Một số đặc trưng của các bán vi phân féchet của hàm liên tục trên không gian n¡

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC BÁN VI PHÂN FRÉCHET CỦA HÀM LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN n ¡ Trần Văn Bằng 1 , Phan Trọng Tiến 2 Tóm tắt: Bài viết này cung cấp những đặc trưng của dưới (trên) vi phân Fréchet của hàm liên tục n biến và một số ví dụ cụ thể về tính trên (dưới) vi phân. Từ khóa: Dưới vi phân, Dưới vi phân Fréchet, Giải tích không trơn 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Dưới (trên) vi phân là các công cụ quan trọng của Giải tích không trơn, chúng có vai trò tương tự như đạo hàm (vi phân) trong Giải tích toán học. Cho đến nay, đã có rất nhiều các kết quả, công trình về các tính chất định tính của các khái niệm này (xem [1,2,5],[8]-[10]). Vai trò quan trọng của các khái niệm này còn được khẳng định qua các ứng dụng ý nghĩa của chúng đối với lí thuyết tối ưu, lí thuyết nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng (xem [3]-[5],[8]-[10] và các tài liệu trích dẫn trong đó). Tuy nhiên đối với nhiều sinh viên đại học, học viên cao học chuyên ngành Toán, các khái niệm này vẫn còn là những khái niệm trừu tượng, thậm chí là xa lạ, ngay cả việc tính toán các dưới vi phân trong các trường hợp cụ thể. Vì vậy bài viết này nhằm mục đích giới thiệu các công cụ quan trọng này của Giải tích không trơn. Trong bài viết này, chúng tôi đề cập tới khái niệm dưới (trên) vi phân Fréchet-một trong những khái niệm bán vi phân đơn giản nhất của hàm liên tục n biến, tập hợp những tính chất, đặc trưng cơ bản nhất để giúp cho người đọc hiểu sâu sắc về chúng và để vận dụng trong việc tính toán cụ thể. Các phép toán về dưới vi phân Fréchet cũng như những liên hệ của dưới vi phân Fréchet với các loại dưới vi phân khác có thể tìm thấy trong [2,8-10]. 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1. Bán vi phân của hàm liên tục Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng các kí hiệu thông dụng sau đây: n ¡ là không gian Euclide n chiều, với tích vô hướng và chuẩn thông thường. 1 n ii i x y x y    , 2 1 || n i i xx    , 11 ( , , ), ( , , ) ; n nn x x x y y y   ¡ Ω n  ¡ là một tập mở, i e là véc tơ đơn vị của trục ,1 ; ( , ) i x i n B x r là hình cầu mở tâm x bán kính 0r  và ( , )B x r là hình cầu đóng tâm x bán kính 0r  . Nếu u khả vi 1 TS, Trường ĐHSP Hà Nội 2 2 ThS, Trường Đại học Quảng Bình (Fréchet) tại Ωx thì đạo hàm của u tại x được kí hiệu là 11 ( ); (Ω), (Ω), (Ω) c Du x C C C lần lượt là tập hợp tất cả các hàm liên tục, khả vi liên tục, khả vi liên tục và có giá compact trong Ω . Định nghĩa 2.1: ([3], trang 28) Cho (Ω).uC Ta gọi các tập hợp ( ) ( ) .