Cơ sở vanderput cho không gian các hàm liên tục trên ¢p

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM Tp H CH MINH NGUYN THANH DNG C S VANDERPUT CHO KHễNG GIAN CC HM LIấN TC TRấN  p LUN VN THC S TON HC Tp H Chớ Minh - 2011 LI CM N Lun ny c hon thnh nh quỏ trỡnh tớch ly kin thc lõu di trng HSP Quy Nhn v lp cao hc Toỏn, chuyờn ngnh i s v Lý thuyt s khúa 19 ca trng HSP Tp H Chớ Minh u tiờn tụi xin t lũng tụn kớnh v bit n sõu sc ti thy PGS TS M Vinh Quang, ngi ó trc tip hng dn tụi sut quỏ trỡnh thc hin ti ny Phng phỏp lm vic ca thy rt nghiờm minh, khoa hc v t hiu qu cao Thy cng ó c bn tho v a nhng nhn xột sc ỏng v cỏch trỡnh by giỳp lun c rừ rng, mch lc hn Chõn thnh cm n qỳy thy, cụ khoa Toỏn Tin hc; khoa Giỏo dc chớnh tr ca trng HSP Tp H Chớ Minh; quý thy, cụ khoa Toỏn Tin hc trng HKHTN Tp H Chớ Minh ó tn tõm truyn th nhng kin thc nn tng giỳp tụi hon thnh lun ny Cm n Ban giỏm hiu; quý thy, cụ cụng tỏc ti phũng KHCN v Sau i hc ca trng HSP Tp H Chớ Minh ó to iu kin tt nht cho tụi hon thnh khúa hc cng nh sut quỏ trỡnh lm lun Cui cựng, xin cm n Ban giỏm hiu, cỏc thy cụ t Toỏn Tin hc trng THPT Ngụ Gia T; gia ỡnh, bố bn ó to iu kin thun li c v vt cht ln tinh thn cho tụi sut quỏ trỡnh hc Tp H Chớ Minh, thỏng 08 nm 2011 Nguyn Thanh Dng MC LC CC Kí HIU DNG TRONG LUN VN p: s nguyờn t Ơ : hp cỏc s t nhiờn Ơ * : hp cỏc s nguyờn dng  : hp cỏc s nguyờn Ô : hp cỏc s hu t Ă : hp cỏc s thc Ê : hp cỏc s phc  p : vnh cỏc s nguyờn p adic Ô p : trng s p adic Ê p =Ô p p : giỏ tr tuyt i p adic Ô p : giỏ tr tuyt i p adic Ê n= n n _ {xn }n : dóy chun ca x [a ] : phn nguyờn ca s nguyờn a [a ] p : phn nguyờn p adic ca a W: kt thỳc phộp chng minh p p M U Cỏc s p adic c mụ t ln u tiờn bi Kurt Hensel vo nm 1897, hn mt trm nm qua chỳng ó tng bc thõm nhp vo nhiu ngnh toỏn hc nh: Lý thuyt s, Hỡnh hc i s, Tụpụ i s, Gi tớch v c Vt lý c bit l Vt lý lng t B mụn toỏn hc nghiờn cu cỏc hm vi bin s l cỏc s p adic gi l gii tớch p adic Khụng gian cỏc hm liờn tc trờn  p , C (  p Ê = f max { f ( x) p } p ) , l mt khụng gian Banach vi chun , x  p , f C (  p Ê p ) x Mahler ó ch rng cỏc a thc dng , n = 0,1, 2, lp thnh mt c s trc giao ca n C ( p Ê p ) , gi l c s Mahler C s ny ó cú nhiu ng dng vic nghiờn cu cỏc hm liờn tc trờn  p Theo hng nghiờn cu ny, Vanderput ó a mt c s trc giao khỏc ca C ( p Ê p ) bao gm cỏc hm hng a phng v cng cú nhiu ng dng Bi vy, chỳng tụi chn ti C s Vanderput cho khụng gian cỏc hm liờn tc trờn  p vi mc ớch tip tc lm rừ thờm mt s kt qu v c s ny Mc ớch chớnh ca lun l xõy dng c s