trên ¤ đều tương đương với giá trị tuyệt đối p (p là số nguyên tố nào đó) hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường trên ¤ . 1.1.4 Định lý Cho là một giá trị tuyệt đối phi – Acsimét trên trường K. Khi đó, nếu xy≠ thì { } max ,xy xy±= . Chứng minh Trước hết ta chứng minh max{ , }xy xy−= . Không mất tính tổng quát, ta giả sử xy> . Khi đó, max{ , }xy xy x−≤ = hay xy x+≤ (1) Mặt khác, ( )) max{ , }x y xy xyy=+− ≤ − . Nếu max{ , }xyy y−= thì xy≤ , trái giả thiết. Do vậy max{ , }xyy xy−=− hay x xy≤− (2) Từ (1) và (2) suy ra max{ , }xy x xy−= = . Cuối cùng ta chứng minh max{ , }xy x xy+== . Ta có ( ) max{ , } max{ , }xy x y x y xy+ = −− = − = . W 1.1.5 Trường các số p – adic p ¤ Xét p là giá trị tuyệt đối p – adic trên ¤ ; () 1 () , p ord x p xx p = ∀∈¤ . Ký hệu S là tập tất cả các dãy Côsi trong ¤ theo p . Trên S xét quan hệ tương đương ~ cho như sau: { },{ } ,{ } ~ { } lim( ) 0 n n n n nn n x y x y xy →∞ ∀ ⊂ ⇔ −=¤ . Ký hiệu { } { }:{ } trong theo ~ p nn p S x x Cosi= =¤¤ . Ta sẽ trang bị hai phép toán cộng và nhân cho p ¤ để nó trở thành một trường. Phép cộng: { }, { } , { } n n p nn x xy y xy x y∀= = ∈ + = +¤ Phép nhân: { }, { } , . { . } n n p nn x x y y xy x y∀= = ∈ =¤ Ta chứng minh được với hai phép toán cho như trên P ¤ là một trường với: Phần tử không: 0 { 0} n x= = Phần tử đơn vị: 1 { 1} n x= = Phần tử đối: {} n xx= thì {} n xx−=− Phần tử nghịch đảo: Với {}0 n x ≠ . Ta có 0 n x / : suy ra 0N∃> sao cho ,0 n p n Nx a∀> = ≠ . Khi đó dãy {} n y , với 1 0, , n n nN y xnN − ≤  =  >  , là một dãy Côsi trong ¤ theo p , và { }.{ } 1 nn xy= . Tức phần tử nghịch đảo của {} n x là phần tử {} n y . Xét : , ( ) { }, pn x xxx θθ → = = ∀∈¤¤ ¤ , ta chứng minh được θ là đơn cấu trường. Do đó, ta có thể coi p ⊂¤¤ . Với {} np xx= ∈¤ , ta định nghĩa lim n p n xx →∞ = . Kiểm tra được là một chuẩn trên p ¤ . Hơn nữa, mọi dãy Côsi trong ( ) , p ¤ đều hội tụ trong ( ) , p ¤ , tức ( ) , p ¤ là một mở rộng của ( ) , p ¤ . Để tiện trình bày, ta cũng ký hiệu giá trị tuyệt đối trong p ¤ là p . Ký hiệu { } :1 pp p xx=∈≤¢¤ . Khi đó, p ¢ là vành con của trường p ¤ . Hơn nữa, , {0,1, , 1} pi xa p∀∈ ∃ ∈ −¢ , 1 0 nn onn n x a ap ap ap ∞ = =+ ++ += ∑ LL . Nếu ,1 p p xx∈>¤ thì ,1 m p m px∃∈ ≤¥ hay m p x px ′ = ∈¢ . Do đó, {0,1, , 1} i ap∃∈ − sao cho 0 i i i x ap ∞ = ′ = ∑ . Suy ra i i im x ap ∞ =− = ∑ . Nói cách khác: với mỗi p x∈¤ luôn tồn tại {0,1, , 1} i ap∈− sao cho i i im x ap ∞ =− = ∑ , trong đó m p xp = . Trong p ¤ , ta định nghĩa: Hình cầu mở tâm a bán kính r là tập ( ) { } ,/ p p Bar x x a r=∈ −<¤ Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập ( ) { } ,/ p p B ar x x a r=∈ −≤¤ Mặt cầu tâm a bán kính r là tập ( ) { } ,/ p p S ar x x a r=∈ −=¤ Từ định nghĩa cho thấy ( ) 0,1 p B=¢ . Mặt khác, vì tôpô trên p ¤ là tôpô cảm sinh từ chuẩn phi – Acsimét nên nó có một vài tính chất khác lạ. Cụ thể: 1) Mọi hình cầu, mặt cầu trong p ¤ đều là tập vừa đóng vừa mở. 2) Hai hình cầu trong p ¤ hoặc rời nhau hoặc lồng vào nhau. 3) Mọi hình cầu, mặt cầu trong p ¤ đều có vô số tâm, vô số ban kính. 4) p ¤ chỉ có một số đếm được các hình cầu, mặt cầu. [...]