( ) ( ) : limsup 0} || {p n yx u y u x p y x D u x yx          ¡ , ( ) ( ) .( ) ( ) : liminf 0} || {p n yx u y u x p y x D u x yx          ¡ lần lượt là trên vi phân và dưới vi phân của u tại x và gọi dưới vi phân hoặc trên vi phân là bán vi phân. Nếu ( ) ( ( ) )D u x D u x      thì ta nói hàm u dưới khả vi (tương ứng, trên khả vi) tại .x Ví dụ 2.1: Tính (0)Du  với :u ¡¡ xác định bởi 1 .sin 0 () 0 0. nÕu nÕu xx ux x x         Theo định nghĩa ta có (0)p D u   khi và chỉ khi 00 ( ) (0) . 1 limsup limsup |sin | . 1 | | 0 | | | | xx u x u p x x pp x x x           nên (0) .Du   (0)p D u   khi và chỉ khi 00 ( ) (0) . 1 liminf liminf |sin | . | | 0 0, | | | | xx u x u p x x p p p x x x             do đó (0) {0}.Du   Nhận xét 2.1: Theo định nghĩa, để tìm bán vi phân, chúng ta cần tìm các giới hạn trên và giới hạn dưới của các biểu thức tương ứng. Tuy nhiên vấn đề này thường không đơn giản, nhất là đối với hàm nhiều biến số. Vì thế chúng ta cần phải chỉ ra các đặc trưng cụ thể hơn. 2.2. Một số tính chất, đặc trưng cơ bản của bán vi phân Đầu tiên chúng ta quan tâm tới mối liên hệ giữa các bán vi phân và tính khả vi của .u Kết quả này được chỉ ra trong mệnh đề sau: Mệnh đề 3.1: ([2], Lemma 1.8) Cho : Ωu  ¡ là một hàm liên tục trên n ¡ . Khi đó i) Nếu u khả vi tại x thì ( ) ( ) { ( )}.D u x D u x Du x   ii) Nếu ()D u x  và ()D u x  là các tập khác rỗng thì u khả vi tại x . Ví dụ 3.2: Tính dưới vi phân của hàm ( ) | |, .u x x x¡ Do u khả vi tại mọi 0, ( ) 1x Du x nếu 0x  và   1Du x  nếu 0x  nên ( ) {1}D u x   nếu 0x  và ( ) { 1}D u x   nếu 0x  . Tại 0x  , tính trực tiếp bằng định nghĩa ta có (0) [ 1,1].Du   Ví dụ 3.2: Tính ( ),D u x  biết 2 2 2 12 ( ) | | .u x x x x   L Do u khả vi trên n ¡ và 1 ( ) ( , , ) 2 n xx Du x u u xL nên ( ) ( ) {2 }.D u x D u x x   Một trong những đặc trưng quan trọng của hàm khả vi tại một điểm là ta có thể xấp xỉ (địa phương) hàm đó với một đa thức bậc nhất. Mệnh đề sau đây sẽ cho chúng ta đặc trưng tương tự của tính dưới (trên) khả vi. Kết quả này được sử dụng khá phổ biến trong các ứng dụng (xem [8]), nhưng chúng tôi chưa thấy phát biểu cụ thể trong tài liệu nào. Chứng minh dưới đây là của chúng tôi, bằng cách sử dụng bổ đề sau: Bổ đề 3.1: ([7], Lemma 1.4) Cho φ (Ω)C và φ khả vi tại 0 Ω.x  Khi đó tồn tại các hàm ψ  và ψ  sao cho 1 ψ (Ω)C   , 00 ψ ( ) φ( ),D x D x   00 ψ ( ) φ( )xx   và ψφ   , ψφ   trên 00 ( , )\{ }B x r x với 0r  nào đó. Mệnh đề 3.2 Cho u là một hàm liên tục trên Ω. Khi đó i) ()p D u x   khi và chỉ khi tồn tại δ0 sao cho ( ) ( ) ( ) (| |), ( ,δ).u y u x p y x o y x y B x       ii) ()p D u x   khi và chỉ khi tồn tại δ0 sao cho ( ) ( ) ( ) (| |), ( ,δ).u y u x p y x o y x y B x       Chứng minh. Giả sử ( ).p D u x   Đặt η( ) ( ( ) ( ) .