Toán tử giả lõm trong không gian các hàm số khả tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THỊ DUÂN TOÁN TỬ GIẢ LÕM TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM SỐ KHẢ TÍCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THỊ DUÂN TOÁN TỬ GIẢ LÕM TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM SỐ KHẢ TÍCH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn: PGS.TS.GVCC NGUYỄN PHỤ HY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2014 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn khoa học PGS.TS. Nguyễn Phụ Hy. Qua xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giáo Trường, đặc biệt PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy, người quan tam động viên, giúp đỡ trình làm luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, Phòng Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu vừa qua. Hà Nội, tháng - 2014 Học viên Lê Thị Duân Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, hướng dẫn khoa học PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy. Các kết luận văn trích dẫn rõ ràng, trung thực luận văn không trùng lặp với luận văn khác. Hà Nội, tháng - 2014 Học viên Lê Thị Duân Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Tích Descartes hai không gian Banach thực nửa thứ tự 1.1 1.2 Khái niệm không gian Banach thực nửa thứ tự . . . 1.1.1 Khái niệm không gian Banach thực . . . . . . . . 1.1.2 Khái niệm nón không gian Banach thực . . 16 1.1.3 Quan hệ thứ tự không gian Banach thực 21 1.1.4 Các phần tử u0 - đo không gian Eu0 . . . 24 1.1.5 Các phần tử thông ước tập K(u0 ) . . . . . . . 30 Khái niệm tích Descartes hai không gian Banach thực nửa thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.3 Nón không gian tích . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.4 Quan hệ thứ tự không gian tích . . . . . . . . . . . 39 1.5 Bình phương Descartes không gian hàm số khả tích . 43 1.5.1 Không gian định chuẩn thực L[a,b] . . . . . . . . . 43 1.5.2 L[a,b] không gian Banach thực . . . . . . . . . . 46 1.5.3 Không gian Banach thực nửa thứ tự L[a,b] . . 49 1.5.4 Không gian Eu0 tập K(u0 ) . . . . . . . . . . . 51 1.5.5 Không gian L2[a,b] = L[a,b] × L[a,b] . . . . . . . . . . . 52 Toán tử giả lõm không gian L2 53 2.1 Toán tử lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.1.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Toán tử giả lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.2 Định lý tồn điểm bất động toán tử 2.2 2.3 giả lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Ví dụ toán tử lõm toán tử giả lõm . . . . . . . . . 60 2.3.1 Toán tử u0 - lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.3.2 Toán tử w0 - giả lõm . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 Mở đầu 1. Lý chọn đề tài Nhà toán học Nga Kraxnoxelki M.A nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến: Toán tử lõm [8]. Sau Bakhtin Y.A tiếp tục nghiên cứu lớp toán tử lõm toán tử lõm [7] Opoixev V.I mở rộng kết sang lớp toán tử giả lõm [9]. Bakhtin Y.A thể kết công trình Opoixev V.I lớp không gian hàm số liên tục [10]. Các luận văn thạc sĩ toán học [3,6] áp dụng kết nhà toán học không gian dãy số bị chặn m. Với mong muốn tìm hiểu sâu lớp toán tử phi tuyến này, nhờ giúp đỡ, hướng dẫn tận tình PGS. TS.Nguyễn Phụ Hy nghiên cứu đề tài : “Toán tử giả lõm không gian hàm số khả tích”. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu toán tử lõm, toán tử giả lõm điểm bất động toán tử không gian hàm số khả tích. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu không gian Banach thực nửa thứ tự. - Tìm hiểu tích Descartes hai không gian Banach thực, nón không gian tích quan hệ thứ tự không gian tích Descartes hai không gian Banach thực. - Tìm hiểu toán tử lõm toán tử giả lõm. - Tìm hiểu tồn điểm bất động toán tử giả lõm không gian L không gian L2 . 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: kiến thức sở cần thiết, kết toán tử giả lõm, điểm bất động toán tử giả lõm không gian hàm số khả tích. Phạm vi nghiên cứu: tài liệu, báo nước có liên quan đến toán tử lõm, toán tử giả lõm không gian hàm số khả tích. 5. Phương pháp nghiên cứu - Thu thập tài liệu báo toán tử lõm, toán tử giả lõm điểm bất động toán tử giả lõm không gian hàm số khả tích. - Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm tính chất liên quan đến toán tử giả lõm. - Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn. 6. Những đóng góp đề tài Trình bày hệ thống kiến thức không gian Banach thực nửa thứ tự, tích Descartes hai không gian Banach thực nửa thứ tự, toán tử lõm không gian hàm số khả tích, toán tử giả lõm không gian bình phương Descartes không gian hàm số khả tích áp dụng cho toán tử đó. Chương Tích Descartes hai không gian Banach thực nửa thứ tự 1.1 Khái niệm không gian Banach thực nửa thứ tự 1.1.1 Khái niệm không gian Banach thực 1.1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1.1. Cho không gian tuyến tính thực E. Một chuẩn E ánh xạ từ E vào R, kí hiệu . (đọc chuẩn), thỏa mãn tiên đề sau: 1. ∀x ∈ E, x ≥ 0, x = ⇔ x = θ, (θ kí hiệu phần tử không không gian E); 2. ∀x ∈ E, ∀α ∈ R, 3. ∀x, y ∈ E, αx =| α | x ; x+y ≤ x + y . Không gian tuyến tính thực E với chuẩn gọi không gian định chuẩn thực, kí hiệu (E, . )hay đơn giản E. Định nghĩa 1.1.1.2. Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm {xn }∞ n=1 ⊂ ⇔ −αu0 (t) ≤ x(t) ≤ αu0 (t) h.k.n [a, b] ⇔ −α ≤ x(t) ≤ α h.k.n [a, b]. Do x thuộc vế phải (1.21). Ngược lại, giả sử x thuộc vế phải (1.21) hay x ∈ L[a,b] ∃p ∈ R∗+ cho |x(t)| ≤ p [a, b] ⇔ −p ≤ x(t) ≤ p h.k.n [a, b] ⇔ −pu0 (t) ≤ x(t) ≤ pu0 (t) h.k.n [a, b] ⇒ x ∈ Eu0 . Vậy Eu0 = L[a,b] . 1.5.5 Không gian L2[a,b] = L[a,b] × L[a,b] . 1) L2[a,b] không gian định chuẩn L[a,b] không gian định chuẩn (theo định lý 1.2.1 định lý 1.2.2). 