... C S VANDERPUT CHO KHễNG GIAN CC HM LIấN TC TRấN Âp Chng ny s gii thiu c th, chi tit cỏch xõy dng c s Vanderput cho khụng gian cỏc hm liờn tc trờn  p , C (  p Ê C ( p ì  p Ê p p ); c s Vanderput cho cỏc hm liờn tc trờn  p ì  p , ) ng thi, a ra mt s tớnh cht v ng dng ca c s ny trong vic nghiờn cu cỏc hm kh vi liờn tc; cỏc hm tha iu kin Lipchitz v cụng thc tớnh tớch phõn Volkenborn qua h s Vanderput. .. tc Nhn xột C1 ( X K ) l khụng gian nh chun vi chun = max { f f1 , 1 f / f C1 ( X K )} 1.2.10 nh ngha Cho ( K , ) l mt trng, X K , a > 0 Hm f : X K c gi l tha iu kin Lipschitz cp a nu tn ti s M > 0 sao cho: f ( x) f ( y ) M x y , x, y X a Ký hiu Lipa ( X K ) l K khụng gian vect gm tt c cỏc hm f : X K tha iu kin Lipschitz cp a Nhn xột Lip1 ( X K ) l khụng gian Banach vi chun = max { f... cn m ca xo sao cho f ( x) = a , x U Khi ú, > 0 , vỡ U l lõn cn m ca xo nờn > 0 sao cho B ( xo , ) U , ta cú f ( x) f ( xo ) = a a = 0 < , x B ( xo , ) Vy f liờn tc W 1.2.5 nh ngha Cho E l mt khụng gian vộct trờn trng ( K , ) Mt chun trờn E l mt ỏnh x :E Ă tha ba tớnh cht: 1) x 0, x E ; x = 0 x = 0 2) = x , x E , K x 3) x + y x + y , x, y E ( E, ) Cp gi l khụng gian nh chun Nu... s ny trong vic nghiờn cu cỏc hm kh vi liờn tc; cỏc hm tha iu kin Lipchitz v cụng thc tớnh tớch phõn Volkenborn qua h s Vanderput 2.1 C s Vanderput cho khụng gian C (  p Ê p ) Cho p l mt s nguyờn t, vi mi s nguyờn dng n luụn tn ti cỏc s ai {0;1; ; p 1} , i =sao cho n = ao + a1 p + L + as p s , trong ú s = log p n , gi l khai trin p 1, s phõn ca n Ký hiu n _ = ao + a1 p + L + as 1 p s 1 2.1.1... = 0 n p < 1.2 Khụng gian cỏc hm liờn tc Cho K l mt trng vi giỏ tr tuyt i v X l tp con ca K 1.2.1 nh ngha f :X K Hm c gi l liờn tc ti a X nu lim f ( x) = f (a ) , ngha l x a >, > 0, x X : x a < f ( x) f (a ) < Nu f liờn tc ti mi im thuc X thỡ ta núi f liờn tc trờn X Ký hiu C ( X K ) l tp tt c cỏc hm liờn tc trờn X 1.2.2 Mnh C ( X K ) l K khụng gian vộct vi phộp toỏn cho nh sau: Phộp cng:... m + p m 1 a n =1 n p s ( n )1 W 2.4 c trng ca h s Vanderput cho mt s lp hm Cho K l mt trng vi giỏ tr tuyt i , S l tp con ca K Tp S c gi l tp li nu n n i =1 i =1 1 thỡ x1 , x2 , , xn S v 1 , , n K , i 1, i = i xi S T nh ngha trờn ta nhn thy, nu S l mt hỡnh cu m thỡ S l tp li Vn dng khỏi nim ny ta s chng minh c mt b quan trng sau: 2.4.1 B Cho f C ( p Ê p ) , B l mt hỡnh cu trong  p , S... 1 1 xz zy < 1, 0, >, x X , x a < f ( x) b < ) x a 1.2.8 nh ngha Cho X l mt tp con khỏc rng ca trng K v a l mt im t ca X Hm f : X K c gi l kh vi ti a nu tn ti gii hn lim x a Ký hiu: f (a... {0,1, , p n 1} tha x y p n thỡ y = xn 2) Cho x, y  p , n Ơ Khi ú, i) x y p p n khi v ch khi xn = yn ii) x y p =khi v ch khi xn = yn v xn+1 yn+1 pn 3) Hm x a xn ( x  p ) l hng trờn tp a + p n  p (a  p , n Ơ * ) 4) Cho x, y  p , n Ơ Khi ú, xn yn p 0, x y p pn = n x y p, x y p > p 5) ( xn ) m= xmin{n ,m} ,( x  p , n, m Ơ ) 6) Cho x  p , m Ơ Khi ú, m < x x m p < 1 m... cht ca c s Vanderput Gi s f :  p Ê p Vi mi s nguyờn dng N, ta cú N N f (0)eo ( x) + ( f (n) f (n _) ) en ( x) = + ( f (n) f (n _) ) f (0) n n = 1= 1 n< x =+ f (0) ( f (x ) f (x )) i xi N i 1 = f ( xk ( N ) ) Trong ú, xk ( N ) l s ln nht trong cỏc xi bộ hn N Vn dng tớnh toỏn ny ta cú nh lý sau: 2.2.1 nh lý Cho hm f :  p Ô p Khi ú, hai iu sau l tng ng 1) Tn ti ao , a1 , Ô + p sao cho f = . gian các hàm liên tục trên p ¢ ” vơi mục đích tiếp tục làm rõ thêm một số kết quả về cơ sở này. Mục đích chính của luận văn là xây dựng cơ sở Vanderput cho không gian các hàm liên tục trên p ¢ một không gian. Chương 2: Cơ sở Vanderput cho không gian các hàm liên tục trên p ¢ Chương này là chương chính của luận văn, trình bày đầy đủ, chi tiết cách xây dựng cơ sở Vanderput và các. dựng các trường số p – adic. Đồng thời đưa ra khái niệm hàm liên tục, không gian các hàm liên tục; cơ sở trực giao – trực chuẩn của một không gian; nêu và chứng minh chi tiết các tính chất cơ