( )) ,y u y u x p y x      trong đó : max{ ,0}ff   là phần dương của .f Theo giả thiết, η (Ω)C và η khả vi tại yx và η( ) 0Dx vì η( ) 0x  và η( ) η( ) inf 0 sup .lim li | | | | m yx yx yy y x y x     Theo Bổ đề 3.1, tồn tại 1 ψ (Ω)C   sao cho ψ ( ) η( ), ψ ( ) 0x x D x   và ψη   trên ( , ) \{ }B x r x với 0r  nào đó. Khi đó ηψ   đạt cực đại địa phương chặt tại x , (η ψ )( ) 0x   và { ( ) [ ( ) .( )]} ψ ( ) 0, ( , ) \{ }.u y u x p y x y y B x r x         Giả sử ( ) ( ) ( ) (| |), ( ,δ).u y u x p y x o y x y B x       Khi đó ta có ( ) ( ) .( ) (| |) ( ) ( ) .( ) (| |) , | | | | u y u x p y x o y x u y u x p y x o y x y x y x             nên ( ) ( ) .( ) (| |) (| |) sup sup limlim li 0, | | | | | | m yx y x y x u y u x p y x o y x o y x y x y x y x              hay ( ).p D u x   ii) Chứng minh tương tự i). Tiếp theo là một đặc trưng khác của bán vi phân, kết quả này là cầu nối giữa lí thuyết bán vi phân và lí thuyết nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng (xem [3]). Mệnh đề 3.3: ([3], Lemma 1.7]) Cho (Ω).uC Khi đó, i) ()p D u x   nếu và chỉ nếu tồn tại 1 φ (Ω)C sao cho φ( )D x p và φu  đạt cực đại địa phương tại x ; ii) ()p D u x   nếu và chỉ nếu tồn tại 1 φ (Ω)C sao cho φ( )D x p và φu  đạt cực tiểu địa phương tại .x Định nghĩa 3.1: Cho n X  ¡ là một tập lồi, hàm :uX ¡ được gọi là một hàm lồi nếu: ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), , , [0,1].u tx t y tu x t u y x y X t         Đối với các hàm lồi thì dưới vi phân Fréchet trùng với dưới vi phân theo nghĩa Giải tích lồi. Kết quả này đã được nêu dưới dạng bài tập trong [3] (Exercise 1.3). Chứng minh dưới đây là của chúng tôi. Mệnh đề 3.4: Cho n X  ¡ là một tập lồi. Nếu u là một hàm lồi trên X thì ( ) { | ( ) ( ) .( ), }. n Du x p u y u x p y x y X        ¡ Chứng minh. Đặt ( ) { | ( ) ( ) .( ), }. n u x p u y u x p y x y X       ¡ Theo định nghĩa ()ux và Mệnh đề 3.2 ta có ( ) ( ).u x Du x   Ngược lại, nếu ( ),p Du x   theo định nghĩa ta có (,δ) δ0 ( ) ( ) .( ) ( ) ( ) .( ) inf sup inf 0. | | | | lim y x y B x u y u x p y x u y u x p y x y x y x           Mặt khác, u là hàm lồi nên tồn tại δ0 sao cho (,δ) ( ) ( ) .( ) inf 0. || y B x u y u x p y x yx       Suy ra ( ) ( ) .( ) 0, ( ,δ)u y u x p y x y B x      hay ( ) ( ) .