2) L2[a,b] không gian Banach L[a,b] không gian Banach (theo định lý 1.2.4). 3) L2[a,b] không gian Banach thực nửa thứ L[a,b] không gian Banach thực nửa thứ tự. 4) Không gian L2[a,b] = Ew0 = {z ∈ L2[a,b] : (∃R > 0)|z(t)| ≤ R h.k.n [a, b]}. 5) Tập K (w0 ) = {z ∈ L2[a,b] : ∃m, M > 0, m < M, m ≤ z(t) ≤ M h.k.n [a, b]}. 52 Chương Toán tử giả lõm không gian L2 2.1 2.1.1 Toán tử lõm Các định nghĩa Trong chương ta kí hiệu không gian L[a,b] L. Giả sử không gian L nửa thứ tự theo nón hàm số không âm K ⊂ L, u0 ∈ K u0 = θ, w0 = (u0 , u0 ) ∈ K , K = K × K. Định nghĩa 2.1.1. Toán tử A : L → L gọi đơn điệu tập K(u0 ) (∀x, y ∈ K(u0 ) : x ≤ y)Ax ≤ Ay. Định nghĩa 2.1.2. Toán tử A : L → L gọi u0 - lõm 1) Toán tử A đơn điệu tập K(u0 ); 2)AK(u0 ) ⊂ K(u0 ); 3) ∀x ∈ K(u0 ), ∀t ∈ (0, 1), ∃c = c(x, t) > cho Atx ≥ (1 + c)tAx. Định nghĩa 2.1.3. Phần tử x ∈ L gọi điểm bất động toán tử A Ax = x. Định nghĩa 2.1.4. Toán tử B : L2 → L gọi đơn điệu tập K (w0 ) 53 (∀z1 , z2 ∈ K (w0 ), z1 ≤ z2 Bz1 ≤ Bz2 ) Định nghĩa 2.1.5. Toán tử B : L2 → L gọi w0 - lõm 1) Toán tử B đơn điệu tập K (w0 ); 2)BK (w0 ) ⊂ K(u0 ); 3)∀z ∈ K (w0 ), ∀t ∈ (0, 1), ∃c = c(z, t) > cho Btz ≥ (1 + c)tBz. Định nghĩa 2.1.6. Phần tử z ∈ L2 gọi điểm bất động toán tử B Bz = z. 2.1.2 Một số tính chất Định lý 2.1.1. Nếu A : L → L toán tử u0 - lõm toán tử A có không điểm bất động K(u0 ). Chứng minh. Giả sử ∃x, y ∈ K(u0 ) ⊂ L, Ax = x, Ay = y, x = y. Tìm số dương a, b, c, d cho au0 ≤ x ≤ bu0 , cu0 ≤ y ≤ du0 , không tính tổng quát coi x − y ∈ / K. Ta có x ≥ au0 = ad−1 du0 ≥ ad−1 y. Suy x − ad−1 y ≥ θ, ad−1 > ad−1 < 1, ad−1 ≥ x ≥ y (mâu thuẫn với giả sử x − y ∈ / K). Xét ánh xạ f :R t −→ L −→ f (t) = x − ty. Nhờ tính liên tục phép cộng hai phần tử, phép nhân số thực với phần tử, ánh xạ f liên tục. Từ kết luận với tính đóng nón K, nên f −1 (K) = {t ∈ R x − ty ≥ θ} = {t ∈ R x − ty ∈ K} 54 tập đóng. Theo lập luận ta có < ad−1 < t < ∀t ∈ f −1 (K). Suy ∃t0 = max f −1 (K) thuộc (ad−1 , 1). Hơn ∃c = c(y, t0 ) > cho At0 y ≥ (1 + c)t0 Ay = (1 + c)t0 y ⇒ x − t0 y = Ax − t0 Ay ≥ Ax − ≥ At0 y − = c 1+c At0 y 1+c At0 y 1+c At0 y ≥ ct0 y. Suy x − t0 (1 + c)y ≥ θ (mâu thuẫn với tính chất cực đại t0 ). Vậy toán tử A có không điểm bất động K(u0 ). Định lý 2.1.2. Nếu F1 : L2 → L, F2 : L2 → L hai toán tử w0 - lõm toán tử F = (F1 , F2 ) : L2 → L có không điểm bất động K (w0 ). Chứng minh. Giả sử có z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ) ∈ K (w0 ), z1 = z2 cho F z1 = (F1 z1 , F2 z1 ) = z1 F z2 = (F1 z2 , F2 z2 ) = z2   F1 z1     Fz ⇒  F1 z2     Fz 2 = x1 = y1 = x2 . (2.1) = y2 Vì z1 − z2 = θL2 , θL2 ký hiệu phần tử không không gian L2 , nên hai phần tử z1 − z2 , z2 − z1 không thuộc K , giả sử z1 − z2 ∈ /K. Tương tự định lý 2.1.1, tồn số t lớn cho z1 − tz2 ≥ θL2 t ∈ (0, 1). Khi tồn số dương c1 = c1 (z2 , t), c2 = c2 (z2 , t) > cho F1 tz2 ≥ (1 + c1 )tF1 z2 , F2 tz2 ≥ (1 + c2 )tF2 z2 . Đặt c = min{c1 , c2 } ta có: c > F1 tz2 ≥ (1 + c)tF1 z2 , F2 tz2 ≥ (1 + c)tF2 z2 . 