Vanderput cho khụng gian cỏc hm liờn tc trờn  p Nghiờn cu v m rng mt s tớnh cht ca c s ny ng thi, xõy dng cỏc ng dng ca c s ny biu din cỏc hm liờn tc trờn  p Lun gii thiu y , chi tit cỏch xõy dng cng nh cỏc tớnh cht c bn ca c s Vanderput Chỳng tụi ó c gng tỡm tũi a nhng ng dng ca c s ny vic nghiờn cu cỏc hm liờn tc, kh vi liờn tc trờn  p ; cỏc hm tha iu kin Lipchitz cp a dng Cu trỳc ca lun gm chng Chng 1: Cỏc kin thc c bn Chng ny gii thiu cỏc kin thc c bn dựng cho chng sau nh: cỏc trng s p - adic, khụng gian cỏc hm liờn tc trờn  p , c s trc giao, trc chun ca mt khụng gian Chng 2: C s Vanderput cho khụng gian cỏc hm liờn tc trờn  p Chng ny l chng chớnh ca lun vn, trỡnh by y , chi tit cỏch xõy dng c s Vanderput v cỏc tớnh cht ca nú Trỡnh by cỏc c trng ca h s Vanderput i vi lp hm kh vi liờn tc a cụng thc tớnh tớch phõn Volkenborn theo c s ny Cui cựng l m rng kt qu ca Vanderput cho khụng gian cỏc hm liờn tc hai bin C (  p ì  p Ê Tp H Chớ Minh, thỏng 08 nm 2011 Tỏc gi Nguyn Thanh Dng p ) Chng 1: KIN THC C BN Trong chng ny, chỳng tụi nờu cỏch xõy dng cỏc trng s p adic ng thi a khỏi nim hm liờn tc, khụng gian cỏc hm liờn tc; c s trc giao trc chun ca mt khụng gian; nờu v chng minh chi tit cỏc tớnh cht c bn ca chỳng m s c s dng chng 1.1 Trng cỏc s p adic xõy dng trng cỏc s p adic Ô p v Ê p , trc ht ta cn khỏi nim giỏ tr tuyt i trờn mt trng 1.1.1.nh ngha Cho K l mt trng, ỏnh x : K Ă c gi l mt giỏ tr tuyt i trờn K nu: 1) x 0, x K ; x = x = 2) xy= x y , x, y K 3) x + y x + y , x, y K Nu tha iu kin 3) x + y max { x , y } , x, y K thỡ gi l giỏ tr tuyt i phi - Acsimột Vớ d Trờn trng s hu t Ô , giỏ tr tuyt i thụng thng l mt giỏ tr tuyt i trờn trng Ô Vớ d Trờn trng s hu t Ô , ta cú mt s giỏ tr tuyt i phi Acsimột 0, x = 1) Giỏ tr tuyt i tm thng x = 1, x 2) Vi x Ô , ta ký hiu ord p ( x) l s m ca p s phõn tớch x thnh tớch cỏc tha s nguyờn t, vi quy c ord p (0) = Khi ú, hm nh bi x=0 0, = x p ord p ( x ) , x Ô , x p l mt giỏ tr tuyt i phi Acsimột trờn trng Ô l mt giỏ tr tuyt i trờn trng K Ta nh ngha hm d : K ì K Ă nh sau: Cho d ( x, y ) = x y , x, y K Do l mt giỏ tr tuyt i trờn K nờn ta kim tra c d l mt mờtrớc trờn K v ú (K, d) l mt khụng gian mờtrớc, gi l khụng gian mờtrớc sinh bi giỏ tr tuyt i 1.1.2 nh ngha Cho , l hai giỏ tr tuyt i trờn trng K Ta núi rng hai giỏ tr tuyt i ny tng ng nu: {xn } l dóy Cụsi theo v ch {xn } l dóy Cụsi theo Chỳ ý rng: {xn } l dóy Cụsi theo giỏ tr tuyt i xm xn , ngha l: ( > 0, no Ơ : n, m > no , xm xn < ) m , n + 1.1.3 nh lý Oxtropxki Mi giỏ tr tuyt i khụng tm