( ), ( ,δ).u y u x p y x y B x     Với mọi yX và với mọi δ 0 min ,1 || t yx      thì (1 ) ( ,δ).t x ty B x   Vì u là một hàm lồi nên (1 ) ( ) ( ) ((1 ) ) ( ) ( ),t u x tu y u t x ty u x tp y x        và do đó (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).t u x tu y u x tp y x u y u x p y x         Ví dụ 3.3: Cho hàm : n u ¡¡ xác định bởi 12 ( ) | | | | | |, n u x x x x    với 1 ( , , ) n n x x x¡ . Tính (0)Du  và 0 ()Du x  với { 0 2 (0,0,1, ,1) sè n n x  ¡ . Vì u là một hàm lồi nên theo Mệnh đề 3.4, 11 (0) ( ) (0) . , | | . . nn n i i i ii p D u u x u p x x x p x            ¡ (3.1) Lấy (1,0, ,0) n x ¡ trong (3.1) ta có 1 1 p , lấy ( 1,0, ,0) n x    ¡ trong (3.1) ta có 1 1 ,p do đó 1 1 1.p   Tương tự ta chỉ ra được 11 i p   với 1 in . Vậy 1 (0) { ( , , ) | [ 1,1], 1 }. n ni D u p p p p i n       ¡ Ngược lại, với 1 ( , , ) , [ 1,1], 1 n ni p p p p i n    ¡ , ta có 1 1 1 1 . | . | | |.| | | | n n n n i i i i i i i i i i i p x p x p x x            nên (3.1) đúng với mọi . n x¡ Vậy 1 (0) { ( , , ) | [ 1,1], 1 }. n ni D u p p p p i n       ¡ Tiếp theo ta tính 0 ( ).Du x  Lại theo Mệnh đề 3.4, 0 0 0 1 1 2 2 13 ( ) ( ) ( ) .( ) | | 2 . . .( 1), . nn n i i i ii p D u x u x u x p x x x n p x p x p x x                  ¡ (3.2) Lấy (1,0,1, ,1) n x ¡ trong (3.2) ta có 1 ,12n n p    suy ra 1 1p  . Lấy ( 1,0,1, ,1) n x   ¡ trong (3.2) ta có 1 12n n p    , suy ra 1 1.p  Vậy 1 1 1.p   Tương tự, lấy n x ¡ lần lượt là (0,1, ,1) và (0, 1,1, ,1) ta có 2 1 1.p   Lấy (0,0,2,1, ,1) n x ¡ trong (3.2) ta có 3 12n n p    , suy ra 3 1p  . Lấy (0,0,0,1, ,1)x  trong (3.2) ta có 3 32n n p    , suy ra 3 1p  . Vậy 3 1p  . Tương tự ta cũng chỉ được 1, 3, . i p i n Như vậy, 01 ( ) { ( , , ) | [ 1,1], 1,2, 1, 3 }. n n i i D u x p p p p i p i n         ¡ Ngược lại, với 1 ( , , ) , [ 1, 1], 1,2, 1, 3 n n i i p p p p i p i n      ¡ ta có (3.2) trở thành 1 1 2 2 1 1 2 2 1 3 1 3 | | 2 . . ( 1) | | . . . n n n n i i i i i i i i x n p x p x x x p x p x x                   (3.3) Rõ ràng 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 1 . . | . | | . | | | | | n n n i i i i i i p x p x x p x p x x x             thỏa với mọi n x ¡ nên (3.3) đúng. Vậy: 01 ( ) { ( , , ) | [ 1,1], 1,2, 1, 3, }. n n i i D u x p p p p i p i n         ¡ Ví dụ 3.4: Cho hàm : n u ¡¡ xác định bởi 12 ( ) max(| |,| |, ,| |), n u x x x x với 1 ( , , ) . n n x x x¡ Tính ()Du x  . Dễ thấy, u là một hàm lồi trên . n ¡ Cố định , 0. n xx¡ Đặt : ( ) | | 1, ,{ } { } i I i u x x n ta có I  và giả sử iI bất kì. Ta có ,. ki x x k I   Theo Mệnh đề 3.4, 12 ( ) ( ) ( ) .( ), max(| |,| |, ,| |) | | .( ). n ni p D u x u y u x p y x y y y y x p y x             ¡ (3.4) Đặt δ | | max(| |) 0 ij jI xx     , xét . ( ), ( δ,δ)sgn i i iI y x t e x t       . Khi đó jj yx nếu jI và . ( ) .sgn( ), k ikki y x t x x t x   sgn nếu .kI Với y này thì (3.4) cho ta | . ( )| | | . . ( ) | | | | . . ( ) i i i i i k I k k k k I k x t x x t p x x t x t p x          sgn sgn sgn . . ( ). kk kI t t p x    sgn (3.5) Nếu 0t  thì (3.5) cho ta 1 . ( ) k k k I px    sgn , còn nếu 0t  thì (3.5) cho ta 1 . ( ) k k