55 (2.2) Từ dẫn tới z1 − tz2 = F z1 − tF z2 = (F1 z1 , F2 z1 ) − t(F1 z2 , F2 z2 ) = (F1 z1 − tF1 z2 , F2 z1 − tF2 z2 ) 1 F1 tz2 , F2 z1 − F2 tz2 ) (do 2.2) ≥ (F1 z1 − 1+c 1+c 1 ≥ (F1 tz2 − F1 tz2 , F2 tz2 − F2 tz2 ) (do z1 ≥ tz2 ) 1+c 1+c c c = ( F1 tz2 , F2 tz2 ) 1+c 1+c ≥ (ctF1 z2 , ctF2 z2 ) (do 2.2) = ct(F1 z2 , F2 z2 ) = ctF z2 = ctz2 . Suy z1 − t(1 + c)z2 ≥ θL2 , mâu thuẫn với tính chất cực đại t. Vậy toán tử F có không điểm bất động K (w0 ). 2.2 2.2.1 Toán tử giả lõm Các định nghĩa Giả sử u0 ∈ K với u0 = θ, w0 = (u0 , u0 ), A : L → L, B : L2 → L. Định nghĩa 2.2.1. Toán tử B : L2 → L gọi không tập K (w0 ) ∀z1 = (x1 , y1 ) ∈ K (w0 ), z2 = (x2 , y2 ) ∈ K (w0 ) cho x1 ≤ x2 , y1 ≥ y2 Bz1 ≤ Bz2 . Định nghĩa 2.2.2. Toán tử B: L2 → L gọi w0 - giả lõm K (w0 ) 1) B toán tử không tập K (w0 ); 2) BK (w0 ) ⊂ K(u0 ); 3) ∀z = (x, y) ∈ K (w0 ), ∀t ∈ (0, 1), ∃c = c(z, t) > cho B(tx, y) ≥ (1 + c)tB(x, y). t Định nghĩa 2.2.3. Toán tử A : L → L gọi u0 - giả lõm K(u0 ) tồn toán tử w0 - giả lõm B : L2 → L cho B(., x) = Ax, ∀x ∈ 56 K(u0 ). 2.2.2 Định lý tồn điểm bất động toán tử giả lõm Định lý 2.2.1. Giả sử không gian L[a,b] nửa thứ tự theo nón K hàm số không âm hầu khắp nơi [a, b], K = K , u0 = u0 (t) = hầu khắp nơi [a, b], w0 = (u0 , u0 ), toán tử A : L → L u0 - giả lõm. Khi tồn toán tử w0 - lõm F = (F1 , F2 ) : L2 → L2 có tính chất 1) Các phương trình x = Ax, x ∈ K(u0 ) z = F z, z = (x, y) ∈ K (w0 ) (2.3) (2.4) đồng thời giải được. 2) Nếu x ∈ K(u0 ) nghiệm phương trình (2.3) z = (x, ) x nghiệm phương trình (2.4). Ngược lại, z = (x, y) nghiệm phương trình (2.4) x nghiệm phương trình (2.3). Chứng minh. Trước hết ta có nhận xét z = (x, y) ∈ K (w0 ) : ∃α > 0, ∃β > 0, αw0 ≤ z ≤ βw0 ⇔ αu0 ≤ x ≤ βu0 ⇔ α ≤ x(t) ≤ β h.k.n [a, b] αu0 ≤ y ≤ βu0 α ≤ y(t) ≤ β h.k.n [a, b]   1    ≤ h.k.n [a, b]  ≤ β x(t) α ⇔  1    ≤ ≤ h.k.n [a, b]  β y(t) α    1    u0 ≤ ≤ u0 h.k.n [a, b] β x α ⇔ . (2.5)  1     u0 ≤ ≤ u0 h.k.n [a, b] β y α 57 Giả sử A : L[a,b] → L[a,b] toán tử u0 - giả lõm. Khi tồn toán tử B : L2[a,b] → L[a,b] toán tử w0 - giả lõm cho B(., x) = Ax, ∀x ∈ K(u0 ), nghĩa +) ∀z1 = (x1 , y1 ) ∈ K (w0 ), z2 = (x2 , y2 ) ∈ K (w0 ) cho x1 ≤ x2 , y1 ≥ y2 có Bz1 ≤ Bz2 ; +)BK (w0 ) ⊂ K(u0 ); +)∀z ∈ K (w0 ), ∀t ∈ (0, 1), ∃c = c(z, t) > 0, Btz ≥ (1 + c)tBz; +)∀x ∈ K(u0 ), B(x, x) = Ax. Ta lập toán tử F1 : K (w0 ) −→ L[a,b] −→ F1 z = B(x, ). y −→ L[a,b] −→ F2 z = . B( y , x) z = (x, y) F2 : K (w0 ) z = (x, y) Vì B( y1 , x) = F1 ( y1 , x1 ) nên F2 z = Do hệ thức (2.5), ( y1 , x) B( y1 , x) ∈ K(u0 ), B( y1 ,x) . F1 ( y1 , x1 ) ( y1 , x1 ) ∈ K (w0 ) nên B(x, y1 ) ∈ K(u0 ), ∈ K(u0 ) toán tử F1 , F2 hoàn toàn xác định K (w0 ), nhờ điều toán tử F hoàn toàn xác định, đồng thời nhận hệ thức F1 K (w0 ) ⊂ K(u0 ), F2 K (w0 ) ⊂ K(u0 ), F K (w0 ) ⊂ K (w0 ). Trong F = (F1 , F2 ) : K (w0 ) → K (w0 ). Ta chứng minh tiếp F toán tử w0 - lõm. Trên ta khẳng định F K (w0 ) ⊂ K (w0 ). Giả sử z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ) ∈ K (w0 ), z1 ≤ z2 . Do (2.5), z1 ≤ z2 ⇔ < x1 ≤ x2 < y1 ≤ y2 ⇒ 58 0< 0< x2 y2 ≤ ≤ x1 y1 ⇒ (x1 , 1 ) (x2 , ) ∈ K (w0 ). y1 y2 F1 z1 = B(x1 , y11 ) ≤ B(x2 , y12 ) = F1 z2 , F2 z2 = B( y1 ,x1 ) B( y1 ,x2 ) ≤ = F2 (x2 , y2 ). Vậy F = (F1 , F2 ) đơn điệu K (w0 ). Giả sử z = (x, y) ∈ K (w0 ), t ∈ (a, b), ∃c1 = c1 (z, t) > cho B(tx, 1 ) ≥ (1 + c1 )tB(x, ) ty y hay F1 tz ≥ (1 + c1 )tF1 z. Đặt x, = ty , , y, = tx , ta có z , = (x, , y , ) ∈ K (w0 ) nên ∃c2 = c2 (z , t) > cho B(tx, , 1 ) ≥ (1 + c2 )tB(x, , , ) = (1 + c2 )tB( , tx) , ty y ty ⇒ F2 tz = (1 + c2 )t ≥ = (1 + c2 )tF2 z. B( ty1 , tx) B( y1 , x) Kí hiệu c = min{c1 , c2 } ta F tz = (F1 tz, F2 tz) ≥ ((1 + c) t F1 z, (1 + c) t F2 z) = (1 + c) t (F1 z, F2 z) = (1 + c) t F z. Do F toán tử w0 - lõm. Bây ta chứng minh hai phương trình (2.3) (2.4) đồng thời giải được. Giả sử x ∈ K(u0 ) cho x = Ax = B(x, x) = F1 (x, x1 ). Ta có 1 1 = = F2 (x, ) ⇒ z = (x, ) ∈ K (w0 ) z = F z. x B(x, x) x x Điều chứng tỏ phương trình x = Ax với x ∈ K(u0 ) giải có nghiệm x∗ ∈ K(u0 ) phương trình z = F z với z ∈ K (w0 ) giải có nghiệm z ∗ = (x∗ , x1∗ ) ∈ K (w0 ). 59 Ngược lại, z = (x, y) ∈ K (w0 ) cho z = F (z) = (F1 z, F2 z) 1 1 , ) ⇒ x = F1 z = B(x, ) ⇒ = = F ( y x B(x, y1 ) y x ⇒ y = F2 z = B( y1 , x) ⇒ 1 1 = B( , x) = F1 ( , ). y y y x Đặt z , = ( y1 , x1 ), ta có z , ∈ K (w0 ) (theo 2.5) z , = F z , . Nhưng K (w0 ) toán tử F có không điểm bất động, nên z , = z, nghĩa y = x1 . Suy x = F1 (x, ) = B(x, x) = Ax. x Điều chứng tỏ, phương trình z = F z với z ∈ K (w0 ) giải có nghiệm z ∗ = (x∗ , y ∗ ) ∈ K (w0 ) phương trình x = Ax với x ∈ K(u0 ) giải có nghiệm x∗ ∈ K(u0 ). 2.3 2.3.1 Ví dụ toán tử lõm toán tử giả lõm Toán tử u0 - lõm Cho không gian Banach L[a,b] nửa thứ tự theo nón K. K = {x ∈ L : x(s) ≥ h.k.n [a, b]}, u0 (s) = h.k.n [a, b]. Khi K(u0 ) = {x ∈ L : ∃m > 0, ∃M > : m ≤ x(s) ≤ M h.k.n [a, b]}. Xét toán tử F x(s) = x(s), x ∈ L, s ∈ [a, b]. 1) F : L → L. Thật vậy, ta có b b | x(s)|ds |(F x)s|ds = a a 60 b | x(s)|5 ds ≤ a b ds a = (b − a) b |x(s)|ds < +∞. a 2) F đơn điệu K(u0 ). Thật vậy, ∀x, y ∈ K(u0 ), x ≤ y ta có ∃m > 0: m ≤ x(s) ≤ y(s) h.k.n [a, b]. Do x(s) ≤ y(s) h.k.n [a, b] hay F x(s) ≤ F y(s) h.k.n [a, b]. 3) F K(u0 ) ⊂ K(u0 ). Thật vậy, ∀x ∈ K(u0 ) có < m ≤ M cho m ≤ x(s) ≤ M h.k.n [a, b]. ⇒ Đặt √ √ m≤ x(s) ≤ √ M h.k.n [a, b]. √ m = m1 > 0; M = M1 > 0. Suy < m1 ≤ x(s) ≤ M1 h.k.n [a, b] hay F x ∈ K(u0 ). 4) ∀x ∈ K(u0 ), ∀t ∈ (0, 1), ∃c = c(x, t) > cho (F tx)(s) ≥ (1 + c)t(F x)(s) h.k.n [a, b]. Thật vậy, ∀x ∈ K(u0 ), t ∈ (0, 1) ta có (F tx)(s) = t. x(s) √ √ tx(s) = = + − t. x(s) 5 t t = 1+ √ − t x(s). t Như ∀x ∈ K(u0 ), t ∈ (0, 1) tồn số c = √ t − > (do t ∈ (0, 1)) cho F tx = (1 + c)tF x. Vậy F toán tử u0 - lõm. Nhận xét. x0 (s) = h.k.n [a, b] điểm bất động toán tử F √ F x0 (s) = F = = = x0 (s). Theo định lý 2.1.1, x0 (s) điểm bất động toán tử F K(u0 ). 