thng trờn Ô u tng ng vi giỏ tr tuyt i p (p l s nguyờn t no ú) hoc tng ng vi giỏ tr tuyt i thụng thng trờn Ô 1.1.4 nh lý Cho l mt giỏ tr tuyt i phi Acsimột trờn trng K Khi ú, nu x y thỡ x y = max { x , y } Chng minh Trc ht ta chng minh x y = max{ x , y } Khụng mt tớnh tng quỏt, ta gi s x > y Khi ú, x y max{ x , y } = x hay x + y x (1) Mt khỏc, x = y + ( x y )) max{ x y , y } Nu max{ x y , y } = y thỡ x y , trỏi gi thit Do vy max{ x y , y } = x y hay x x y (2) T (1) v (2) suy x y = x = max{ x , y } Cui cựng ta chng minh x + y = x = max{ x , y } Ta cú x + y = x ( y ) = max{ x , y } = max{ x , y } W 1.1.5 Trng cỏc s p adic Ô Xột p p ord ( x ) l giỏ tr tuyt i p adic trờn Ô= ; x p ( ) p , x Ô Ký hu S l tt c p cỏc dóy Cụsi Ô theo p Trờn S xột quan h tng ng ~ cho nh sau: {xn },{ yn } Ô ,{xn } ~ { yn } lim( xn yn ) = n S= Ký hiu Ô= p ~ nhõn cho Ô p {{x }:{x } Cosi Ô theo } Ta s trang b hai phộp toỏn cng v n n p nú tr thnh mt trng Phộp cng: x= {xn }, y= { yn } Ô p , x + y= {xn + yn } Phộp nhõn: = x {xn }, = y { yn } Ô p , x.= y {xn yn } Ta chng minh c vi hai phộp toỏn cho nh trờn Ô P l mt trng vi: Phn t khụng:= {= xn 0} Phn t n v:= xn 1} {= Phn t i: x = {xn } thỡ x ={ xn } Phn t nghch o: Vi {xn } Ta cú xn :/ suy N > cho n > N , xn p = a 0, n N Khi ú dóy { yn } , vi yn = , l mt dóy Cụsi Ô theo xn , n > N p , v {xn }.{ yn } = Tc phn t nghch o ca {xn } l phn t { yn } Xột : Ô Ô p , ( x)= {xn = x}, x Ô , ta chng minh c l n cu trng Do ú, ta cú th coi Ô Ô p Vi= x {xn } Ô p , ta nh ngha x = lim xn p Kim tra c l mt chun trờn Ô p n ( Hn na, mi dóy Cụsi Ô , p ) u hi t ( Ô p ) , tc ( Ô , p , ) l mt m rng ca (Ô , ) p tin trỡnh by, ta cng ký hiu giỏ tr tuyt i Ô { p l p } Ký hiu  p = x Ô p : x p Khi ú,  p l vnh ca trng Ô p Hn na, x  p , {0,1, , p 1} , x = ao + a1 p + L + an p + L = n a n =0 n pn Nu x Ô p , x p > thỡ m Ơ , p m x hay= x p m x  p Do ú, {0,1, , p 1} p cho x = p Suy x = i i =0 cho x = a p Núi cỏch khỏc: vi mi i i= m a p , ú i i= m i i xÔ p luụn tn ti {0,1, , p 1} x p = pm Trong Ô p , ta nh ngha: { Hỡnh cu m tõm a bỏn kớnh r l B ( a, r ) = x Ô p / x a p < r { } Hỡnh cu úng tõm a bỏn kớnh r l B ( a, r ) = x Ô p / x a p r { Mt cu tõm a bỏn kớnh r l S ( a, r ) = x Ô p / x a p =r } } T nh ngha cho thy  p = B ( 0,1) Mt khỏc, vỡ tụpụ trờn Ô p l tụpụ cm sinh t chun phi Acsimột nờn nú cú mt vi tớnh cht khỏc l C th: 1) Mi hỡnh cu, mt cu Ô 2) Hai hỡnh cu Ô p p u l va úng va m hoc ri hoc lng vo 3) Mi hỡnh cu, mt cu Ô 4) Ô p p u cú vụ s tõm, vụ s ban kớnh ch cú mt s m c cỏc hỡnh cu, mt cu