k I px    sgn . Do đó 1 . ( ). k kI k px    sgn Tiếp đến ta chọn , δ δ) ( i ty x t e   Nếu 0 i x  thì: với 0,t  (3.4) sẽ cho ta 1 i p  ; với 0,t  (3.4) sẽ cho ta 1 i p  nếu | | 1I  và 0 i p  nếu | | 1I  (trong đó ||I là số phần tử của tập I ). Nếu 0 i x  thì: với 0,t  (3.4) sẽ cho ta 1 i p  ; với 0,t  (3.4) sẽ cho ta 1 i p  nếu | | 1I  và 0 i p  nếu | | 1I  . Với chỉ số jI ta chọn yy với kk yx nếu kj và j j y x t với ( δ,δ)t  . Khi đó (3.4) trở thành | | | | . 0 . i i j j x x t p t p    nên 0 j p  . Vậy ta có () { | 0 , . ( ) 1, . ( ) 1 | | 1; 0 . ( ) 1 | | 1} n j i i i i iI ii D u x p p j I p x p x i I I p x i I I                nÕu sgn sgn nÕu vµ sgn nÕu vµ ¡ (3.6) Ngược lại, với p thuộc tập bên phải của (3.6) ta kiểm tra ( ) ( ) . , ( ) | | . , , . k nn I ki k u x h u x ph h u x h x p h i I h              hay ¡¡ (3.7) Lấy n h ¡ sao cho ||δh  ta có ( ) ( )u x h u x h   trong đó kk hh nếu kI , 0 k h  nếu kI . Khi đó (3.7) trở thành ( ) | | max | | | | . ii k k k k I k kk I k I k u x h x p h x h x p h          hay (3.8) Ta có, do | sgn( ) sg|| n( || )| k k k k k ki kk ki I k I I x x px x xppx          nên 00 | | . ( ) ( ) ) .( kk k k k k k k k k ki i i k I k I i I k I pp x p h x h p x h p x h p               Mà 0 0 0 0 ( ) ( ) max | | ( )max | | ( ( ))max | | max | |. k k k k k I i I i i k I k I k I k k k k k k k k k k k k k k k k k I p p p p k I k I kI x h p x h p p x h p x h p x x h x h                             sgn Vậy (3.8) đúng khi ||δh  . Khi h bất kì thuộc n ¡ , 0h  , với mọi δ 0 min ,1 , || t h     do tính lồi của hàm u và áp dụng (3.8) với h là th ta có (1 ) ( ) ( ) ((1 ) ( )) ( ) . .t u x tu x h u t x t x h u x tp h         Do đó ( ) ( ) . ( ) ( ) . ( 0).tu x h tu x tp h u x h u x ph t       do Vậy, (3.8) đúng với mọi , n h ¡ do đó tại 0x  ta có () { | 0 , . ( ) 1, . ( ) 1 | | 1; 0 . ( ) 1 | | 1}. n j i i i i iI ii D u x p p j I p x p x i I I p x i I I                nÕu sgn sgn nÕu vµ sgn nÕu vµ ¡ Giả sử 0.x  Theo Mệnh đề 3.4, 12 1 (0) ( ) . , max(| |,| |, ,| |) , . n n n n i i i p D u u y p y y y y y p y y             ¡ ¡ Dễ thấy 0p  thỏa mãn bất đẳng thức trên. Nếu 0p  thì chọn n y ¡ xác định bởi sgn( ) ii yp ta nhận được 1 | | 1. n i i p    Điều này cũng đúng với 0.p  Ngược lại, nếu 1 : | | 1 n n i i pp    ¡ thì ta có 1 2 1 2 11 | |max(| |, | |, ,| |) max(| |,| |, ,| |), . nn n i i i n n ii p y p y y y y y y y       ¡ Vậy 1 (0) | |{p : 1}. n n i i D u p       ¡ Tiếp theo, chúng chỉ ra mối liên hệ giữa bán vi phân và các bán vi phân theo từng biến. Kết quả này được nêu trong [3], Exercise 2.8 (a). Bài tập đó khẳng định hai chiều, tuy nhiên chúng tôi nhận thấy rằng phần đảo là không đúng (xem Ví dụ 3.5 dưới