61 Toán tử w0 - giả lõm 2.3.2 Cho không gian Banach L2 = L[a,b] × L[a,b] nửa thứ tự theo nón K = K × K = K , w0 = (u0 , u0 ) ∈ K . Khi K (w0 ) = K(u0 ) × K(u0 ). Xét toán tử Bz = B(x, y) = x(s) + y(s) , z = (x, y) ∈ K (w0 ). 1) B : K (w0 ) → L. Thật +) Ta có y(s) ∈ K(u0 ) nên ∃m > 0, ∃M > ⇒ < m ≤ y(s) ≤ M ⇒ Đặt M = m2 > 0, m 1 ≤ ≤ M y(s) m = M2 > b 1 ⇒ m2 ≤ ≤ M2 ⇒ ∈ K(u0 ) ⇒ y(s) y(s) a ds < +∞. y(s) +) Ta có b b |B(x, y)(s)|ds = a x(s) + a y(s) b ds b | x(s)|ds + ≤ a a ≤ (b − a) y(s) ds b |x(s)|ds a +(b − a) b a ds y(s) < +∞. Vậy B : K (w0 ) → L. 2) B toán tử không K (w0 ). Thật ∀z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ) ∈ K (w0 ) cho x1 ≤ x2 , y1 ≥ y2 với x1 , x2 , y1 , y2 ∈ K(u0 ). 62 Ta có Bz1 = B(x1 , y1 ) = Bz2 = B(x2 , y2 ) = x1 (s) + x2 (s) + y1 (s) y2 (s) , . Vì x1 ≤ x2 , x1 , x2 ∈ K(u0 ) ⇒ < x1 (s) ≤ x2 (s) h.k.n [a, b] ⇒ x1 (s) ≤ x2 (s) h.k.n [a, b]. Vì y1 ≥ y2 , y1 , y2 ∈ K(u0 ) ⇒ < y2 (s) ≤ y1 (s) h.k.n [a, b] ⇒0< ⇒ √ ⇒ x1 (s) + √ y1 (s) ≤ x2 (s) y2 (s) ≤ ≤ √ y1 (s) +√ y2 (s) y2 (s) y1 (s) h.k.n [a, b] h.k.n [a, b] h.k.n [a, b] ⇒ Bz1 ≤ Bz2 . 3) BK (w0 ) ⊂ K(u0 ). Thật vậy, ∀z = (x, y) ∈ K (w0 ) ⇒ x ∈ K(u0 ), y ∈ K(u0 ). Suy ⇒ ∃m1 > 0, ∃M1 > để < m1 ≤ x(s) ≤ M1 (Theo mục 2.3.1) ∃m2 > 0, ∃M2 > để < m2 ≤ y(s) ≤ M2 1 ≤ ≤ ⇒ M2 y(s) m2 Đặt = m,2 > 0, M2 ⇒ m,2 ≤ √ m2 ≤ M2 ⇒ m1 + y(s) , m2 ≤ = M2 > x(s) + √ y(s) ≤ M1 + M2 . Đặt m1 + m,2 = m, > 0, M1 + M2 = M > ⇒ m, ≤ Bz ≤ M ⇒ Bz ∈ K(u0 ) ⇒ BK (w0 ) ⊂ K(u0 ). 4) ∀z = (x, y) ∈ K (w0 ), t ∈ (0, 1), ∃c = c(z, t) > cho B(tx, y) ≥ (1 + c)tB(x, y). t Thật vậy, với z = (x, y) ∈ K (w0 ), t ∈ (0, 1) ta có 1 B(tx, y) = tx(s) + t ty(s) 63 t. x(s) √ √ = + t. 5 t t . y(s) 1 √ = + − t x(s) + √ +1−1 t 5 y(s) t t 1 = 1+ √ − t x(s) + + √ − t y(s). 5 t t 1 √ Do t ∈ (0, 1) ⇒ √ − > 0, − > cho 5 t t ∃ t∈(0,1) 1 √ √ − 1, −1 5 t t =c>0 1 B(tx, y) = (1 + c)t x(s) + (1 + c)t t y(s) = (1 + c)t x(s) + y(s) = (1 + c)tB(x, y) ⇒ B(tx, y) ≥ (1 + c)tB(x, y). t Vậy B toán tử w0 - giả lõm. 64 Kết luận Luận văn trình bày hệ thống kiến thức không gian Banach thực nửa thứ tự. Các khái niệm tích Descartes hai không gian Banach thực nửa thứ tự, quan hệ thứ tự không gian tích. Trình bày toán tử lõm, toán tử giả lõm, định lý tồn điểm bất động toán tử lõm giả lõm. Vận dụng kết vào không gian L không gian L2 . Hà Nội, tháng 7, năm 2014 Lê Thị Duân 65 Tài liệu tham khảo 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO A.Tài liệu tiếng Việt [1]. Nguyễn Phụ Hy (1987), Các điểm bất động toán tử lõm quy, Tạp chí toán học, tập 15 (số 1), tr 27-32. [2]. Nguyễn Phụ Hy (2006), “Giải tích hàm”, Nxb Khoa học kĩ thuật Hà nội. [3]. Nguyễn Thị Khả (2007), “Điểm bất động lớp toán tử phi tuyến giả lõm”, Luận văn thạc sĩ, Trường đại học sư phạm Hà nội 2. [4]. Đỗ Hồng Tân (2002), “Các định lý điểm bất động”, NXB Đại học Sư phạm, Hà nội. [5]. Hoàng Tụy (2003), “Hàm thực giải tích hàm”, NXB Đại học Quốc gia Hà nội. [6]. Trần Thị Thúy Vân (2009), “Mối liên hệ toán tử lõm toán tử giả lõm”, Luận văn thạc sĩ, Trường đại học sư phạm Hà nội 2. B. Tài liệu tiếng Nga [7]. Бахтин И.