đây). Mệnh đề 3.5: Cho (Ω)uC và i e là véc tơ đơn vị thứ i của n ¡ . Các tập 0 ( ) ( ) α ( ) {α : suplim 0}, || i i t u x te u x t D u x t        ¡ 0 ( ) ( ) α ( ) {α : inflm 0} | i | i i t u x te u x t D u x t        ¡ gọi là trên vi phân và dưới vi phân của u theo biến i x tại .x Khi đó, nếu 1 ( , , ) ( ) n p p p D u x  L thì ( ), 1, , ii p D u x i n   và nếu 1 ( , , ) ( ) n p p p D u x   thì ( ), 1, , . ii p D u x i n   Chứng minh. Giả sử 1 ( , , ) ( ) n p p p D u x   , theo định nghĩa ta có: ( ) ( ) .( ) sup 0l . || im yx u y u x p y x yx       Rõ ràng, với mỗi 1, ,in (,δ) | | δ | | δ ( ) ( ) . ( ) ( ) .( ) ( ) ( ) . sup sup sup | | | | | | i ii i i y B x t t u x te u x p t u y u x p y x u x te u x pte y x te t               nên δ 0 δ 0 (,δ) | | δ ( ) ( ) . ( ) ( ) .( ) inf sup inf sup | | | | i i y B x t u x te u x p t u y u x p y x y x t                 hay 0 ( ) ( ) . ( ) ( ) .( ) sup sup || lim lim || i i y x t u x te u x p t u y u x p y x y x t          suy ra 0 () l ( ) . sup 0 || im i i t u x te u x p t t      hay ( ). ii p D u x   Phần còn lại của mệnh đề được chứng minh tương tự. Ví dụ 3.5: Cho 2 :u ¡¡ xác định bởi 22 12 ( ) | | ,u x x x x   với 2 12 ( , ) .x x x¡ Do hàm u lồi nên (0) | | . , . n p D u x p x x      ¡ Chọn xp ta suy ra | | 1.p  Mặt khác, với mọi 12 ( , )p p p sao cho | | 1p  , với mọi 2 12 ( , )x x x¡ ta đều có . | . | | |.| | | |p x p x p x x   . Do đó (0) (0,1).D u B   Tương tự Ví dụ 3.1 ta có kết quả 1 (0) [ 1,1]Du   và 2 (0) [ 1,1]Du   . Do đó [ 1,1] [ 1,1] (0,1).B    Chứng tỏ chiều ngược lại của Mệnh đề 3.5 không đúng. Hai mệnh đề sau đây cho chúng ta quy tắc tính bán vi phân của hàm trơn từng mảnh tại các điểm không trơn. Đây là kết quả mà chúng tôi tách ra từ các kết quả về nghiệm nhớt trong [3], Proposition 2.9. Mệnh đề 3.6: (Dưới vi phân của hàm một biến trơn từng khúc) Giả sử u liên tục trên khoảng ( , )a h a h , khả vi trên các tập ( , ]a h a , [ , )a a h nhưng không khả vi tại .a Khi đó ta có: ( ) [ ( ), ( )]D u a u a u a      và ( ) [ ( ), ( )],D u a u a u a      trong đó ()ua   và ()ua   là đạo hàm trái và đạo hàm phải của u tại a . Chứng minh. Vì u có đạo hàm trái và phải tại a nên ( ) ( )( ) (| |) () ( ) ( )( ) (| |) . u a u a y a o y a y a uy u a u a y a o y a y a                   nÕu nÕu (3.9) Do đó, nếu ()p D u a   thì ta có ( ) ( ) ( ) (| |)u y u a p y a o y a     . Suy ra khi ya ta có ( ) ( )( ) (| |) ( ) ( ) (| |) ( ( ) )( ) (| |) u a u a y a o y a u a p y a o y a u a p y a o y a                   nên (| |) ( ) ( ) . o y a u a p u a p ya         Khi ya ta có ( ) ( )( ) (| |) ( ) ( ) (| |) ( ( ) )( ) (| |) u a u a y a o y a u a p y a o y a u a p y a o y a                   nên (| |) ( ) ( ) o y a u a p u a p ya         . Vậy [ ( ), ( )]p u a u a    . Ngược lại, giả sử [ ( ), ( )]p u a u a    từ (3.9) ta có với ya thì ( ) ( ) (| |) ( ) ( ) ( ) ( ) (| |). u y u a o y a u a p u y u a p y a o y a ya               Với ya thì ( ) ( ) (| |) ( ) ( ) ( ) ( ) (| |). u y u a o y a u a p u y u a p y a o y a ya               Do đó với mọi ( , )y a h a h   thì ( ) ( ) ( ) (| |)u y u a p y a o y a     hay ( ).p D u a   Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có ( ) [ ( ), ( )]D u a u a u a      . Ví dụ 3.6: Tính dưới vi phân 1 () 2 Du  của hàm: 1 2 () 1 1. 2 nÕu nÕu xx ux xx           Ta có 1 ( ) 1; 2 u    1 ( ) 1 2 u    nên 1 () 2 Du   và 1 ( ) [ 1,1]. 2 Du   Để mở rộng Mệnh đề 3.6 cho trường hợp nhiều chiều ta kí hiệu: 12 Ω Ω Ω Γ,   trong đó Ω ( 1, 2) i i  là các tập con mở của Ω và Γ là một mặt cong trơn. Gọi ()Tx , Γx là siêu phẳng tiếp xúc với Γ tại x và ()nx là véc tơ pháp tuyến đơn vị của Γ hướng vào tập 1 Ω . Kí hiệu , TN PP lần lượt là phép chiếu vuông góc trong n ¡ lên ()Tx và lên không gian véc tơ sinh bởi ()nx . Mệnh đề 3.7: (Dưới vi phân của hàm trơn từng mảnh) Cho (Ω)uC và hạn chế i u trên ΩΓ i  nằm trong 1 (Ω Γ), 1, 2. i Ci Khi đó 21 ) ( ) ( ) ξ ( ),ξ [ ( ). ( ), ( ). ( )], Γ; i T i D u x P Du x n x Du x n x Du x n x x      12 ) ( ) ( ) ξ ( ),ξ [ ( ). ( ), ( ). ( )], Γ. i T ii D u x P Du x n x Du x n x Du x n x x      Chứng minh. Việc chứng minh i) và ii) là tương tự. Sau đây ta chứng minh ii). Vì 12 uu trên Γ nên ta có 12 ( )( ( )) 0u u x t với mọi [0,1],t  trong đó (.)x là tham số hóa của đường cong trơn bất kì nằm trong Γ sao cho (0)xx . Do Γ là một mặt trơn nên 12 ( )( ( )). ( ) 0, [0,1].D u u x t x t t      Đặc biệt, khi 0t  ta có 12 ( )( ).τ 0, τ ( ).D u u x T x    Do đó 12 ( ) ( ), Γ. TT P Du x P Du x x Tại Γ,x vì 12 ,uu là các hàm khả vi trên Γ nên ( ) ( ) ( ( ) ( )) ,.( ) (| |), ( ,δ) Ω 1,2. i i i TN u y u x P Du x P Du x y x o y x y B x i          Do đó ()p D u x   khi và chỉ khi ( ( ) ( )).( ) ( ).( ) (| |), ( ,δ). ii T N T N P Du x P Du x y x P p P p y x o y x y B x         (3.10) Lấy τy x t với τ ( )Tx trong (3.10) ta nhận được ( ). τ .τ (| τ |), ( δ,δ). i TT P Du x t P p o t t     Với 0,t  ta có (| τ |) ( ).τ .τ . i TT ot P Du x P p t  Cho 0 ,t   ta có ( ).τ .τ 0. i TT P Du x P p Với 0,t  ta có (| τ |) ( ).τ .τ . i TT ot P Du x P p t  Cho 0t   ta có ( ).τ .τ 0. i TT P Du x P p Chứng tỏ ( ( ) ).τ0 i TT P Du x P p với mọi τ ( )Tx hay 12 ( ) ( ). T T T P p P Du x P Du x Mặt khác, khi 1 Ωy , ()y x tn x với 0t  thì (3.10) cho ta 1 ( ). ( ) . ( ) ( )/ , NN P Du x n x P p n x o t t Tương tự, khi 2 Ω ( ),y y x tn x   với 0t  thì (3.10) cho ta [...]