А (1959), О линейных уравнениях с вогнутыми и равномерно вогнутыми операторами, ДАН СССР, т. 126, №1, с. 9-12. [8]. Красносельский М.А (1962), Положительные решения операторных уравнений, физматгиз, Москва. [9]. Опойцев В.Й (1978), Обобщение теории монотонных и вогнутых операторов, Тр. Московского О-ва, Т.36, с. 237-273. [10]. Бахтин И.А (1985), О связи между классами вогнутых и исевдовогнутыx операторов, Прикладные методы функционального анализа, межвузовский сборник научных Воронежского университета, Воронеж. 66 трудов, Издательство [...]... vậy trong cả hai trường hợp đều tồn tại số không âm t,1 = αt (α ≥ 0) hoặc t,1 = −αt (α < 0) sao cho −t,1 u0 ≤ αx ≤ t,1 u0 Lại có αx ∈ E (do E là không gian tuyến tính) Vậy αx ∈ Eu0 hay Eu0 là không gian con của E ⇒ Eu0 là không gian tuyến tính con của không gian E Định lý 1.1.4.3 Giả sử E là không gian Banach nửa sắp thứ tự theo nón K, u0 ∈ K\{θ} Khi đó Eu0 gồm các phần tử u0 - đo được là một không gian. .. sắp thứ tự theo nón K 1.1.4 Các phần tử u0 - đo được và không gian Eu0 1.1.4.1 Định nghĩa và tính chất Định nghĩa 1.1.4.1 Giả sử E là một không gian Banach nửa sắp thứ tự theo nón K, u0 ∈ K\{θ} Phần tử x ∈ E được gọi là u0 - đo được nếu tồn tại số không âm t sao cho −tu0 ≤ x ≤ tu0 Tập hợp các phần tử u0 - đo được trong E kí hiệu là Eu0 Định lý 1.1.4.2 Giả sử E là không gian Banach nửa sắp thứ tự theo... giới hạn trong các bất đẳng thức đó khi m → ∞ ta nhận được | xn (t) − x(t) |< ε < ε, ∀n ≥ n0 , ∀t ∈ [a, b] 2 Do đó dãy hàm {xn (t)}∞ hội tụ đều tới hàm số x(t) trên [a, b] nên n=1 x ∈ C[a,b] Nhưng sự hội tụ trong C[a,b] tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm trên [a, b], nên dãy đã cho hội tụ tới x trong không gian C[a,b] Vậy C[a,b] là không gian Banach 15 1.1.2 Khái niệm nón trong không gian Banach... dãy số thực cơ m=1 bản, nên phải tồn tại giới hạn (m) lim xi m→∞ = xi (i = 1, , n) 12 Đặt x = (x1 , , xn ) ta nhận được dãy {x(m) }∞ đã cho hội tụ theo tọa m=1 độ tới x Nhưng sự hội tụ trong không gian Rn tương đương với sự hội tụ theo tọa độ, nên dãy đã cho hội tụ tới x trong không gian Rn Vậy Rn là không gian Banach Ví dụ 1.1.1.2 Xét không gian tuyến tính thực C[a,b] = {x = x(t) : x(t) là hàm số. .. sắp thứ tự trong không gian C[a,b] Mặt khác, với hai phần tử tùy ý của không gian C[a,b] có thể không có quan hệ ” ≤ ”, chẳng hạn x(t) = t − a, y(t) = b − t, ∀t ∈ [a, b] ta có x − y ∈ K vì (x − y)(a) = a − b < 0 và y − x ∈ K vì (y − x)(b) = a − b < 0 / / do vậy ta không có x ≤ y và không có y ≤ x Không gian Banach thực C[a,b] cùng với quan hệ sắp thứ tự được định nghĩa ở trên trở thành không gian Banach... z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ) + Phép nhân: ".": ∀z = (x, y) ∈ E, ∀α ∈ R viết αz = α.z = (αx, αy) là một không gian tuyến tính thực và gọi là không gian tích hay tích Descartes hai không gian E1 và E2 Không gian tuyến tính thực nhận được ký hiệu là E Chứng minh Ta chứng minh E thỏa mãn các tiên đề về không gian tuyến tính thực 1 ∀z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ) ∈ E ta có z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ) =... x (n → ∞) Định nghĩa 1.1.1.3 Cho không gian định chuẩn E Dãy điểm {xn }∞ ⊂ n=1 E gọi là dãy cơ bản trong không gian E nếu lim n,m→∞ xn − xm = 0 hay (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N∗ ) sao cho (∀n, m ≥ n0 ) ta có xn − xm < ε Định nghĩa 1.1.1.4 Không gian định chuẩn E gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong E đều hội tụ 1.1.1.2 Ví dụ Ví dụ 1.1.1.1 Với n ∈ N, n ≥ 2, xét không gian tuyến tính thực Rn = {x = (x1... thuẫn giả thiết y ≤ x Suy ra quan / hệ "≤" có tính chất phản đối xứng Do đó, quan hệ "≤" là quan hệ sắp thứ tự trên không gian E với nón K Định nghĩa 1.1.3.2 Không gian định chuẩn E cùng với quan hệ sắp thứ tự theo nón K được gọi là không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự (hay không gian định chuẩn sắp thứ tự bộ phận) theo nón K Một không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự E theo nón K ⊂ E đồng 21 thời là không. .. một chuẩn trên E Vì vậy E cùng với chuẩn (1.14) là một không gian định chuẩn Tương tự, ta có thể mở rộng để có không gian tích E = E1 × E2 × En , (n ∈ N∗ , n ≥ 2) Định lý 1.2.3 Dãy {zn }∞ = {(xn , yn )}∞ ⊂ E hội tụ tới phần tử n=1 n=1 z = (x, y) ∈ E trong không gian E khi và chỉ khi các dãy {xn }∞ ⊂ E1 n=1 hội tụ trong E1 tới x, {yn }∞ ⊂ E2 hội tụ trong E2 tới y n=1 35 ... không gian Banach thực 1.1.2.1 Các định nghĩa và tính chất Định nghĩa 1.1.2.1 Giả sử E là không gian định chuẩn thực Tập K ⊂ E, K = ∅ được gọi là một nón, nếu tập K thỏa mãn các điều kiện sau: C1 ) K là tập đóng trong không gian E; C2 ) (∀x, y ∈ K) x + y = K; C3 ) (∀x ∈ K) (∀t ∈ R, t ≥ 0) tx ∈ K; C4 ) (∀x ∈ K, x = θ) − x ∈ K / Nhận xét 1.1.2.2 Nếu K là một nón trong không gian định chuẩn thực E thì θ . Toán tử giả lõm trong không gian các hàm số khả tích . 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu toán tử lõm, toán tử giả lõm và điểm bất động của toán tử này trong không gian các hàm. đến toán tử lõm, toán tử giả lõm trong không gian các hàm số khả tích. 5. Phương pháp nghiên cứu - Thu thập tài liệu và các bài báo về toán tử lõm, toán tử giả lõm và điểm bất động về toán tử giả. thức về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự, tích Descartes hai không gian Banach thực nửa sắp thứ tự, về toán tử lõm trong không gian các hàm số khả tích, toán tử giả lõm trong không gian bình