... LUẬN Bài vi t đề cập tới một số tính chất, đặc trưng cơ bản của các bán vi phân của hàm liên tục n biến, đặc biệt là các ví dụ cụ thể về tính các bán vi phân, giúp cho người đọc có thể tiếp cận với công cụ quan trọng của Giải tích không trơn này một cách thuận lợi hơn Dưới vi phân còn có một số đặc trưng quan trọng khác như đặc trưng thông qua nón pháp của trên đồ thị Tuy nhiên, do khuôn khổ của bài... báo, chúng tôi không đề cập ở đây Độc giả quan tâm tới đặc trưng này có thể xem [1,9] TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Nguyễn Đông Yên, Giáo trình giải tích đa trị, Nxb Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, H., 2007 2 J M Borwein and Q J Zhu, A survey of subdifferential calculus with applications, Journal nonlinear analysis, Vol 38, pp.687-773, 1999 3 M Bardi, I Capuzzo-Dolcetta, Optimal control and viscosity solutions... u ( x)  ( x2  | x1 |)   x  | x1 | nÕu x2 | x1 |  2 nÕu x2 | x1 | 0  x2  x1 nÕu x2  x1 vµ x1  0    x2  x1 nÕu x2   x1 vµ x1  0 0 nÕu x2 | x1 |  Điểm (0,1) nằm trên đường không trơn x1  0, x2  0 của u Ta đặt Ω1  {x  ¡ 2 Γ  {x  ¡ | x1  0} 2 | x2  x1 , x1  0}; Ω 2  {x  ¡ Khi đó, u1 ( x)  x2  x1 , u 2 ( x)  x2  x1 2 | x2   x1 , x1  0}; Ta có Du1 ( x)  (1,1) ,... Crandall and P L Lions, Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, Trans Amer Math Soc., 277: pp.1-42, 1983 7 M G Crandall, L C Evans and P L Lions, Some properties of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, Trans Amer Math Soc., 282: pp.487-502, 1984 8 A Ya Kruger, On Fréchet subdifferentials, Journal of Mathematical Sciences 9, pp.3325-3358, 2003 9 B S Mordukhovic, Variational analysis... pp.487-502, 1984 8 A Ya Kruger, On Fréchet subdifferentials, Journal of Mathematical Sciences 9, pp.3325-3358, 2003 9 B S Mordukhovic, Variational analysis and generalized differentiation I,II, Springer, 2006 Viscosity 10 R T Rockafellar and R J-B Wets, Variational analysis, Springer, New York, 1997 SOME CHARACTERISTICS OF FRÉCHET SUBDIFFERENTIAL OF CONTINUOUS FUNCTIONS ON THE SPACE ¡ n Tran Van Bang, Phan . MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC BÁN VI PHÂN FRÉCHET CỦA HÀM LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN n ¡ Trần Văn Bằng 1 , Phan Trọng Tiến 2 Tóm tắt: Bài vi t này cung cấp những đặc trưng của dưới (trên) vi phân. .Du   3. KẾT LUẬN Bài vi t đề cập tới một số tính chất, đặc trưng cơ bản của các bán vi phân của hàm liên tục n biến, đặc biệt là các ví dụ cụ thể về tính các bán vi phân, giúp cho người đọc. cần phải chỉ ra các đặc trưng cụ thể hơn. 2.2. Một số tính chất, đặc trưng cơ bản của bán vi phân Đầu tiên chúng ta quan tâm tới mối liên hệ giữa các bán vi phân và tính khả vi của .u Kết